2026年高考数学一轮复习（核心题型讲义+专项突破练习）培优点01 柯西不等式与权方和不等式（学生版+解析）

培优点01柯西不等式与权方和不等式

U题型梳理

题型方法

题型一柯西不等式

题型二权方和不等式

3知识清单

知识点1柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

（d+庐）（於+02（%+92（°,b,c,d£R,当且仅当a/=bc时,等号成立）.

2.二维形式的柯西不等式的变式

（1Ha?+b?7C?+/2|ac+,b,c,d£R,当且仅当ad=/?cH寸，等号成立）.

（2）yja2+b2\jc2+cP>\ac\+\bd\{a,b,c，d£R,当且仅当ad=/?c时，等号成立）.

om+oxc+meN忌+4应尸m，b,c,d2o,当且仅当.</=反时，等号成立）.

3.二维形式的柯西不等式的向最形式

|a/|W|a|WI（当且仅当/?是零向量，或存在实数匕使”=幼时，等号成立）.

知识点2权方和不等式

1.二维形式：已知x,y,a,b£R一则有三十92地垠史（当且仅当x：y=g：也时，等号成立）.

xyx十）'

/+1（>巳。・严+1

2.一般形式：设加力WR4=I,2,…，〃），实数心0,则名1如2蜜瑞严,当且仅当鲁琮=••=鲁

时等号成立.称之为权方和不等式.加为该不等式的和，它的特点是分子的辕比分母的恭多一次.

Q题型方法

【题型一】柯西不等式

【例1】（2022•全国甲卷•高考真题）已知小儿c均为正数，且〃2+/+4°2=3,证明:

（l）a+/?+2cW3；

（2）若人=勿，则

ac

解题技巧

掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法.

【举一反三】【变式1】（2024•全国•模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流

数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应

用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数4，%，%'和4也，&：，有

（a：十右十”,（厅十员十区十十%〃3丫等号成立当旦仅当，=：=彳己知/+/+z2=i41,请你用柯西不等式，

求出x+2），+3z；的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

I?

【变式2】（2021.浙江•模拟预测）已知正实数满足。+给=1,则上+1的最小值为_____；2/+/的最小值为

ab

【变式3］（2024四川德阳.模拟预测）已知/（x）=|Z.3|+|2x+l|.

⑴解不笔式/（x）K10;

（2）若M为/*）的最小值，设4（。+匕+c）=M,求」+±+工的最小值.

。+1b+2c+3

【题型二】权方和不等式

【例2】（2024.吉林白山.一模）权方利不等式作为基本不等式的一个变化，在求一元变量最值时有很广泛的应用，其

表述如下：设正数。"，孙儿满足式+^之七生，当且仅当时，等号成立.则函数/（x）=3+W（）<x<1

xyx+yxx\-3xy3）

的最小值为（）

A.16B.25C.36D.49

解题技巧

（1）权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键.

（2）关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.

31

（3）关于带根号的式子，将分子变为5次，分母为$次.

乙乙

【举一反三】【变式1】（2024・四川•模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名

的.其具体内容为:设q>0也>0”N*,/n>0,则坪馍然埒一他+%+4+..+〃/'T且仅一

+=?=*=时，等号成立・根据权方和不等式，若X」。，乩当也+」一取得最小值时，”的值为（）

ab2Aal2；siiu-cosx

itit5n

A.B.C.71D.

~\263~\2

【变式2】（2024.河南信阳,模拟预测）已知正数4〃满足1+,则a+〃的最小值为_______.

2。+12b+\

【变式3］（2024•四川凉山•三模）已知函数〃x）=|l-叫+国的最小值为

（1）求实数〃的值;

|Q

⑵求五+工（人总0,。））的最小值.

但好题必刷

一、单选题

1.（2023・浙江•一模）若sinx+cosy+sin（x+y）=2,则sinx的最小值是（）

A.0B.2-V3C.3-近D.

