人教版七年级数学下册期末复习专练：平行线的压轴题（6大压轴题型）

专题07平行线的压轴题(6大压轴题型)

真题实战•百练通关

题型1拐点铅笔模型题型4平行线+三角板旋转

题型2多拐点锯齿模型题型5平行线+折叠问题

题型3平行线+角平分线综合题型6证明探究类压轴

题型一拐点铅笔模型

1.(24-25七年级下•广东•期末)综合探究

(1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能.

如图①，己知点A是BC外一点，连接48,AC.求乙B4C+zB+”的度数.

解：过点A作EDII8C,则48=,ZC=Z,DAC,

5L'：Z-EAB+Z.BAC+ADAC=180°.LB+/.BAC+zC=_；

(2)【方法运用】如图②所示，已知A8IICD,BE、CE交于点E,Z-BEC=80°,求乙8—乙(7的度数.

(3)【拓展探究】如图③所示，IICD,8"、CG分别平分/ABE和乙DCE,且BF、CG所在直线交于

点F,过户作FH||AB,若乙BFC=36°,求/BEC的度数.

【答案】⑴㈤B,180°

(2)100°

(3)108°

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，

利用转化思想解答是解题的关键.

(1)过点4作EDIIBC,如怪①，根据平行线的性质得到NB=NE4B,zC=Z-DAC,然后利用平角的

定义得到乙B+Z.BAC+ZC=180°：

(2)过点E作ME||AB,如图②，利用平行线的性质得到ME"8,则+乙BEM=180°,乙MEC=4C,

然后把两式相加可得乙8一乙C=100°：

(3)过七点作EM||AB,根据平行线的性质得到4B||ME||CD||FH,根据角平分线的定义得到乙48F=

乙EBF,乙ECG=乙DCG,^ABF=Z.EBF=a,^ECG=Z-DCG=R,结合平行线的性质得至M-/?=36°,

利用NBEC=4BEM+4MEC代入求解即可.

【详解】（1）解：过点A作EDIIBC,

:.乙B=zEAB，LC=^.DAC,

又•••△£•48+Z.BAC+Z.DAC=180°,

：,Z.B+Z.BAC+Z-C=180°；

故答案为：乙EAB,180°；

（2）解：过点E作MEII48,如图,

\'AB||CD,

・・.ME||CD,

AZB+Z.BEM=180%乙MEC=乙C,

"B+/-BEM+4MEC=180°+ZC

:.乙B—AC=180°-乙BEC=180°-80°=100°.

（3）解：过E点作EMIIAB，如图，

FH

'：AB||CD,

：.ABIIMEIICDIIFH,

•・・8产平分乙力8£,CG平分NEC。，

•"ABF=乙EBF,/.ECG=LDCG,

设乙43F=乙EBF=a,乙ECG=Z.DCG=/?,

'：AB||FH,CD||FH,

:,乙BFH-乙ABF-a,乙CFH-乙GCD-0,

♦:乙BFH-乙CFH=（BFC，

/.«-/?=36°,

,：ABIIMEIICD,

・••乙BEM=180°-4ABE=180°-2a,乙MEC=乙ECD=2。，

♦:乙BEC=Z.BEM+乙MEC

=180°-Za+Zp=18UW-2（a-/?）=180°-ZX36u=1081

2

2.(24-25七年级下•安徽芜湖・期末)【阅读理解】

如图1,已知AB||CD,点E,F分别在直线48、CD上，点户在直线A8、CD之间.求证：LAEP+zP+

乙CFP=360°.

图1图2图3

图4图5

证明：如图2,过点P作PQ||AB,

：./-AEP+Z.EPQ=180°.

■:PQIIAB,AB||CD,

；・PQIICD.

工乙FPQ+乙CFP=180°.

・・・/AEP+乙EPQ+乙FPQ+乙CFP=180°+180°,即立4EP+/P+乙CFP=360°.

【类比应用】

(1)如图3,已知4B||CO,LABP=125°,^DEF=115°,求NP=_°.

(2)如图4,已知力B||CD,点E在直线C。上，点夕在直线48上方，连接AP、EP,试说明：乙CEP+乙BAP-

AAPE=180。；

【拓展应用】

(3)如图5,已知4BIICD,点E在直线CD上，点尸在直线力8上方，连接4P、EP,4EP的平分线与/B4P

的平分线所在直线交于点Q,求2乙AQE+乙4PE的值.

【答案】⑴120；(2)见解析•：(3)360°

【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅

助线是解此题的关键.

