《向量的数乘运算》分层作业-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算分层作业

学校:姓名：班级：考号：

A层

1.如图，设A8=xA。，AC=yAE,线段。石与BC交于点F,且=则4x+y=

A.4B.3/八

5.

C.-D.5

2

2.在VA8C中，点D在BC边上,且3D=；BC,设从心”，4C=b，则八。=（）

3113C

A.4-4-B.4-4-D.

3.已知向量44=〃+3A，4c=5a+3〃，CD=-3a+3b^则（）

A.A,B,。三点共线B.A,从。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

4.（多选）下列命题正确的有（）

A.（-5）（6。）=-30〃

B.7(a+b)+6b=la+\3b

C.若。=m—〃,力=3(m-n),则a,0共线

D.(a-5b)+(a+5b)=2a,则a,6共线

5.如图，在V/WC中，44=34。，E是CD的中点.设C4=〃，（7/3=力.则CE

6.如图，在VA3C中，AM=-AI3,BN=-BC.i§：AB=a,AC=b.

32

（1）用a力表示BCMN；

--5-1-

⑵若P为VABC内部一点，且40=立。+裂.求证：M,P,N三点共线.

B层

1-7

7.如图，在VABC中，AN=-ACNM=-NB,若CM=/MB+〃AC,贝lJ2+〃=()

3f3

8.设平面向量a与〃不共线，NswR,则“a+劭与sa+2h共线”是“式=2”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.在V/VJC中，点£>是43的中点，点尸在CD上，若AP=/iAB+gAC,则久一（〉

A.-B.-C.-D.-

6333

10.（多选）设。为VABC所在平面上一点，内角A,B.C所对的边分别为4,b,c,则正

确的（）

A.。为V4BC的外心

A

B.O为V4AC的重心O0A+08+0C=0

C.。为VA3C的垂心O0AO8=O8OC=OCQA

D.。为VABC的内心oa0A+〃03+c0C=0

11.在V4BC中，。为AC上的一点，满足AO=g。。.若尸为8。上的一点，满足

41

AP=mAB+nAC（m>0,/?>0）,则机与〃的关系为；7+：的最小值为

12.已知VA3C中，过重心G的直线交边A8（不含端点）于P,交边（不含端点）力。于

Q,设△APQ的面积为加，VABC的面积为&，AP=pPB,AQ=qQC.

（1）求证：-+-=1.

pq

（2）求今的取值范围.

试卷第2页，共2页

《6.2.3向量的数乘运算》参考答案

题号123478910

答案DCBABCDCBBCD

I.D

|414

【分析】先计算出A尸=+进而得到4尸=+利用共线定理的推论

JJJJ

14

得到得到答案.

【详解】BF=AF-AB，BC=AC-AB^

又BF=>BC,^AF-AB=-AC--A13,所以4尸='AC+±A8,

1-4

因为4B=xAD，AC=yAE，所以=《yAE+-A/\D,

因为。，瓦尸三点共线，所以白，+%=1,

JJ

故4x+y=5.

故选：D

2.C

【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.

【详解】因为点。在3C边上，且加>=(AC,

uunminiurnuiniuiuuin.2111n1LRUI2r1r

所以AQ=AB+-8C=AB+-(AC-幽=一"+-4。=一。+-〃.

333333

故选：C.

3.B

【分析】利用平面向量共线定理逐项判断即可.

【详解】对于A选项，因为A8=a+3〃，8C=5o+3〃，故八8、BC不一定共线，A错误；

对于B选项，BD=BC+CD=(5a+3b)+^-3d+3b)=2a+6b=2ABt

故A、8、。三点共线，B正确；

对于C选项，因为4C=A8+8C=,+3Z?)+(5〃+3/?)=6a+6Z?,CD=-3a+3b»

所以AC、CO不一定共线，C错误；

对于D选项，因为8C=〃+35，CD=-3a+3b，则8C、CO不一定共线，D错误.

故选：B.

4.ARC

答案第1页，共6页

【分析】根据向量的数乘运算判断A,B；由共线向量的定义判断C,D.

【详解】解：对于A,(-5)(6a)=(-5x6)。=一30a,故正确：

对于B,l(a+b)+6b=7a+7b+6b=la+\3b,故正确：

对于C,因为〃=-〃力，所以人=3“，所以〃,力共线，故正确；

对于D,因为(〃-5/：＞)+(〃+5/：＞)=24恒成立，所以.a,人不一定共线，故错误.

故选：ABC.

5.-a+—b

36

【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系.

【详解】因为A8=3AO,且七是C。的中点，

inr1uin1/UirUUBI/uir]uun、]「mr1/Utruir.1iuiriuir

则CE=_CO=_C4+ADV=_C4+_48JCA+-\CB-CA\=-CA+-CB

36f

iiur।r

.11.CA=a，CB=b»所以CE=—a+—b.

故答案为:

6.(1)HC-b—ay=—b+—a

⑵证明见解析

【分析】(1)由图中线段的位置及数量关系，用ACA8表示出8cMN,即可得结果；

(2)用表示AM+AN，得到A尸=+〃AN,根据向量共线的结论2+4=1即证结

论.

【详解】⑴由题图，BC=AC-AB=b-a^

___—.——.]一-)一[一一2-1-1-

MN=BN-BM=-BC+—AB=—(b-a)+—a=—b+—a.

