全国初中数学八年级竞赛模拟卷（一）附答案

全国初中数学八年级竞赛模拟卷（一）

一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分）

1.若分式耳的值是负数，贝卜的取值范围是（）

x-l

A.1<x<2B.%>1或％V-2

匚1<%<2或%〈一2D.-2<%<2且

2.设a=<2+收+-如,贝Ja+1的整数部分为（）

a

A.1B.2C.3D.4

3.如图，已知正方形力BCD的边长为4,M点为CO边上的中点，若M点是4点关于线段Er的对称点，则黑

b,U

等于（）

A.=B.7C.2D.

352

4.己知％+y=1,%2+产=2,那么好+好的值是（）

1/5

5.如图，在△ABC中，AB=AC,。为BC上的一点，Z-BAD=28°,在力。的右侧作△/WE,使得力E=4D,

Z.DAE=Z.BAC,连接CE、DE,DE交4C于点0,若CEIMB,则NDOC的度数为（）

A.124°B.102°C.92°D,00°

6.甲、乙两车从4地出发，匀速驶往3地.乙车出发lh后，甲车才沿相同的路线开始行驶.日车先到达B

地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止，两车

之间的距离y（ku。与甲车行驶的时间入。】）的函数关系的图象，则（）

A.甲车速度是120km/hB./、B两地的距离是360km

C.乙车出发4.5h时甲车到达B地D.甲车出发4.5h最终与乙车相遇

二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

7.直线丫=3%+上+2与直线丫=一％+2上的交点在第二象限，且k是正整数，则k的值是：交

点的坐标是.

8.已知〃为正整数，若密是一个既约分数，那么这个分数的值等于—

2/5

9.如图，四边形4BCD是菱形，4B=8,且448c=60。，M为对角线BD上任意一点，则24M+BM的最

小值为.

10.河水是流动的，在B点流入一个静止的湖中.游泳健将朱泳在河中顺流从力到B,再穿过湖游到C,共用

1小时；而由C到8再到4共用2小时.如果湖水是流动的，从B流向C,速度与河水速度相同，那么朱泳从

A到6再到C,共用50分钟.这时，他从C到6再到A,共用小时.

已知安坐那么算式第+黑的值为

12.已知心y为整数，且满足d+5d+J）=-9（：-：），求％+y的值_____

xyxyxy

三、解答题（共6小题，满分60分）

13.（本题】。分）先化简，再求值：（1一寻）・卷，其中小y满足产1

3/5

14.（本题10分）如图，在△48C中，44BC和ZACB的平分线相交于点。，过点。作“IIBC交于E,交4C

于凡OD1AC^D.设BE+BC+CF=m,0D=n.试求梯形BCFE的面积.

15.（本题10分）如图，已知在△4BC中，4BAC为直角,AB=AC,。为4c上一点，CE工BD于E.

（1）若BD平分448C,求证：CE=；8D；

⑵若。为AC上一动点，乙AE。如何变化，若变化，求它的变化范闱；若不变，求出它的度数，并说明理由.

16.（本题10分）对于一个正整数N,若N能写成：N=a2+b2-ab（a,b为正整数），且a=3k+l,b=3k-1

（其中k为自然数），则称N为“幸运整数〃.例如：当1时，a-4,b-2,则N=12,所以12是“幸运

数”.

⑴求三位数中最大的"幸运整数”；

⑵如果两个“幸运整数〃的差是72,求这两个“幸运整数

4/5

17.（本题10分）仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题:

OAI=(VT)2+1=2,S]=

)2

OAj=(V2+1=3,S2=

2

OA\=(V3)+1=4,S3=

⑴请用含有九（n是正整数）的等式表示上述变化规律:

⑵推算出。40的值：

（3）求出Sj+S专+S专+…+S3的值.

18.（本题10分）如图，直线y=x+2与%轴、y轴分别相交于点小B,直线C。与力B交于点C,与y轴交

于点。（0,8）,过点C作CElx轴于点E,点E的横坐标为3.