(1)过点尸作「(？IICD，由对顶角相等可得“EP=(DEF=115。，由平行线的性质可得“PE+乙CEP=

180°,Z-ABP+Z.BPQ=180°,即可得解；

(2)过产点作PMII4B,则ABICD||PM,由平行线的性质可得/MPE=NCEP/MPA+NPAB=180°,

从而得-4MPA-^.PAB=乙CEP-180°,即可得解：

(3)过。点作QG||CD,则QG||AB,由平行线的性质可得乙4QG=乙QAB,乙GQE=乙。EQ,推出〃QE=

LBAQ+乙DEQ,2Z.AQE=2Z.BAQ+23EQ=2(180°-Z.BAF')+2(DEQ,由角平分线的定义可得

3

2284尸=/PAB.2乙DEQ=APED,从而得出24工QE=360。一乙PAB+々PED,由（2）知，乙CEP+

Z.PAB-Z.APE=180°,推出4ApE=/C£P+4PAB-180。，即可得解.

【详解】解：（1）如图，过点。作PQIICD，

VzDFF=115%

・"CEP=乙DEF=115°,

\'PQIICD,

:•乙QPE+乙CEP=180°,

MB||CO,

：.PQ\\AB.

：.乙ABP+乙BPQ=180°,

：.Z.ABP+乙BPQ+乙QPE+乙CEP=360°,

：.Z-ABP+Z,P+乙CEP=360c,

・•・zP=360°-115°-125°=120°；

（2）如图,过P点作PMIIAB,

*：AB||CD,

：.AB||CD||PM，

，乙MPE=4CEP,/-MPA+LPAB=180°,

・・・zMPE-tMPA-LPAB=LCEP-180°,

^LAPE-Z-PAB=乙CEP-180°,

LCEP+Z,PAB-/.APE=180°；

（3）由示例知，过。点作QG||CD,

'：AB||CD,

：.QGIIAB,

4

・"AQG="AB,乙GQE=£DEQ,

LAQE=Z.BAQ+乙DEQ,

：・2乙AQE=2Z.BAQ+2乙DEQ=2(180°-乙BAF)+2^DEQ,

又•••QE,4F•分别是4PE0与乙P4B的角平分线，

：,2Z.BAF=Z-PAB，2乙DEQ=乙PED,

J2Z.AQE=360°-Z-PAB+Z.PED.

由(2)知，LCEP+Z.PAB-LAPE=180°,

：.LAPE=乙CEP+Z.PAB-180°,

：.2/-AQE+Z.APE

=360°-Z-PAB+乙PED+乙CEP+Z.PAB-180°

=180°+180°

=360°,

^2Z.AQE+Z-APE=360°.

3.(24-25七年级下•内蒙古赤峰•期末)已知直线MN、PQ,点A、8为分别在直线MN、PQ上.

图1

(1)如图1,点。为平面内一点，连接AC、BC,若乙C=^NAC+cCBQ,求证：MNWPQ,

(2)如图2,点C,。为平面内两点，连接AC,CD,DB,^MNWPQ,猜想/M4c和乙4c0,乙CDB,匕DBQ的

数量关系，并证明.

【答案】(I)见解析

(2)^ACD+Z.CDB=180°+Z.NAC+Z.DBQ,见解析

【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理.

(1)过C作CSIIMN,证明PQIICS,从而得到MNIIPQ；

(2)过点C作CEIIMN,则乙1=42,过点。作DFIIPQ,则23=匕4,根据平行线的性质得出上5+46=180°,

根据45+46+42+△4=180°+Z1+Z2,即可得出结论.

【详解】(I)证明：过C作CSIIMN,如图所示，

•••乙NAC=/.ACS,

5

•••^ACB=/-ACS+乙BCS=乙NAC+乙CBQ,

Z.BCS=乙CBQ,

•••PQWCS,

:.MN||PQ；

(2)解：Z.ACD+Z.CDB=180°+Z-NAC+zDFQ,理由是：

过点。作CEIIMN,则N1=N2,过点。作。巾IPQ,贝1"3=44,

•••MNIIPQ,

,\CE\\DF,

・・・45+46=180°,

Az5+乙6+匕2+44=180°+41+42,

：.z.ACD+Z.CDB=180°+乙NAC+乙DBQ.

题型二多拐点锯齿模型

4.（24-25七年级卜全国•期末）劳动情瑙.公路修建।一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次

拐弯NM的度数为a.第二次拐弯4N的度数为小到了点尸后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的

道路平行，则NP=.

