第一章 二次根式（单元自测培优卷）-浙教版八年级数学下册（解析版）

第一章二次根式•培优卷

【新教材浙教版】

参考答案与试题解析

第I卷

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（24.25八年级下•广东广州•期末）若区有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.x>-2C.x>2D.x>-2

【答案】C

【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，要使表达式区有意义，需满足根号内

的值非负旦分母不为零，由此列式求解即可.

【详解】解：根据题意，x-2X-2H0,

・•」的取值范围为x>2,

故选：C.

2.（3分）（24-25九年级下•云再昭通•阶段练习）已知V■而是正整数，则自然数〃的最小值为（）

A.20B.10C.8D.4

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的化简，要使石而为正整数，10〃必须为完全平方数.通过分解质因数分析10〃

的结构，确定〃的最小值.

【详解】解：将10〃分解质因数，得I0〃=2X5X〃.〃的最小值为2x5=10,此时10/1=10x10=100=1（）2,满足条件.选

项中〃=10对应选项B,且其他选项（如4、8、20）均无法使10〃成为完全平方数.综上，自然数〃的最小值

为10.

故选:B.

3.（3分）计算：2024―何源、焉的值为（）

A.2024B.1012C.1D.V2024

【答案】C

【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可.

【详解】解：2024♦例寿高=2024x册x册=2024x短=1,

故选C.

4.（3分）（24-25八年级下•山西朔州•阶段练习）若2621V5=75,则运算符号表示（）

A.+B.-C.xD.+

【答案】B

【分析】本题考杳了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算和运算结果判断即可.

【详解】解：选项A：275+6=（2+1）V5=3V5RL不符合题意.

选项B：2V3-V3=（2-1）V3=V3,符合题意.

选项c：2V5XV5=2X（V5XV5）=2X3=6#V5,不符合题意.

选项D：2V575=2X（V5+V5）=2XI=2R5,不符合题意.

5.（3分）（24-25八年级下•湖北随州•期末）若最简二次根式荷能与例合并，贝布可以是（）

A.4B.5C.7D.14

【答案】C

【分析】本题考查最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质等知识，先由何=2々，再由近是

最简二次根式，可得产7即可确定答案，熟记最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质是解决

问题的关键.

【详解】解：□例=倔"=〃*近=2夜，夜是最简二次根式，且最简二次根式心能与伍合并，

□（7=7,

故选：C.

6.（3分）（24-25八年级下•黑龙江牡丹江•期中）若,v=l-V?而，则代数式F2什2的值是（）

A.2024B.2025C.2026D.-2025

【答案】C

【分析】本题主要查了求代数式的值.根据题意可得x-l=-直而，再代入计算，即可求解.

【详解】解：・・・A1-西芯，

.*.x-l=-v5025,

AA2-ZV+2=（A--1）2+1=（-V2025）2+1=2026.

故选:C

7.（3分）/18-3-V2X/的结果应在（）

A.-1和。之间B.0和1之间C.1和2之间D.2和3之间

【答案】B

【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可.

【详解】解：原式二

V1<V2<2

/.0<V2-l<l

故选B.

【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解

决本题的关键.

8.（3分）（24-25八年级下•安徽阜阳•阶段练习）已知必＞0,a+X0,那么下列各式中正确的是（）

A.V?=aB及=①C.ak-=^abD.Va2b2=ah

【答案】D

【分析】本题考查了化简二次根式.

由已知条件MX）且a+b＜0可知，〃和均为负数，逐一分析各选项即可.

【详解】解：助＜0,

・•・〃和人均为负数,

Aty/c?=-a,选项A错误;

B：当a和从匀为负数时，血和“在实数范围内无意义，等式不成立，选项B错误;

C：左边结果为负数，右边，而为正数，等式不成立，选项C错误;

D：Va2b2=y/a^U\yfi?=(-a)□(-h)=abt等式成立，选项D正确;

故选：D.

9.（3分）（24-25八年级下•安徽阜阳•期中）如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为服兀、宽为0兀的

矩形.若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的半径是（）

A.2V6C.2V3D.3V2

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据题意得出圆的周长，进而求得圆的半径.

【详解】解：这根铁丝的周长为2（虎穴+夜冗）=6夜兀，

，将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为中=3近，

故选D.

10.（3分）（24-25九年级下•山东淄博•期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积

的公式，即三角形的三边长分别为a,b,c,则其中三角形的面枳S=同加此公式与古希腊几

何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p=等，那么其三角形的面积5=标丽两两.这个公式便是

海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公式若。=5,b=6,片7,则此三角形面积为（）

A.6瓜B.9V6C.6>/3D.9百

【答案】A

【分析】先求出〃的值，再根据海伦公式求二角形的面积即可.本题考查/二次根式的应用，考杳学生的计

算能力，掌握而=5万丽（生0右0）是解题的关键.

【详解】解：Va=5»b=6,c=7,

a+b+c5+6+7人

p==-=-^=9,

"22

则三角形的面积S=/?(p-a)(p-b)(p-c)

=，9(9-5)(9-6)(9-7)

=66

故选:A

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（24-25八年级下•湖北武汉•期中）当尸-3时，二次根式后的值是,

【答案】3

【分析】本题考查二次根式求值，直接把尸-3代入二次根式，计算即可.

