标准部分与极限值的代数关系

标准部分与极限值的代数关系在数学分析、数值计算以及工程应用等领域，标准部分与极限值是两个既紧密关联又存在细微差异的概念。标准部分通常用于非标准分析框架中，是对超实数系中元素的一种“标准化”处理；而极限值则是经典分析的核心概念，描述序列或函数在无限趋近过程中的趋势。深入理解二者的代数关系，不仅能帮助我们打通不同数学体系间的壁垒，更能为解决复杂问题提供灵活的工具选择。一、标准部分与极限值的基本定义（一）极限值的经典定义在经典数学分析中，极限值的定义基于ε-δ语言，是对“无限趋近”这一直观概念的严格数学化表述。对于数列极限，设${a_n}$是一个实数序列，$a$是一个实数。如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式$|a_n-a|<\varepsilon$成立，那么就称$a$是数列${a_n}$的极限，记作$\lim_{n\to\infty}a_n=a$。这意味着随着项数$n$的无限增大，数列的项$a_n$可以无限接近$a$，无论$\varepsilon$多么小，总能找到一个足够大的$N$，使得从第$N+1$项开始，所有项与$a$的距离都小于$\varepsilon$。函数极限的定义与之类似。设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，$A$是一个实数。如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$成立，那么就称$A$是函数$f(x)$当$x\tox_0$时的极限，记作$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。它描述了当自变量$x$无限接近$x_0$（但不等于$x_0$）时，函数值$f(x)$的变化趋势。（二）标准部分的非标准分析定义非标准分析是由数学家亚伯拉罕·鲁滨逊在20世纪60年代创立的，它通过引入超实数系$^*\mathbb{R}$，将无穷小和无穷大作为实数系的合法元素纳入其中，为分析学提供了一种新的研究视角。在超实数系中，每个超实数$x$都可以唯一地表示为$x=\text{st}(x)+\varepsilon$，其中$\text{st}(x)$是一个实数，称为$x$的标准部分，$\varepsilon$是一个无穷小量（即$|\varepsilon|<r$对任意正实数$r$成立）。标准部分函数$\text{st}:{}^*\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是一个满射，它将超实数映射到与之无限接近的实数。对于超实数序列${a_n}$（其中$a_n\in{}^*\mathbb{R}$），如果存在一个实数$a$，使得$\text{st}(a_n)=a$对所有无限大的$n$成立，那么就称$a$是该超实数序列的标准部分极限，记作$\text{st}-\lim_{n\to\infty}a_n=a$。这里的“无限大的$n$”是指超自然数系中的元素，它们大于所有普通自然数。二、标准部分与极限值的等价性（一）数列情形下的等价性在一定条件下，数列的极限值与对应的超实数序列的标准部分是等价的。设${a_n}$是一个实数序列，$a$是一个实数。那么$\lim_{n\to\infty}a_n=a$当且仅当对于任意无限大的超自然数$N$，有$\text{st}(a_N)=a$。证明：必要性：假设$\lim_{n\to\infty}a_n=a$，根据数列极限的定义，对于任意正数$\varepsilon$，存在正整数$K$，使得当$n>K$时，$|a_n-a|<\varepsilon$。对于任意无限大的超自然数$N$，显然$N>K$，所以$|a_N-a|<\varepsilon$。由于$\varepsilon$是任意正数，这意味着$a_N-a$是一个无穷小量，因此$\text{st}(a_N)=a$。充分性：假设对于任意无限大的超自然数$N$，有$\text{st}(a_N)=a$，即$a_N-a$是无穷小量。那么对于任意正数$\varepsilon$，集合${n\in\mathbb{N}\mid|a_n-a|<\varepsilon}$包含所有无限大的超自然数，根据非标准分析中的共起性原理，这个集合必然包含一个普通自然数$K$，使得当$n>K$时，$|a_n-a|<\varepsilon$，即$\lim_{n\to\infty}a_n=a$。这一等价性表明，在非标准分析框架下，可以通过标准部分函数来刻画数列的极限，为数列极限的研究提供了一种新的途径。例如，对于一些复杂的数列极限问题，利用非标准分析的方法可能会更加简洁直观。（二）函数情形下的等价性对于函数极限，也有类似的等价关系。设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，$A$是一个实数。那么$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$当且仅当对于任意满足$\text{st}(x)=x_0$且$x\neqx_0$的超实数$x$，有$\text{st}(f(x))=A$。证明：必要性：假设$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，根据函数极限的定义，对于任意正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-A|<\varepsilon$。对于任意满足$\text{st}(x)=x_0$且$x\neqx_0$的超实数$x$，有$|x-x_0|$是一个正的无穷小量，显然$0<|x-x_0|<\delta$（因为$\delta$是正实数，无穷小量小于任何正实数），所以$|f(x)-A|<\varepsilon$。由于$\varepsilon$是任意正数，这意味着$f(x)-A$是无穷小量，因此$\text{st}(f(x))=A$。充分性：假设对于任意满足$\text{st}(x)=x_0$且$x\neqx_0$的超实数$x$，有$\text{st}(f(x))=A$，即$f(x)-A$是无穷小量。那么对于任意正数$\varepsilon$，集合${x\in\mathbb{R}\mid0<|x-x_0|<\delta\text{且}|f(x)-A|<\varepsilon}$对于某个正数$\delta$包含所有满足$\text{st}(x)=x_0$且$x\neqx_0$的超实数$x$，根据共起性原理，存在一个普通正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-A|<\varepsilon$，即$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。这种等价性将经典函数极限的ε-δ定义转化为了非标准分析中标准部分的计算，使得我们可以利用超实数的性质来研究函数极限。例如，在处理一些复杂的函数极限问题时，通过将自变量扩展到超实数系，计算函数值的标准部分，可能会更容易得到结果。三、标准部分与极限值的代数运算性质（一）极限值的代数运算性质在经典分析中，极限值具有良好的代数运算性质，这些性质是我们进行极限计算的基础。设$\lim_{n\to\infty}a_n=a$，$\lim_{n\to\infty}b_n=b$，则有：加法法则：$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n=a+b$减法法则：$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n-\lim_{n\to\infty}b_n=a-b$乘法法则：$\lim_{n\to\infty}(a_n\cdotb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n=a\cdotb$除法法则：若$b\neq0$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}=\frac{a}{b}$这些法则可以通过数列极限的ε-δ定义严格证明。