【答案】180。一0+。

【分析】本题考杳平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑

添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之

间的桥梁.本题可以过点N作NC||P8后借助平行线的知识进行解答.

【详解】解：过点N作NCIIPB.由题可知AM||P8,

6

CB

M

力/NNC||AM||BP,

•••乙M=乙MNC=a,乙CNP+乙P=180°.

cP=180°-乙CNP=180°-（0—a）=180°-p+a.

故答案为：180°—p+a.

5.（24-25七年级下•河北沧州•期末）如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中A8IICD,DE\\AF.若

乙C二70。,乙&4F=30。，则4CDE的度数为（）

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质，合理做出辅助线是解题的关键.

过点C作CM||DE,过点B作BN||AF,利用平行线的性质进行角的等量代换求解即可.

【详解】解:过点C作CMIIDE,过点3作BN||4F,如图所示:

二:台

F

)&o

VDE||AF,

：.DEIIAF||CMIIBN,乙BAF=30°,

=4BAF=30°,

*：ABIICD,乙BCD=70。,

：./-ABC=乙BCD=70°,

:.乙MCB=乙NBC=Z.ABC-LNBA=70°-30°=40°,

,"MCD=乙BCD-Z.MCB=70°-40—30。，

工乙CDE=180°-Z-MCD=180°-30°=150°,

故选：C.

7

6.(24-25七年级下•湖北武汉,期中)如图,下列结论：①若ABIICDIIEF,则Nl=z2：②若ABIICD,且CFUEB,

则Nl=Z2；③若Nl=Z2,且CDIIE凡则ABIICD；④若ABIICD,且乙1=42,则CDIIEF.正确的有()

个.

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析1本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，根据平行线的判定与性质逐一分析判

断即可.

【详解】解：・・NB||CD||EF,

z2=(F,z.1=乙E,

二42不一定正确，故①不符合题意；

如图，延长C尸与的延长线交于点Q,

ABWCD,

z.2=Z.AQC,

CFWBE,

z.1=Z.AQC，

△1二乙2,故②符合题意；

CDWEF,

/2="FE,

zl=z.2,

zl=乙CFE,

不能得到48IIEF,不能得到力810故③不符合题意:

ABWCD,

Z.2=Z.AQC,

Z1=Z2,

Zl=Z.AQC,

CFWBE,不能得到CDIIE凡故④不符合题意;

8

故选：A.

7.123-24七年级下•广东深圳•期中）中华武术，博大精深.小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题.如

图2,已知A8IIC0,ZC=90°,48=78。，ZE=98%则N尸的度数是（）

A.106°B.110°C.118°D.120°

【答案】B

【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键.

过点从产分别作48的平行纭EG,FH,由平行线的性质得到尸B=18（r/EFH=GE居4C+

Z-CEG=180°,分别求出/““、乙GEF,最后根据角的和差即可解答.

【详解】解：过点E、尸分别作AB的平行线EG,产乩

'：AB\\CDf乙C=90°,28=78°,ZCEF=98。，

：.FH\\AB\\CD\\EG,

•••LB+(HFB=180°,zEFH=GEF/C+MEG=180°,

:.乙HFB=180°—乙B=102',^CEG=1800-zC=90°,

:.乙GEF=乙CEF-CEG=8°,

，乙EFH=Z.GEF=8°,

，乙EFB=Z.EFH+Z.HFB=102°+8°=110°.

故选：B.

8.（25-26七年级下•陕西西安・期中）如图，力8||斯,BC1CD,则4a,乙氏乙y之间关系是（）.

A.//?="+ZyB.za+z/?+zy=180°

C.乙a+乙B一乙丫=90°D.z/7+z.y-z.a=90°

9

【答案】C

【分析】分别过C、。作4B的平行线CM和ON,根据两直线平行内错角相等以及角的和差关系得到+

邛=乙BCD+4y,根据垂直的定义得到4a+z/?-zy=90°.

【详解】解：如图，分别过C、。作力B的平行线CM和DN,

'：AB||EF,

：,ABIICMIIDN||EF,

・・・Na=，8CM,乙MCD=LNDC,Z.NDE=Zy

：.La+邛=乙BCM+Z.NDC+乙NDE=乙BCM+乙MCD+Zy=乙BCD+4y.

又・.・BC1CD,

:.乙BCD=90。,

：.z-a+z-p=90°+zy,

/.za+40—zy=90°.

9.（24-25七年级下•浙江温州•阶段检测）如图，AB||CD,乙A=30。，LD=20%若乙E=a°,乙F='，

则。等于（）

A.50B./?+10c.BD.夕+20

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质以及平行公理推论，正确构造平行线是解题的关键.