【详解】解：当尸-3时，

=76^3）

=V9

=3.

故答案为：3.

12.（3分）（24-25八年级下•西藏日喀则•期中）化简J1：的结果是,化简西歹的结果是一

【答案】半

【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的步骤.

利用二次根式化简的步骤进行化简即可.

【详解】解:居岑

J4.dy3=2丹日

故答案为：雪，Zr2人

13.（3分）（24-25八年级下•广东汕头・期末）实数a在数轴上的位置如图，化简历可+斫一

-25-16i2x

【答案】-1

【分析】本题考查了根据数轴判断正负，化简二次根式.

根据数轴可知-23E-1,得到a+l<0,化简即可.

【详解】解：由数轴可知-2&W-1,

«+1<（）,

:.\/（a+l）2+q=-a-1+a=-1

故答案为：-1.

14.（3分）（24-25八年级下•山东青岛・期末）对于任意正实数a,h,定义一种新的运算：aQb=

如2口3=71芯-H=半.请你计算3n6=.

y33------

【答案】竽

【分析】本题考查了新定义的二次根式运算.

直接根据新定义计算即可.

【详解】解：316=5酝-£=3或-《=芈

y]622

故答案为：竽.

15.（3分）若|2017俐M〃-2018=〃b则m-20172=.

【答案】2018

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到〃62018,

由此化简绝对值推出Vw-2018=2017,进而可得加-20172=2018.

【详解】解；•・•疝西1要有意义，

Aw-2018>0,

/.w>2018,

V|2()1l-m\-Vw-2018=7n,

//z-2017+\4n-2018=w，

AV/w-2018=2017,

r.w-2018=20172,

AW-20172=2018,

故答案为：2018.

16.(3分)(24-25八年级下•湖北孝感・期中)我们根据二次根式的相关知识容易知道：

旧=2卡,旧=3&忌=4点,类比上述式子，若屈=94则片----------

【答案】80

【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得至I」(加+DW^=S?+1)乒3,进而求解即

q(m+1)-I-1

可.

【详解】解：「亚=2耳1=34,展=4条…,

胆+1)品=(")后^

，冽+1=9,

:.阳=8,

:.刀=〃〃+l』-l=A+l片1=80,

故答案为：80.

第n卷

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(6分)(24-25八年级下•河北廊坊•期末)计算：

⑴需4g

(2)(A/5+>/2)(V5-V2)-(V3-V2)2.

【答案】(1)7a-2旧

(2)-2+276

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

(1)先提取E，再进行分母有理化化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解;

(2)利用平方差公式和完全平方公式就算即可.

【详解】(1)解；喧-4E

=V74X(泊")

[(夕+2)x34

=VT5xl(V7-2)(V7+2)

=AA4X(V7+2-4)

=A/T4X(V7-2)

=Vl4xV7-2VT4

=7位-2旧；

⑵解：(V5+V2)(V5-V2)-(V3-V2)2

=(^)2-(V2)2-[(V3)2-2VJXV2+(V2)2]

=52(3+2-2遍)

=5-2-5+2V6

=-2+2佩

18.(6分)(24-25八年级下•湖北咸宁•期中)已知：。=2+/，6=2-6,分别求下列代数式的值：

⑴/-■；

(2)a2+ab+b2.

【答案】(1)875；

(2)17.

【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

⑴根据。=2+西42-西可以求得o+b和的值，然后将所求式子变形，再将和〃/的值代入计算即

可；

(2)根据a=2+Z，b=2-v5,可以求得〃+力和H的值，然后将所求式子变形，再将。+力和油的值代入计算即可.

【详解】(1)解：•.Z=2+Z，6=2-西

/.a+b=4,a-b=2v5，

672-b2=（a+Z））（«-/））=4x2V5=8V5；

（2）解：VO=2+V5,ZF=2-V5,

9

..a+b=4tab=-1»

:.a2+ab+b2=（a+b）2-ab=42-（-1）=16+1=17.

19.（8分）已知a,y,z满足卜-41|十，^十&历）2—0.

⑴求X,»Z的值；

⑵以心），，z为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由.

【答案】（1M=2V5,尸5尸3小，

⑵以小户z为边能构成三角形，三角形的周长为5百+5

【分析】本题考查二次根式的实际应用，非负性，熟练掌握非负性，是解题的关键：

（1）根据非负性求出x,y,z的值即可;

（2）根据三角形的三边关系进行判断，利用周长公式进行计算即可.

【详解】（1）解：・・・卜々回+尸+（z-何）2=0,

:.x-vT^=0J「5=0N-V57=0,

:.x=V42=2/产5»Z=V?7=3V5；

（2）V2>/3+5>3V3,

・••以x,y,z为边能构成三角形，

J三角形的周长为：275+5+36=5途+5.

