2026高中数学10大导数：专题38 由函数零点或方程根的个数求参数范围问题学生版

专题38由函数零点或方程根的个数求参数范围问题

【例题选讲】

2

[例1]已知函数f(x)＝x2＋－alnx(a∈R)．

x

(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)有唯一的零点x0，求[x0]．

注：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2．

(参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946)

1

[例2]已知函数f(x)＝xex－a(x＋1)2．

2

(1)若a＝e，求函数f(x)的极值；

(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

[例3]已知函数f(x)＝ex－2x－1．

(1)求曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程；

(2)设g(x)＝af(x)＋(1－a)ex，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

[例4]已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R．

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

[例5](2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)·ex－x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

[例6]已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax(e＝2.71828…是自然对数的底数)．

(1)若函数f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，求实数a的取值范围；

1

0，

(2)若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)在区间2内无零点，求实数a的最大值．

【对点训练】

1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2．

(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a．

2．设函数f(x)＝lnx＋x.

a1

(1)令F(x)＝f(x)＋－x(0<x≤3)，若F(x)的图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成

x2

立，求实数a的取值范围；

(2)若方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，求正数m的值．

3．函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

4．设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；

1

，3

(2)设函数f(x)在3上有两个零点，求实数a的取值范围．

5．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

6．已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2，a∈R．

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

7．已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋lnx)＋a．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间．

1

0，

(2)若函数f(x)在区间2上无零点，求a的最小值．

lnxa

8．已知函数F(x)＝－．

x－1x＋1

(1)设函数h(x)＝(x－1)F(x)，当a＝2时，证明：当x>1时，h(x)>0；

(2)若F(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．

9．已知函数f(x)＝xex－a(lnx＋x)，a∈R．

(1)当a＝e时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

ex

10．已知函数f(x)＝