2.（2021•江西•模拟预测）若正数”?，"，〃满足，〃+〃+〃=4,且（>+叫〃〃7+（〃2+）?2）〃〃+（"/+〃2）〃卯2痴即，则实

数4的取值范围为（）

A.（。，6]B.（-<»,4]C.（-oo,12]D.（-<»,8]

3.（2020,浙江•模拟预测）对于c>0,当非零实数〃、〃满足4CJ—2"〃+4〃2—C_0,且使|2々+4最大时，0/的

abc

最小值为（）

A.—B.；C.—2D.2

22

4.（24-25高一下•辽宁葫芦岛•阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的

应用，其表述如下：设“，b,x,y>。，则4+当且仅当q=2时等号成立根据权方和不等式，函数

xyx+yxy

小）=四2+片（℃〈9的最小值为（）

x1-3xI3）

A.39B.52C.49D.36

二、多选题

5.（2021•江苏南通•三模）已知则下列不等式一定成立的是（）

A.a2b2+c2d2>2abcdB.a4+//Na3b+ab'

C.（而+〃）*（/+。2）92+f）D.Ja2+b2+y/c2+J2＞^（a-c）2+y]（b-（l）2

6.（2022•江苏连云港•模拟预测）己知。＞。为＞（）,直线，=x+2a与曲线＞=ei-/＞+l相切，则下列不等式一定成立的是

（）

A.ab＜B.—+y5=9C.x/a'+，'＞D.\[a+\[b＜

9ab52

7.（2023•贵州遵义•模拟预测）已知。＞0活＞0,且"+»=1,则下列选项正确的是（）

A.abW—B.—H—25+2\/6.

24ab

C.的最大值为如D.6+妍工画

66

三、填空题

8.（2023高三・全国・专题练习）已知x+2y+3z+4〃+5y=30,求J-2/+3z?+4小+5/的最小值为

9.（2020•浙江温州・二模）已知实数尤丁满足（2》-»+4/=1,则2x+y的最大值为.

10.（2023高三♦全国•专题练习）求"力=收-3x+2+J2+3x-d的最大值为

四、解答题

11.（2020•江西•模拟预测）已知函数7（x）=1x-21+12.1-11.

（I）求不等式/（x）＜6的解集；

（2）若函数的最小值为“，且实数a,b满足。2+2=26,求为+4b的最大值.

12.（2024・四川•模拟预测）已知〃力,c均为正实数，且满足9a+40+4c=4.

⑴求的最小值:

a1(X)/?

(2)求证：9a2+b2+c2>—.

41

।8।

13.（2024•陕西安康•模拟预测）已知工，），，z均为正数，且一+一十一=|.

xyz

I—44

（1）证明：小丁之忑飞;

⑵求/+《+z2的最小值.

64

14.（2024.全国.模拟预测）已知九〃"均为正数，函数=+k-〃|+，的最小值为3.

（1）求2〃「+3〃2+6〃的最小值；

（2）求证：x/w7+nm+n2+\/n2+nt+r+小2+〃"+〃》＞—.

15.(2024•陕西•模拟预测)已知函数/*)=|2x+a+2|+2|x—切(a>0,b>0).

(1)当。=4,。=1时，解不等式/(幻<1。；

(2)若/*)的最小值为6,求武+。的最小值.

16.(2024・陕西榆林•模拟预测)己知函数/(司=k-2|+|21+4|.

(1)解不等式”力47；

(2)若正数4,',c满足〃+〃+c、=l,证明+G++卜+21

17.（2024•河北邯郸•模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就

是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设4,生，外，…，/，4,打,入，…,

bneR,（〃+嫉+…+〃；）W+Y+…+%“岫+92+…+〃也3当且仅当4=。（i=1,2,…）或存在一个数人

使得《=屹（/•=1,2,…川）时，等号成立.

（1）请你写出柯西不等式的二元形式；

（2）设。是棱长为人的正四面体A8C。内的任意一点，点。到四个面的距离分别为4、4、％、W，求d；+d：+d；+d：

的最小值；

（3）已知正数数列卜仆满足：①存在meR,使得（》=12…）；②对任意正整数i、j（川）,均有忖一%上壮丁

求证：对任意〃N4,〃wN'，恒有mNL

培优点01柯西不等式与权方和不等式

但题型梳理

题型方法

题型一柯西不等式

题型二权方和不等式

U知识清单一

知识点1柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

(a2+Z?2)(r+d2)>(«c+M)2(«,b,c,d®R,当且仅当时,等号成立).

