导数的概念及其意义【八大题型】-人教A版高中数学选择性必修第二册（解析版）

专题5.1导数的概念及其意义【八大题型】

【人教A版（2019）］

>题型梳理

【题型1瞬时速度、平均速度1.........................................................................................................................2

【题型2平均变化率、瞬时变化率】.............................................................3

【题型3利用导数的定义解题】.................................................................4

【题型4求曲线切线的斜率（倾斜角）】.........................................................6

【题型5已知切线（斜率）求参数】.............................................................7

【题型6求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程】.......................................9

【题型7函数图象与导函数的关系】............................................................10

【题型8两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】............................................13

A举一反三

【知识点1导数的概念】

i.瞬时速度

（1）平均速度

设物体的运动规律是s=s⑺，则物体在，。到"+△/这段时间内的平均速度为2>50°+T一

（2）瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当△，无限趋近于。时.，/无限趋近于某个常数V,我们就说当△/趋近于。时，令的极限

是，入这时V就是物体在i时的瞬时速度，即瞬时速度v=lim组=lim一$（，。）.

A/TOA/A/TO

2.抛物线切线的斜率

⑴抛物线割线的斜率

设二次函数），=危），则抛物线上过点尸o（右,/（x。））、P（x°+Aa/（x0+©））的割线的斜率为孚=

/（凡+Ax）—/（Xo）

（2）抛物线切线的斜率

一般地，在二次函数产/㈤中，当无限趋近于。时，图无限趋近于某个常数上我们就说当Ax趋

近于0时，会的极限是我，这时左就是抛物线在点凡G。，/*。））处切线的斜率，即切线的斜率气im0%=

lim/（X。+&）-））

△x

3.函数的平均变化率

函数平均变化率的定义

对于函数产心），设自变量x从几变化到xo+4x,相应地，函数值y就从.”。）变化到於W）.这时，x

的变化量为Ax,y的变化量为.我们把比值W，即W=/（.+,）一〃x。）叫做函数

）可>）从.“到x0+Ax的平均变化率.

【题型1瞬时速度、平均速度】

［例1］（23-24高二下•安徽合肥,期末）若质点A运动的位移S（单位：m）与时间£（单位：s；之间的函数

关系是SQ）=—久£>1）,那么该质点在t=3s时的瞬时速度和从t=1s到t=3s这两秒内的平均速度分别

为（）

2222r22门22

AA.——，一BD.一,一C.一,——D.一,一

39399393

【解题思路】利用瞬时速度u=limf=lim如管逊公式即可求得£=3s时的瞬时速度，利用物体在玲

△SOAtAt->0Atu

到力+4这段时间内的平均速度为郎=$&+噂-Sa）公式即可求得从£=人到£=3s这两秒内的平均速度.

（解答过程】竺=S（3+AC）-5（3）=晨湛=—I—,

AtAtAt3（3+At）

所以lim鬟=lim—^―==.即该质点在t=3s时的瞬时速度为［；

从亡二人到亡=3s这两秒内的平均速度为粤平=学=；；

3-1Z3

故选:D.

【变式1-1］（23-24高二下•福建厦门•期中）如果质点力运动的位移S（单位：m）与时间£（单位：s）之间

的函数关系是S（t）=-：，那么该质点在t=3s时的瞬时速度为：）

A2n2「2

A.—B.-C.—

339D・；

【解题思路】根据瞬时变化率的定义求解即可.

［解答过程］竺=S(3+△力—S⑶__2,

所以lim7-=lim［21=

△t-»0AtAt-»Ol3(3+Af)J9

故选:D.

【变式1-2］（23-24高二下.重庆.期中）某物体的运动方程为s⑴=4/+2（位移单位：m,时间单位：s）,

若「妈f*24m/s,则下列说法中正确的是（)

A.24m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.24m/s是物体从3s到（3+&）s这段时间内的速度

C.24m/s是物体在3s这•时刻的瞬时速度

D.24m/s是物体从3s到（3+上）s这段时间内的平均速度

【解题思路】根据瞬时速度的定义即可得解.

【解答过程】由u=lim$（3+,）T（3）=24m/s,

可知，24m/s是物体在.3s这一时刻的瞬时速度.

故选:C.

