2026年高考数学复习讲义+强化训练：数列的奇偶项问题与子数列问题的（5大核心压轴题型）学生版+解析

压轴11数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型

子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的

重点和热点，•般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.

皿噩躺嬲流派

A题型01数列中相邻两项和或积的问题

技法指导

递推公式为斯+i+〃“=/(〃)或许+「。”=/(〃)的形式，求通项公式或数列求和的方法

(1)求通项公式：由。“+[+〃”=./(〃)与上式作差可得隔项递推公式4”+2—。”=./(〃+1)—/(〃)：对于后一种

可由如+2S+1=A〃+1)与上式作商可得隔项递推公式，然后求解.

(2)求前〃项和S”：求出通项公式，则S,产S有+S偶：或者利用。”+1+“”=/(〃)，可直接并项求和.

1.12025•广东清远・二模)已知数列｛q｝的前〃项和为3=〃2+4〃(〃£1<).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝满足％讨+%=%,且不等式3+2/>0对任意的〃eN*都成立，求q的取值范围.

2.12026•广东一模)在数列｛%｝中，％=2,%=8,且对任意的〃eN",都有“川=4J-4%.

⑴证明：｛q.「2q｝是等比数列，并求出｛qJ的通项公式；

⑵求数列｛4｝的前〃项和S”.

A题型02°」-(〃)，〃为奇数型

"为偶数

技法指导

1.当〃为偶数时，5”=。1+。2+内+…+斯-|+斯，其中奇数项、偶数项各有5项，可直接分组求和，即

5n=(41+。3+…)+(。2+44十…十2十4“).

2.当〃为奇数时，Sc=0+a2+a3+…+anT+n〃=S〃=S,i+4.，其中S“T可利用上述结论代入，然后再

快速求解S〃=Si+a〃.

3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

从而求出其通项公式.

4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

从而求出其通项公式.

3.(2023•新课标II卷T18)已知｛%｝为等差数列，%一6消:数，记加7；分别为数列况｝,也｝的

前几项和，54=32,7；=16,

⑴求｛〃”｝的通项公式；

(2)证明：当"5时，Tn>Sn.

4.12025・辽宁大连•模拟)若数列况｝和也,｝满足：％=1,4=7,且，丁。二—b：二2。”

=3%-4&

⑴设。”=/一瓦,证明：£｝是等比数列；

(2)设〃=<："试求⑷的前〃项和S”.

4%-”,〃为偶数

A题型03含有(・l)n类型

技法指导

对“分奇、偶进行讨论，转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解.

5.12025•河南郑州•二模)已知数列｛〃,,｝的各项均为正数，前〃项和为S”，且4=1,卮是JS.与S.的

等差中项.

⑴证明：数歹4｛向｝是等差数列；

⑵设〃=(-1)"(S“+an),求数列他,｝的前2〃项和&.

6.12026•河北保定•一模)已知数列｛为｝的前〃项和为S“，且％=1,辿"

〃+1n2

⑴求S.

⑵若»=(T)”如丑，求数列也｝的前〃项和.

anan+l

A题型04两数列的公共项

技法指导

两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是

等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.

7.(2026・重庆万州二模)已知数列｛q｝的前〃项和S“="W,也｝为等比数列，公比为2,且乙，4+1,

么为等差数列.

⑴求｛〃”｝与也｝的通项公式；

⑵物数列｛4｝和｛bn｝的公共项由小到大排成的数列记为匕｝,求数列｛qr｝的前〃项和Tn.

8.12025•山东青岛•二模）已知等差数列｛叫满足%-6=8,且%-1是4和%+1的等比中项，数列也｝的

前,项和为S”，且满足4=3,25“=%-3.

（1）求数列｛q｝和他｝的通项公式；

（2）将数列｛q｝和也｝中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列｛4｝,kcN,令4=1.34，

求数列，7二＞的前A项和几.

A迤型05数列有关增减项问题

技法指导

对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了多少项

（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.

9.12025•陕西咸阳二模）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S”，且。“.I=2S.+2（〃€N*）.

（1）求数列｛〃”｝的通项公式.

（2）在明与。,“之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3

项4"，”，（其中，小比〃成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明

理由.