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1Wa?+c2+#2|ac+勿(々,b,c,d£R,当且仅当4d=Ac时，等号成立).

(2N。?+c-2+/N|“c|+(a,b,c、d®R,当且仅当ad=5c时，等号成立).

(3)(a+〃)(c+d)2(，^+，^)2(a,b,c,d2O,当且仅当ad=hc时，等号成立).

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

|a/lW|a||四(当且仅当“是零向量，或存在实数女，使时，等号成立)

知识点2权方和不等式

1.二维形式：已知x,y,a,卜，则有(当且仅当x：y=《i:小时,等号成立).

於+1巳a)m+i

2.一般形式：设和岳仁R+(i=l,2,…，〃)，实数心0,则2.1,72(斐；1)7n'当且仅当言=胃=…=*

时等号成立.称之为权方和不等式.，〃为该不等式的和，它的特点是分子的幕比分母的基多一次.

Q题型方法

【题型一】柯西不等式

【例1】（2022•全国甲卷・高考真题）已知小b,。均为正数，且"+/+4/=3,证明：

（1）«+/?4-2c<3；

（2）若b=2c,则

ac

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）方法一：根据/+〃+4°2=/+/?2+（2。2,利用柯西木等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得0<a+4cK3,即可得到二-之?，再根据权方和不等式即可得证.

【详解】（1）［方法一］:【最优解】柯西不等式

2

由柯西不等式有［。+/+（2。）［（12+12+］2”（〃+/?+2c）2,

所以a+/）+2cW3,当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+8+2c43.

【方法二］：基本不等式

由/+〃22ab,b2+4c2>4bc,a2+4c2>4ac.（a+。+2c）2=a2+b2+4c2+2ab+4bc+4«c<3（^2+Z?2+4c2）=9,

当且仅当a=〃=2c=l时，取等号，所以a+b+2c、W3.

（2）证明：因为b=2c,a>0,b>0,c>0,由（1）得a+Z?+2c=a+4cW3,

即0va+4cW3,所以--->7，

a+4c3

由权方和不等式知t+Z之&1岂=_2_23，

aca4ca+4ca+4c

当且仅当上1=：?,即a=l,c=1：时取等号，

a4c2

所以，+，3.

ac

【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法.

解题技巧

掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法.

【举一反三】【变式1】（2024•全国•模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流

数''问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应

用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数q。，％'和〃1也也:，有

(片+嬉+雨)(6+区+员”(afy+〃乱+%乡)2等号成立当且仅当/=£=£已知V+y2+z2=14'.,请你用柯西不等式,

求出x+2)，+3z：的最大值是()

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【分析】利用柯西不等式求出即可.

【详解】由题干中柯西不等式可得(X+2)，+3Z)2«(Y+)，2+Z2)(12+22+32)=14X14=196,

所以x+2y+3z的最大值为14,当且仅当x=Ly=2,z=3时取等号.

故选：A

12

【变式2】(2021•浙江•模拟预测)己知正实数满足。+加=1,则上+：的最小值为______；2/十〃的最小值为

ab

2

【答案】9

【分析】第一空将士1+[2化为一1+27(=1-+27、(。+2加，然后利用均值不等式即可求出结果；第二空利用柯西不等式即可

ahabyab)

求得结果.

【详解】因为正实数满足。+»=1,

所以1+£平+讣"3)=5+%”25+2^^=9,

abyab)ba\ba

当且仅当£=2,〃=方=工时取到最小值,

ba3

由柯西不等式可知，1=a+2b=与®+2bs]g+472a?+卜2

当且仅当争=2缶,即时，等号成立,所以有小,奇.

2

故答案为：9；—

【变式3】(2024.四川德阳.模拟预测)已知/(x)=|2x-3|+|2x+l|.

⑴解不等式/(外40;

(2)若M为的最小值，设4(a+0+c)=M,求一二+二二十一1的最小值.

。+1b+2c+3

【答案】⑴[一2,3]

呜

【分析】(I)根据条件，利用零点分段法，即可求解；

(2)先求出了(幻的最小值，从而得到a+〃+c=l,再利用柯西不等式，即可求解.