⑴过点PQ,0）作不釉的垂线分别与直线40、C。相交于点M、N,求线段MN的长（用t表示）；

⑵在（1）的条件下，是否存在以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出t的值；若不

存在，请说明理由.

5/5

全国初中数学八年级竞赛模拟卷（一）

一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分）

1.若分式耳的值是负数，贝卜的取值范围是（）

x-l

A.1<x<2B.%>1或％V-2

匚1<%<2或%〈一2D.-2<%<2且

【答案】C

【分析】本题主要考查分式的值及一元•次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及•元•次不等式组的解

法是解题的关键；由题意易得二或｛I[1]2；；,然后进行求解即可.

【详解】解：由分式I的值是负数，可分：

X-1

当产时,解得:x<_2.

当伊|-2<£时，解得：iv%<2；

综上所述，满足条件x的取值范围为：1<%<2或之<-2

故选C.

2.设a=八+遮+J2-b,则a的整数部分为（）

a

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出。2,进而求出。的

值，再把〃的值代人所求代数式，根据算式平方根的估弊求解即可.

______________2

【详解】解：•../=坟2+8+-⑹=2+V3+2-V3+2=2+734-2-

2

V3+2=4+2]22-(V3)=4+2=6,a=,2+旧+五一如>0,

a=x/6,

••・。+”遥++=4+今=3=聆

V4<-4^9<9,

3〈聆<V9,

2<三<3,

•••2<a+-<3,

••・Q+上的整数部分为2,

故选：B.

1/16

3.如图，已知正方形力BCD的边长为4,“点为CD边上的中点，若"点是力点关于线段EF的对称点，则黑

等于（）

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线.连接EM,

由轴对称性质可知EA=EM,设力E=x,则£。=4一%,EM=x,由勾股定理得：（4一刀尸+2?=/解方

程求出x的值即可.

【详解】解：连接EM,

•・•〃、A关于EF对称，

••・E4=EM,

设4E=X,则ED=4—%,EM=x,

•••"点为CD边上的中点，

：

,CM=MD=-2CD=-2x4=2,

在直角△DEM中，由勾股定理得（4一%）2+22=/,

解得％=P

•••44-%=3彳，

.AE5

••,

ED3

故选:A.

4.已知X+y=1,%2+y2=2,那么％5+y5的值是（）

儿A-26B—4JC2-5D-2

2/16

【答案】B

【分析】本题考查了因式分解的应用.解答本题的关键是灵活运用完全平方公式的变形，将％+)，、孙、/+y2

作为整体代入.首先根据完全平方公式(％+丫)2=/+必+2町.，把％+y,/+/的值整体代入求出无丫的

值.计算出炉+y3=(x2+y2)(x4-y)-xy(x+y)=同理将必+y、变形为(/+y2)(x3+y3)-x2y2(x+

y),代入数据计算即可得到结果.

【详解】解：•・"+y=1,

x2+y2+2xy=1,

又・,32+y2=2,

/.2xy=—1,

•i

・・％y=一1

・・・fy2=1,

Ax3+y3=(x2+y2)(x+y)-x2y-xy2=(x2+y2)(x+y)-xy(x+y)=2x1-(一g)x1=：,

Ax5+y5=(x2+y2)(x3+y3)—x2y3—x3y2=(x2+y2)(x3+y3)—x2y2(x+y)=2x^—^xl=^=%

故选：B.

5.如图，在△/IBC中，AB=AC,。为8C上的一点，Z,BAD=28°,在小。的右侧作△40E,使得=4。，

^DAE=/-BAC,连接CE、DE,DE交AC于点、0,若CEII4B,则/DOC的度数为()

A.124°B.102°C.92°D.88°

【答案】C

【分析】根据题意由SAS可证△/石。三△4EC,得到乙48。=乙4CE,结合两直线平行，同旁内角互补和等

边对等角可推UkABD=ABCA=Z.ACE=gx180°=60°,从而得到^ABC是等边三角形，进而推；「：△ADE

是等边三角形，可知心力DE=60°,结合乙OA。=ABAC-Z-BAD=32。，由三角形外角的性质即可求得答案.