【变式1-3]（23-24高二下•江苏阶段练习）如果说某物体做直线运动的时间与距离满足s（£）=2（1-t）2,

则其在t=0.5时的瞬时速度为（）

A.4B.-4C.4.8D.-2

【解题思路】利用导数的定义/（n）=iimy/）即可求解.

Ax-*OAx

【解答过程】根据导数的定义可得，在£=0.5时的瞬时速度为

s(O.5+At)-s(0.5)_..2(1-0.5-At)2-2(1-O.5)2

故选：D.

【题型2平均变化率、瞬时变化率】

【例2】（23-24高二下•福建龙岩期中）若函数/（幻=/一，则函数外幻从％=1到无=3的平均变化率为

【解题思路】利用平均变化率的定义可得答案.

【解答过程】因为/■（%）=/-%,所以八1）="一i=o,”3）=32-3=6,

故函数/（幻从x=1到x=3的平均变化率为F=△弁艾=^=3.

△X3—12

故选：B.

【变式2・1】（23-24高二下•浙江嘉兴•期中）函数/（%）=/在％=2处的瞬时变化率为（）

A.-2B.2C.4D.-4

【解题思路】利用瞬时变化率的定义可求得结果.

△幻2

【解答过程】因为/(2+Ax)-/(2)_(2+2-4_4+4AX+(AX)-4=△%+2,

所以，函数/（%）=/在％=2处的瞬时变化率为尸（2）=lim

=lim（Ax4-4）=4.

故选：C.

【变式2-2］（23-24高二下•北京每淀•期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（）

A.y=x2B.y=x3C.y=Q）D.y=2X

【解题思路】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.

【解答过程】对于A,y=/在［_iQ］上的平均变化率为七二二一1,

。一（一1）

对于B,、=/在［_1,0］上的平均变化率为子?=1，

。一（T）

对于c,y=在［-1,0］上的平均变化率为肾W=-1,

\2/0一（—1）

对于D,y=2、在［-1,0］上的平均变化率为三二=；,

故）•=/在［-1,0］上的平均变化率最大，

故选：B.

【变式2-3］（23-24高三上・云南楚雄•期末）已知某容器的高度为20cm,现在向容器内注入液体，且容器

内液体的高度力（单位：cm）与时间/（单位：s）的函数关系式为h/当£=%时，液体上升高度

的瞬时变化率为3cm/s,则当t=t0+l时，液体上升高度的瞬时变化率为（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.10cm/s

【解题思路】利用导数的定义直接求得.

【解答过程】由九=、3+£2,求导得：h，=/+2t.

当£=to时，h'=tQ+2t0=3,解得to=1（£（）=-3舍去）.

故当t=%+1=2时，液体上升高度的瞬时变化率为22+2x2=8cm/s.

故选：C.

【题型3利用导数的定义解题】

【例3】（23.24高二下・河南・期中）若尸（2）=4,则1由卫空臂*=（）

'Ax-OAX

A.2B.4C.6D.8

【解题思路】根据导数的定义计算即可求解.

【解答过程】由题意知,尸（2）=4,

/(2+的-)(23)/(2+Ax)-/(2-⑺

则lim蛔)=2/'(2)=8.

Ax->0△X=22Ax

故选：D.

【变式3-1](23-24高二下•江西萍乡•期中)设/(x)在R上的导函数为尸(%)，若limy⑶=?,贝”，(3)=

△x-*0

()

A.-2B.2C.-6D.6

【解题思路】由已知结合导数定义即可求解.

【解答过程】由于lim“33尸，⑶=-Alim上空匕£22=-工〃⑶=2,则/⑶=-6.

Ax-»O3Ax3-^x3)\/，\，

故选：C.

【变式3-2](23-24高二下.河北保定.期末)若曲线y=/(%)在x=l处的切线的斜率为一3,则

lim"DRW)=()

△XTOAX

A.-6B.--C.-D.6

22

【解题思路】根据导数的定义和性质即可求解.

【解答过程】lim/⑴-八1+2△幻=_2iim/⑴一八1+2△幻=一2/(1)=6,

△x-oAXAXTO-2AX

故选：D.

【变式3-3](23-24高二下.甘肃兰州.期中)若/■(%)=lnx+%3,则的吗”型=()

7Ax-tO2Ax

A.IB.2C.-D.8

2

【解题思路】利用导数定义和导数的计算法则求出尸(1),即可得出结果.

