2026年高考数学第一轮复习讲义：解三角形及其应用举例（附答案）

§4.10解三角形及其应用举例

（分值：70分）

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.如图所示，设4,“两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C,测出4,

C的距离为50m,/ACB=45。，ZCAI3=IO5°,贝"两点间的距离为（）

A.50\CmB.50V3m

c25\/2

C.25&mD.-----m

2

2.（2025•牡丹江模拟）甲船在湖中6岛的正南A处，AI3-3km,甲船以8kin/h的速度向正北方向航行，同时

乙船从。岛出发，以12km/h的速度向北偏东60。方向驶去，则行驶15min时，两船的距离是（）

A.V7kmB.VT3km

C.V19kmD.（10-3V3）km

3.如图,两座相距60m的建筑物力8,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶

端A看建筑物C。的张角ZCAD等于（）

工.

[^―-------------------

A.30°B.45°C.60°D.75°

4.如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东30。方向上的点。处，在A点测得塔顶C的仰角为30。，

在A点的正东方向且距。点75m的8点测得塔底位于北偏西45。方向上（A,B,。在同一水平面），则塔的

高度8约为（2#.414）（）

A.34.20mB.35.35m

C.35.75inD.36.20ni

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.（2024.兰州模拟）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化

完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗阡高度的方案有（）

A.在水平地面上任意寻找两点4,B,分别测量旗杆顶端的仰角口,再测量A,8两点间距离

B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h.在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端

的仰角a和夕

C.在地面上任意寻找一点4测量出杆顶端的仰角a,再测量A到旗杆底部的距离

D.在旗杆的正前方4处测得旗杆顶端的仰角a,正对旗杆前行5m到达8处，再次测量旗杆顶端的仰角夕

6.（2024・重庆模拟）如图，在海面上有两个观测点8,D,8在。的正北方向，距离为2km,在某天10：00

观察到某航船在C处，此时测得NCBO=45。，5分钟后该船行驶至A处，此时测得乙48C=30。，ZADB

=60°,N4OC=30。，贝ij（）

A.观测点B位于A处的北偏东75。方向

B.当天10：00时，该船到观测点3的距离为VSkm

C.当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为巫km

D.该船在由C行驶至A的这5min内行驶了夜km

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.如图所示，某登山队在山脚A处测得山顶8的仰角NC4B=45。，沿倾斜角为30。的斜坡前进1000米后到

达S处，又测得山顶8的仰角NDS8=75。，则山高BC为米.

8.（2024・临沂模拟）在同一平面上有用距14公里的A,B两座炮台，A在3的正东方向.某次演习时，A向西

偏北。方向发射炮弹，8则向东偏北夕方向发射炮弹，其中。为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的

同一目标，接着A改向向西偏北g方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M,则B炮台与弹着点M的距

离为公里.

四、解答题（共28分）

9.（13分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为I000

km/h,飞行员在A处先看到山顶C的俯角为18。301经过150s后又在3处看到山顶C的俯角为81。.

（1）求飞机在。处与山顶C的距离；（精确到1m）（7分）

（2）求山顶的海拔高度.（精确到1m）（6分）

参考数据：sin18.5°R.32,cosI8.5°^0.95,sin62.5°^0.89,cos62.5%0.46,sin81299,cos810加.16.

10.（15分）（2024.济宁模拟）如图所示，A,B是海面上位于东西方向的两个观测点，八8二5（3+百）海里，。点

位于A观测点北偏东45°,且8观测点北偏西60。的位置，C点位于8观测点南偏西60°,且BC=2（h/3海

里的位置.现。点有一艘轮船发出求救信号，C点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里4寸.求:

（1）06的距离；（8分）

（2）该救援船到达D点所需要的时间.（7分）

答案精析

I.A［因为N4C8=45。，

ZCAB=105°,

所以/A8C=180°-45°-105°=30°,

在中，由正弦定理得

sinzTiCbsinzziHC

所以A,8两点间的距离为50V2m.]

2.B[如图，设行驶15min时，甲船到达M处，

由题意知AM=8X»=2,BN=12X—=3,

6060

MB=AB-AM=3-2=1,

所以由余弦定理，得MN?=MB?+BN2-2MBXBNcos120°

=1+9-2X1X3X（-1）=13,

所以MN=gkni.］

3.B［依题意可得

AD=2（）710m,AC=3（h/5m,

又CD=50m,

所以在△AC。中，由余弦定理得

_（30行）2+（20房）2-5。2_6000_V2

2x30VSx20/106000V2―T

又0°<NC4/X1800,

所以NCAO=45。，

所以从建筑物AB的顶端4看建筑物CD的张角NCAQ为45°.]

4.B[由已知可得，在△A8O中，

有N6AO=6()。，

NA8D=45。，

BD=75,

根据正弦定理

sinz/lHDsinz.BAD

可得A。=—―sinZABD=^f-X—=25n.

sinzfi/lDv32

2

在RtZXAQC中，有NCAO=30°,,4。=25n，tanZCAD=—,

AD

所以CD=AOtan30°=25x/6Xy=25鱼M5.35.]

5.BCD[对于A,如果A,8两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；

对于B，如图1,在△A3。中，由正弦定理求4。，则旗杆的高CQ=/?+AQsin/?,故B正确；

对于C,如图2,在Rt^AOC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高。C=ACtana,故C正确；

B

图3

对于D，如图3,在△48。中，由正弦定理求AO，则旗杆的高C7)=A£>sina,故D正确.]

6.ACD[对于A,AABD=ZABC+ZCBD=30°+45°=75°,因为8在。的正北方向，所以观测点8位

于A的北偏东75。方向，故A正确；

对于B,在△8C。中，ZCTD=45°,NCDB=ZADC+30。+60。=90。，即N8CD=45。，则BD

=CD=2,则BC=2或，故B错误；

对于C,在△口"中，480=75°，4。旌6。。，则,。=45。，由正弦定理得缶二磊，即

BDsinz.ADB

AB==,故C正确；

sinz.BAD

对于D,在△ABC中，

由余弦定理得AC?二

AB2+BC2-2ABBCcosZABC

=6+8-2X76X272X^=2,

即AC=&km,

故D正确」

7.1000

解析由题意得

NSAB=45°-30°=15°,

/SBA=ZAI3C-/SBC=45°-(90°-75°)=30°,

贝/SB=135°,

在△48S中，由正弦定理得

4B二嘿千二厘二I。。。四米)，

2

A^C=A^sin450=1000>/2Xy=1000(米).

8.1()

解析结合题意作出图形，AC=BC=18,AB=14,ZCBA=ZCAB=0,ZMAB=1,

在△树中，由余弦定理得cos。二等芸寄

FTI>|1+cosO25rq0八—ci85

因为COSW=---：—=77且COS->0,所以cos-=-

2236226

在△桢M中，由余弦定理得cos|=|=晋芸萨

解得10公里.

9.解⑴飞机在150秒内飞行的距离为AB=1000X1000X^-=^-X106(m),

360024

在△43C中，由正弦定理，

有・ABBC

sin(81°-18.5°)sinl8.5°

ABsinlB.S0

：.BC=-14981(01).

sin62.5°

(2)飞机、山顶的海拔高度差为BOXsin81°~14831(m),

20250-14831=5419(m),

即山顶