2026年中考数学：尺规作图（知识解读+例题讲义）原卷版

第29讲尺规作图

3"知识导航

知识点1：尺规作图

M知识梳理

尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图.

五种基本作图:

五种基木尺规作图

类型图示步骤作图依据

圆上的点到圆心

1.作•条线段等「已a<1）㈣射线0P

的距离等于半径

知线段O~欢------P<2>作射>OPL截取。A=d

（1）以点0为圆心,任意长为半径面弧,分别■:边分别相等的

交OA,0B于点C,D两个三角形全

<2）画一条射线P0,以点P为圆心,0C长为半等；全等三角形

径血瓠,交P0于点C'的对应角相等;

<3）以p为用心，CDK为¥.径画弧，与第两点确定一条直

2.作•个角等f•己知44。

（2）步中所画的弧相交于点D'线

用

<4）过点P、PifM射线PB',则NB'P0=

ZBOC

A（1）以点0为留心，适当长为半径面弧，交

%OA于点M,交OB于点N.

（2）分别以点M、N为国心，大于gMN的

/K-B

3.作一个角的平分线长为半径画孤，两弧在NA0B的内部交r点

C.

（3）画出射线0C,射线0C即为所求

到线段两个端点

1.分别以点A、B为圆心，以大于-.45的长

2题国相等的点在

为半径作菰，两弧相交于C、D两点；

2.作直线CD,CD为所求直线这条线段的垂H

4.作一条垂直平分线平分线匕两点

确定•条内线

点在直（1）以。为圆心，适当长为半径画弧，交直线等腰三角形“三

P.

线上线合一”；两点

于点A、B两点；

确定一条直线

»

（2）分别以点A、B为圆心，大于LAB的长为

2

卡径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点P、C；

5.过一个点作已知直

（3）作直线PC,百线PC即为所求作的垂线

线的垂线

点在区（1）在直线另一•侧去点M；

线外

（2）以点P为国心，PM氏为半径画孤，交比

线1于点A、B两点；

（3）分别以点A、B为留心，大于」AB的长

2

为半径画瓠,两弧相交广点Q；

（4）作亘纭PQ,亘线PQ即为所求作的垂线

西题型精讲—*

【题型1尺规作图-作线段】

【典例1】如图，在△/£（；中，乙1=30。，48=90°.

⑴在斜边/C上求作线段力。，使4。=8。，连接。B：

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

（2）若。8=2,求4B的长.

【变式1】在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与4c大小关系的是（）

A.B.

C.D.

【变式2】尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段〃7,求作△4BC,使乙4=90。/8=m

m

〃

【题型2作一个角等于已知角】

【典例2】如图，已知△/8C,AOAB,ZC=45°.请用尺规作图法，在4。边上求作一点

P,使乙P8C=45。.（保留作图痕迹.不写作法）

B

【变式1】如图，用尺规作出乙OBF=4AOB,所画痕迹而是（）

A.以点B为圆心，0D为半径的弧

B.以点C为圆心，DC为半径的弧

C.以点E为圆心，0D为半径的弧

D.以点E为圆心，DC为半径的弧

【变式2】如图，中，Z,ACB>^ABC.

（1）用直尺和圆规在，C8的内部作射线CM,使乙4CA/=Z//C（不要求写作法，保留

作图痕迹）：

（2）若（1）中的射线CM交于点。，48=9,AC=6,求力。的长.

【变式3】如图，乙。=35。，观察尺规作图的痕迹，的度数为

A

OBC

【题型3尺规作角的和、差】

【典例3】如图，在正方形44CO中，E为力。的中点.

⑴在C。边上求作一点凡使得NC厂8=2乙48E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

⑵在（1）的条件下，若＜B=BC=4,求8/的长.

【变式1】如图，已知40,利用尺规作乙力，使乙4=240.（保留作图痕迹，小写作法）

【变式2】如图，已知i1,Z2.求作立408,使/408=41+42（用尺规作图，不要求写

作法，但要保留作图痕迹）.

【题型4过直线外一点作这条线的平行】

【典例4】尺规作图：如图，点P在直线沙卜，过点P作与直线1平行的直线.

【变式1】如图，已知三角形48C,在边上求作一点M,在边AC上求作一点M使MN|BC.

【题型5作角平分线】

【典例5】如图，四边形4BCD中，AB||DC,AB=BC,力。1。。于点。.

⑴用尺规作的角平分线，交CD于点E,交AC于点。（不写作法，保留作图痕迹）：

⑵连接4邑四边形力BCE是什么特殊的四边形？请加以证明.