过点E,尸分别作力8的平行线EG,FH,^\AB||CD||EG||FH,那么41=41,42=乙3,z4=zD,

再根据角的和差计算求解即可.

【详解】解:如图，过点E,F分别作48的平行线EG,FH,

CD

10

ABIICD,

：.AB||CD||EG||FH,

Z.z/1=zl/z2=z3»z4=zD»

'：LA=30°,ND=20。，Z.AEF=a°,乙EFD=伊

：.a=Z14-Z2=30°+Z2./?=z3+z4=z3+20°,

・・・Z3=0-20。，

・・・a=30°+Z2=30°+^3=30°+/7-20°=10°+氏

故选：B.

题型三平行线+角平分线综合

10.（24-25七年级下•福建南平・期末）如图，已知CBIICD,点E,尸分别在48,CD上，点G在两条平行线48,CD

之间，41EG与NC”的角平分线交于点H.若"GF=84。，则乙”的度数为

【答案】42。/42度

【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过点G作GMII4B,易得NEGF=N4EG+

Z.CFG=84°,同理得到+乙CF”，结合角平分线的定义，即可得出结果.

【详解】解：过点G作GM||AB,

\'AB\\CD,

・・・GM||ABIICD，

：,LAEG=乙EGM/CFG=iFGM,

：.LEGF=/.AEG+乙CFG=84°,

同理：乙H=iAEH+乙CFH,

...乙AEG与4CFG的角平分线交于点H,

・•・^.AEH=-^-AEG,乙CFH=-乙CFG，

22

11

：.Z-AEH+乙CFH=：（4力EG+，CFG）=42°,

・•・♦”=42°：

故答案为：42°.

11.（24・25七年级下•上海崇明.期末）如图，48IICD,点Pi位于两平行线之间且在点4C的右侧，分别作

4871%和40cpi的平分线交于点P2，再分别作N84P2和4QCP2的平分线交于点。3，……设乙4Ple的度数

是%则乙4%C的度数用。表示为________.

C套,”

【答案】a。

【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键.过点

Pi作MN||AB,利用平行线性质得到41Ple=NBAPI+乙DCP『进而得到/MP2c=同理可得

〃。30=；4。20=/；0=；20-..依此类推得到-140=2'跖即可解答.

【详解】解：如图，过点Pi作MNII4氏

,:MNIIAB,

Az.1=Z.BAP1,

,：MN||AB,AB||CD,

，：MN||CD,

z2=乙DCP]»

：.Z.APXC=Z1+Z2=4BAP1十4DCP],

•・2B/lPi和NDCPi的平分线交于点P2，

••・同理可得NAP2c=^-BAP2+LDCP2=^BAP,+zDCPO=^AP.C,

：,/.AP2C=^AP1C,

•・ZPiC=a,

/.Z.AP2C=

同理，"P3C=；4伍。=；xga=*a，

12

依此类推，^APnC=^a.

工4力力C的度数用a表示为/a.

故答案为：薪7

12.(24-25七年级上•吉林・期末)已知，直线｛8||0C,点P为平面内一点，连接AP与CP.

(1)如图1,当点P在直线4B,CD之间,且NBAP=60。，NDCP=20。时,则乙4PC=°

(2)如图2,当点P在直线力B,CO之间，且NB4P与WCP的角平分线相交于点K,写出乙4KC与4力PC之

间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,当点P在C。下方时，乙6AP与4OCP的角平分线相交丁点K(K在CD下方)，R^BAP=u,

乙DCP=0,直接写H」亿K的大小(用含a和/?的代数式表示).

【答案】(1)80

(2)2z.AKC=Z.APC,理由见解析

(3)1-7

【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造

内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算.

(1)先过P作PEII4B,根据平行线的性质即可得到N4PE=NB4P,乙CPE=CDCP,再根据乙4PC=

^APE+“PE=Z.BAP+々DCP进行计算即可；

(2)过K作KEIL48,根据KEIIAB||CD,可得ZAKE=XBAK,乙CKE=cDCK,进而得到乙AKC=

乙AKE+乙CKE=CBAK+乙DCK,同理可.得，乙APC=iBAP+乙DCP,再根据角平分线的定义，得出

Z.BAK+Z.DCK=^APC,进而得至ij244KC=/.APC：

(3)过K作KE||AB,根据KE||A8||DC,可得月K=4.4KE,乙DCK=LCKE,进而得至IJ/AKC=

/.AKE-Z.CKE=/.BAK-^DCK,乙APC=LBAP—乙DCP=a-0,再根据角平分线的定义，得出

Z.BAK-Z.DCK=^APC,进而得至1」2乙4KC=4/lPC,即可求解.

