高考数学一轮复习 课时规范练70　正态分布（基础版）

课时规范练70正态分布(分值:77分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·江西九师联盟模拟)已知某地3月~5月份的日平均气温X(单位:℃)服从正态分布N(15,σ2),若P(X≤14)=0.3,则P(14<X<16)=()A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.72.(2025·河北邯郸模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),若P(2<ξ<6)=3p,P(ξ≤6)=4p,则p=()A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.13.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等4.已知随机变量X,Y满足X~N(μ,σ2),Y~N(μ-2,σ2),若P(X≤1)=P(X≥5),P(0≤Y≤2)=0.6,则P(X≥4)=()A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.35.假设某厂有一条包装食盐的生产线,正常情况下食盐质量服从正态分布N(500,σ2)(单位:g),某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐,称得其质量小于488g,则判断生产线出现了异常,要求停产检修.由此可以得到σ的最大值为()A.2 B.4 C.6 D.86.(多选题)(2025·海南中学模拟)某工厂为了提升产量,研究引进了新技术,现抽取一条生产线作为样本,在使用新技术后,每天的产量为450,样本方差为4,已知没有使用新技术前,该生产线每天的产量为440,样本方差为9,若未使用新技术的日产量X与使用新技术后的日产量Y都服从正态分布,则()A.X~N(440,92) B.Y~N(450,22)C.P(X≤450)>P(Y≤450) D.P(Y≥430)<P(Y≤460)7.随机变量X的概率分布密度函数f(x)=1σ2πe-(x-1)22σ2(x∈R),其图象如图所示8.已知某种袋装食品每袋质量X~N(500,16),则随机抽取10000袋这种食品,袋装质量在区间(492,504]的约袋(质量单位:g).(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

9.已知随机变量X~N(4,42).若P(X<3)=0.3,则P(3<X<5)=,若Y=2X+1,则Y的方差为.

综合提升练10.某地开展法制宣传教育活动.为了解宣传效果,特进行问卷调查,并对每份问卷进行评分,发现最终成绩差异较大.比较差异较大数据的离散程度时,常使用离散系数,其计算公式为:离散系数=标准差均值.已知2000份问卷的评分近似服从正态分布,且平均分为64,离散系数为0.25,则所有问卷评分的第84百分位数约为()附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Z-μ|<σ)≈0.68A.80 B.76 C.68 D.6411.(多选题)在生物制药行业,药品的有效成分含量(单位:毫克/毫升)直接关系到药品的疗效.经过对生产的药品进行检测分析,某款药品的有效成分含量ξ服从正态分布N(120,σ2),已知P(ξ≥132)=0.1.为了控制药品质量,从一批生产的药品中随机抽取3盒,记有效成分含量在区间(108,132)的药品盒数为X,则下列说法中正确的是()A.P(108<ξ<132)=0.8 B.E(2X+1)=5.8C.D(3X)=0.48 D.P(X≥1)=0.00812.某次数学练习中,学生成绩X服从正态分布N(115,σ2),若P(105≤X≤125)=12,则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩高于125分的概率是.

13.(15分)一条生产电阻的生产线,生产正常时,生产的电阻阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1000,52).(1)生产正常时,从这条生产线生产的电阻中抽取2只,求这两只电阻的阻值在区间(995,1000]和(1005,1010]内各一只的概率;(精确到0.001)(2)根据统计学的知识,从服从正态分布N(μ,σ2)的总体中抽取容量为n的样本,则这个样本的平均数服从正态分布N(μ,σ2n).某时刻,质检员从生产线上抽取5只电阻,测得阻值分别为1000,1007,1012,1013,1013(单位:Ω).你认为这时生产线生产正常吗?(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

