高中数学 第1课时 棱柱、棱锥、棱台

第八章立体几何初步

§8.1基本立体图形

第1课时棱柱、棱锥、棱台

【学习目标】1.通过对实物模型的观察，归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征2理解棱柱、棱锥、棱台之

间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.

【导语】

同学们，想象一下：摩天大楼的笔直立柱、埃及金字塔的恢弘尖顶、现代建筑中阶梯状的露台……这些看

似千姿百态的几何造型，其实都蕴含着数学的奥秘！今天，我们将走进一类由多边形“编织”而成的空间

图形家族——棱柱、棱锥、棱台.

它们是立体几何的“骨架”，用棱角分明的面、棱、顶点构建出无数现实与想象的形体.棱柱有像传送带般

无限延伸的平行底面，棱锥有似山峰般向顶点汇聚的侧棱，棱台有如同棱锥被“裁剪”后留下的阶梯状截

面……这些图形不仅在建筑、艺术中随处可见，更是探索空间几何性质、计算体积与表面积的基石.

思考一下：

•你的身边有哪些棱柱、棱锥、棱台的实例？

•它们的面、棱、顶点有何规律？

•棱柱如何“变形”为棱台？棱锥与棱台之间又隐藏着怎样的联系？

让我们从直观观察出发，揭开这些多面体的几何密码，开启一场空间思维的奇妙旅程！

一、空间几何体的相关概念

问题1观察下列物体，我们常把这些物体的形状叫什么？它们的形状有什么特征？

C<@•

阳

i八

提示长方体，正方体，棱锥，多面体，球，圆柱，圆锥，圆台；前四个几何体都是由平面图形围成的,

后四个不全是平面图形围成的，有些面是曲面.

知识梳理

1.空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的星回

图形就叫做空间几何体.

2.空间几何体的分类及相关概念

类别多面体旋转体

一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的

由若干个平面多边形围成的儿

定义一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，

何体叫做多面体

封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体

轴一

图形

及表餐

示

F澎i

面：围成多面体的各个多边形

相关

棱：两个面的公共边轴：形成旋转体所绕的定直线

概念

顶点：棱与棱的公共点

例1（多选）下列说法正确的是（）

A.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体

B.一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面

C.旋转体的轴只有一条

D.我们的数学课本平放就可以看作多面体

答案ABD

解析根据多面体的定义知，选项A正确；根据旋转面的定义知，选项B正确；球有无数条旋转轴，选项

C错误；我们的数学课本平放就可以看作多面体，选项D正确.

反思感悟（1）多面体与旋转体都是封闭的几何体.

（2）多面体的所有面都是多边形；旋转体的侧面是曲线形成的旋转曲面，底面是圆.

跟踪训练1（多选）下列物体中属于多面体的有（）

A.篮球B.建筑用的方砖

C.电冰箱D.埃及的金字塔

答案BCD

解析对于A选项，篮球是旋转体；对于B选项，建筑用的方砖是由几个平面多边形围成的几何体，属于

多面体；对于C选项，电冰箱为长方体，属于多面体；对于D选项，埃及的金字塔是由几个平面多边形围

成的几何体，属于多面体.

二、棱柱的结构特征

问题2观察图中的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？

提示它的每个面都是平行四边形（矩形），并且相对的两个面，给我们以平行的形象，如同教室的地面和

天花板一样.

知识梳理

1.棱柱的定义、图形及相关概念

棱柱

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,

定义并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,

由这些面所围成的多面体叫做棱柱

图形及：:〉底面

侧棱/虫&

表示

A夕顶点

如图可记作：棱柱ABCDEF-ABC'D'E'F'

底面：两个互相平行的面

相关侧面：其余各面

概念侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与底面的公共顶点

2.棱柱的分类及特殊棱柱

（1）按底面多边形的边数,可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的楂柱.（如图①③）

⑶斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.（如图②④）

（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.（如图③）

（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱村"（如图④）

例2下列命题中正确的是（）

A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱

C.底面是矩形的平行六面体是长方体

D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

答案D

解析对于A,如图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但

它不是棱柱，故A错误；

对于B,底面是正方形且左右两个侧面是矩形但不与底面垂直的棱柱，不是正四棱柱，故B错误；

对于C,底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故C错误；

对于D,由棱柱的定义可知D正确.

反思感悟棱柱结构的辨析方法

(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义.

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每

相邻两个四边形的公共边是否平行.

(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.

跟踪训练2如图所示，在长方体ABCQ-AIiG。中，M,N分别为棱4囱，的中点.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是儿棱柱？为什么？

(2)用平面8CNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并

用符号表示；如果不是，请说明理由.

解(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，

且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.