【解答过程】根据导数的定义可得】im/("：?寸⑴=:]而八1+—)-/(1)="⑴,

△x-*o2AX2AXTOAX2’

由/(%)=Inx+%3可得，(%)=：+3/,

可得三广(1)=2(1+3x12)=2,即lim/(1+3一"1)=2.

J

22\1/Ax-»O2Ax

故选：B.

【知识点2导数的几何意义】

1.函数在某点处的导数的几何意义

(1)切线的定义

在曲线产/5)上任取一点P(xfix)),如果当点P(xJU))沿着曲线产兀6无限趋近于点Po/o*右))时，割线

几P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线产。7(7是直线几丁上的一点)称为曲线产心)在点几处

的切线Xo.

(2)函数在某点处的导数的几何意义

函数产/㈤在石八处的导数/（X。）就是切线尸"的斜率左。，即心=1im/（工。+1）―/（斯）=/（%）.这

&K―0ZxX

就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y—/（丸）=/"&。）（x-x。）.

2.导函数的定义

从求函数尸及1）在尸X。处导数的过程可以看到，当kX。时.，/*0）是一个唯一确定的数.这样，当X变化

时，产/（X）就是X的函数，我们称它为¥=外）的导函数（简称导数）.）弓㈤的导函数有时也记作y,即/（X尸y';lim

Ar->0

/（Xo+AY）-/（XO）

~^x•

【题型4求曲线切线的斜率（倾斜角）】

[ft4]（23-24高二下.湖北武汉.期末）设/（x）是可导函数，且点=2,则/（》）在x=1处的

切线的斜率等于（）

A.2B.-C.-1D.-2

3

【解题思路】根据条件得到尸（1）=|,再利用导数的几何意义，即可求出结果.

【解答过程】因为lim八"3『）-'⑴=2,所以/（1）=1皿；同，（.产一/⑴二

△x—Ohx'、'3Ax3Ax^O3

由导数的几何意义知，/（%）在x=1处的切线的斜率为3

故选：B.

【变式4-1]（23-24高二下•全国裸后作业）曲线/（切=g在点（3,3）处的切线的倾斜角a等于（)

A.45°B.60°C.135°D.120°

【解题思路】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案.

【解答过程】f'M=㈣生*=9妈好=—9lim/1

AYTO(X+AX)AX

所以/"（3）=-1.又切线的倾斜角a的范围为0°WaW1800,所以所求倾斜角为135。.

故选：C.

【变式4-2]（23-24高二下•河南南阳•期中）函数y的图象如图所示，下列关系正确的是（）

A.0<r(4)<r(5)</(5)-/(4)

B.0<r(4)</(5)-/-(4)<f(5)

c.0<f(5)</(5)-/(4)<r(4)

D.0</(5)-/(4)<r(5)<f(4)

【解题思路】根据题意，分析/''(4),/(5)和/(5)-/(4)的几何意义，结合图象分析可得答案.

【解答过程】根据题意/'(4)的几何意义为y=f(x)在点B处切线的斜率，

f'6)的几何意义为y=f(幻在点A处切线的斜率，

，其几何意义为割线AB的斜率，

/(5)-/(4)=小5二—4⑷

则有f'(5)Vf(5)-f(4)Vf，(4).

故选：C.

【变式4-3](23・24高二下•广东中山•阶段练习)设/(%)为可导函数，且满足岫了⑶=2,则曲线

y=/(均在点(3/(3))处的切线的斜率是()

A.6B.2C.3D.I

【解题思路】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可.

【解答过程】由题意，lim/(3+A*)-/(3)=，./(3+AX)-/(3)=

△x-»034x3Ax-»O&X

即#'(3)=2,故/(3)=6,即曲线y=f(x)在点(3,/(3))处的叨线的斜率是6.

故选：A.

【题型5已知切线(斜率)求参数】

【例5】(2024.山西.模拟预测)已知函数/'(%)=(%—a)(x—2)(%-3)(%-4),若/(%)的图象在％=2处的

切线方程为y=6x+b,则Q+b=()

A.-11B.-12C.-13D.-14

【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可.

【解答过程】由题意知f(2)=(2-a)X(2-Z)X(2-3)X(Z-4)=0,

所以0=6X2+/),解得8=—12,

又/'(%)=(X—Q)(X-3)(%—4)+(无一2)[(x-a)(无-3)(x-4)]\

所以r(2)=(2-a)x(2-3)x(2-4)=6,解得a=-1,所以a+Z?=-1+(-12)=-13.