参考答案课时规范练70正态分布1.B解析由题意知,μ=15.由P(X≤14)=0.3,则P(14<X<15)=P(X<15)-P(X≤14)=0.5-0.3=0.2,所以P(14<X<16)=2P(14<X<15)=2×0.2=0.4.故选B.2.C解析由已知得正态曲线关于直线x=4对称,∴P(ξ≥6)=P(ξ≤2)=4p-3p=p,∴p+3p+p=1,解得p=0.2.故选C.3.D解析对于A,σ越小,代表正态曲线越陡,故A正确;对于B,测量结果服从正态分布N(10,σ2),则正态曲线的对称轴为直线x=10,故B正确;对于C,结合正态曲线可知x=10.01与x=9.99关于对称轴(直线x=10)对称,故C正确;对于D,结合正态曲线可知,区间(9.9,10.2)与(10,10.3)不关于对称轴(直线x=10)对称,故D错误.故选D.4.B解析由P(X≤1)=P(X≥5),得μ=1+52=3,则μ-2=3-2=1,故Y~N(1,σ2).由P(0≤Y≤2)=0.6,得P(Y≥2)=1-0.62=0.2.因为X~N(3,σ2),Y~N(1,σ2),所以随机变量X,Y对应的正态密度曲线的形状相同,其对称轴分别为直线x=3,x=1,从而P(X≥4)=P(Y≥2)=05.B解析由题可知,488≤500-3σ,解得σ≤4,故σ的最大值为4.故选B.6.BC解析对于选项A,未使用新技术时,日产量X的均值为440,方差为9,得X~N(440,32),故A错误;对于选项B,使用新技术时,日产量Y的均值为450,方差为4,Y~N(450,22),故B正确;对于选项C,P(X≤450)>0.5,P(Y≤450)=0.5,所以P(X≤450)>P(Y≤450),故C正确;对于选项D,因为Y服从正态分布,其图象关于直线x=450对称,所以P(Y≥430)=P(Y≤470),所以P(Y≥430)>P(Y≤460),故D错误.故选BC.7.0.35解析由题意可知X~N(1,σ2),则P(X≤0)=P(X≥2)=0.15,故图中阴影部分的面积为1-0.15×228.8186解析由题意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.6827,P(500-8≤X≤500+8)≈0.9545,则P(492<X≤496)≈0.9545-0.68272=0.1359,故P(492<X≤504)≈0.1359+0.6827=0.8186,则袋装质量在区间(492,504]的约有109.0.464解析由题意可知,μ=4,σ=4,即D(X)=16,所以D(Y)=4D(X)=64.因为3+5=2μ,且P(X<3)=0.3,所以P(3<X<5)=1-2P(X<3)=0.4.10.A解析根据题意知,标准差为64×0.25=16,所以评分近似服从正态分布N(64,162).又84%=0.5+0.682,且P(|Z-μ|<σ)≈0.68,故所有问卷评分的第84百分位数约为μ+σ=64+16=80.11.AB解析已知ξ服从正态分布N(120,σ2),则正态曲线的对称轴为直线μ=120.因为132-120=120-108=12,所以P(ξ≤108)=P(ξ≥132)=0.1,那么P(108<ξ<132)=1-P(ξ≤108)-P(ξ≥132)=1-0.1-0.1=0.8,故A正确;从一批药品中随机抽取3盒,每盒药品有效成分含量在区间(108,132)的概率为0.8,且各盒之间相互独立,所以X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4,所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×2.4+1=5.8,故B正确;D(X)=3×0.8×(1-0.8)=3×0.8×0.2=0.48,则D(3X)=32×D(X)=9×0.48=4.32,故C错误;P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.23=0.992,故D错误.故选AB.12.532解析由题意,学生成绩X服从正态分布N(115,σ2),若P(105≤X≤125)=12,则P(115≤X≤125)=12×P(105≤X≤125)=12×12=14,所以P(X>125)=12-P(115≤X≤125)=12-14=14.从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,设选中的学生的成绩高于125分的人数为Y,可得变量Y~B(3,14),所以至少有2名学生的成绩高于125分的概率为C13.解(1)电阻阻值X服从正态分布N(1000,52),所以μ=1000,σ=5.所以生产正常时,从这条生产线生产的电阻中抽取1只,则这只电阻阻值在(995,1000]和在(1005,1010]的概率分别为P1=P(995<X≤1000)=P(μ-σ≤X≤μ)=12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.341P2=P(1005<X≤1010)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=12[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈0.1359故这两只电阻的阻