20.（8分）（24-25八年级下•安徽阜阳•阶段练习）观察与思考：

①屉=2#②m=35③辰啸…

⑴根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；

⑵试用含〃（〃为自然数，且心1）的等式表示这一规律，并加以验证.

【答案】⑴届=5册

⑵5+47f目（〃>i的整数），证明见解析

qylzr-1

【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

（1）由题干找出规律求解即可；

（2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明.

【详解】（1）解：•••（!）,2+：=2卡;

③丹=4后…

・•・写出第④个等式为；岛

⑵解：□户1=斤=2后

证明如下：

fi2-l羔，

21.（10分）（24-25八年级下•浙江台州•期中）阅读下列解题过程:

1_V2-1_V2-1-=^-=V2-l.

解:Q+I--（伪2_］

（1）请在横线上直接写出化简的结果:

⑵求〒，（〃为正整数）化简的结果（需要写出推理步骤）.

V/T^l-Vn

【答案】⑴①今夜；②2-6

（2卜/〃+1+G

【分析】本题主要考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题的关键.

（1）利用平方差公式进行分母有理化即可；

（2）利用平方差公式进行分母有理化即可.

［详解］（1）解.—!—=——包包——==73-72-

口十腑/W.（V3W2）（s/3-V2）3-2VZ，

12-V3_2-V3_^仄

2W5-（2+V3）（2-V3）~~_2'V3*

故答案为：V3-V2；2-V3：

(2)解:y/n+l+6_Vn+I♦G=Vn+T+Vn.

(Vw+1•诟)(Vn+1+y)〃+l・〃

22.（10分）（24-25八年级下•四川广安•期末）如图，李明家有一块矩形空地48CO,已知8C=/丽m,

AB=^7m.现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓.其中矩形水池的长为

(719+l)m,宽为(g-l)m.

AD

BC

（1）求矩形空地力4C。的周长.（结果化为最简二次根式）

⑵已知李明家种植的草寿售价为7元/kg,且每平方米产草莓15kg.若李明家将所收获的草蒋全部销售完,

销售收入为多少元？

【答案】（l）18VJ（m）

（2）销售收入为3780元

【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键.

（1）根据长方形周长计算公式求解即可；

（2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产显进行求解即可.

【详解】（1）解：由题意得，长方形空地4?d）的周长为：

2（fiC+^^）=2（/l08+V27）=2（6V3+3V3）=18V3（m）.

（2）解：由题意，得S矩形月BS=8C□力8=何=54（^2）,

S水池=（加+1）（719-1）=19-1=18（ir2）,

□S种植草莓=54-18=36（m?）,

□36x15x7=3780（元）.

答：销售收入为3780元.

23.（12分）（24-25八年级下•河南商丘•阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“近+6=近

的计算错误，下面通过比较夜+石与夜的大小来进行分析•：

将鱼+石，夕两个式子分别平方.

•・,(戈+灼工，(V7)2=".

:.(V2+V5)2_(V7)2.(填“”y”或“=”)

，短+逐>"(填“>"y域“=”)

⑴题干中的四个空依次填

(2)参考上面的方法,比较在和夕-I的大小.

【答案】(l)7+2g,7,>,>

Q)、B/<5-i，过程见解析

【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解

题的关键.

2?

(1)根据完全平方式计算(近+6「，与(V7)比较大小，即可求解，

(2)根据完全平方式分别计算在和6-1,比较大小，即可求解.

222)

【详解】(1)解：・・・(V5+V5)-=(®+2x&xV5+(V5)=2+2怖+5=7+2业，(⑺~=7,

且7+2旧>7,

.・.(a+6)2>(⑺2,

，鱼+V5S

故答案为：7+2/10,7,>,>；

222

(2)解：V(V6-V2)**=(V6)-2xy/6xV2+(V2)*'=6-4V34-2=8-4V3=8-V48,

(V7-1)2=(V7)2-2XV7X1+12=7-24+1=8-277=8-伍,

•・,闻》V西，

A8-V48<8-V28.

.\(V6-V2)2<(V7-1)2

24.(12分)(24-25八年级下•贵州遵义・期末)在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪

个数最大''的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字V5,2V3,3V3,9V3,10V3.游戏

规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上.小星依次

将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.

吟

■

■

■

■

■

/

,因

囱

'

Z

’

…而

血…

/

■

.

■

i图

图2

】

尝试

【初步

张

这三

1）.

（如图

面上

在桌

放置

向下

正面

它们

并将

片，

三张卡

抽取了

她随机

戏，

该游

参与了

芳同学

（I）小

退,

。）=9

，（伉

=6百

（力,4）

如下：

和简记

的数的

卡片上

邻两张

的相

诉她

星告

将小

.小芳

,C

力，B

记为

分别

卡片

导：

如下推

后进行

3.然

=11V

（C4）

C.

a,b,

别为

数分

应的

上对

。卡片

B,

设/,

③

=l1v5

，c+«

9v5②

b+c=

J①，

6=6y

则a+

Lc>a.

>0,

o=3/

得c-

①，

由②-

〃<“

5<0,口

—2V

得〃-a

③，

由②-

大.

数最