【详解】解：'：Z-DAE=Z.BAC,

：.z.DAE-Z.DAC=Z.BAC-Z.DAC,HPzE/lC=乙DAB,

VZF=AC,AE=AD,

:・XABDsAAEC(SAS),

：.LABD=AACE,

VCEIMF,

£BCE=180°,

3/16

：.^ABD+乙BCA+Z.ACE=180°,

*：AB=AC,

:.乙ABD=Z-BCA,

：.LABD=Z-BCA=Z.ACE=：x180°=60°,

3

•••△48C是等边三角形，

AzB/lC=ZD/1E=60°,

'：AE=AD,

•••△4DE是等边三角形，

：.z.ADE=60°,

•：z.BAD=28°,

.\WAD=LBAC-/.BAD=60°-28°=32°,

：.LDOC=Z.OAD+Z.ADE=32°+60°=92°.

故选：C.

6.中、乙两车从A地出发，匀速驶往B地.乙车出发lh后，中车才沿相同的路线开始仃驶.自车先到达B

地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止，两车

之间的距离y(km)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象，则()

A.甲车速度是120km/hB.A.8两地的距离是360km

C.乙车出发4.5h时甲车到达B地D.甲车出发4.5h最终与乙车相遇

【答案】C

【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题.

分析两车之间的距离y(km)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解.

【详解】解：点(0,60)中可知，乙1小时行驶了60km,

，乙的速度60km/h,

点(1.5,0)中可知，1.5h后，甲追上乙，

・•・甲的速度为Mx:：")=ioo(km/h),

JL

由点(瓦80)可知，甲到B地,且甲乙相差80km,则：

b=-^-+1.5=3.5,

100-60

4/16

点（c,a）可知，休息30分钟，

.*.c=3.5+0.5=4,a=80—60x0.5=50：

点00）可知，甲乙再次相遇，d=4+忌;=4+盘=4白

1UU+6U1616

A.甲车的速度是100km/h,故A错误，不符合题意；

B.由以上分析已知甲出发3.5h后到达B地，且甲速度为100km/h,所以4,B两地为100x3.5=350（km）,

故B错误，不符合题意；

C.甲车3.5h到达“地，乙车比甲车早出发lh,所以乙车出发4.5h时甲车到达8地，故C正确，符合题意;

D.从上中（1.5,0）和（d,0）可知，甲出发1.5h和4^h与乙车相遇，故D错误，不符合题意.

故选：C.

二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

7.直线丫=3%+4+2与直线、=一工+2人的交点在第二象限，且k是正整数，则k的值是；交

点的坐标是.

【答案】1（J，?

【分析】本题考查了一次函数，关键是将题目中两个一次函数解析式联立，得到二?':（；/，求解二

元一次方程组，解得交点坐标，结合交点在第二象限，且k是正整数即可得出结论.

【详解】解：•••由题意可知，联立两个直线方程可得，

y=3x+k+2.......①

y=-x+2k……②

将①-②可得，

4x-Zc+2=0,

解得：%=子，代入②式得，

2+7k

y=­

•••交点坐标为（1，竽），

44

•・•交点在第二象限，

解得：一,VZV2.

•••A是正整数，

・•.A=l,代入坐标可得，交点坐标为（一?》.

8.已知〃为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于

nz+6n-16---------

【答案】77

5/16

【分析】此题考查了分式的化简求值，先对分子分母因式分解，得到分子分母有公因式5-2),则n-2=1,

得到九=3,代入求值即可.