【变式1】如图，在△4BC中，AB=AC,点。在4c上，连接8。，并延长至点从连接人从

使力E=48.

E

（1）作乙E/1C的平分线力凡AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；；

⑵在（1）的条件下，连接CF,求证：^ABE=^ACF.

【变式2】如图，四边形4BCD是平行四边形.

（1）用尺规作图作Z4BC的平分线交AD于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）

（2）求证：AB=AE.

【变式3】如图，中，4c=90。.

⑴基本尺规作图：作乙48c的角平分线8。交47于0,过点D作。EJ.力B于E.（保留作图

痕迹，不写作法和结论）

（2）若AC=6,BC=8/B=10,求△ADE的周长.

【题型6尺规作图-作三角形（含特殊三角形）】

【典例6】如图，被墨迹污染了，请你重新作一个△&B/1，使△48C三△&&%.（要

求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）

【变式1】如图，在△/WC中，点。是线段BC延长线上的点，点、E是线段AC延长线上的

点.请利用无刻度直尺和圆规作△OEC,使△4凤:三△DEC（不写作法，保留作图痕

济）

【变式2】已知：线段a和Na,求作：△4BC,CA=]Q,Z,C=za.

Aa

结论:

【变式3】如图，已知线段〃、b.求作Rt△48C,并使两直角边8C=a,AC=b.

b

【题型7尺规作图-作三角形的中线与高】

【典例7】如图，RtaABC中，Z.B=90°.

⑴尺规作图：作4c边上的中线B。（保留作图痕迹，不写作法）；

⑵在（1）所作的图中，将中线8。绕点。逆时针旋转180。得到。。，连接/I。，CD.求证:

四边形/BCD是矩形.

【变式1】如图，已知直线/和/外一点儿请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC,

使得顶点B和顶点。都在直线/上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保

留作图痕迹，不写作法）

A

【变式2】如图，AB=AE,BC=ED,Z-B=zf.

⑴求证：AC=AD,

(2)用直尺和圆规作图：过点4作垂足为£(不写作法，保留作图痕迹)

【题型8尺规作图-作垂直平分线】

【典例8】如图，80是矩形A8CD的对角线.

⑴作线段80的垂直平分线(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；

(2)设80的垂直平分线交力。于点E,交8C于点F,连接8邑DF.

①判断四边形8EDF的形状，并说明理由：

②若48=5,FC=10,求四边形BEDF的周长.

【变式1】如图，AC为正方形48CD的对角线.

您

⑴尺规作图：作4。的垂直平分线，交4D于点E,在，上确定点F,使得点F到ZB4C的两边

距离相等；（不写作法，保留痕迹）

⑵在（1）的条件下，求乙E兄4的度数.（请直接写出NEFA的度数）

【变式2】如图.在△4EU中,乙4=45。.AC>RC.

⑴尺规作图：作线段48的垂直平分线/,分别交/从4c于点。，E：（要求：保留作图

痕迹，不写作法，标明字母）

⑵在（1）所作的图中，连接BE,若48=8,求BE的长.

【变式3】如图，AC是菱形力BCD的对角线.

⑴作边48的垂直平分线，分别与48,AC交于点E,F（尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，连接58,若40=140。，求ZTBF的度数.

【题型9尺规作图-过圆外一点作圆的切线】

【典例9】如图，线段长为8,O是A8上一点，且。4=3,以。为圆心，。4为半径作圆

在力B的上方求作点尸使得8P相切于。0.

【变式1】如图，。。与AB相切于点4且经过。8的中点C.

⑴利用无刻度的直尺和圆规过点B作出。。的另外一条切线，切点为D.(保留作图痕

迹，不写作法)

(2)若0B=4,求而的长.

【变式2】如图是6X6的E方形网格，网格边长为1，△4BC的顶点均在格点上.己知

的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹.

(1)作△4BC的外接圆的直径4D；

⑵过点8作△ABC的外接圆的切线8E.

【题型10尺规作图-作外接圆】

【典例10］如图，在△力BC中，AD1BC,垂足为D

⑴尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△A6C的外接圆。0，作直径力氏连

接BE；

⑵证明：△ABE〜△4DC.

【变式1】如图，在△?!£中，AD1BC,垂足是D.

⑴作△4BC的外接圆。（尺规作图）；

(2)若AB=8,AC=6,AD=5,求△ABC的外接圆。半径的长.

