小学二年级数学（北师大版）下册第一单元《除法》第3课时知识清单

小学二年级数学（北师大版）下册第一单元《除法》第3课时知识清单一、核心概念与定义【基础】【重要】（一）有余数的除法  在平均分物体时，往往会出现两种情况：一种是恰好分完，没有剩余；另一种是分到最后还有剩余，并且剩下的部分不够再分成一份。这种“分后有剩余”的平均分问题，就需要用一种新的运算来表示，这就是“有余数的除法”。它是对整数除法概念的延伸和补充，更贴近现实生活中分配时往往无法做到完全均等的情况。（二）余数的定义【高频考点】  在有余数的除法算式中，平均分后剩余的那个数，叫做“余数”。它表示在分物过程中，按照每份的数量（除数）进行分配后，所剩下的、不够再继续分配的那一部分数量。余数的单位名称通常与被除数的单位名称保持一致。例如，在“16÷6=2（个）……4（根）”中，“4根”就是余数，它表示搭了2个房子后，还剩下4根小棒，这4根小棒不够再搭一个完整的房子了14。（三）有余数除法算式的读写  1、写法：先写被除数，接着写除号“÷”，然后写除数，再写等号“=”，在商后面点六个实心小圆点“……”，最后写余数。标准格式为：被除数÷除数=商……余数。例如：16÷6=2……4。  2、读法：在数学上，这个算式读作“十六除以六等于二余四”。需要注意的是，当商和余数后面带有单位时，要根据实际情况读出单位，如“16除以6等于2个余4根”，但在纯算式表达中，通常只读作“十六除以六等于二余四”28。二、有余数除法的竖式计算（高阶思维与技能核心）【非常重要】【难点】（一）竖式计算的算理（为什么这么算？）  竖式计算是除法运算的重要工具，其每一步计算都对应着实际操作过程。以“16÷6”为例：  1、写竖式：先写除号“”，把被除数16写在里面，除数6写在外面左侧。  2、定商（想乘法）：思考16里面最多有几个6？根据乘法口诀“二六十二”（因为三六十八，18比16大，不符合要求），所以16里面最多有2个6，因此商是2。这个2要写在被除数16的个位上方，表示可以搭2个房子。  3、乘（算用掉的部分）：用商2乘以除数6，得到积12。这个12代表搭2个房子一共用掉了12根小棒。将其写在被除数16的下面。  4、减（算剩余的部分）：用被除数16减去下面的12，得到差4。这个4就是搭完2个房子后，还剩下的4根小棒，也就是余数。  5、比（验证结果）：检查余数4和除数6的大小，发现4<6，说明剩下的4根小棒确实不够再搭一个房子了，计算正确。这一步是验证有余数除法计算正确与否的关键147。（二）竖式计算的算法（具体怎么操作？）  竖式计算的过程可以归纳为四个字：“商、乘、减、比”。  1、【商】：确定商是几，即看被除数里最多有几个除数。  2、【乘】：将商与除数相乘，把积写在被除数下面。  3、【减】：用被除数减去刚才乘得的积，得到余数。  4、【比】：比较余数和除数，确保余数一定小于除数。（三）竖式中各部分数字的含义  以16÷6=2……4的竖式为例：  “16”是【被除数】，表示一共有16根小棒。  “6”是【除数】，表示搭一个房子需要6根小棒，即每份的数量。  “2”是【商】，表示可以搭2个房子，即份数。  “12”是除数与商的积（6×2），表示实际用掉的12根小棒。  “4”是【余数】，表示最后剩下的4根小棒1。三、核心规律：余数与除数的关系【非常重要】【高频考点】（一）基本法则  在有余数的除法算式中，余数必须小于除数。这是判断计算是否正确的最重要的标准。用数学语言表达为：余数<除数389。（二）原理探究（为什么余数一定要比除数小？）  如果余数大于或等于除数，说明剩下的部分还可以继续再分一次（即再搭一个房子、再分一份等），这就意味着原来的商找小了，需要把商调大。例如，如果计算16÷6时，错误地认为商是1，那么余数就是10（166=10），10>6，显然剩下的10根小棒还可以再搭一个房子，所以商应该是2，而不是1。