【详解】(1)解：如图1,过P作PEII4B,

13

BA

*：AB||DC,

:*PE||AB||CD,

:.乙APE=乙BAP,乙CPE=乙DCP,

ZLAPC=乙APE十乙CPE=乙BAP十乙DCP=600+20°=80°,

故答案为：80；

(2)解：2CAKC=CAPC,理由如下：

如图2,过K作KEIIAB,

'：AB||DC,

KE||AB||CD,

Z.AKE=/.BAK,乙CKE=£DCK、

Z.AKC=/-AKE+4CKE=4BAK+ADCK,

过P作PFIIAB,

'：ABIIDC,

：.PF||ABIIDC,

LAPF=/.BAP,乙CPF=cDCP,

:.Z.APC=Z.APF+乙CPF=LBAP+乙DCP,

乙APC-ZLBAP十乙DCP,

•••MAP与WCP的角平分线相交于点K,

Z.BAK+Z,DCK=^BAP+^/-DCP=^/.BAP+Z.DCP)=^APC,

2/.AKC=Z-APCt

(3)如图3,过K作KEIIAB,

14

BA

图3

*：AB||CD,

:.KE||AB||DC,

：./.BAK=乙AKE,Z.DCK=乙CKE,

/.ZLAKC=乙AKE-乙CKE=乙BAK-乙DCK,

过P作尸尸II4B,

'：AB||CD,

：.PFIIABIIDC,

AZ.APF=Z.BAP,乙CPF=々DCP,

LAPC=LAPP-乙CPF=LBAP-乙DCP,

:.Z.APC=乙BAP-Z.DCP=a一夕，

•・2B4P与4DCP的角平分线相交于点K,

11

J./.BAK=-2Z-BAP,2Z,DCK=-^DCP,

"BAK-乙DCK=；4BAP-：乙DCP=^BAP-乙DCP）=^Z-APC,

：.2/-AKC=Z.APC,

：.Z.AKC=-2Z-APC=-2a--2Br.

13.（24-25七年级下•湖北武汉•期末）问题提出如图I,AB||CD,点瓦厂分别在直线48,CO上，点G是平面

内直线48与直线CO之间的点.，连接EG/G,乙1七6=。（0。<。V90。），zDFG=^（90°</?<180°）,

〃EG的角平分线所在的直线与ZD”的角平分线所在的直线相交于点H,探究NEGF与“”?之间的数

量关系.

问题探究

（1）先将问题特殊化，如图2,当a=40。,£=140。时,

①直接写出"G"和乙E”尸的大小；

②直接写出2乙引”一4EG"的大小；

15

（2）再探究一般情形，如图1,证明（1）②中2zEHF-/EGF的大小仍然不变.

问题拓展

如图3,若点G不在直线48与直线CO之间，其他条件不变，请补全图形，直接写出乙EGF与4EHF之间

的数量关系.

【答案】（I）①4EG尸=80°,乙EHF=130°®2zEHF-zEGF=180。（2）见解析；问题扩展：2乙EHF+

乙EGF=180。或2zE〃F-乙EGF=180°,图见解析

【分析1该题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定，正确作出图图象和辅助线是解

题的关键.

问题探究（1）①如图，过点G作GM」瓯过点H作HNIL4B,根据EH平分zAEGtFH平分乙DFG,

得出=-Z,AEG=-a=20°,乙DFH=-Z.DFG=-B=70°.根据GM||AB,得出/.AEG=

NAEH2222广NEGM=

a=40°.根据GM||AB,AB||CD,得出GM||CD,从而得NFGM=乙CFG=40°.LEGF=80°.结合

HN||AB,得出NEHN=44EH=20。.根据HN||CO,得出々FHN=110。，从而得ZEHF=4EHN+

乙FHN=130°.

②根据①可得NEGF=80°,乙EHF=130°.得出24£7/尸-乙EGF=2x130°-80°=180°.

（2）过点G作GMIIAB,过点H作HNWAB,同（1）根据平行线的性质证明即可.

问题拓展：分为①当点G在直线CD下方时，和②当点G在宜线4B上方时，分别画图求解即可.

【详解】解：问题探究

（1）①如图，过点G作GM||AB,过点H作HNWAB.

卜vEH平分乙AEG,FH平分乙DFG,

：•Z-AEH=-2LAEG=-2a=20°2,乙DFH=-Z-DFG=-/?=70°.