【详解】(1)因为/(x)=|2x-3|+|2x+l[,由/*)£(),得到|2x-3|+|2x+l区10,即.r-：+K+：K5,

I31I

当xW—：时，原不等式等价于一x+]—x—得到一24x4—

133113

当一7<)<7时，原不等式等价于一工+；+工+745,得至"一套〈工<7，

222222

当3时，原不等式等价于工一39+X+1三£5,3得到三4x43,

2222

综上，不等式/(x)KI()的解集为[-2,3].

(2)g|^/(x)=|2x-3|+|2x+l|>|2x-3-(2x+l)|=4,

所以A1=4,得到a+Z?+c=l,

所以」-+—!—+—!—」(a+l+"2+c+3)(—!—+」一+」一卜为+1+=-,

1

a+\b+2c+37、\a+\b+2c+3)7、7

419119

当且仅当a+l=〃+2=c+3,即〃=c=—：时取等号，所以一1^^+一、的最小值为;.

333a4-1b+2c+37

【题型二】权方和不等式

【例2】(2024.吉林白山.一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其

表述如下:设正数j'。'满足%⑴噜'当且仅当产时'等号成立.则函数小)1+汽

的最小值为()

A.16B.25C.36D.49

【答案】D

【分析】根据权方和不等式，直接计算即nJ.

【详解】因为。，b,x,yt则《+£之鱼1生，当且仅当q=2时等号成立,

xyx+yxy

又0<x<］即l—3x>0,于是得/(x)=二+‘-20：4),

3'，3xl-3x3x+(l-3x)

1A

当且仅当即x=L时取，，=",

x1-3x7

所以函数的小)=%瑞(°<T)最小值为49.

故选：D

解题技巧

(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键.

⑵关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.

R1

(3)关于带根号的式子，将分子变为£次，分母为5次.

【举一反三】【变式I】(2024.四川.模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名

的.其具体内容为：设…―…，喀+『*++*(朦;:;:篝1,当且仅当

…优时，等号成立•根据权方和不等式，若小马当笠+£取得最小值时，x的值为()

57r

B.-D.

­6n

【答案】C

【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.

【详解】由题意得，siiir>0,cosx>0,

333

,36132P(3+1)2J

贝|J--+------=-----------+-----------2--------------------=4=8o,

sinXCOSX/.?/2\5-22

(sinx)2(cos〜xy\sin^x+cosx)2

当且仅当3=」一,即cosx=4时等号成立，所以x=g.

sin-xcosx23

故选：C.

【变式2】(2024•河南信阳•模拟预测)已知正数&〃满足〃+〃=!=+”!，则的最小值为.

【答案】V2

【分析】根据分离常量法可得“+〃_]+2+T，结合权方和不等式计算可得(。十八1)(。+"1"1,即(〃+〃尸之2,即可

2a+\2b+]

求解.

【详解】a>0,b>0t

a+h.=-a--+--l+--0--+--1=2-----------2-+2----------2-=1+-2+—2—

2a+l2b+l2a+\2b+\2a+\2b+\

1.回目

所以59I22II

a+b-\=——+――^------------=----------

2a+l2b+l2«+1+2Z>+1a+b+l

昱也

当且仅当下"_即〃=时等号成立,

24+1-2〃+1

所以(a+b-l)3+b+l)Nl,得3+”之2,

所以4+方之血或。+后-&(舍去)，

即4的最小值为

故答案为：收

【变式3】（2024・四川凉山•三模）已知函数/（x）=|l-2中国的最小值为4.

（1）求实数。的值；

1Q

⑵求五十六（x«0，a））的最小值.

【答案】⑴1

喈

【分析】（1）利用绝对值的三角不等式计算即可；

（2）法一、利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；法二、利用柯西不等式配凑即可；法三、利用权方和不等式计算

即可.