【详解】解：n24-3n—10=(n-2)(n+5),n24-6n-16=(n-2)(n+8),

分子分母有公因式(九-2),

2

..n+3n-10是一个既约分数,

*n2+6n—16

AK-2=1,

即八—3,

z

以-Fn-+-3-n--1-0=-(-n---2-)(-n-+-5-)=n+5=-3-+-5=-8

n+6n-16(n-2)(n+8)n+88+311

故答案：总

9.如图，四边形力8。。是菱形，/IB=8,且乙48c=60。，M为对角线8。上任意一点，则24M+BM的最

小值为•

【分析】本题考查了菱形的性质：对角线平分内角、各边相等)、直角三角形的性质(30。角所对的直角边

等于斜边的一半、勾股定理)，解题的关键是通过构造MHJ.8C将待求式24M+8M转化为2Q1M+MH),

再利用点M位于47边上时取等号确定力M+MH的最小值，进而求出24M+BM的最小值.

由菱形性质得乙OBC二g乙48C=30。；过历作MHJLBC,在RtABHM中，由30。角性质得MH=故

2AM+BM=2(AM+MH)；过/作471BC,在Rt△中，由448c=60°^Z.BAT=30°,故BT=^AB=4,

再用勾股定理算得4r=>/AB2-BT2=4V3；乂AM+MH>AT(点股位于AT边上时取等号)，因此2(4W+

MH)>8V3,即2AM+8M的最小值为8冉.

【详解】解：如图，过点力作8C于/，过点.M作M〃_LBC于H.

:四边形4BC。是菱形，^ABC=60°,

：,z.DBC=^Z.ABC=30°,

6/16

,：MH1BC,

:“BHM=90°,

=-BM,

2

1

.-.AM+-BM=AM+MH,

9：ATIBC,

J.LATB=90°,又由N4BC=60c知4BAT=30。，

：.BT=^AB=^X8=4,

：,AT=>JAB2-BT2=V82-42=473,

vAM+MH>AT（点、M位于47边上时取等号）

・••AM+MH>4百，

A/4M+>4V3,

2AM+BMN8百

・・・24M+8M的最小值为8V3,

故答案为8A/1

10.河水是流动的，在B点流入一个静止的湖中.游泳健将朱泳在河中顺流从力到B,再穿过湖游到C,共用

1小时；而由C到8再到4共用2小时.如果湖水是流动的，从B流向C,速度与河水速度相同，那么朱泳从

力到B再到C,共用50分钟.这时，他从。到B再到4共用小时.

【答案】2.5/1

【分析】本题考查分式方程的应用、解决本题的关键是首先假设全程为1，并以全部顺水行完需要50分钟

作为突破口，并做好合理的假设.

首先假设全程为1,那么从4到3到C全部顺水，根据朱泳从力到4再到G共用50分钟以及速度时间关

系求得顺水行的速度为:假设朱泳在最初1小时全部顺水，就会比全程多行"1-1=提也就是说该种

情况说明行8C段同样的时间，顺水比静水多行全程的g同理行8C段同样的时间，逆水比静水少行全程的1

因此逆水行2小时，只能行全程的1-（二（,故设游泳健将朱泳在从。到8再到片逆水行进中共用x小时，

由：=解得x即为所求.

【详解】解：设全程为1,设游泳健将朱泳在从。到8再到力逆水行进中共用x小时，

由题意可得，——

解得％=2.5,

经检验，％=2.5是原方程的解，

・•・他从C到B再到A,共用2.5小时.

故答案为：）6.

7/16

"•已知W=.，那么算式寝+黑的值为------------

【答案】一6或6

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，由鬻二/可得Q=(2夜+3)2》,

再运用二次根式的混合运算法则化简原式可得翳，然后将a=(2V2+3))代入化简计算即可.

【详解】解：・・・公二乎，

Aag=(2V2+3)2Z?

3-2V2(3-272)(272+3)')

\[ab4-ha—x/ab

------7=+~F=——

a4-y]abTab-b

(y/ab+b)(y[ab—b)(a+\fao)(a—Vab)

(a+4ab)(y[ab-b)(a+Vad)(Vab-b)

ab—b2+a2—ab

(a—b)y/ab

az—b2

(a-b)4ab

(a+b)(a-b)

(a—b)y[ab

a+b

yfab

(2a+3力+匕

J(2V2+3)2/)2

[(2V2+3)2+l]fo

J(2V2+3)2b2

海、0府"+3)2+/一|(2企+3)2+小一(2&+3f+l_18+12企_6(3+2何_

「企+3)2宜_限&+3)_2&+3_^r_^r_6；

当;•vn时I呼+31+坐_|(2&3)，小_(2>+3)+l_18+12企_6(3+2⑻__

.在+3下一一膜国3)-—(20+3)

综二，该代数式的值为一6或6.