故选:C.

【变式5-1](23-24高二下•福建宁德・期末)已知函数/Xx)在点》=一1处的切线方程为x+y-l=O,则

r（-i）+/（-i）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【解题思路】由切线的几何意义得，（-1）,将％=-1代入切线方程得/'（-1）,从而得解.

【解答过程】由切线方程x+y—l=O,得/（一1）=攵=一1,

将x=-1代入切线方程％+y-1=0,得y=2,所以/（一1）=2,

故选：C.

【变式5-2]（23-24高三上•辽宁葫芦岛•期末）已知直线、=QX-1与曲线丫=等相切，则a的值为（）

A.1B.-C.上阿D.2e2

e4

【解题思路】设切点为（加,%）,再根据切点在直线与切线上，导数的几何意义列式求解即可.

先=ax-l

01-Inx。_]

丫。=詈，故y。-

x。

lnx0

yo=V

（福

1-111X0—1,则21n%（）4-x-1=0.

xo0

易得函数/（%）=25工+工一1为增函数，且/（1）=0,故沏=1.

故选:A.

【变式5-3]（23-24高二上.江苏.课前预习）若直线y=；X+b是曲线y=lnx（x>0）的一条切线，则实

数》的值为（）

A.4B.In4+1

C.In4-1D.In4

【解题思路】先求得曲线的导函数，由导函数几何意义及直线方程可求得切点坐标，再代入直线方程即可

求得人的值.

【解答过程】Vy=In无的导数十=%J令：=%得％=4,・•・力点为（4,ln4）.

代入直线y=(x+b,得In4=；x4+b,即b=ln4—1.

故选：C.

【题型6求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程】

【例6】(23-24高二下•甘肃临夏・期末)曲线y=lnx在点(e,l)处的切线方程为()

A.y=ex—2B.y=C.y=ex—e2+1D.y=^x+1

【解题思路】由题意，对函数y=InX进行求导，得到y'|x=e=(求出切线方程；

【解答过程】已知y=lnx,函数定义域为(0,+8),

可得V=%

z

此时y|x=e=-»

所以曲线y=Inx在点(e,1)处的切线方程为y-1=(x-e),

即y=)；

故选：B.

【变式6-1](24-25高三上・湖南永州•开学考试)函数/a)=Y+lnx在点(1,1)处的切线方程是()

A.3x—y-2=0B.2x—y-2=0

C.3x+y-2=0D.2x+y-2=0

【解题思路】对/(“)求导，得到ra)=2%+：,从而有尸(i)=3,再利用导数的儿何意义，即可求解.

【解答过程】由/(%)=/+inx,得到/(%)=2%+%所以r(D=2+1=3,

所以/(%)=x2+Inx在点(1,1)处的切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0,

故选：A.

【变式6-2](2024•新疆•二模)过点(1,4)且与曲线/(%)=/+%+2相切的直线方程为()

A.4x-y=0B.7x-4y+9=0

C.4%—y=0或7%-4y+9=0D.4x—y=0或4x—7y+24=0

【解题思路】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.

【解答过程】设过点(1,4)的曲线y=/(无)的切线为：l：y-y0=(3就+1)(无一出)，

“(3/+1)(1-x0)=4-y0

(尢=就+/+2

解喘":二？

代入，可得4%—y=0或7%—4y+9=0.

故选：c.

【变式6-3](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知函数/(%)=%2/，6)+1g一9,则函数在％=1处的切线

方程是()

o79q47

A.y=-x—9B.y=19x—19C.y=19x---D.y=-x—

z2/J2z22

【解题思路】对/a)求导，注意广(5是常数，令弋入导函数中，可求得/•’©),进而可求广(i)j(i),

可得/(%)在X=1处的切线方程.

【解答过程】•••/'a)=2/C)x+L令x=3可得/(；)=9,

*5X«5*5

:./(I)=94-0-9=0,(⑴=19,

所以/(%)在x=1处的切线方程为y=19x-19.

故选：B.

【题型7函数图象与导函数的关系】

【例7】(23-24高二下•吉林•阶段练习)已知函数/(%)的部分图象如图所示，尸(口为/(幻的导函数，则

A.f⑴-/(0)>一⑴>片0)B.r(l)>ff(0)>/(l)-/(0)

c.r(o)>fw-/(o)>rmD.r(i)>/(i)-r(o)>/(o)

【解题思路】直接由导数的几何意义结合函数图象即可求解.