【详解】<1）/（X）=|1-2X|+|2X|>|1-2A+2^=1,

当。，6时取“=，，,

:.a=\；

|Q|x(2x+2-2x)=1fl7+2—2x32x

⑵法一：由⑴可知a=l,即原式—+==八2/2.2x2x+2-2x

>^x17+2.2-2工32x25

2xX2-2xT

当且仅当三三=二一,即4=5时取得等号,

2x2-2x5

iQOS

所以;4—J（xe（O，。））的最小值为《；

2ACI—x2

法二：由柯西不等式得

121

当且仅当三=匚，时,即时取得等号,

।Q9S

所以丁+---；（大€（。，。））的最小值为3；

/xaxz

法三：由权方和不等式得

原式上十上之。+4）=”,

2x2-2x2x+2-2x2

当—=-----即时取得等号,

2x2-2x

所以白Q75

——的最小值为

—X2

但好题必刷

一、单选题

1.（2023・浙江•一模）若sinx+cosy+sin（x+y）=2,则sinx的最小值是（）

A.0B.2-6C.3-y/lD.

【答案】C

【分析】先把已知整理成2-sinx=（sinx+l）cos），+cosxsi”的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到

关于sinx的一元二次不等式进行求解.

【详解】由已知sinx+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得

2-sinx=(sinx+l)cosy+cosxsiny,

由柯西不等式得

(sin%+1)cosy+cosxsiny<^(1+sinx)~+cos2x•yJcos'y+siiry=j2+2sinc，

当(sinx+1)siny=cosycosx时取等号，

所以(2-sinxp<2+2sinx,RPsin2x-6sinx+2<0,

解得3->/7<sinx<n所以sinx的最小值为3-J7•

故选：C.

2.(2021•江西•模拟预测)若正数〃满足〃?+〃+〃=4,且(〃/+叫〃〃?+(〃2+叫〃〃+(〃]2+〃2,即之痴〃”，则实

数义的取值范围为()

A.(—6]B.(f4]C.(-<x),12]D.(Y°,8]

【答案】D

■八j八、，“J+〃2P2+"/+"、C(W2+n2p2+772"/+/)/\TIE

【分析】不等式化为-------1----------------+---------------之冗，左边=----■!-------+----(/〃+〃+〃)，利用柯西不等式

pmn4p4m4〃J

求出最小值即可求解.

・、4p2+n2in2+p2、1,

【详解】不等式化为------+-------+-----J?"

p~2+n~2m~2+p~2\,、

左边=+------+-----—(〃?+〃+〃)

4/H4〃)v)

(zn+r)2+(m+pY\

>----------L+乂——L+\——U_(m+n+p)

8p8/n8/Z'7

>^(m+n+〃+〃+/〃+

=-x64=8,

8

所以2W8,

实数义的取值范围为(Y,8].

故选：D

3.(2020.浙江•模拟预测)对于c>0,当非零实数。、b满足4/一2曲+4/-c=0,且使|2a+g最大时，。-2+之的

abc

最小值为()

A.4B.gC.-2D.2

【答案】c

【分析】首先将等式4/一2。力+4/一c=0变形为£=（〃一2、+%,再由柯西不等式得到W+M2,分别用力表示。、

4I4；

345I

，，再代入到二LZ得到关于理二次函数，求得其最小值即可•

【详解】4〃2_2〃〃+4力2-0=0,：.-=(!2aM

42I4)i+曾

由柯西不等式可得叫+%

16

b715,

a——---bq

故当|2a+b|最大时，有一^=得一,则””，°=10从,

乖

345345121/1八一6

abc3b\ob22b2b力)，

—b'/

2

所以，当6=:1时，3三—4；十5三取得最小值一2.

2abc

故选：C.

【点睛】本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.

4.（24-25高一下•辽宁葫芦岛•阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的

应用，其表述如下：设。，b,x,y＞（）f则《+^之心也，当且仅当州=2时等号成立根据权方和不等式，函数

Xyx+yxy

/W="+泻的最小值为（）

x1-3A\3）

A.39B.52C.49D.36

【答案】B

【分析】根据权方和不等式的定义，将函数/（“变形为：〃x）=（+鼻+3,再根据权方和不等式求出最小值即可・

…q\3x+316916.32手

【详解】因为f(x)=----+----=—+----+3=—+——+3^<x<-,

vfx\-3x3xl-3x3xl-3xI3；

因为。<%vg,所以l-3x>。，3x>0,

根据权方和不等式有：2+上+3之C+4)-+3=52,

3xl-3x3x+1-3x

当且仅当?3二D4时，即x1时等号成立.