10.（2025,安徽黄山一模）已知数列也｝为等比数列，正项数列｛〃,,｝满足也,=《一。；-4,且q=2,2=1,

⑴求｛q｝和｛a｝的通项公式：

⑵若从｛〃/中去掉与数列｛"｝中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列｛%｝,设

Zoo=C|++C34FG0n,求（0G.

1.（2025・福建福州•期中）在数列｛4｝中，已知4=1,%•〃向=（；），记S”为㈤｝的前〃项和，bn=a2n+a2n_if

nGN"•

（1）判断数列｛2｝是否为等比数列，并写出其通项公式;

⑵求数列｛〃“｝的通项公式.

2.12021•全国・新高考1卷T17）己知数列｛q｝满足4=1,胃时

凡+2,〃为偶数.

（1）记》”二生”，写出4,4，并求数列也｝的通项公式；

（2）求｛《,｝的前20项和.

3.（2025•河北秦皇岛•二模）已知数列｛4｝是公差大于2的等差数列，其前〃项和为S0，%=5,且4+1,%+1，

%-2成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵令hn=（-1严,求数列低｝的前〃项和r..

4.12025•黑龙江哈尔滨•二模）已知数列｛q｝满足q=5,品“-2%=3"（〃wN'），记2=4-3".

⑴求证：也｝是等比数列；

（2尸殳。“二限，数列｛%｝的前〃项和为S..若不等式（_1）葭<S,,+券对一切〃cN’恒成立，求实数4的

取值范围.

5.12025•河北廊坊联考）已知数列｛4｝的前〃项和S“满足2S,一9=〃，neAT,且4=3.

（1）求证：数列｛皆3（〃之2）是常数列；

（2）求数列｛6｝的通项公式.若数列｛2｝通项公式以=3〃-2,将数列｛q｝与｛2｝的公共项按从小到大的顺

序排列得到数列｛qj,求｛c”｝的前〃项和.

6.（2025•陕西西安・二模）已知数列｛《卜满足6=1，％=["；+2叱震，

24,〃为偶数，

⑴汜2=%+2,求a，b2,并证明数列出｝是等比数列；

（2）记G=%.+3,求满足q+c2+c3+-+crt<100的所有正整数«的值.

7.12025•福建莆田•二模）记5”为等差数列｛q｝的前〃项和.已知244=%+140=15.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵记集合A=｛xk=a”,〃wN｝B=｛xk=2"+l,〃wN1,将AU8中的元素从小到大依次排列，得到新数列

闻，求也｝的前20项和.

8.12025•山东滨州•二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把

这样的操作称为该数列的一次“积扩充如:数列2,3经过第一次“积扩充”后得到数列2,6,3；第二次“积

扩充”后得到数列2,12,6,18,3；….设数列1,2,4经过第〃次“积扩充”后所得数列的项数记为4”,

所有项的积记为2.

(1)求人和A；

(2)求4和匕.

(3)求数列｛2｝的前〃项积刀一

9.(2026•内蒙古鄂尔多斯•一模)已知等差数列也｝满足《+%=6,%%=3.数列出｝的各项均为正数，4=2,

且均-她

(1)求数列｛&｝,｛〃｝的通项公式；

”,〃为奇数

⑵设。”=[，求数列｛qj的前2〃项和&.

—!—,〃为偶数

〔巴T4+I

10.(2026.河南南阳•模拟预测)记数列｛q｝的前〃项和为S”，已知q=l,｛2q-S”｝为常数列.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵在仆与之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，求数列;的前〃项和7；.

[<J

11.(2026•河北保定•一模)已知等差数列｛qj满足%+%=2〃+1.

⑴求｛〃”｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足2=(T)”,W+24,求也｝的前2〃项和匕及其最小值.

12.(25-26高二上•广东广州•期末)记S“为等比数列｛4｝的前〃项和，已知35,+—=1.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设以=(-1广,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

13.(2026•宁夏银川•模拟预测)设函数/(x)=6sin23x+cos2s+lW>0),且/(力的图象相邻两条对

称轴的距离•为

⑴求的单调递增区间；

(2)求/(%)在xw(0,号)上的值域；

(3)将/(力所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列｛%｝,求数列的前30项和.

14.(2026•云南昭通・模拟预测)已知各项递增的等比数列｛q｝,等差数列｛"｝其前〃项和分别为S“，T/It满

足*=7>6,S4=30,£=20.

(1)求如｝，也｝的通项公式;

⑵将数列｛〃“｝与｛〃｝中的项按从小到大依次排列构成•个新数列｛%｝,求数列｛%｝的前50项和小.