【解答过程】由导数的几何意义可知，/(0)表示曲线y=/(幻右》=0处的切线斜率，

((1)表示曲线y=/(%)在工=1处的切线斜率，

笔型表示(0,/(0)),(1,f(1))两点连线的斜率，

由图可知，当x从0变化到1时，/'(X)切线斜率越来越大，

所以尸(l)>f(l)-f(0)>『(0),对比选项可知,D正确.

故选：D.

【变式7-1](23-24高二下.新疆乌鲁木齐•期中)函数f3)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()

A.u<r（i）<m</（z）-/（i）B.u<r（z）</（z）-/（i）<r（i）

c.o<f（2）<fd）<7（2）-/（I）D.0<f⑵-/（1）<f（l）<f（2）

【解题思路】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到.

【解答过程】

如图，设函数/（幻的图象上有两点4（1J（1））,8（2J（2））,经过点48的切线分别为

则直线为8,匕,％的斜率依次为七8="2,⑴=/（2）-A1）,klA==r（2）,

aa

由图知直线48,%,电的倾斜角©18,%，/满足，0<<AB<iA<p

因函数y=tanx在（0弓）上递增，故0Vtana/fi<tana^g<tana〃，

即0V尸⑵Vf⑵-f⑴〈1（1）.

故选：B.

【变式7-2］（2024•福建泉州•模拟预测）如图是函数/（幻的部分图象，记/（幻的导数为广（无），则下列选项

中值最大的是（）

A./⑶B.3r(3)C./•(-14)D.厂(8)

【解题思路】由函数/(%)的图象，结合导数的几何意义，即可判断.

【解答过程】

由图可知，由-14),((8)为负数,/(3),3/(3)为正数，故不选八一14),广(8),

设/(%)在x=3处的点为4显然。4的斜率大于r(3),

则喏2>/(3)，可转化为/'(3)〉3尸⑶,

所以/(3)的值最大.

故选：A.

【变式7-3](23-24高二下.江西上饶.阶段练习)函数/"(%)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()

A.r(i)>r(2)>r(3)>oB.((1)<r(2)<一⑶<o

C.0V.(1)V尸(2)〈尸(3)D.0>f(l)>/,(2)>//(3)

【解题思路】作曲线在点(2,f(2)),(3J(3))处的切线，结合导数的几何意义比较

尸(1),尸(2),((3),0的大小，可得结论.

【解答过程】作曲线在点(1,/(I)),(2/(2)),(3,八3))处的切线，记其斜率依次为自,心，的，

结合图象可得0>kx>k2>k3,

由导数的几何意义可得七二/(1),七=/(2),自=/(3)，

所以0>尸(1)>((2)>尸(3).

故选：D.

【题型8两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题】

【例8】(23-24高二下•安徽合肥•期中)若曲线y=%2一。]悭在点p(ij)处的切线与直线＞=X一2垂直，则

实数"的值为()

A.1B.V5C.2D.3

【脩题思路】求导/=ylx=i=2-。与直线y=x—2垂直，求出a的值.

【解答过程】由y=/一QEX,求导V=2x

2

则:y=x-alnx在点P(l,l)处的切线的斜率为y'|X=1=2-a,

而y=/-alnx在点P(l,l)处的切线与直线y=x-2垂直，

则2-Q=-1,故Q=3.

故选：D.

【变式8-1](23-24高二下.湖北•期中)若直线x+y+a=0是曲线f(%)=/+成一14与曲线g(x)=x2-

31nx的公切线，则a—b=()

A.26B.23C.15D.11

【解题思路】先由9(%)=/-31.，利用切线斜率为・1求得切点，再将切点代入切线方程求得〃，然后设

切线与/■(%)的切点为(£,/+尻-14),利用切线斜率为-1和切点在切线上求解.

【解答过程】解：因为次幻=/一3加，

所以g'(x)=2x-p由2%-；T,解得x=1或x=(舍去)，

所以切点为(1,1),

因为切点在切线x+y+Q=0上，解得a=-2,

所以切线方程为x+y-2=0,

广⑺=3%2+力设切点为/+机—14),

由题意得L+J：；?二'J解得七二？

所以Q-b=11,

故选：D.

【变式8-2](23-24高二下•陕西汉中•期中)已知