【变式2】如图，已知为等腰三角形，点石为8。的中点，请用尺规作图法，作△48。

的外接圆O。（保留作图痕迹，不写作法）

A

B

E

【题型11尺规作图-作内切圆】

【典例11】已知,如图,在△48C中,乙4c8=90。，请根据下列要求解决问题:

⑴利用尺规作出△ABC的内切圆。0；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵若SM8C=6,内切圆。。的半径为1,求△48C的周长.

【变式1】如图.已知△4BC,请用尺规作图法作出△ABC的内切圆。。.（只保留作图痕

迹，不写作法和证明j

【变式2】如图，△力8。是等腰直角三角形，乙4=90。，AB=AC.

（1）尺规作图：作△力8c的内切圆OO（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）若。。的半径为1,求4C的长.

【题型12尺规作图-作国内接正多边形】

【典例12】作图并填空:

⑴在下图中，利用尺规作图，作出已知O。的内接正/'、边形；(不写作法，保留华图

痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑)

(2)若已知。。的半径为2,则这个内接正六边形的面积为.

【变式1】如图，。。的半径为4.

⑴求作它的内接正方形力"D；

(2)求正方形4BCD的边长.

【变式2】根据背景素材，探索解决问题.

平面直带坐标系中画一个边长为2的正六边形力

六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的

几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份

背

的问题.这个问题由欧儿里得在其名著《几何原本》中详细阐

景A

述.ill

素ChIE

材i

已点C与坐标原点。重合，点。在入轴的正半轴上且坐标为（2,0）

知

条

件

①分别以点C,。为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P：

y\

操②以点P为圆心，PC长为半径作圆；

作③以的长为半径，在。P上顺次截取瓦=EF=FA=

步

瓯____.__d

骤X

④顺次连接。E，EF,凡4,AB,BC,得到正六边形ABCOEF.。（0D

问题解决

任根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕

务迹，不写作法）

―•

任将正六边形绕点。顺时针旋转60。，直接写出此时点E所在位置的坐标：

务

【题型13尺规作图-格点作图】

【典例13］如图，在6x6的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度.△ABC的顶点、

点。和点E都在格点上.仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法.

⑴过点。作8。的垂线段;

(2)过点E作BC的平行线.

【变式1】图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个

小正方形的顶点称为格点.点48均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网

格中按下列要求作△力8C,点。在格点上.

图①图②图③

⑴在图①中，△姒:的面积为!；

⑵在图②中，△力的面积为5

⑶在图③中，△48C是面枳为|的钝角三角形.

【变式2】如图，在单位长度为1的网格中，点。，A,8均在格点上，。4=3,AB=2,

以。为圆心，。力为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题:

①过点力作切线4C,且力。=4（点C在力的上方）；

②连接0C,交。。于点。；

③连接与4U交干点月.

⑴求证：BD为。。的切线;

⑵求AE的长度.

臼随堂检测

1.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段8。一定是△48C的（）

A.角平分线B.高线C.中位线D,中线

2.如图，在△力8c中，AC>BC,分别以点4,8为圆心，以大于%8的长为半径画弧，两

弧交于O,E,经过0,E作直线分别交A8HC于点/，N,连接BN,下列结论正确的

是（）

A.AN=NCD.BN平分乙ABC

3.如图，直线力B||CD,点E,尸分别在直线4B,CD上，连接E凡以点E为圆心，适当长为

半径画弧.交射线E力于点M,交于点N,再分别以点M,N为圆心，大于;MN的长为

半径画弧（两弧半径相等），两弧在乙4£尸的内部相交于点从画射线EH交C。于点G,

若〃E尸=80°,则NEGF的度数为（）

A.100°D.40°

4.下面是“作一个角使其等于乙4OB”的尺规作图方法.

（1）如图，以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交。力，。8于点C,D；

（2）作射线。工'，以点。'为圆心，。。长为半径画弧，交。工'于点C'；以点C'为圆心，

长为半径画弧，两弧交于点》；

（3）过点作射线。力'，则〃—=一0B.

上述方法通过判定△C‘O'D'w△COD得到乙4’0'夕=Z.AOB,其中判定△C'O'D'

三△C。。的依据是（）

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

5.如图，在。中，AB=AC,乙4=120。.分别以点力和C为圆心，以大于9c的长度为

半径作弧，两弧相交于点尸和点。，作直线P0分别交8C，4C于点。和点E.若

8=3,则4D的长为（）

6.如图，在△A8C中，分别以A,C为圆心，大