15.(2026•四川攀枝花•一模)已知数列｛勺｝的前〃项和为S“，%>0(〃eN.)，且4,%+1,S”成等比数列.

⑴求数列｛〃“｝的通项公式：

⑵若"=(T严•上二，记数列物,｝的前2〃项和为证明：餐乙<1.

anan^\3

16.(2026・陕西咸阳•二模汨知数列｛4｝,｛〃｝满足q.2+%=〃“，%=32+2,〃WN",且刈=出=4+2=2.

⑴求几｝，血｝的通项公式；

(2)求数列｛。，也｝的前〃项和Sn；

⑶在数列｛〃“｝的前20项中，任取两项，求这两项至少有•项是数列也｝中的项的概率.

压轴11数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型

子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的

重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.

A题型01数列中相邻两项和或积的问题

技法指导

递推公式为+%=人〃)或〃〃+1也”=人〃)的形式，求通项公式或数列求和的方法

(1)求通项公式：由跖rH+a〃=/(〃)与上式作差可得隔项递推公式如+2=/5+1)—/(〃)；对于后一种

可由斯+2。+1=处?+1)与上式作百可得隔项递推公式，然后求解.

(2)求前〃项和S”：求出通项公式，则S产S奇+S偶；或者利用斯+|+斯=八〃)，可直接并项求和.

1.12025•广东清远・二模)已知数列｛凡｝的前〃项和为S.=〃2+4%(〃WN').

⑴求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵若数列上｝满足％+q,=4,且不等式C+2/JN0对任意的〃cN*都成立，求q的取值范围.

【解题指导】⑴求〃-由4=S“-S.T求通项

(2)确定数列忆”｝为等差数列f分奇偶求数列的通项公式一分奇偶分别转化恒成立求解q的取值范围.

【解】(1)由题意得，

①当〃=1时，％=S[=5；

22

②当2时，an=Stl-Sn_｛=n+4/2-(/i-1)—4(〃-l)=2〃+3.

当〃=1时，4=2+3=5,

【易错提醒】注意睑证，2=1的情况

an=2〃+3.

(2)由(1)知c,+]+c〃=2〃+3G】eN*),Q；

.•.当”=1时，c2+c1=5；

"I〃22时，c“+c“_]=2(〃一1)+3,②

①-②得

【技巧】构造隔项等差数列：4"+i+a”=p〃+q(p，9=0)=如+2+如+1=〃("+1)+9=两式相减得="”+2—

•・•数列上”｝是以。2为首项，公差为2的等差数列，

数列卜2〃-3是以。为首项，公差为2的等差数列•

当〃为偶数时，cn=c2+2x^-l|=n+3-c1；

当n为奇数时，c.=q+2x(§l-l=/?-l+c,,

n-\+c,,n=2k-\

,女eN'.

〃+3f=2k

乂对任意的〃eN+都有3+2/20成立，

(i)当〃为奇数时〃Nl,q+2〃2=+-l+6+24N0恒成立,

即-c,42/+〃-1对〃为奇数时恒成立.

【技巧】转化为函数恒成立问题，分离参数、构造函数求最值

当〃=1时，(2〃2+〃-1%=2,

二W2,即c(之-2；

22

(ii)当〃为偶数时〃>2,cn+2n=〃+3-q+2n>0恒成立，

即c,<2/+〃+3对〃为偶数时恒成立.

当”=2时，(2，/+〃+3)而=13,/.q<13.

【易错题型】利用二次函数求最值，注意此时〃为偶数，且〃22

综上所述，。的取值范围是卜2,13].

2.12026•广东•一模)在数列｛勺｝中，4=2,%=8,且对任意的〃eN’，都有4+2=4%+I-4%.

(1)证明：｛4.1-24｝是等比数列，并求出｛q｝的通项公式；

⑵求数列m｝的前〃项和S-

【解】(1)因为％=2,“2=8,所以出-2q=8-2x2=4.

