高考数学一轮复习 课时规范练69　二项分布、超几何分布（基础版）

课时规范练69二项分布、超几何分布(分值:98分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.某班级准备进行抽奖活动,福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小球,从袋中一次性摸出三个小球,若号码之和是3的倍数,则获奖,其余情况不获奖.若有5名同学参与此次活动,则恰好3人获奖的概率是()A.72625 B.C.144625 D.2.已知随机变量X~B(n,12),若D(X)=2,则E(X)=(A.12 B.C.2 D.43.一包装箱内有12件产品,其中有10件合格品.现从中随机取出4件,设取出的4件产品中有X件合格品,则E(X)=()A.13 B.C.43 D.4.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则()A.X~B(4,23) B.P(X=2)=C.E(X)=83 D.D(X)=5.(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是()A.答对0题和答对3题的概率相同,都为18 B.答对1题的概率为C.答对2题的概率为512 D.合格的概率为6.(2025·陕西西安模拟)排球比赛实行“五局三胜制”(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据此前的若干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛中,每场比赛甲队获胜的概率为23,乙队获胜的概率为13,则在这场“五局三胜制”的排球比赛中,甲队获胜的概率为.7.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,恰好全为黑球的概率为110,则黑球的个数为.若记取出3个球中黑球的个数为X,则D(X)=.

8.(17分)(2026·北京西城高三期中)甲、乙、丙三人进行投篮比赛,共比赛10场,规定每场比赛分数最高者获胜,三人得分(单位:分)情况统计如下:场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)从上述10场比赛中随机选择一场,求甲获胜的概率;(2)在前5场比赛中任选两场,设X表示乙获胜的场数,求X的分布列和数学期望E(X);(3)假设每场比赛获胜者唯一,且各场相互独立,用频率估计概率.甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛,设Y1为甲获胜的场数,Y2为乙获胜的场数,Y3为丙获胜的场数,写出方差D(Y1),D(Y2),D(Y3)的大小关系.综合提升练9.(多选题)(2025·辽宁名校联盟模拟)随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),其概率分布可用下图直观地表示,则()A.n=5 B.p=3C.b=364 D.D(X)=10.(2025·陕西西安模拟)盲盒中有大小相同的3个红球,2个黑球,随机有放回地摸两次球,记X为摸到黑球的个数,随机无放回地摸两次球,记Y为摸到黑球的个数,则()A.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y)C.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y)D.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)11.(多选题)如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白球,白球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子.如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球,则()A.小球从起点到第③个格子一共跳6次B.小球从起点到第③个格子一共跳7次C.小球落在第③个格子的概率为21D.小球落在第③个格子的概率为3712.(2025·天津,13)某同学每周在操场跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:该同学第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5.若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4.(1)该同学一周跑11圈的概率为;

(2)若该同学一周至少跑11圈为运动量达标,连续跑4周.记达标的周数为随机变量X,则X的期望E(X)=.

13.(2025·河南驻马店模拟)已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=6,D(X)=2,则当k=时,P(X=k)取得最大值.

14.(17分)(2025·甘肃白银模拟)某校高一学生周末参加社区实践活动,现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加.(1)求在有女学生参加活动的条件下,恰有1名女学生参加活动的概率;(2)记参加活动的女学生的人数为X,求X的分布列及期望E(X);(3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目,每名女学生可从中选择1项或2项参加,且选择参加1项或2项的可能性均为12,每名男学生至少从中选择2项参加,且选择参加2项或3项的可能性也均为12,每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分,选择参加几项活动彼此互不影响,记随机选取的两人的积分之和为Y,求Y的期望E(Y)