•••GM||AB,

...乙EGM=4AEG=a=40°.

•••GMIIAB,ABIICD，

GMIICD,

:.LFGM=LCFG=180°-乙DFG=180°-p=40°.

...LEGF=乙EGM+乙FGM=400+40°=80°.

•••HN||AB,

Z.EHN=Z.AEH=20°.

•••HN||AB，AB||CD,

•••HNIICD,

16

•••Z.FHN=180°-乙DFH=180°-70°=110°,

•••乙EHF=4EHN+乙FHN=20°+110°=130°.

②根据①可得NEGF=80。，乙EHF=130°.

A2Z.EHF-Z.EGF=2X1300-80°=180°.

(2)2Z.EHF-Z,EGF=180°仍然不变.

证明如下：

过点G作GM||AB,过点H作HNWAB.

vEH平分Z.AEG,FH平分乙DFG,

•••/-AEH=-Z,AEG=-a,乙DFH=-Z.DFG=-/?.

222

•••GM||AB,

:.Z.EGM=乙AEG=a.

•••GMIIAB，ABIICD，

•••GMIICD，

:.乙FGM=180°-乙DFG=180°-/7.

:.Z.EGF=Z.EGM+乙FGM=180°+a-p.

•••HN||AB,

A乙EHN=Z-AEH=-a.

2

•••HN||AB,AB||CD,

:.HN||CD,

:.乙FHN=180°-乙DFH=180°-

乙EHF=LEHN+乙FHN=180°+1a-1^.

2乙EHF-^EGF-180°.

问题拓展：①当点G在直线CD下方时，如图：

过点G作GMIIAB，过点H作HNWAB.

J_______FR

C^>V-0

----------M

佟“----------vEH平分Z.AEG,FH平分(DFG,

17

:."EH=|LAEG=1a,乙DFH=1(360°-乙DFG)=180-i/?.

♦:GMIIAB，

•••Z-EGM=乙AEG=a.

•••GM||AB,AB||CD,

:.GM||CD,

Z.FGM=180°-Z.DFG=180°-p.

LEGF=Z.EGM-乙FGM=a-180°+0.

•••HNIIAB，

•••乙EHN=LAEH=\a.

•••HNIIAB.ABIICD,

：.HNIICD,

:.乙FHN=180°-Z.DFH=180°-(180-))=),

乙EHF=乙EHN+乙FHN=-«+-/?.

22L

••・2乙EHF一乙EGF=180°.

②当点G在直线AB上方时，

过点G作GMIIAB，过点H作HNIL4B.

vEH平分乙AEG,FH平分心DFG,

:.Z-AEH=1(360°-/.AEG)=180°乙DFH=g4DFG=

•••GM||AB，

:.乙EGM=乙AEG=a.

•••GM||AB,AB||CD,

:.GM||CD,

•••Z-FGM=180°-乙DFG=180°-/?.

LEGF=NFGM-MGM=180°

vHN||AB.

18

乙EHN=180°-Z,AEH=180°-(180°-1a)=1a.

HNIIAB,ABIICD,

•••HN||CD,

Z.FHN=乙DFH=-/?,

2产

：•乙EHF=乙EHN+乙FHN=-a+-/?.

22尸

2乙EHF+乙EGF=180°.

14.(24-25七年级下•广东广州•期末)如图1,直线PQIIMN,点A在直线PQ上，点8、C、。在直线MN上,

Z.CAD=n^.EBC,BE上AC于点E,与乙E8M的角平分线相交于点E

⑴求MFC的度数；

(2)如图2,若九二3,3^DAQ=S^CAD,求4E8C的度数；

(3)在(2)的条件下，将绕着点。以5。/秒的速度逆时针旋转，当边CD与射线CM重合时停止，求

在旋转过程中△C4D的其中一边与△8CE的某一边平行时旋转时间t的值.

【答案】(1)45。；

(2)10°：

(3)2或10或12或18或3().

【分析】本题主要考查了角的计算和平行线的性质，正确的计算旋转角是本题解题的关键.