囚为4+2一4%+]-4%,所以an+2-2an+l=2(aM+1-2a”)，

a2a

乂〃2-26=4/0,则有4“一加”工0(/2tN+),所以)'2]；­=2,

4»+i

所以｛〃向-24｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

所以*「2a“=4x2~=2"l所以翳-*=1,

又3=1,所以｛墨｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以黑=1+(〃-1)x1=〃，所以〃，二小2"・

23

(2)g5n=1-2+2-2+3-2+---+/?-2%

则2S”=l-22+2.23+…+5-1).2"+〃.2'用,

两式相减得—5“=2+2?+…+2”_〃・2""——n-2n+l=(1-H)2W+,-2,

1-2'

则其=5-1)2用+2.

A题型02a=!”〃)，〃为奇数型

"[g(〃),〃为偶数

技法指导

L当〃为偶数时，5"=。1+。2+。3+…+。”-1+。”，其中奇数项、偶数项各有]项，可直接分组求和，即

SK=(4|+a3H------+(始+出+…+小筌+小).

2.当〃为奇数时，S”=0+G+G+…+。”-|+。”=5”=£一+小，其中5,1可利用上述结论代入，然后再

快速求解S〃=S,L1+%.

3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

从而求出其通项公式.

4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

从而求出其通项公式.

3.(2023•新课标H卷T18)已知也｝为等差数列，勿=："一二2工，记5”，0分别为数列'%｝,仇｝的

24〃,〃内，内双

前4项和，§4=32,4=16.

⑴求｛为｝的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，Tn>Sn.

【思维探究】

看到什么想到什么

｛%｝为等差数列联想等差数列的通项公式

-6,〃为奇数求出数列｛4｝的通项公式，表示出"

n[2外,〃为偶数

S4=32,1=16.用％M表示邑及(，联立方程组求解

｛4｝的通项公式把q,d代入｛q｝的通项公式

当〃〉5时，Tn>S„利用奇偶分组讨论的方法将工，表示出

来，对于数列的比较大小可以用作差法

Q6〃—2k।

【解】(l)设等差数列｛凡｝的公差为d,而-，kwN,

则"=%-6,b2=2a2=2ay+2d,b、=%—6=%+2d—6,

S4=4al+6d—32

于是解得%=5,d=2,an=q+(n-\)d=2n+3,

Ty=4q+4d—12=16

所以数列［an｝的通项公式是4=2〃+3.

(2n-Xn=2k-\

(2)由(1)知，S”=〃(5+；7+3)=〃2+4〃b=l，丘N",

4〃+6,/1=2k

当〃为偶数时，=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6〃+1)n3

T=---------------------=-/广2+—//,

“2222

37I

2

当〃>5时，Tn-Sn=(-+-n)-(n+4«)=--])>0,因此7>S”，

【技法】作差法比较两个实数大小

3735

当〃为奇数时，(=1用-2+I=5(〃+1)2+5(〃+1)-[4(〃+1)+6]=、〃2+]〃-5,

当〃>5时，7；-S”5)-(/+4〃)=3(〃+2)(〃-5)>0,因此4>S”,

所以当〃>5时,Tn>Sn.

【解后反思】当〃为偶数时：S.=4+/+%+...+a,i+a“，其中奇数项，偶数项各为5项；可直接利用分

组求和S“=（4+/+…+%+%）+（&+《+…+4-2+。“）；

,、，、a,,.=b-2a

4.12025•辽宁大连・模拟）若数列包和他满足：％=1,4=7,且1n"/n

⑴设，・“=%-/*证明：匕｝是等比数列；

⑵设a=丁：小便触，试求力的前〃项和5”.

〔甸-〃为偶数

【解】（1）丫4”=4-2q,bn+l=3bn-4ali,

••・。〃+1一%="一2q-勖"+也=2（4-2）,

•••%=2加，又q=4W=_6wO

・••｛q｝构成以-6为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）可知。"=-6・2小=-32,

an-bn=-3•2"nb=an+3-2n

r

•'•4+1=%।3"2a„=anI321,

(q-2")

又《-2|=-1,0」.｛4-2"｝构成以一1为首项，T为公比的等比数列

...4—2"=-1•(-1)”T=(—1)、.册=2"+(-1)%

/.〃,=2"+(-1)"+3•2"=22+(-1)"

,_为奇数

."""卜〃为偶数’

・•・当〃为偶数时，S„=-3x(2,+25+...2n-,)+3x^=-2n+,+|n+2

当，，为奇数时，S〃=S"+-4*=—2"+2+：5+1)+2—3=-2/2+：〃+

乙乙乙

-2"+2+3",〃为奇数

所以S.=\2

一2向+士〃+2,〃为偶数

2

A题型03含有(・1》类型

技法指导

对〃分奇、偶进行讨论，转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解.