余数小于除数这一法则，正是从“不能再分”的实际意义中抽象出来的数学规律3。（三）规律的应用  1、已知除数，推断余数可能的情况：【高频考点】    例如，在一个除法算式中，除数是5，那么余数可能是（1、2、3、4），其中最大的余数是4，最小的余数是1（除非特别说明“没有余数”，否则余数不能为0，0即整除情况）。  2、已知余数，推断除数的最小值：【高频考点】    例如，在一个除法算式中，余数是6，那么除数最小应该是（7）。因为除数必须大于余数。  3、根据余数求被除数：【重要】    被除数=商×除数+余数。这一关系式是验算有余数除法的重要依据，也是今后解决复杂问题的关键89。四、考点与考向深度剖析【难点】【高频考点】（一）直接计算与竖式填空  1、题型示例：用竖式计算27÷5=？  2、解答要点：严格按照“商、乘、减、比”四步进行。想5的口诀，五五二十五最接近27且小于27，商5。5×5=25，2725=2，余数2<5。所以27÷5=5……2。  3、易错点：商的位置要对齐被除数的个位；减法计算要准确；写完竖式后不要忘记在横式上写出完整的商和余数。（二）余数有界性问题  1、题型示例：（1）□÷6=4……□，余数最大是（），此时被除数是（）。（2）□÷□=3……4，除数最小是（），此时被除数是（）。  2、解题步骤：    （1）第一问：除数是6，根据“余数<除数”，余数最大为5。再根据“被除数=商×除数+余数”，求出被除数=4×6+5=29。    （2）第二问：余数是4，根据“除数>余数”，除数最小为5。再求出被除数=3×5+4=19。  3、考查方式：填空、选择是主要形式，旨在考察对余数和除数关系的深刻理解。（三）看图列式与解决问题（情境理解）【热点】  1、题型示例（包含除）：有13辆玩具坦克，每5辆分给一个小朋友，可以分给几个小朋友？还剩几辆？列式：13÷5=2（个）……3（辆）。这里的商2表示人数，余数3表示剩下的坦克数量。  2、题型示例（等分除）：有13片树叶，平均分给5个小朋友做标本，每个小朋友分到几片？还剩几片？列式：13÷5=2（片）……3（片）。这里的商2表示每人分到的叶片数，余数3表示剩下的叶片数。  3、解答要点：同一个除法算式（13÷5=2……3）可以对应两种不同的现实情境。解题关键在于通过读题，区分商和余数分别代表什么，并正确书写单位名称。商和余数的单位往往不同，需要根据题意仔细辨析47。  4、易错点：混淆商和余数的单位，或者在答语中漏掉余数的描述。（四）周期规律问题【拓展】【难点】  1、题型示例：按照“蓝、黄、黄”的规律挂彩灯，第20盏灯是什么颜色？  2、解题步骤：    （1）确定周期：一组有3盏灯（蓝、黄、黄）。    （2）列式计算：20÷3=6（组）……2（盏）。    （3）分析余数：余数是2，表示第20盏灯是第7组里的第2盏。根据规律，每组第1盏是蓝色，第2盏是黄色，所以第20盏是黄色。如果没有余数，则正好是一组的最后一个，即每组第3盏，是黄色89。  3、考查方式：此类问题将除法余数应用于找规律，考察知识的迁移和应用能力。（五）进一法与去尾法的实际问题【非常重要】【热点】  1、进一法（租船、载人、装盒问题）：    题型示例：有22名同学坐船，每条船限坐4人，至少需要几条船？    解题步骤：22÷4=5（条）……2（人）。剩下的2人还需要一条船，所以需要5+1=6（条）。    易错点：学生容易忽略剩余的2人，直接回答5条。必须结合实际理解“至少”的含义，即所有人都要坐上船，余下的部分也必须再占用一份。  2、去尾法（购物、做衣服、包装问题）：    题型示例：用50元买7元一个的文具盒，最多能买几个？    解题步骤：50÷7=7（个）……1（元）。剩下的1元不够再买一个，所以最多能买7个。    