故答案为：一6或6.

12.已知X,y为整数，且满足(如„+.)=*(<_9),求％+y的值.

【答案】0或±1

【分析】本题考查的是分式的混合运算，因式分解的应用.

根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即

【详解】解：••・弓+"(»j)=一家»»

8/16

•・・C+》G+/)=VG+/)©一1>

d+5+汨T)=o，

、xY，3vx2y27

(i+1)+7(i+i)(i-i)=0>

、xy73'xy八xyJ

d+b[l+：d-L)]=。，

、xy八3、xy7J

••・-+i=0或1=0,

xy3、xy

；.%+y=0①或:一]一|②，

由②得：2y-2x=-3xy,

2x-3xy=2y,

(2-3y)x=2y,

2y_2

X-"T~一

222_

y

•••X,y为整数，

，2—3是2的约数，

y

：.y=1或2,

.•.当y=1时，x――2；当y=2时，x=—1,

•,.%+'的值为0或±1，

故答案为：。或±1.

三、解答题(共6小题，满分60分)

13.(本题10分)先化简，再求值：(1一/啜)++，其中x、y满足『"+y=3q+l

\/x'+xy(x-y=2

【答案】2xy,2

【分析】本题考查解二元一次方程组，分式的混合运算及求值，二次根式的运算.先解二元一次方程组求

出工和y的值，再利用分式的运算法则化简，最后将x和y代入求值即可.

【详解】解：①

x-y=2②

①+②得：3%=3企+3,

解得％=V24-1,

将x=V2+1代入②得：V2+1-y=2,

解得y=y/2-1.

9/16

(无-y)21

1-

(x+y)(x-y)-x(x4-y)

x+y-Q-y)

=———&+y)

指上+y)

=2xy,

将x=&+l,丫=四一1代入，得:

原式=2(&+1)(a-1)

=2x(2-1)

=2.

14.（本题10分）如图，在△A8C中，~18C和/AC8的平分线相交于点0,过点。作EFIIBC交AB于E,交力C

于凡OD工ACT'D.设BE+8C+CF=m,OD=n.试求梯形8CFE的面积.

【分析】过。作OH18C于〃，可得。，=。。，乙EB0=“BC,乙FC0=乙BC0,可证△0BE和△0CF为

等腹三角形，^RE=OE,C.F=OF,再用梯形面积公式即可解题.

【详解】解：过。作。“1BC于H,

♦：土48C和/力C8的平分线相交于点。，0D1AC^D

,OH=OD=n,Z.EB0=乙OBJZ-FCO=Z-BCO

•:EF||BC

：・4)BC=乙EOB=LEBO,^FOC=/-0CB=乙FCO

・•・△。8£和4OCF为等腰三角形，

:.BE=OE,CF=OF

即"A+CF=OE+OF=EF

10/16

'S梯形8CFE=+BC)OH

1

=-(BE+CF+BC)OH

1

=-mn

15.(本题10分)如图，已知在A/IBC中，NB/1C为直角，AB=AC,。为4C上一点，CE工BD于E.

C

BA

(1)若BD平分N48C,求证：CE=^BD；

⑵若。为AC上一动点，N4ED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由.

【答案】(1)见解析；

(2)不变，45。，理由见解析.

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作出辅助线是解本题的关键.

(1)利用等角的余角相等判断出ZAB。=£ACF,证明△ABDwZkAC凡判断出8。=CF,再证明CE=EF,

进而判断出C尸=28。，即可得出结论；

(2)作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出4H=4G,即可得出4E是NBEF的角平分线.