5.12025•河南郑州・二模)已知数列｛q｝的各项均为正数，前〃项和为S0,且4=1,是1-S”与ST的

等差中项.

(1)证明：数列｛卮｝是等差数列；

⑵设勿=(_1)".(S.+%)，求数列｛2｝的前2〃项和乙.

【解题指导】(1)等差中项列式-完全平方公式计算化简一>由定义得出等差数列；

(2)等差数列的通项公式一求出5.f借助(-1)"正负分组一公式求和得出Tln

【解】⑴因为扃■是1-S0与5“讨的等差中项，所以267=1—S.+S”U，

所以S.=l+S.r2匹=(卮-1>

因为数列｛〃”｝的各项均为正数，所以S”>0,

所以底二67-1，所以历一6>1，

所以数列｛底｝是公差为I，首项为何=8=1的等差数列；

(2)因为数列｛疯｝是公差为1,首项为点=1的等差数列，

所以心，1十(〃-1)x1-〃，

所以S“=/,当〃=1时，4=1,

2?

当〃之2时，an==n-(«-1)=2/?-1,

所以勺=2刀-1,

所以"=（7）"•（&+《,），

【技巧】求和时通过（一1）”实现正负交替，要注意符号的变换

T=Sa+S+aSa+S+a++S+a

2n~i~\22~i~34i'''2n2n

=($2-5)+0一§3)+…+($2“-$-1)一(《—+r)

=%+%+…+小“一14一%+…—勺)

=-(4+&+…+生,1)+2(/+。4+…+4”)

22

〃(1+4〃-3%〃(3+4〃-1)

22

=-n（2/?-1）+n（4/z+2）=hr+3〃

【解后反思】通项中含有（一1）"的情形

（1）等差数列的通项公式乘以（一1八用并项求和法求数列前〃项的和，

如诙=（一1）”（2〃-1）,前20项的0

a\+。2-1-----1~〃20=（-1+3）+（-5+7）H------1-（-37+39）.

⑵等比数列的通项公式中含有（一1）〃，其前〃项和可写成分段的形式，可求最值，

如等比数列｛斯｝的通项公式为〃”=（一1尸舄则其前〃项和s“=l_（」）"，求7“=S〃一上的取值范围时,

分奇偶讨论，求〃的最值.

6.12026•河北保定•一模）己知数列｛〃,,｝的前〃项和为S”，且q=l,谭

⑴求S.

（2）若2=（T）”——,求数列也｝的前〃项和.

anan¥\

【解】（1）因为辿一&=1,且6=1,

〃+1n2

可知数列是以首项为鼻=1,公差为J的等差数列,

In12

,.S„,1八〃+1n(n+\)

则r==1+式z〃-1)二亏，所以S,=:'

〃1乙L

(2)由(1)可知：S”=〃(〃“),

n2

1)

当心2时，则4=S“-Sz

2

且4=1符合上式，所以q=〃

,\1、

可得"㈠"篙Hf"耦T㈠)"—+---

\nn+\J

设数列｛"｝的前〃项和为

所以数列也｝的前〃项和为T+CU.

71+1

A题型04两数列的公共项

技法指导

两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是

等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.

7.（2026・重庆万州二模）已知数列依｝的前〃项和S“=2手，也｝为等比数列，公比为2,且4,打+1,

%为等差数列.

⑴求｛q｝与也｝的通项公式；

⑵E数列｛〃“｝和也｝的公共项由小到大排成的数列记为匕｝,求数列匕｝的前〃项和7；.

【解】（1）由S,广即*得，

2

当〃=1时，卬=1=2,

当“N2时，=

ftnn-l22

当〃=1时，上式也成立，所以q=3〃-1.

依题意，々+4=2他+1）,々+午22=2（*2+1）,

解得4=2,所以"=2。.

（2）数列｛4｝和｛2｝的公共项从小到大依次为级,23,2$，2,，…，

所以2、2'，2\2‘，…，构成首项为2,公比为4的等比数列，所以C“=2X4”T,

则…+…书中

8.12025•山东青岛・二模）已知等差数列｛凡｝满足=8,且生-1是4和%+1的等比中项.数列｛"｝的

前八项和为s“，且满足4=3,2SH

(1)求数列｛q｝和仇｝的通项公式；

(2)将数列｛%｝和也｝中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列｛/｝,北N,令4=log3G,

求数列•「的前人项和(.