参考答案课时规范练69二项分布、超几何分布1.C解析每次抽奖中,共有C53=10种情况,获奖的情况有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)4种,所以获奖的概率P=25.设5人中获奖人数为X,则X~B(5,25),所以P(X=3)=C53×(25)3×2.D解析由题意可得,D(X)=12n×(1-12)=2,解得n=8,所以E(X)=8×12=4.3.D解析由题可得X服从超几何分布,且n=4,N=12,M=10,所以E(X)=nMN=4×10124.ACD解析从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布,即X~B(4,23),故A正确;P(X=2)=C42×(23)2×(13)2=827,故B错误;因为X~B(4,23),所以E(X)=4×23=83,故C正确;D5.CD解析设此人答对题目的个数为ξ,则ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)=C50C53C103=112,P(ξ=1)=C51C52C103=512,P(ξ=2)=C52C51C103=512,P(ξ=3)=C53C50C103=112,则答对0题和答对3题的概率相同6.6481解析若甲队3局内获胜,则P1=(23)3=827;若甲队4局内获胜,则P2=C31×13×(23)3=827;若甲队5局内获胜,则P3=C42×故甲获胜的概率为P=P1+P2+P3=8277.3925解析设袋中黑球有n个,则从袋中随机取出3个球,恰好全为黑球的概率为P=Cn3C5该事件服从超几何分布,由题可知,取出3个球中黑球的个数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3则X的分布列为X123P331则E(X)=310×1+35×2+110×3D(X)=310×(1-95)2+35×(2-95)2+110×(3-98.解(1)根据三人投篮得分统计数据,在10场比赛中,甲共获胜3场,分别是第3场,第8场,第10场.设A表示“从10场比赛中随机选择一场,甲获胜”,则P(A)=310(2)在前5场比赛中,乙共获胜3场,分别是第2场,第4场,第5场.则X的值为0,1,2,P(X=0)=C22C30C52=110,P(X=则X的分布列为X012P133E(X)=0×110+1×35+2×(3)由题意知,每场比赛甲获胜的概率为310,乙获胜的概率为12,丙获胜的概率为若又进行6场比赛,甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布,即Y1~B(6,310),Y2~B(6,12),Y3~B(6,1所以D(Y1)=6×0.3×(1-0.3)=1.26,D(Y2)=6×0.5×(1-0.5)=1.5,D(Y3)=6×0.2×(1-0.2)=0.96,故D(Y2)>D(Y1)>D(Y3).9.BCD解析对于A,由图可得X的取值可以为0,1,2,3,4,所以n=4,故A错误;对于B,由P(X=4)=C44p4=81256,所以p=34,故B正确;对于C,P(X=1)=C41p(1-p)3=4×34×(14)3=364,所以b=364,故C正确;对于D,D(X)=np(1-p)=10.B解析由题意可知,X~B(2,25),则E(X)=2×25=45,D(X)=2×25×(1-25)=1225.Y的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=C32C20C52=3Y012P331可得E(Y)=0×310+1×35+2×110=45,D(Y)=(0-45)2×310+(1-45)2×35+(2-45)2×110=925,所以E(X)=E11.BC解析小球在下落的过程中,向左与向右的概率相同,各为12,小球落在第③个格子一共跳7次,需要向左5次,向右2次,向右的次数服从二项分布,故小球落在第③个格子的概率P=C72×(12)2×(12)512.(1)0.6(2)3.2解析(1)该同学一周跑11圈的概率为0.5×0.6+0.5×0.6=0.6.(2)该同学一周跑12圈的概率为0.5×0.4=0.2,故该同学运动量达标的概率为0.6+0.2=0.8,∴X~B(4,0.8),则E(X)=4×0.8=3.2.13.6解析由随机变量X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=2,可得np=6,np(1-p)=2则P(X=k)=C9k(23)k(1-23)当P(X=k+1)P(X=k)>1令9-kk+1×2>1,解得k<173,所以当k≤5且k∈N时,P(X=k+当k≥6且k∈N时,P(X=k+1)<P(X=k),所以当k=6时,概率取得最大值.14.解(1)设“有女学生参加活动”为事件A,“恰有一名女学生参加活动”为事件B,∵P(AB)=C41C21C62∴P(B|A)=P((2)由题意知,X服从超几何分布,且P(X=k)=C2kC∵P(X=0)=C42C62=25,P(X=1)=C∴X的分布列为X012P281∴E(X)=0×25+1×815+2×(3)设