湘教八年级数学下册一课一练-正方形的判定 同步练习

第2章四边形

2.7正方形

第2课时正方形的判定

基础过关全练

知识点2正方形的判定

1.已知四边形ABC。是平行四边形，从①AB=BC,②NABC=90。，@AC=BDf④四

个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形ABC。是正方形，现有下列四种选法，其中错

误的是()

A.①②B.②③C.®®D.②④

2.如图，在矩形A8CO内有一点E8尸与C尸分别平分NA3C和N3CO,点E为矩形A8CO

外一点，连接BE,CE现添加下列条件：①EB〃CF,CE//BF；②BE=CE,BE=BF；③BE)

CF,CEA.BE；④BE=CE,CE//BF,其中能判定四边形BEC厂是正方形的条件有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，△ABC中，ZACB=90°,CD平分NAC3,DELBC,DF±AC,垂足分别是E,F.请

猜测：四边形CEDE是什么特殊的四边形，并证明你的结论.

4.如图，AQ是△ABC的角平分线，DFLAC,垂足分别是石、F,连接EREF与

AD交于点H.

(1)求证：ADLEF.

(2QA3C满足什么条件时，四边形AE3尸是正方形?并说明理由.

5.如图，在矩形A8c。中，点E,£分别在A8,BC边上,DE=AF,。从LA产于点G.

⑴求证：四边形A8CZ）是正方形；

⑵延长CB到点”，使得BH=AE,连接AH,判断△人”厂的形状，并说明理由.

能力提升全练

6.（2022重庆中考A卷）如图，在正方形ABC。中，AE平分N8AC交8C于点E,点、F是边

A6上一点，连接OF,若密AF,则NC。/的度数为（)

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

7.（2022广西柳州柳江期中汝」图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点。在CG上，已知8。=1,

CE=7,点〃是Ab的中点，则CH的长是（）

A.5B.3.5C.4D.VB

8.（2022浙江宁波中考）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图所示的方式

不重叠地放置在矩形A8CZ）内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分

的面积，则一定能求出（）

A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积

C.ABEF的面积D.AAEH的面积

9.（2022湖南张家界永定民族中学期中）己知正方形的一条对角线长为4cm,则它的面积是

________cm2.

10.（2022湖南常德澧县期中）如图，在中，ZBAC=90°,AB=AC,过点八作边BC的垂

线A厂交。C的延长线于点&点尸是垂足，连接8£、DF,。尸交AC于点。.下列结论：①

四边形A8EC是正方形；®DE=\[2BC\③SACFD=SXBEF,其中正确的结论为.（填序号）

11.（2022湖南邵阳中考）如图，在菱形ABCO中，对角线AC,8。相交于点。，点E,尸在对

角线8。上，且产，OE=OA.

求证：四边形4EC尸是正方形.

D

12.（2022湖南娄底双峰期中）如图，在△ABC中，NBAO90。，NB4C的平分线交BC于点O,

DE〃AB,DF//AC.

⑴求证：四边形AFDE为正方形；

⑵若AZ）=2，L求四边形4双汨的面积.

13.（2022贵州遵义中考）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示的方式摆放，顶点D与

顶点，重合，菱形EFG”的对角线〃厂经过点&点E,G分别在AB,BC±.

(1)求证：AADEWACDG；

⑵若AE=BE=2,求"的长.

素养探究全练

14.如图①所示，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在

一起，现正方形48CD保持不动，将三角尺GE/7绕斜边石尸的中点。（点。也是8。的中点）

按顺时针方向旋转.

⑴如图②所示，当EF与相交于点M,G尸与8。相交于点N时，通过观察或测量8M,

用的长度，猜想AM,FN满足的数量关系，并证明你的猜想.

⑵若三角尺GE6旋转到图③的位置，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD

的延长线与G/的延长线相交于点N,此时，（1）中的猜想还成立吗?若成立，请证明；若不成

立，请说明理由.

图①图②图③

第2章四边形

2.7正方形

第2课时正方形的判定

答案全解全析

基础过关全练

l.BA.由①4展BC,②N4BC=90何以推出平行四边形ABCD是正方形;B.由②NABC=90。，

③AC=8。不能推出平行四边形ABC。是正方形；C.由①③AC=8。可以推出平行四

边形ABCQ是正方形；

D.由②NA8G90。，④ACJ_8O可以推出平行四边形ABCD是正方形.故选B.

2.D•・•四边形A3CO是矩形，.・・NDC8=NA8C=90。，与C”分别平分NA3C和N3CO,

.\ZFBC=-Z/1BC=45O,NFCB』NDCB=450,

22

:"FCB=/FBC,:・CF=BF,ZF=180o-45°-45o=90°.

①♦:EB〃CF,C七〃5F,.••四边形3ECR是平行四边形，・・・CF=3凡.••四边形BECF是菱形，

•・・NF=90。，J四边形BECE是正方形，故①符合题意；

②•；BE=CE,BE=BF,CF=BF,：.BF=CF=CE=BE,二四边形BEC厂是菱形，VZF=90°,

四边形8EC尸是正方形，故②符合题意；

③YBE//CF,CE1BE,：.CFLCE,：.ZFCE=ZE=ZF=90°fJ四边形8£C/是矩形，;

BF=CF,・・・四边形8ECT是正方形，故③符合题意；

④VCE〃BF,/FBC=45。,ZF=90°,/.ZECB=45°,ZFCE=90°,•:BE=CE,：.ZEBC=Z

ECB=45°,AZE=90°,：.ZFCE=ZE=ZF=90°f，四边形BECF是矩形，•:BF=CF,・••四

边形BEC尸是正方形，故④符合题意.

综上，能判定四边形AEC尸是正方形的条件有4个，故选D.