144+J

【解】(I)，・•%-4=8,；.2/=8,."=4,

且(出一I)[=4.3+1),即(q+3)2=q.(4+9),「.4=3,

an=3+(/?-l)x4=4n-l,

•••2S”=4.-3,〃之2时，2S—,两式相减得，2-n，

即"+]=3〃r,(n>2),且4=2SI+3=2〃]+3=9,/.b2=3Z?t,

•••数列｛"｝是首项为3,公比为3的等比数列，.•・"=3"；

(2)数列｛%｝中的项有｛3,7,11,15,14,23,27,...｝,数列也｝中的项有｛3,9,27,81,243,...｝,

观察规律发现，当“中的第1,35,…，项在｛为｝中有相等的数，即公共项｛cj=｛3,27,243,...pi,…｝,

即，=32i为通项，ZeN,二4=108/21=2^—1,

.1.11______!_]

''443(2AT)(2&+1)2\2k-[2A+1/

71>11(1

r.=--------1---------F...H----------=--------------=-1-------------

444444+1dk+i)212k+\)

12kk_k

=-x--------=---------,故T=---------

22Z+12k+\kk2k+｛

A题型05数列有关增减项问题

技法指导

对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入G成少)了多少项

(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.

9.12025•陕西咸阳二模)已知等匕数列｛q｝的前〃项和为S.,且可.I=2S.+2(〃€N*).

(1)求数列乩｝的通项公式.

(2)在。“与。用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3

项4.，4，4,(其中相，火,〃成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明

理由.

【解】(1)由题意知：

当〃=1时：%q=2a｝+2①

当〃=2时：=2(“+qg)+2②

联立①②，解得q=2,4=3.

所以数列｛4｝的通项公式q=2x3"，

(2)由(I)知％=2x3"，/"=2x3".

所以%a=%+(〃+2-l)d.

所以4=32=1.

”+1n+1

设数列｛4｝中存在3项4”，4,dp,(其中加七〃成等差数列)成等比数列.

则心公必，

所以(4x3=Y_4x3"'“4』3•4X3*''Y_42>3什2

乂因为m，k,〃成等差数列，

所以2A="?+〃

所以(4+1)2=(6+1)(〃+1)

化简得k2+2k=mp+〃?+〃，所以得=mp

又2k=m+p,所以％=〃?=〃与已知矛盾.

所以在数列｛4｝中不存在3项%,4,分成等比数列.

10.(2025•安徽黄山模)已知数列色｝为等比数列，正项数列｛““｝满足也=4一片-4,且％=2,4=1,

久二%.

⑴求｛q｝和低｝的通项公式；

(2)若从｛叫中去掉与数列也｝中相同的项后余卜.的项按原来的幅序组成数列｛%｝，设

Zoo=+。2+。3+,,,+。00，求工00.

【解】⑴因为44=《“-4；-4,

所以=(4+2)2,又巴>o,

所以4“=4+2.

即。向一4=2,乂4=2,

所以数列｛4｝是首项为2,公差为2的等差数列.

所以见=%+(〃-l)x2=2〃，即q二2”，

设也｝的公比为4,又仇=4=8,仄=1,

所以4:8,解得夕=2,

所以”=2"，

综上，数列｛4｝和他｝的通项公式分别为凡=2〃，5=2”，

(2)由(1)知仇=1,b2=2=%,4=4=%，"=8=%，4=16=%，

4=32=46，4=64=/2，^=128=aM,b9=256=<zl28.

所以7100=。+。2+。3+-,+。00=(4+。2+4+,一+4。7)

-｛b2+/+…+4)•

107(2+214)2(1-27)…八r

=------------------=I1502・

21-2

1.(2025.福建福州•期中)在数列｛«„｝中，已知％=1,%•。向记S”为｛q｝的前〃项和，a=+a2n-｝

(1)判断数列｛"｝是否为等比数列，并写出其通项公式;

⑵求数列｛〃“｝的通项公式.

［解］(1)因为4•〃向=(gj，所以4,4+2

j11

所以---=不,。“+2=不。“，

a.22

又4=1，4%=1,所以〃2=：，

因为“=。2"+。27，

\_\_

所以如=*+-==1，

bn%“+%”2

所以｛包｝是以々=%十%=］为首项，公比为方的等比数列，

g_3(1Y-，3

所以a=5x［51=—.