易错点：学生有时会受到进一法的影响，错误地答成8个。需要辨析：买文具、做衣服等情境中，余数部分因不够成一份，必须舍去89。五、常见题型及解题步骤精讲（一）基础计算类  步骤1：读题，看清除数和被除数。  步骤2：在草稿纸上列出竖式或心算乘法口诀，找到最接近被除数且小于被除数的那个积。  步骤3：确定商，并用被除数减去这个积，得到余数。  步骤4：检查余数是否小于除数。  步骤5：将结果完整写在横式上。（二）概念判断类（如：下面算式中，正确的是（）。A.35÷6=5……5B.28÷3=8……4C.47÷8=5……7）  步骤1：逐一验算。根据“被除数=商×除数+余数”先验算结果是否等于被除数。  步骤2：若结果等于被除数，再验证“余数<除数”是否成立。  步骤3：两个条件必须同时满足，才说明计算正确。通过排除法找出正确答案。（三）逆向思维类（已知被除数、商和余数，求除数）  题型示例：在一道有余数的除法算式中，被除数是43，商是6，余数是1，除数是（）。  步骤1：回忆关系式：被除数=商×除数+余数。  步骤2：变形求积：商×除数=被除数余数。  步骤3：计算：431=42，即6×除数=42。  步骤4：根据乘法口诀“六七四十二”，得出除数是7。六、易错点与避坑指南（一）计算过程中的错误  1、口诀找错：寻找商时，使用的乘法口诀积大于了被除数，导致商偏大；或者积虽然小于被除数，但不是最接近的那一个，导致商偏小，使得余数大于除数。    避坑方法：试商时，口诀的积必须“最接近被除数且小于被除数”。  2、竖式格式不规范：商的位置没对齐，导致减法计算错误。    避坑方法：数位对齐是竖式计算的基础，尤其是商，一定要和被除数的个位对齐。  3、横式上忘写余数：很多学生在竖式计算正确后，往横式上抄写结果时，只写了商，漏掉了“……余数”。    避坑方法：养成检查习惯，看横式上的算式是否完整。（二）概念理解偏差  1、误以为余数可以等于0：在有余数除法的语境中，余数特指“分完后剩下的部分”，如果正好分完，余数应为0，但此时我们称之为“整除”，属于表内除法范畴。本单元重点研究的是余数不为0的情况。    避坑方法：理解“余数”的定义，是“剩余”且“不够再分”的数，所以最小是1。  2、混淆商和余数的单位：【高频易错】    避坑方法：单位的确定要回归题目情境。商和余数的单位可能相同（如等分除），也可能不同（如包含除）。最好的办法是结合题目问题，在填空或作答时圈出问题中的单位作为提示8。（三）解决实际问题时的思维定势  1、滥用进一法：一看到有余数就加1。    避坑方法：认真审题，理解“至少”、“最多”、“能买几个”、“需要几条船”等关键词的实际意义。思考“剩下的东西还能不能组成一个整体？”能组成则加1，不能组成则舍去。  2、忽略题目中的隐藏条件：如“24个学生和1位老师坐车”，总人数是25，而非24。    避坑方法：读题要仔细，把涉及的所有“个体”都数清楚9。七、跨学科视野与思维拓展（一）与劳动教育的融合  在“搭一搭”的活动中，学生不仅学习了数学知识，还进行了精细动作（摆小棒）的训练。通过动手操作，验证数学结论，体现了“做中学”的劳动教育理念。让学生体会到数学来源于生活，又服务于生活。（二）与美术学科的融合  利用余数的概念可以设计重复的图案（二方连续纹样）。通过计算，可以精确地确定图案在长条形纸张上的排列与间隔，理解图案设计的周期性与数学规律的内在联系。（三）与信息科技的融合  计算机编程中的“取模运算”（即求余数运算）是核心算法之一。例如，判断一个数字是奇数还是偶数，就是对2取模；实现程序的循环执行，也需要用到余数。本课学习的求余思想，为未来更高阶的信息技术学习埋下了思维的种子。（四）与语文阅读的融合  有余数除法的应用题往往是一个简短的故事。准确提取故事中的数学信息（总数、每份数、份数），并用数学算式表达出来，是对阅读