【详解】(1)证明：连接4E,延长CE,交B4的延长线于F

B4万是直角，CE上BD,

Z.BAC=Z.CAF=Z.BEC=90°,

---zCDE+zDCE=90°,^.ABD+Z.ADB=90°,

vZ.ADB=Z-CDE,

Z.ABD=乙ACF,

在△力8D和△4CF中，

NBAD=Z.CAF=90°

AB=AC，

Z.ABD=^ACF

••.△ABD三△ACF(ASA),

二BD=CF

11/16

BD1.CE,

：.BEC=Z-BEF,

•••6。平分4ABC,

：.z.CBE=Z.FBE,

'：BE=BE,

•••△BCEBFE,

:.CE=EF,

；.CE=：CF=；BD；

22

(2)乙4ED不变化，

理由：如图，过点力作4G_LCF于G,作力H_L80于H,

是直角，CELBD,

Z.BAC=Z.CAF=Z.BEC=90°,

ZCDE+^DCF=9O°,Z.ABD+^ADB=90°,

vZ.ADB=Z.CDE,

•••Z.ABD=Z.ACF,

在△43。和△力CF中，

/.BAD=/-CAF=90°

AB=AC,

Z-ABD=Z.ACF

丁•△ABD三△ACF(ASA),

^^BAD=S&cAF，BD=CF,

BD-AH=CF-AG,而BO=CF,

AH=AG,

-AH1EB,AG1EG,

•••E4平分NBEF,

••"£71=!ZJ?EG=45。，

2

即：乙4£。不变化.

16.（本题10分）对于一个正整数N,若N能写成：N=a2+b2-ab（a,b为正整数），且a=3k+l,b=3k-l

（其中k为自然数），则称N为“幸运整数〃.例如：当k=l时，a=4,b=2,则N=12,所以12是“幸运

12/16

数〃.

⑴求三位数中最大的“幸运整数”：

⑵如果两个“幸运整数〃的差是72,求这两个“幸运整数

【答案】⑴903；

(2)84和12.

【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键.

(1)根据题意，先求得N=(3k+I)2+(3k-l)2-(3k+l)(3k-1)=9k2+3,计算知当k=10时，N=

9X102+3=903,当〃=11时，/V=9xll2+3=1092,即可得出结果：

(2)由(1)知：“幸运整数〃N可表示为9k2+3(k为自然数)，则当k=m,n时得到两个“幸运整数〃为9m2+

3,9/+3,由题意可知：(9m2+3)-(9n2+3)=72,即(m+7i)(zn-九)=8,根据〃?，〃为自然数，可

得加=3,九=1,将其代入计算即可.

【详解】(1)解：0>'N=a2+b2—ab,a=3k+1,b=3k—1,

N=(3k+l)2+(3k-I)2-(3k+1)(3攵-1)=9k2+3.

k为自然数，

.••当k=10时，N=9x100+3=903,

当A=11时，/V=9x121+3=1092,

・•.三位数中最大的“幸运整数”是9C3；

(2)解：由(1)知："幸运整数"N可表示为弘2+3(k为自然数)，

则/<=m,ri时得到两个"幸运整数"为：9m2+3,9n2+3,

由题意：(9*+3)-(9/+3)=72.

:.97n2—9n2=72,

•••m2—n2=8,

•••(m+n)(m—n)=8.

ri为自然数，7n+n>m-n

..1或『+九=?,

vm—n=2Im—n=1

m=-9

解方程组得：｛:二;或；(舍去)，

n=-

m=3,n=1.

9m24-3=84,9n2+3=12.

•••这两个“幸运整数”分别为84和12.

17.(本题10分)仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题：

OAj=(Vl)+1=2»S]=

13/16

2

OAj=(V2)+1=3,S2=

⑴请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律：

(2)推算出的值：

(3)求出g+S；+S专+…+S务的值.

【答案】⑴(诉)2+1="+1,S6当5是正整数)；

(2)710；

【分析】此题考查了勾股定理、算术平方根，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键.

(1)此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第〃个图形的一直角边就是遮，然后利

用