(2)由(1)知%+2=/%，所以4%吗，…是以。产1为首项，3为公比的等比数列;

生吗，4,…是以%=g为首项，公比为3的等比数歹U,

n-l

W2，〃为奇数

所以为=1„

为偶数

2.12021.全国•新高考I卷T17）已知数列｛q｝满足q=1,。，田二1""+；〃也入屋

4+2,〃为偶效

（1）记”,=/"，写出4，人,并求数列他｝的通项公式：

（2）求｛%｝的前20项和.

【解】（1）显然2〃为偶数,则生用=。“+2吗/2=%/1，

所以生=+2=生”+3,即/褊=2+3,且4=%=4+1=2,

所以｛4｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是4=2,仇=5,b“=3〃-1.

由题意知/一1，%-2,%一4,所以々一%一2必-«4-4-1-5.

由%+「勺=1（〃为奇数）及%“-勺=2（〃为偶数）可知，

数列从第一项起，

若n为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若，为偶数，则其后一项减去该项的差为2.

所以q+2-4=3（〃CN'）,则包=印+（〃-1*3=3〃-1.

（法二）由题意知数列｛〃”｝满足q=l,%+「4I:I（]）”（,?wN'）.

3<_n'

所以4=%=%+/+、一=1+1=2,

3（-I》3（-D2

b2=aA=d3+—4—--=+1=a2+—H---1-1=«2+2+1=2+3=5,

则"=a2n=（%“一生”-1）+（生”-1・42—）+一,+（42_%）+%=[+2+]+2+―・+2+1+%

="xl+2（〃-l）+l=3〃-1.

所以白=2也=5,数列也｝的通项公式〃=3〃—I.

（2）520=4+々2+〃3+・••+。20=（6+&+a5+・・・《9）+（〃2+。4+。6+••・+。20）

=（4-1+4一1+b3—1+*,•+'|0-1）+4+42+”3+**.+，|0

=2x（〃+“o）>d（）_i（）=300.

2

3.（2025•河北秦皇岛•二模）已知数列｛4｝是公差大于2的等差数列，其前〃项和为5“，%=5,且4+1,%+1，

巴-2成等比数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

2〃+3

(2)令。=(-1严,求数列出｝的前〃项和Tn.

十乙)a八

【解】(1)设等差数列｛勺｝的公差为d(d>2),则4=生一4=5-1,6=%+3d=5+3d,

由q+1,a2+\,%-2成等比数列，得(6-d)(3+3d)=62,而d〉2,解得d=3,

所以数列｛an｝的通项公式为4=4+(〃-2)d=3/2-1.

-2(3〃-1)+3.=(_])向(_J_+—!―)

(2)由(1)得〃=(-1)向

(3〃+2)(3〃-1)3〃一13〃+2

当九为偶数时，-———

“"255881111143n-43〃一13n-\3，1+223八+2

当“为奇数时,+------)+(------+-------)=—+-------

3//-13〃-13〃+223〃+2

___1_，〃为偶数

2-3/z+2

所以(=

工+」一,〃为奇数

23n+2

4.12025•黑龙江哈尔滨•二模)已知数列｛q｝满足4=5,%“-2%=3"(〃eN‘)，记2=4-3”.

⑴求证：也｝是等比数列；

(2)设&=产，数列｛%｝的前〃项和为S..若不等式(-1)7<5,+券对一切〃©N'恒成立，求实数力的

UnZ

取值范围.

【解】(1)山已知，•••%「2%=3”，

.=3"+2a”,：.bn=an-3"，心=-3向=3"+2。"-3x3”=24-2x3"=2(q-3")=2%

1

Xv«,=5.Z?!=a(-3=5-3=2,

，数列低｝中任意一项不为0,空=2,

「•数列他｝是首项为2,公比为2的等比数列，"=2X2"T=2".