3xl-3x7

所以函数〃x)=3+罟[的最小值为52.

.X113)

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值.

二、多选题

5.(2021•江苏南通•三模)已知a,〃,c,deR,则下列不等式一定成立的是()

A.a2b，+c2d2>2abedB.a4+b4加

C.(ab+cd)2<(a2+c2)(b2+d2)D.y]a2+b2+y]c2+d2>yj(a-c)2+,](b-d)2

【答案】ABC

【分析】对于A：用基本不等式直接判断；

对于B：用作差法比较；

对于C：直接用柯西不等式判断；

对于D：取“=〃=c=4=0,排除.

【详解】对于A：由基本不等式可知标从+c%222外〃显然成立.故A正确；

对于B：因为a4--加=(〃-力了(/+〃〃+/)=(。-20，

所以a4+1/2a%+加.故B正确;

对于C：(9+S)24a2+巧仅2+/)为柯西不等式,显然成立.故C正确:

对于D：对于7«2+b2+\lc2+d2>[3-c)2+«b-d)2，取a=b=c="=0,则有yjcr+b2+Vc,2+d2=y](a-c)2+«b-d)2,

故D错误.

故选：ABC.

【点睛】证明不等式：

(1)作差法或作商法比较；

(2)根据式子结构利用基本不等式(柯西不等式)等证明；

(3)综合法、分析法、反证法等.

6.(2022•江苏连云港•模拟预测)已知。直线产x+2a与曲线>，=——方+】相切，则下列不等式一定成立的是

<)

121

A.ab<—B.—+9C.行行与D.G+&-

9ab

【答案】BCD

【分析】根据导数的几何意义得2〃+8=1,再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案.

【详解】设切点为(/，%),

因为旷=尸,所以ee=i,得题=1,

所以1+⑦=2-人，所以2a+〃=l,

对于A,l=2a+bN2麻,所以他4",当且仅当。时，等号成立，故A不正确；

对于B,3+?=(2+J)(2〃+b)=5+笠+学25+24=9,当且仅当[=0==时，等号成立，故B正确；

abanab3

对于C,777^=加+(1_2a尸=62_4.+1=』5(a一]+:/，当且仅当〃=£，8=:时，等号成立，故C正

VDDJJ。

确：

对于D,(G+折)24[(而)2+(折)2)(*尸+12=(2〃+与弓=5，

[7.2

所以小皿也,当且仅当西一了，又2a+〃=I,即。=公力=5时，等号成立.

2—63

2

故选：BCD

7.(2023・贵州遵义•模拟预测)已知。＞0力＞0,且%+»=1,则下列选项正确的是()

A.—B.-+->5+2>/6.

24ab

C.的最大值为亚D.C画

66

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式可判定A、B选项，利用排除法可判定C选项，利用柯西不等式可判定D选项.

【详解】由题意可得3〃+劝=122疯^=＞1?24必=＞而

24

当且仅当3a=2b=g时取得等号，即A正确；

-+-=（3«+2Mf-+-l=5+—+—>5+2>/6,

ab'b）ab

当且仅当J3〃=42b=J3—J2时取得等号，即B正确;

先证柯西不等式（田+分）2«（加+叫卜2+y2）,

设〃=。小〃），夕=（X,y）,p,q=0,

则pq-〃“+ny,p~=|p\~=m2+ir,q2=|t7|2=x2+y2,

所以（〃•疗=|•忖广•cos20<|p『•\qf=>（〃zt+町，丫<（m2+n2）（x2+y2）,

由柯西不等式可知：+M）+（V^）

=—（3tf+2Z））=—=>y/a+\fb<2^2.,

当且仅当冬匹后4即昨9T时取得等号，即D正碌

若。=0.02,则匕=0.47,此时〃+/,=0.49=必>如，故C错误.

66

故选：ABD

三、填空题

8.（2023高三•全国•专题练习）已知x+2y+3z+4〃+5y=30,求/-2/+3z:+4/+5，的最小值为

【答案】60

【分析】应用权方和不等式即可求解.