(2)是棱柱，截面8CNM右上方部分是三棱柱8SM-CGM左下方部分是四棱柱A8M4-DCW。.

三、棱推、棱台的结构特征

问题3图中的多面体具有怎样的特点？

提示通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形,

其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.

问题4如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截得的两部分几何体是什么样的几何体？

提示上部分是棱锥，下部分是棱台.

知识梳理

1.(1)棱锥的定义、图形及相关概念

棱锥

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公担螳的三角形，由这些面所

定义

围成的多面体叫做棱锥

K顶点

三侧棱/N侧面C

图形及

表示

如图可记作：棱锥S—A8C。

底面：多边形面

相关侧面：有公共顶点的各个三角形面

概念侧棱：相邻恻面的公共边

顶点：各侧面的公共顶点

(2)棱台的定义、图形及相关概念

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体叫做

定义

棱台

K

4辟R车.底面

图形及侧面将里^侧棱

表示市七*F底面

顶点B

如图可记作：棱台ABCD—A'BCD'

上底面：原棱锥的截面

下底面：原楂锥的底面

相关

侧面：其余各面

概令

“侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点

2.棱锥、棱台的分类

⑴按底面多边形的边数,棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

特殊地，底面是出多边形,并且顶点与底面空必的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.

(2)棱台的分类

依据：由几棱锥截得.

举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……

特殊地，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

3.空间四边形、四面体、正四面体的概念

(1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形.

(2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥.

(3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体.

注意点：

(1)正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥未必是正四面体.

(2)楂台可还原为棱锥，即延长楼台的所有侧棱，它们必相交于同一点.

例3(课本例1)将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，核柱，棱锥，棱

台，直棱柱，四面体，平行六面体.

解如图所示.

例3(多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的有()

A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫做棱台

B.棱台的侧面一定不会是平行四边形

C.棱锥的侧面只能是三角形

D.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥

答案BCD

解析A错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;

B正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

C正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

D正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.

反思感悟判断棱锥、棱台形状的两种方法

⑴直接法

棱锥棱台

定底面多边形面即为底面两个互相平行的而，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

(2)举反例法

结合极锥、棱台的定义，通过举反例判断某些关于棱锥、棱台的结构特征的说法不正确.

跟踪训练3棱台不具有的性质是()

A.两底面相似

B.侧面都是梯形

C.侧棱长都相等

D.侧棱延长后相交于一点

答案C

解析由俊台的概念(棱台的产生过程)可知A,B,D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.

四、多面体的展开图

例4如图，已知正三棱柱48。小以©的底面边长为2。111,高为5cm,一质点自A点出发，沿着三

棱柱的侧面绕行一周到达4点的最短路线的长为cm.

4千M1s

答案vn

解析如图所示，沿着正三棱柱ABGA山Ci的侧棱剪开，把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得

一个长为3X2=6(cm),宽为5cm的矩形，所求最短路线即为矩形的对角线，长为标由二闹(cm),即

最短路线的长为/而cm.

反思感悟空间几何体的展开图

（1）立体几何中的翻折（展开）问题的关键是找翻折（展开）过程中的不变量；

（2）立沐几何中求距离最值的一般处理方式：通过住竟关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值.

跟踪训练4在正四棱台A3aMBGA中，A6=3A4尸6,/U尸4,点尸为棱上的动点（含端点）,

贝IJAP+PC的最小值是（）

A.6B.6V3C.8D.8V3

答案B

解析把四边形881cle展开至同一个平面，连接AC.过点用作8|EJ_48,交AB于点E,则

BE=2,又881=44=4,贝U乙48a=60°,

在△A8C中，AB=BL6,ZABC=120°t贝UA02X6X^=675,

此时线段AC的中点到点3的距离为ABcos60。=3<4=8囱，即线段AC与8场相交,

因此AP+PC的最小值就是展开图中AC的长，点P为AC与88的交点,

所以4P+PC的最小值为6b.

■课堂小结•

1.知识清单:

（1）多面体、旋转体的定义.

（2）棱柱、棱锥、棱台的结构特征.

（3）多面体的展开图.

2.方法归纳：举反例法，定义法，直接法.

3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.

随堂演练

1.下列几何体是棱台的是（）

CD

答案D

解析A,C都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A,C不满足题意；B中的截面不平行于底面,

不符合棱台的定义，故B不满足题意；D符合棱台的定义.

2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（）

A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥

答案B

解析根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.

3.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）

口虹宜行

ABCD

答案C

解析本题考查三棱柱展开图的形状，显然C无法将其折成三棱柱.

4.已知正方体A9CD-A出iG。的棱长为2,则在正方体的表面上,从顶点A到顶点G的最短距离

为________________.