3.解析四边形CFQE是正方形.

证明：VD^IBC,DF1AC,：・/CFD=/CED=9U。,又/ACB=90。,

・•・四边形CbOE是矩形，：.AC//DE,：.ZACD=ZCDE,

•••CO平分NAC3,AZACD=ZBCD,:・/BCD=/CDE,:・CE=DE,

・•・四边形CFDE是正方形.

4.解析（1）证明：・・・A。是AABC的角平分线，

:・/EAD=/FAD,

,：DE\AH.DFAAC,:・/AED=/AFD=90。.

'□□□□=□□□□,

在△AED与△AH）中，□□□□=□□□□,

:.AAED^AAFD（AAS）,

：.AE=AF,DE=DF,：.AD±EF.

⑵当aABC中NR4G90。时，四边形AE£＞厂是正方形.

理由：VZAED=ZAFD=ZBAC=90°f

・•・四边形A£7）尸是矩形，

VEF1AD,・•・矩形AEDF是正方形.

5.解析（1）证明：・.•四边形48co是矩形，

・・・NZM8=N/WC=90。，

：.ZBAF+ZDAF=9Q°fVDE±AF,/.ZAGD=90°,

：.ZADE+ZDAF=9Q°f

：・/ADE=NBAF,，：DE=AF,

•••△AQE丝△BAR：.AD=AB,

・•・四边形A8CO是正方形.

（2必A”/是等腰三角形.

理由：由（1）知，△ADE^/\BAF,：.AE=BF,

•；BH=AE,：.BH=BF,

VZABH=90Q,：.AH=AF,.二〃尸是等腰三角形.

能力提升全练

6.C・・・四边形ABCD是正方形，

：.AD=BA,ZDAF=ZABE=ZADC=90°i

N8AC=N0AO45。，

‘□口=□□，

在△OAF和石中，□□□□=□□□□,

,□□=□□，

.,.△DAF^A/4^E（SAS）,，/ADF=NBAE,

•・・AE平分NBAC,

：.ZBAE=-ZBAC=22.5°,

2

：.NA。尸=22.5。，JNCDF=NADC-NADF=90°-22.50=67.5。.

7.A四边形4/?。。和四边形。打'G是正方形.

：.AB=BC=\fCE=EF=7,ZE=90°,

如图，延长A。交石户于M,则AMJ_EK连接AC、CF,

则AM=BE=BC+CE=1+7=8,FM=EF-EM=EF-AB=1-1=6,N/1M尸=90。,

易知NACO二NGC户=45。，AZACF=90°,

•・•〃为A厂的中点，

：.CH=-AF,在RSAM”中，由勾股定理得AQA/BFT'EB7=府了不=10,

2

:・CH=5,故选A.

8.C如图，设P£>=x,GH=yf则P〃=x-），,

・・•矩形纸片和正方形纸片的周长相等，

2AP+2(x-y)=4x,AP=x+yf

.••图中阴影部分的面积=S地形ABC>2SAADH-2SAAEB

=(2x+y)(2r-y)-2x：(x-y)(2i+y)-2xJ(2x-))x

=4x1-y1-(2x1+xy-2xy-y1)-(2x2-xy)

=4x2-y2-2x1+xy+y1-2x2+xyf=2xy.

A.正方形纸片的面积=f；B.四边形EFGH的面积=/；c.ABEF的面积三•口门•FIFI=¥y；

DZAEH的面积」•□□­□=，（片y）=；□□-故一定能求出△BEF的面积，故选C.

2

9.8

解析设这个正方形的边长为xcm,则『十f=42,解得户26（负值舍去），则这个正方形的面

积是(26)2=8cm2.

10.①@@

解析®VZBAC=90°,AB=AC,AFkBC,

:・BF=CF,二,四边形A8CO是平行四边形，

：.AB//DE,

：.ZBAF=ZCEF,,:ZAFB=ZCFE,

.,.△/1BF^AECF（AAS）,

：.AB=CE,・・・四边形4BEC是平行四边形，

VZ^C=90°,A8=AC,

・・・四边形ABEC是正方形，故结论①正确；

②易知AB=CD二EC,：.DE=2AB,

VAB=AC,ZBAC=90°,

：.AB=^BC,ADE=2x—□n=A/5BC,故结论②正确；③易知AF二E凡BF=CR.・.SABELSACEF,

22

•：CE=CD,:&CE尸SACDF,：&CF卡SABEF,故结论③正确.综上，正确的结论为①②③.

1L证明•・•四边形43co是菱形，：.ACLBD,OA=OC,OB=OD,

•；BE=DF,；.0E=0F,

・•・四边形AEb是菱形.

・.,0E=0A,：.0E=0F=0A=0C,:・EF=AC,

・♦•菱形4反尸是正方形.

12.解析（1）证明：YDE//AB,DF//AC,

・・・四边形4尸。石是平行四边形.

TA。平分N84C,AZFAD=ZEAD.

a：DE//AB,：.ZEDA=ZFAD.

：.ZEDA=ZEAD.：.AE=DE.：.四边形AFDE是菱形.

・・・/B4C=90。，・•・四边形A/X陀是正方形.

⑵;四边形人尸。石是正方形，AD=2瓜

：.AF=DF=DE=AE=2,

・•・四边形AFDE的面积为2x2=4.

13.解析（1）证明：・・•四边形A8CO是正方形，四边形"EFG是菱形，

:・AD=CD,ED=GD,/ADB=NCDB,/EHB=/GHB,

:.ZADB-ZEHB=ZCDB-ZGHB,NADE=NCDG,

在△AQE和△CQG中，口□□口=口□□口

:.△AOE/△CDG(SAS).

(2)如图，过石作EQ_LOE于Q,则NEQ3=9()。，

A