2c2.22<2-(2»(3Z)2(4〃『(5^

尸+2y~+3z~+4M~+5V'=——+-——+-————

12345

【详解】

(A-+2y+3z4-4w+5v)-3O2”

>-----:--------------=---=60

1+2+3+4+515

当且仅当工=》=2=〃=用时取等号

故答案为：60

9.（2020•浙江温州•二模）已知实数MV满足（2x—），『+4y2=l,则2x+y的最大值为.

【答案】a

【解析】直接利用柯西不等式得到答案.

【详解】根据柯西不等式：（2x—y）2+4y2=l之巨芳生1,故2x+yW&,

当2x—y=2y,即.丫=述.y=立时等号成立.

84

故答案为：72.

【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.

10.（2023高三・全国・专题练习）求/（x）=J/—3x+2+j2+3x—f的最大值为

【答案】2叵

【分析】根据权方和不等式直接求解即可.

「--------/---------T(x2-3x+2p(2+3x-x2p

/(x)=Vx2-3x+2+V2+3x-x2-----j~+-----；-—J

I-2\2

【详解】I

v(x2-3X+2+2+3X-X2)2$

~(1+1--

当且仅当V—3x+2=2+3x—F,即x=0或x=3时取等号

故答案为：2丘.

四、解答题

11.(202()・江西・模拟预测)已知函数f(x)=|x-2|+|2x-l|.

(I)求不等式/")<6的解集；

(2)若函数/⑴的最小值为加，且实数满足。+从=2次,求3a+4b的最大值.

【答案】⑴(-13)；(2)5G.

【分析】(1)首先将/(用写成分段函数的形式，然后解出即可；

(13

(2)首先求出/*)*=/-=-,然后利用柯西不等式求解即可.

1

-3,v+3,x4一

2

【详解】（1）/（A-）=|X-2|+|2A-1|=^+1,1<X<2,

3A-3,X>2

1|

〃x）<6等价于1万,或、万<'<2,或

-3x+3<6［x+l<6闪一'3<6'

解得或［<x<2,或2Wx<3.

22

故不等式/*）<6的解集为（-1,3）.

（2）由（1）知/*）在上单调递减，在［1+

8上单调递增,

Z

(13

所以/(X)min=/匕卜5,

则/+〃=3,3«+4/7<^(«2+/r)(32+42)=5>/3

(当且仅当〃=手，力=竽时取等号)，

即3。+46的最大值为5J3.

【点睛】本题考杳的是含绝对■值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

12.(2024.四川.模拟预测)已知名人。均为正实数，且满足9a+4〃+4c=4.

⑴求,+士-4。的最小值；

a1()0。

(2)求证：9«2+Z?2+C2>^.

41

【答案】⑴?

(2)证明见解析

【分析】(1)结合已知等式，将，+』一4c化为+++—4

,利用基本不等式，即可求得答案;

a100。\a)[100〃)

(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.

【详解】(1)因为内〃，c均为正实数，9a+4Z?+4c=4,

所以!--4c=，+—!—+9a+48-4=(，+9a]+]—+481-4

a100。a100/?{aJ(100万)

>2jlx9tz+2J—x4/?-4=—,当且仅当,

VaVOOb51二4b

〔100人

即〃=Y=\c=:时等号成立.

JJ

(2)证明：根据柯西不等式有(9/+/『+c2)(32+42+42"(9a+4〃+4c)2=16,

所以先吟.

当且仅当当=?=£,即〃=之/=。=当时等号成立，

3444141

即原命题得证.

|Q|

13.（2024.陕西安康•模拟预测）己知工N，z均为正数，且一+—+-=|.

xyz

[―44

（1）证明：6飞十升

⑵求/+匕+Z?的最小值.

64

【答案】（1）证明见解析

（2）27

【分析1（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明：

（2）首先由柯西不等式证明x+J+z29,再构造柯西不等式，求/+21+Z2的最小值.

o64

/、181144144

【详解】⑴因为“Z£（O,+孙所以丁丁二丁丁丁丁邛+万五，

v.441―44

当且仅当x=z='=4时等号成立，所以,工: