2026年辽宁省人教版高中数学函数性质专项训练

2026年辽宁省人教版高中数学函数性质专项训练一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)可化为：f(x)=\{\begin{cases}-2x-1,&x<-2\\3,&-2\leqx\leq1\\2x+1,&x>1\end{cases}\]当-2\leqx\leq1时，f(x)取得最小值3，故选C。3.函数f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的图像关于y轴对称的充要条件是（）A．\omega=2,\phi=\frac{\pi}{3}\mod2\piB．\omega=2,\phi=k\pi+\frac{\pi}{3}\mod2\piC．\omega=2,\phi=\frac{\pi}{6}\mod2\piD．\omega=2,\phi=k\pi-\frac{\pi}{3}\mod2\pi解析：函数图像关于y轴对称需满足2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\Rightarrow\phi=k\pi-\frac{\pi}{3}，故选D。4.若函数f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1处取得极值，则a、b、c满足的关系式为（）A．a+b+c=0B．a+c=bC．ab=c^2D．a-b=c解析：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac-b=0，即ab=c^2，故选C。5.函数f(x)=\ln(x^2+1)-2x的导函数f'(x)的符号为（）A．x>0时>0，x<0时<0B．x>1时<0，-1<x<1时>0C．x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)时<0，x\in(-1,1)时>0D．x\in(-\infty,-1)\cup(0,1)时>0，x\in(-1,0)\cup(1,+\infty)时<0解析：f'(x)=\frac{2x-2}{x^2+1}，令f'(x)=0得x=1，当x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)时f'(x)<0，当x\in(-1,1)时f'(x)>0，故选C。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，由零点存在性定理可知，零点位于(-2,0)、(0,2)、(2,3)，共3个，故选C。7.函数f(x)=\sinx-\cosx的图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称的充要条件是（）A．f(x)是奇函数B．f(x)的周期为\piC．f(x)的图像平移\frac{\pi}{4}后与y轴对称D．f(x)的图像平移\frac{\pi}{2}后与y轴对称解析：f(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})，图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称需满足x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrowx=k\pi+\frac{3\pi}{4}，即平移\frac{\pi}{2}后与y轴对称，故选D。8.函数f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函数f^{-1}(x)的图像不经过的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^x+1-2}{e^x+1}=1-\frac{2}{e^x+1}，反函数f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，定义域为(-1,1)，图像经过(0,0)、(1,0)、(0,1)，不经过第三象限，故选C。9.函数f(x)=x|x|+ax+b在x=1处取得极值，则a、b的关系为（）A．a+b=0B．a-b=0C．a+b=1D．a-b=1解析：f(x)=\{\begin{cases}x^2+ax+b,&x\geq0\\-x^2+ax+b,&x<0\end{cases}\]当x\geq0时f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，此时f(1)=1-a+b=0，即a+b=0，故选A。10.函数f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)在区间(-1,1)上的图像关于（）对称A．x轴B．y轴C．原点D．y=x解析：f(-x)=\ln(1-x)-\ln(1+x)=-f(x)，f(x)是奇函数，图像关于原点对称，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=2^x-1在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为________参考答案：3解析：f(x)在[0,2]上单调递增，f(0)=0，f(2)=3，故最大值与最小值之差为3。2.若函数f(x)=\sin(2x+\phi)在x=\frac{\pi}{4}处取得最大值，则\phi的取值集合为________参考答案：\{\frac{\pi}{4}+2k\pi\midk\in\mathbb{Z}\}解析：2\cdot\frac{\pi}{4}+\phi=\frac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow\phi=\frac{\pi}{4}+2k\pi，k\in\mathbb{Z}。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图像与x轴的交点坐标为________参考答案：(0,0)、(1,0)、(2,0)解析：f(x)=x(x-1)(x-2)，交点坐标为(0,0)、(1,0)、(2,0)。4.函数f(x)=\ln(x^2+1)-2x的导函数f'(x)的零点个数为________参考答案：2解析：f'(x)=\frac{2x-2}{x^2+1}，令f'(x)=0得x=1，f'(x)在(-\infty,1)时<0，在(1,+\infty)时>0，零点个数为1，但需注意x=0时f'(x)=0，故零点个数为2。5.函数f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函数f^{-1}(x)的解析式为________参考答案：f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，x\in(-1,1)解析：由y=\frac{e^x-1}{e^x+1}\Rightarrowe^x=\frac{1+y}{1-y}\Rightarrowx=\ln(\frac{1+y}{1-y})，反函数为f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，定义域为(-1,1)。6.函数f(x)=x|x|+ax+b在x=1处取得极值，则a+b的值为________参考答案：-1解析：f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，此时f(1)=1-a+b=0，即a+b=-1。7.函数f(x)=\sinx-\cosx的图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称的充要条件是________参考答案：f(x)的图像平移\frac{\pi}{2}后与y轴对称解析：f(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})，图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称需满足x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrowx=k\pi+\frac{3\pi}{4}，即平移\frac{\pi}{2}后与y轴对称。8.函数f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)在区间(-1,1)上的图像关于________对称参考答案：原点解析：f(-x)=\ln(1-x)-\ln(1+x)=-f(x)，f(x)是奇函数，图像关于原点对称。9.函数f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的图像关于y轴对称的充要条件是________参考答案：\phi=\frac{\pi}{6}+k\pi\mod\pi解析：2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\Rightarrow\phi=\frac{\pi}{6}+k\pi，k\in\mathbb{Z}。10.函数f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1处取得极值，则a、b、c满足的关系式为________参考答案：ac=b解析：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac-b=0，即ac=b。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上一定存在最大值和最小值。参考答案：×解析：例如f(x)=x在(-\infty,+\infty)上单调递增，但无最大值和最小值。2.函数f(x)=\sinx+\cosx的图像关于直线x=\frac{\pi}{4}对称。参考答案：√解析：f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})，图像关于x=\frac{\pi}{4}对称。3.若函数f(x)是偶函数，则f'(x)一定是奇函数。参考答案：√解析：f(-x)=f(x)\Rightarrowf'(x)=-f'(-x)，f'(x)是奇函数。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(-2,3)上至少存在一个零点。参考答案：√解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，由零点存在性定理可知，零点位于(-2,0)、(0,2)，至少存在一个零点。5.函数f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)在区间(-1,1)上是增函数。参考答案：√解析：f'(x)=\frac{2}{1-x^2}>0，f(x)在(-1,1)上单调递增。6.函数f(x)=2^x-1在区间[0,2]上的图像关于点（1,0）对称。参考答案：×解析：f(x)在[0,2]上单调递增，图像不关于点（1,0）对称。7.函数f(x)=\sinx-\cosx的图像关于原点对称。参考答案：√解析：f(-x)=\sin(-x)-\cos(-x)=-\sinx-\cosx=-f(x)，f(x)是奇函数，图像关于原点对称。8.函数f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函数f^{-1}(x)是奇函数。参考答案：√解析：f(x)是奇函数，其反函数也是奇函数。9.函数f(x)=x|x|+ax+b在x=1处取得极值，则a一定为-2。参考答案：√解析：f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2。10.函数f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的图像关于y轴对称的充要条件是\phi=\frac{\pi}{3}。参考答案：×解析：充要条件是\phi=\frac{\pi}{6}+k\pi，k\in\mathbb{Z}，不是\phi=\frac{\pi}{3}。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=\sin(2x+\phi)在x=\frac{\pi}{4}处取得最大值，求\phi的取值范围。解：f(x)在x=\frac{\pi}{4}处取得最大值需满足2\cdot\frac{\pi}{4}+\phi=2k\pi+\frac{\pi}{2}\Rightarrow\phi=2k\pi+\frac{\pi}{4}，k\in\mathbb{Z}。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调递增区间为________。解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或2，当x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)时f'(x)>0，f(x)单调递增，单调递增区间为(-\infty,0)\cup(2,+\infty)。3.函数f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)的反函数f^{-1}(x)的奇偶性为________。解：f(x)是奇函数，其反函数也是奇函数，即f^{-1}(x)是奇函数。4.函数f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的周期为________。解：f(x)的周期T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi。5.函数f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函数f^{-1}(x)的定义域为________。解：f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}，由\frac{e^x-1}{e^x+1}=y\Rightarrowe^x=\frac{1+y}{1-y}，反函数f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，定义域为(-1,1)。6.函数f(x)=x|x|+ax+b在x=1处取得极值，求a的取值范围。解：f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，故a的取值范围为a=-2。7.函数f(x)=\sinx-\cosx的图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称的几何意义是什么？解：f(x)的图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称意味着对于任意x，都有f(\frac{\pi}{2}-x)=-f(x)，即图像平移\frac{\pi}{2}后与y轴对称。8.函数f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1处取得极值，求a、c的关系。解：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac=b，故a、c的关系为ac=b。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=\sin(2x+\phi)在x=\frac{\pi}{4}处取得最大值，求f(x)在区间[0,\frac{\pi}{2}]上的零点个数。解：f(x)在x=\frac{\pi}{4}处取得最大值需满足2\cdot\frac{\pi}{4}+\phi=2k\pi+\frac{\pi}{2}\Rightarrow\phi=2k\pi+\frac{\pi}{4}，k\in\mathbb{Z}，取k=0时\phi=\frac{\pi}{4}，f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{4})，令f(x)=0得2x+\frac{\pi}{4}=k\pi\Rightarrowx=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{8}，在[0,\frac{\pi}{2}]上，k=1时x=\frac{3\pi}{8}，k=2时x=\frac{7\pi}{8}，故零点个数为2。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值与最小值分别为________和________。解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-16。3.函数f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)的反函数f^{-1}(x)的解析式为________。解：由y=\ln(1+x)-\ln(1-x)\Rightarrowe^y=\frac{1+x}{1-x}\Rightarrow1+x=e^{y}(1-x)\Rightarrowx=\frac{e^y-1}{e^y+1}，反函数为f^{-1}(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}，定义域为(-1,1)。4.函数f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的图像关于y轴对称的充要条件是________。解：f(x)的图像关于y轴对称需满足2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\Rightarrow\phi=\frac{\pi}{6}+k\pi，k\in\mathbb{Z}。5.函数f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函数f^{-1}(x)的奇偶性为________。解：f(x)是奇函数，其反函数也是奇函数，即f^{-1}(x)是奇函数。6.函数f(x)=x|x|+ax+b在x=1处取得极值，求a+b的值。解：f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，此时f(1)=1-a+b=0，即a+b=-1。7.函数f(x)=\sinx-\cosx的图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称的几何意义是什么？解：f(x)的图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称意味着对于任意x，都有f(\frac{\pi}{2}-x)=-f(x)，即图像平移\frac{\pi}{2}后与y轴对称。8.函数f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1处取得极值，求a、c的关系。解：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac=b，故a、c的关系为ac=b。标准答案及解析一、单项选择题1.B2.C3.D4.C5.C6.C7.D8.D9.A10.C解析：2.奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。3.分段函数f(x)可化为：f(x)=\{\begin{cases}-2x-1,&x<-2\\3,&-2\leqx\leq1\\2x+1,&x>1\end{cases}\]当-2\leqx\leq1时，f(x)取得最小值3，故选C。4.函数图像关于y轴对称需满足2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\Rightarrow\phi=k\pi-\frac{\pi}{3}，故选D。5.f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac-b=0，即ab=c^2，故选C。6.f'(x)=\frac{2x-2}{x^2+1}，令f'(x)=0得x=1，当x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)时f'(x)<0，当x\in(-1,1)时f'(x)>0，故选C。7.f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，由零点存在性定理可知，零点位于(-2,0)、(0,2)、(2,3)，共3个，故选C。8.f(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})，图像关于点（\frac{\pi}{4},0）对称需满足x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrowx=k\pi+\frac{3\pi}{4}，即平移\frac{\pi}{2}后与y轴对称，故选D。9.f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^x+1-2}{e^x+1}=1-\frac{2}{e^x+1}，反函数f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，定义域为(-1,1)，图像经过(0,0)、(1,0)、(0,1)，不经过第三象限，故选C。10.f(x)=x|x|+ax+b在x=1处取得极值，f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，此时f(1)=1-a+b=0，即a+b=0，故选A。11.f(x)是奇函数，图像关于原点对称，故选C。二、填空题1.312.\{\frac{\pi}{4}+2k\pi\midk\in\mathbb{Z}\}13.(0,0)、(1,0)、(2,0)2.215.f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，x\in(-1,1)3.-117.f(x