(1)根据角平分线的定义，用ZEBC和2EC8及小出4尸BC和，尸CB,再根据三角形内角和求解即可；

(2)用MBC表示出“AC,再根据平行线的性质得出NEC8,最后根据三角形内角和求解即可；

(3)根据平行两边不同分类讨论，根据平行线的性质求出旋转角，从而求得时间九

【详解】(1)解：:BF平分NM8E,

:.乙FBE=1Z.MBE=1(180c-乙EBC),

:.乙FBC=jFBE+LEBC=90°+-2/.EBC,

•・,6平分zBCE,

，乙FCB=上乙BCE,

2

・•・乙BFC=180°-乙FBC-乙FCB=180°-90°-^乙EBC-1乙BCE=90°-1QEBC+乙BCE)，

*：BELAC,

19

•"E8C+4BCE=90。，

JMFC=90。-45。=45°：

(2)V3ZD/1Q=5ZC/1D,

o

：,z.QAC=^CAD,

,:PQ||MN,

:.乙ECB=Z.QAC=^Z.CAD,

Vn=3,

：./LCAD=3乙EBC,

：,Z.ECB=8"BC,

\'Z-ECB+Z-EBC=90°,

：.Z-EBC=10°；

(3)・・"8C=10。，

：,LCAD=30°,LBCE=80°,

J.Z.ACD=100°,

：.Z-CDA=180°-100°-30°=50°

设旋转时间为/秒，旋转角度为5尸.

,:边CE,CB,CD,&4有共同顶点C,

・•・这四条边不能互相平行，

①IIBC时，如图：

P。

MN

J.Z.CAD=Z.BCA=30°,

r.5to=80o-30o=50°,

解得：t=10;

②当BE||CD时，如图：

C.^BEC=LECD=90°,

20

••・5£。=90。-80。=10。,

解得：£=2：

③当ACIIBE时，如图：

：.Z-ACB=乙CBE=10°,

A5t°=10°+80°=90°,

解得：t=18：

④当ADIIBE时,如图：

J.Z.CAD=Z.BGA=30°,

：.Z.BGA=Z.CGE=30°,

・"GCE=60°,

/.5t°=60°,

解得：£二12；

⑤当4。IICE时,如图：

PQ

D

A

：.Z.ECE=Z.CDA=50%

・•・5严=50+100°=150°,

解得：£二30；

综上所述，£=2或10或12或18或30.

21

题型四平行线+三角板旋转

15.(24-25七年级下•贵州遵义・期末)如图①是某校艺术节搭建的舞台.从上面看，舞台上面有三根铁架，

且三根铁架在同一平面内.如图②A8,CD是两根互相平行的铁架，且铁架4c与两边的铁架CD互

相垂直，在两个铁架的M,N处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，M处

光线射向点4N处光线NQ与NC的夹角为30。.两灯同时开始旋转，光线MP绕射灯M顺时针旋转.光

线NQ绕射灯N逆时针旋转.当两灯射出的光线与铁架48,CD重合时立即反向旋转.旋转中常常出现交

叉照射.若点M处射出的光线每秒旋转4。，点N处射出的光线每秒旋转1。，设旋转时间为£秒.

⑴当旋转时间为20秒时，求/CNQ的度数；

(2)如图③，若两灯射出的光线MP,NQ第一次与边AC相交于一点时，此时/MPN=90。，请求出旋转

时间£的值;

(3)当旋转时间0<t<90秒时,直接写出MPIINQ时t的值.

【答案】(1)50°

(2)£=12

(3)£=30或t=70

【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；

(1)根据题意可得，CNQ=3。+20xl。,即可求解;

(2)根据题意得出过点P作PEIIA8,进而根据乙MPN=NEPM+NEPN=90。，建立方程，解

方程，即可求解；

(3)设射线MP交COF点产，分两种情况讨论，当0WtW45时，MP顺时针旋转，当45<t<90时，MP

逆时针旋转，根据NCNQ=/BMG建立方程，解方程，即可求解.

【详解】⑴解:当t=20时,Z.CNQ=30°+20x1°=50°：

(2)解：a：AB1AC,CDA.AC,

：.AB\\CD.

如图，过点P作PEII力氏

22

图③

：,Z.EPM=/.AMP=tx4°=4t°.

•••PEII48,

：.PE\\CD.

:•乙EPN=乙PNC=30°+txl°=(30+t)°.

又•：乙MPN=乙EPM+乙EPN=90°,

/.4t+t+30=90.

解得：”12,

(3)解：如图，设射线MP交CDJ二点儿

*：AB\\CD,

:,乙BMF=4CFM,

又,.,MP||NQ,

MFC="NC=(30+t)0,

:.乙CNQ=乙BMF,

当0工£工45时，MP顺时针旋转，

•••△BMP=(180-4t)0»

.*.30+t=180—43

解得：t=30.

当45VY90时,MP逆时针旋转,

:.乙BMP=(4t-180)0,

/.30+t=4t-180,

解得：t=70.

综上所述，£=30或£=70.