答案2V5

解析如图，将侧面A83Al与底面A山iG"展开在同一平面上，连接AG,则线段AG的长即为所求,

4G印22+42=275.

功1----71c,

/2

人\_

/2

Al2B

课时对点练

［分值：80分］

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（）

A.三棱锥

B.四棱锥

C.四棱柱

D.平行六面体

答案B

解析由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥.

2.下列说法中，正确的是（）

A.底面是正多边形的棱锥为正棱锥

B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥

C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥

D.底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥

答案D

解析由正棱锥的定义可知，A,B均不正确；对于C,如图，构造三棱锥AB=BD=AC=CDt

AD=BC<AB,则△ABD,△ACO,△8OC全等，但此棱锥不是正三棱锥，侧棱不相等，底面也不是正三角

形，故C不正确；

D符合正棱锥的定义，故D正确.

3.下列命题中，正确的是（）

A.直平行六面体是长方体

B.四棱柱是平行六面体

C.长方体都是正四棱柱

D.底面是矩形的直四棱柱是长方体

答案D

解析对于A,直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是一般的平行四边形，此时它不

是长方体，故A错误；对于B,当四棱柱的底面不是平行四边形时，该四棱柱不是平行六面体，故B错

误；对于C,根据长方体的结构特征可知，长方体的底面为矩形，可以不是正方形，故C错误；对于D,

底面是矩形的直四棱柱是长方体，这符合长方体的结构特征，故D正确.

4.下列说法正确的是（）

A.三棱台有8个顶点

B.底面是矩形的四棱柱是长方体

C.各人面都是三角形的几何体是三棱锥

D.用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截去一个小棱锥后剩余的部分是棱台

答案D

解析三棱台有6个顶点，所以A错误;

因为四棱柱的底面是矩形时，侧棱与底面矩形不一定垂直，所以B错误；

各个面都是三角形的几何体可如图所示，而该几何体不是三棱桂，所以C错误；

由棱台的定义可知,用平行于棱椎底面的平面截棱椎,底面与截面之间的部分是榕台.所以D正确.

5.对如图所示的几何体描述不正确的是（）

A.这是一个四棱台

B.这是一个四棱柱

C.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到

D.此几何体可由四楂柱截去一个三棱柱而得到

答案A

解析如图（1）所示，该几何体侧棱的延长线不能交于一点，故A错误；由题图可知，该几何体是底面为梯

形的四棱柱，B正确；如图（1）（2）炉示，C,D正确.

(1)(2)

6.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案D

解析如图，在长方体/WCQ-A用IGOI中取四棱锥4-/WCD,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.下列说法中，正确的是（）

A.两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台

B.四面体的仟何一个而都可以作为棱锥的底面

C.有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台

D.两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体是棱台

答案BD

解析棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要是棱台应具备两个条件：一是上、下底面平行，二是各侧

棱延长后必须交于一点，A,C不正确，D正确；因为四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因

此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，B正确.

8.下列说法正确的有（）

A.三棱柱和五楂锥都有6个顶点

B.六棱锥有12条棱、8个顶点

C.四棱台和五棱锥都有6个面

D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

答案ACD

解析三棱柱和五棱锥都有6个顶点，故A正确；六棱锥有12条棱、7个顶点，故B错误；四棱台和五棱

锥都有6个面，故C正确；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.如图所不，在三棱台A'8C：ABC中，截去三棱锥4-48C,则剩余的几何体是.（填几何体名

称）

答案四棱锥

解析剩余的几何体是四棱锥4'-8CC'B'.

10.如图，M是棱长为2cm的正方体AACQ-A181coi的棱CG的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短

路程是cm.

答案713

解析由题意，若以3C为轴展开，则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2

cm,3cm,故两点之间的距离是gem.若以为轴展开，则A,M两点连成的线段所在的直角三角形

的两直角边的长度分别为1cm,4cm,故两点之间的距离是讨万cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短

路程是VT5cm.

四、解答题（共28分）

11.（13分）如图，在正方形488中，E,尸分别为A8,8c的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点

A,B,C重合，重合后记为点P.问：

（1）折起后形成的几何体是什么几何体？（6分）

（2）若正方形48co的边长为2a,则每个面的三角形面积为多少？（7分）

解（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.

（2）S△PE•产,S4DP产S^DPEIX2aXa=（r,SADE产S正方形48chsX2a-a2-a2-^-a2=^a2.

12.（15分）将常见的几个棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（尸）、棱数（E）作如下统计：

空间图形顶点数面数棱数

三棱锥4

三棱柱5

三棱台9

四棱锥5

四棱柱12

四棱台8

五棱锥10

五棱柱10

五棱台