232326

(2)由AM+AN」A8+AC+CN」AB+A。」ACa)=*〃+1〃，

3323262

)CAP=^-a+\b,所以AP=[AM+[AN,故M,P,N三点共线.

124

答案第2页，共6页

c

7.D

【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.

【详解】7在VA4c中，AN=：AC,

12

：,CN=AN-AC=-AC-AC=——AC,

33

o1-2f-I-A2-2

又NM=±NB,：.NB=AB-AN=AB一一AC,：.NM=-AB——AC\=-AB--AC,

33313J39

2222K

：.CM=CN+NM=——AC+-AB——AC=-AB——AC=AAB+pAC,

33939

28282

二.％0=一,〃=,：.A+U=----=.

39399

故选：D.

8.C

【分析】根据共线定理可得。+奶=丸卜。+%），由〃与〃不共线，得攵-2/1=0且公=1=0,

即可结合充要条件的定义求解.

【详解】若a+姑与卬+2）共线，则存在非零实数4,使得。+幼=小"划，即

（k-2A）b=（%一1）〃,

由于平面向量〃与方不共线，所以攵-24=0且抬一1=0.故s&=2,

因此“a+kb与sa+2b共线”是“狄=2”的充要条件，

故选：C

9.B

【分析】由题意CP=（|-2）CA+/ICB,CQ=；C4+；。，根据点尸在C。上，即可列方

程求解.

【详解】由题意点。是AB的中点，所以CQ=《CA+《C4,

22

又AP=4A3+gAC,所以AC+CP=2（AC+C8）+gAC,

答案第3页，共6页

{2]

解得CP=——ACA+ACB,

13）

乂因为点尸在CO上，

1

23-

所以--2

2A解得2或2=（舍去）.

2

--JJ

3

故加B

•

o.BcD

【分析】由三角形四心的定义，利用正弦定理，向量共线定理和平面几何的知识，即可得出

结果.

【详解】A.当0为三角形的外心，由正弦定理可得：|询=|调=|浅卜缁入，故A错误;

B.当。为三角形的重心，。为中线的交点，延长A。交BC于点M,可得|40|=2|。例],所以

UUUUUU11UDUlUDIMlllUUIW1F

AO=2OM=O4+OC;.・.OA+OB+OC=0.

反之，取3C中点M,若（M+O8+OC=0，则拗+2潴=f），则可得A,0,M三点共线且

\O^=2\OM\t即A为三角形的重心.故B正确；

uuuiwuuiuimuuuimurnuuiiuuuuuuo

C当。为三角形的垂心，OA_L8CnO/l即C=0nO/imOC-O8）=0nO49。=。八复历，同理

可证0389c=0448，即。4・OB=O4・OC=OC・QA，反之也成立，故C正确；

D.当。为三角形的内心，0为三角形的角平分线，则3=罔*=相，如图过A作C/的

平行线交BE的延长线于点M过A作8E的平行线交b于点M,则四边形AMON为平行

四边形

iiLiirULId

OMnun

UlTUUU'ULUIONmm|AE|UIUinnrLiim/,uun

OA=OM+ON=Ttmt-gCO-F"即0=舄3+舄即0=一霹。+20

CE

\coBO\\18日aa

l一,ULIUIB1LlUUIUllLUKILlUUI.,....,__.

^^aOA-cCO-b8O=0^aOA+cOC+bOB=0^反N也成U，故D正确;

答案第4页，共6页

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：平面向量结合平面几何的知识进行推理是解题的关键.本题考查了理

解辨析能力、逻辑推理能力和解决问题能力，属于难题.

11.m+4n=\16

【分析】根据平面向最共线定理的推论得到〃?+4〃=1,再由乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】如图所示，

由人£)=!。。得4。=!4(7,即AC=4AO，

34

又AP=mAB+nAC(m>G,n>0),

所以=+又P为BD上的一点,

所以〃?+4〃=1,

因为〃?>0,n>0,

□-“41(41,16〃、cJ16〃〃？

所以一+—=—+—(〃?+4〃)=8+——+—>8+2---------=16,

mnyrnn)mnVmn

当且仅当则=生即机=:、〃=：时等号成立，

mn28

所以14+!1的最小值为16.

mn

故答案为：/〃+4〃=1；16.

41、

12.(I)证明见解析；(2)

,'-/

LK.M11ULUU1prUI叫qy

【分析】(I)设Ab=a,AC=A可得AP=J-a,AQ=-f-b,利用三点共线可得

1+p1+q

ULUlLK.ULU.UUCU.U

AQ-AP=/l(AG-AP)，即可建立关系求证结论；

(2)利用三角形面积公式化简可知率-再结合,+'=1及P的取值范围，利

用二次函数求最值即可得到结果.

LH.UIUUU1

【详解】设A8=«AC=方，乂•,AP=pPB,AQ=qQC

答案第5页，共6页

iuunruun〃r

:.AP=-^-at:.AQ=-^-b

1+p1+g

QP,G,Q三点共线，则存在力,使得尸Q=/IPG,即AQ—AP="AG—AP)

p-----A—―A--p-----

I+/)31+pp_q

即=p+q=pq,

q_A整理得行养r言2/?-l!+(/

T+^-?

两边同除以图得，-+-=i

pq

umnULK