高考数学一轮复习 课时规范练41　数列中的综合问题（基础版）

课时规范练41数列中的综合问题(分值:58分)1.(13分)(2026·江苏苏州模拟)已知数列{an}的前n项为Sn,且Sn=n2.正项等比数列{bn}的首项为1,Tn为其前n项和,且T5=5T3-4.(1)求an,bn;(2)当λ>0时,若λSn≤Tn+1对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.2.(15分)(2026·浙江杭州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3n2+5n,数列{bn}是等比数列,公比q>0,b1=6,b3=2a3+4.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=1,2k<n<①求数列{cn}的前2026项和T2026;②求∑i=1na2ic23.(15分)(2025·湖南益阳模拟)已知{an}是等差数列,{bn}是公比不为1的等比数列,a2=6,a4+a5=22,3a1=4b1,且2b2是3b1与b3的等差中项.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若对于数列{an},{bn},在ak和ak+1之间插入bk个2(k∈N*),组成一个新的数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Tn,求T2026.4.(15分)(2026·广西南宁模拟)已知a2=16,an+1+3anan+1=an(1)求{an}的通项公式;(2)令bn=anan+1,Tn为bn的前n项之积,求证:1b1T1+1

参考答案课时规范练41数列中的综合问题1.解(1)由Sn=n2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,a1=S1=1,满足上式,所以an=2n-1.设{bn}的公比为q(q>0),由T5=5T3-4,正项等比数列{bn}的首项为1,当公比q=1时,T5=5b1=5,5T3-4=15b1-4=11,不满足T5=5T3-4,所以q≠1;当公比q≠1,且q>0时,1-q51-q=5×1-q31-q-4,综上所述,bn=2n-1.(2)由λSn≤Tn+1,λ>0,则λ·n2≤1-2n1-2+1=2n,即λ≤2n当n=1时,2nn当n≥2时,设数列{2nn2}在第n项取得最小值,则2nn2≤2n-1(n-1)2,2nn2≤2n+1(n+1)2,解得2.解(1)当n=1时,由2S1=2a1=8得a1=4.当n≥2时,由2Sn=3n2+5n得2Sn-1=3(n-1)2+5(n-1),两式相减整理得an=3n+1.显然a1=4符合上式,所以an=3n+1.由q>0,b1=6,且b3=2×(3×3+1)+4=24=b1q2,所以q=2,所以bn=b1qn-1=3·2n.(2)①易知210=1024<2026<211=2048,即数列{cn}的前2026项中有10项分别为c2=b1,c4=b2,…,c512=b9,c1024=b10,其余项均为1,故数列{cn}的前2026项和T2026=2026-10+b1+b2+…+b10=2016+6×(1-210②由(1)知a2i=3·2i+1,而c2i=3所以a2ic2i=3·2i(3·2i+1)=9·4i+易知∑i=1n9·4i=36×(1-4n)1-4=3·4n+1-12,∑i=1n所以∑i=1na2ic2i=3·4n+13.解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q≠1),由a2=6,a4+a5=22,得a2+2d+a2+3d=22,故d=2,所以an=a2+(n-2)d=6+2(n-2)=2n+2.所以a1=4,由3a1=4b1,得b1=3,又2b2是3b1与b3的等差中项,所以2×2b2=3b1+b3,即12q=9+3q2,解得q=3或q=1(舍去),故bn=b1qn-1=3·3n-1=3n.(2)根据题意可得,a1,2,2,2,a2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,a3,…,ak,…,ak+1,所以在数列{cn}中,ak+1项是第k+1+3+32+…+3k项.令k+1+3+32+…+3k≤2026,故k+1+3(1-3k)1-3因此当k=6时,6+372-12=1099<2026成立,当k=7时,7+38所以在数列{cn}的前2026项中,包含{an}的前7项,还有2026-7=2019个2,故T2026=2×2019+7×(4+2×7+2)2=4.(1)解因为an+1+3anan+1=an,由题意知an≠0,等式两边同时除以anan+1得1an+3=1an+1,由a2=16得所以{1an}是以3为首项,3所以1an=3+3(n-1),可得an=(2)证明由(1)知,bn=anan+1=13n13n+3=n+1n,所以Tn所以1b令函数f(x)=lnx-x+1(0<x<1),求导得f'(x)=1x-1>所以f(x)在(0,1)上单调递增,因此f(x)<f(1)=0,即lnx<x-1.