(2)由第(1)问知."=2"

则。〃=竽，设数列｛j｝的前〃项和为s“,

s।c3572〃+10

所以s”=5+齐+f+…+-^―u,

13572/1+1

c修+尹+”+齐以

所以①-②可得:

13222

-Sr=-+—+—+L¥+-----

2n222232”

所以S“=5-(2〃+5

由(-得(-l)"/l<5-(2〃+5)+六,

化简得(-1))<51-得.

f1Y（1y

当"为奇数时，有-2<5，即4>5X（5-5,

/1\nI1c[-

而5x《-5=5乂5—5二一5，所以％>-挤；

'乙）」ma«z，/

当.为偶数时，有％<5=5-5x（g）,

/]、〃/।\2--

而5—5x弓=5-5x-=；，所以

7）Jmin7）44

（515、

综上，丸的取值范围为一彳,丁.

5.12025•河北廊坊联考）己知数列口｝的前〃项和S“满足2S”一叫=〃，且％=3.

（1）求证：数列（〃之2）是常数列；

（2）求数列｛/｝的通项公式.若数列｛"｝通项公式"=3〃-2,将数列｛4｝与｛〃｝的公共项按从小到大的顺

序排列得到数列｛q｝,求kJ的前〃项和.

【解】⑴证明：由2S〃—y=〃，得25间一（〃+1）%=〃+1,

将上述两式相减,得2。川—（〃+1）购+〃。“=1,即叫一（〃-1）”句=1.

fI[

则一।可一1_〃-1=^—=0（/:>2）,

7n-in-\

----n--------〃--一-17-------n----------〃--一-1

,数列｛M卜〃之2）是常数列；

（2）由（1）可知，当“22时，％=二等二=2,

〃一12-1

:.att=2n-l(n^2),检验当〃=1时，4=2〃-1也适用,

an=2n-l(neN"),

•••数列｛凡｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

又数列｛a｝是以1为首项，以3为公差的等差数列，

••.这两个数列的公共项所构成的新数列｛qj是以1为首项，以6为公差的等差数歹U，

力的前〃项和为〃xl+竽、6=3/-2〃.

(+2,/?为奇数,

6.(2025•陕西西安•二模)已知数列｛4｝满足4=1,

2%,〃为偶数，

⑴汜2=生”+2,求伉,外,并证明数列也｝是等比数列；

⑵记%=%»+3，求满足G+0+。3+…+%<100的所有正整数”的值.

【解】(1)由题意，%=3,%=6,%=8,所以々=5,b2=1(),

，打、,+2=(02,川+2)+2=+4=2

''丁%,+2—一+2工+2-'

所以数列｛2｝是首项为5,公比为2的等比数列；

(2)由(1)知=5x2i,所以C“=5X2”T+1,

1

所以c[+c2+c\+•••+/=5x(2°+2+...+2")+〃=5x2"+〃-5,

因为G+G+J+…+%单调递增，

且q+。2+G+。4=79v10()<G+j+q+。4+。5=16(),

所以正整数〃的所有取值为1,2,3,4.

7.(2025•福建莆田•二模)记S“为等差数列｛&｝的前〃项和.已知2%=4+14~3=15.

⑴求｛q｝的通项公式；

(2)记集合人=卜卜=勺,〃£1<｝1=卜,=2"+1,〃£1<｝,将A|JB中的元素从小到大依次排列，得到新数列

也｝,求也｝的前20项和.

【解】(1)设公差为d,

由题意得2%+64=q+2d+14冬=36+3d=15,

解得d=3,q=2,

故q=4+(〃-l)d=2+3(〃-1)=3〃-1；

(2)A=｛2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,50,53,56,…｝,8=｛3,5,9,17,33,65,…｝,

故｛4｝的前20项为2,3,5,8,9,11,14,17,20,23,26,29,32,33,35,38,41,44,47,50,

故｛包｝的前20项和为

2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35+38+41+44+47+50+3+9+33

=517+3+9+33=17x2+^^x3+45=487.

172

8.12025•山东滨州•二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把

这样的操作称为该数列的一次“积扩充”.如：数列2,3经过第一次“积扩充”后得到数列2,6,3；第二次“积

扩充”后得到数列2,12,6,18,3；....设数列1,2,4经过第〃次“积扩充”后所得数列的项数记为4,

所有项的积记为匕.

（1）求人和〃；

⑵求4和匕.

（3）求数列｛〃｝的前〃项积7；.

【解】（1）由题意A=5,4=9,/>=20*,+2+,+3=27=128,^=27*0+2+2*6+2=219.

（2）4+.=4+4-1=24-1.所以4「1=2（4-1）,

又因为A-1=4工0,所以4—IHO,所以争?=2,