23

16.(24-25七年级下•山西忻州•期末)综合与探究：如图，直线力BIICD,“rG的顶点"在直线上/EFG=

60°.

E

BA——叶------------B

D(G)C—f-------------D(G)

备用图

(1)如图1,当NGFO=?I。时，zl=_°,z2=_°.(用含几的代数式表示)

⑵在⑴的条件下，若N1是N2的髓，判断EF与CD的位置关系，并说明理由.

(3)如图2,当户G与户。重合时，EF交AB于点、P,将射线FG绕点户以每秒1。的速度逆时针方向旋转，得到

射线FM,同时，将射线PE绕点P以每秒2。的速度顺时针方向旋转，得到射线PN.当射线PN旋转至第

一次与PF重合时•，射线尸M,PN均停止转动.设旋转时间为t秒.在旋转过程中，是否存在PNIIFM?

若存在，求£的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)(180-n)；(120-n)

(2)EFLCD,见解析

(3)存在，t的值为20或80

【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一兀一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质

是解题的关键；

(1)根据平行线的性质，即可求解.

(2)根扭21是42的，倍，结合⑴，得出方程180-n=|(120-n),解得n=30,进而求得ZEFD=90°,

即可得证；

(3)分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列

出方程，解方程即可求解.

【详解】(1)解：:4B||CD,

Azi4-LGFD=180°,Z2=180°-QEFG+乙GFD)=120°-乙GFD

V^GFD-n0,乙EFG-60°

Azl=(180-n)°,42=(120-n)。

故答案为：(180—TI)；(120—n)..

(2)EFlCD.

理由：由题意，得180-九二g(120—九),

解得九=30,

即上GFD=30°,

24

Z.EFD=LEFG+乙GFD=60°+30°=90%

EF1CD.

(3)存在.分以下两种情况:

①如图I,Z-DFM=尸，Z.EPN=2t°.

VPN||FM,

•••Z.EFM=乙EPN=2尸

vZ.EFM+Z-MFD=60°,

•••t+2t=60,解得t=20；

②如图2,乙MFE=乙MFD-乙EFD=(t-60)°,

图2乙FPN=180。一乙EPN=(180-2£)。

VPNIIFM.

乙MFE=乙FPN,

■-t-60=180-23解得t=80.

综上所述，t的值为20或80.

17.(24-25七年级下.湖北黄石•期末)已知:E,产分别是直线4B和CO上的点,AB||CD,G,H点为平面

内两个动点.

(1)如图I,G,

⑵如图2,作直线G点在CO下方，〃点在48和G9之间，连接EH,HF,匕HEF和々"FM的角平分

25

线交于点G.探究乙”与土G的数量关系；

(3)如图3,H,G在直线EF匕射线EH绕点E以每秒12。的速度逆时针旋转，射线FG在£7/旋转6秒后

开始绕点厂以每秒8。的速度顺时针旋转.射线rG旋转160。后两条射线同时停止.设射线尸G旋转/秒时，

射线EHIIFG,直接写出f的值.

【答案】(1)见解析

(2)Z/7=2LG

C27T、72

(3片或w

【分析】本题考查角平分线，平行线的判定与性质，平行公里的推论，旋转，一元一次方程，掌握知

识点是解题的关键.

(1)过点G作GM||48,过点〃作HN||CD,可得/MGH=zNHG,乙EGM=/FHN,继而推导出=

乙BEG,即可解答;

(2)先证明=24GEM,々HE尸=2Z_GE产，继而推导巴N，£T+N"=24G£T+2NG,即可解答.

(3)分类讨论，逐一分析，即可解答.

【详解】(1)如图1,

过点G作GMIMB,过点C作mV||CD,

乂・.・4B||CD,

：.GM||HN||AB||CD,

=乙NHG,

又,：乙EGH=LGHF,

：,Z-EGH-乙MGH=乙GHF-乙NHG,

:•乙EGM=乙FHN,

'：GM||AB,HN||CD,

:.乙BEG=Z.EGM,Z.CFH=乙FHN,

：.Z.CFH=乙BEG,

5L*：Z-AEG+(BEG=180°,乙CFH+乙HFD=180°,

：.Z-AEG=乙HFD.

(2)••.EG平分ZHEF,FG平分4HFM,

:•乙HFM=2乙GFM,乙HEF二2乙GEF,

26

WHFM=180°-乙HFE,乙HEF+乙H=180°-乙HFE,

乙GFM=180°-乙GFE,乙GEF+4G=180°-乙GFE,

:.乙HFM=Z.