例如，加法法则的证明：对于任意正数$\varepsilon$，因为$\lim_{n\to\infty}a_n=a$，所以存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$；同理，存在正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，$|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}$。取$N=\max{N_1,N_2}$，则当$n>N$时，有：$$|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|\leq|a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$所以$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b$。对于函数极限，同样具有类似的代数运算性质。设$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x\tox_0}g(x)=B$，则：$\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))=A+B$$\lim_{x\tox_0}(f(x)-g(x))=A-B$$\lim_{x\tox_0}(f(x)\cdotg(x))=A\cdotB$若$B\neq0$，则$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（二）标准部分的代数运算性质标准部分函数同样满足类似的代数运算性质，这使得它在非标准分析中成为一个强大的工具。设$x,y\in{}^*\mathbb{R}$，则：$\text{st}(x+y)=\text{st}(x)+\text{st}(y)$$\text{st}(x-y)=\text{st}(x)-\text{st}(y)$$\text{st}(x\cdoty)=\text{st}(x)\cdot\text{st}(y)$若$\text{st}(y)\neq0$，则$\text{st}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{\text{st}(x)}{\text{st}(y)}$证明：设$\text{st}(x)=a$，$\text{st}(y)=b$，则$x=a+\varepsilon$，$y=b+\delta$，其中$\varepsilon$和$\delta$是无穷小量。$x+y=(a+b)+(\varepsilon+\delta)$，因为$\varepsilon+\delta$是无穷小量（两个无穷小量的和仍是无穷小量），所以$\text{st}(x+y)=a+b=\text{st}(x)+\text{st}(y)$。$x-y=(a-b)+(\varepsilon-\delta)$，$\varepsilon-\delta$是无穷小量，所以$\text{st}(x-y)=a-b=\text{st}(x)-\text{st}(y)$。$x\cdoty=(a+\varepsilon)(b+\delta)=ab+a\delta+b\varepsilon+\varepsilon\delta$，其中$a\delta$、$b\varepsilon$和$\varepsilon\delta$都是无穷小量（有界量与无穷小量的乘积是无穷小量，无穷小量的乘积也是无穷小量），所以$\text{st}(x\cdoty)=ab=\text{st}(x)\cdot\text{st}(y)$。因为$\text{st}(y)=b\neq0$，所以$y=b+\delta\neq0$（当$\delta$足够小时，$b+\delta$与$b$同号且不为0）。则$\frac{x}{y}=\frac{a+\varepsilon}{b+\delta}=\frac{a(1+\frac{\varepsilon}{a})}{b(1+\frac{\delta}{b})}=\frac{a}{b}\cdot\frac{1+\frac{\varepsilon}{a}}{1+\frac{\delta}{b}}$。由于$\frac{\varepsilon}{a}$和$\frac{\delta}{b}$是无穷小量，根据无穷小量的性质，$\frac{1+\frac{\varepsilon}{a}}{1+\frac{\delta}{b}}=1+\gamma$，其中$\gamma$是无穷小量。所以$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}+\frac{a}{b}\gamma$，$\frac{a}{b}\gamma$是无穷小量，因此$\text{st}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{a}{b}=\frac{\text{st}(x)}{\text{st}(y)}$。（三）代数运算性质的一致性对比极限值和标准部分的代数运算性质，可以发现它们具有高度的一致性。这种一致性并非偶然，而是源于二者在本质上的等价性。当我们将实数序列${a_n}$嵌入到超实数系中，得到超实数序列${a_n}$（这里的$a_n$作为超实数与原实数序列中的元素对应），那么数列的极限值$a=\lim_{n\to\infty}a_n$就等于该超实数序列在无限大指标处的标准部分$\text{st}(a_N)$（其中$N$是无限大的超自然数）。而标准部分函数的代数运算性质直接继承了超实数系的运算性质，同时也与实数系的运算性质保持一致，因为标准部分函数是从超实数系到实数系的同态映射（在除法运算中需要满足分母不为0的条件）。这种一致性为我们提供了一种灵活的计算方式。在实际计算中，我们可以根据问题的特点选择使用经典的极限计算方法或非标准分析中的标准部分计算方法。例如，对于一些复杂的极限问题，使用标准部分的方法可能会更加直观，因为我们可以直接利用超实数的无穷小性质进行运算；而对于一些简单的极限问题，经典的ε-δ定义和运算法则可能更加简洁。四、标准部分与极限值在不等式中的关系（一）极限值的不等式性质在经典分析中，极限值具有一些重要的不等式性质，这些性质在证明极限的存在性和比较极限的大小等方面起着关键作用。保号性：若$\lim_{n\to\infty}a_n=a>0$，则存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$a_n>0$；同理，若$a<0$，则存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$a_n<0$。证明：取$\varepsilon=\frac{a}{2}>0$，根据数列极限的定义，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\frac{a}{2}$，即$a-\frac{a}{2}<a_n<a+\frac{a}{2}$，所以$\frac{a}{2}<a_n<\frac{3a}{2}$，因为$a>0$，所以$a_n>\frac{a}{2}>0$。不等式传递性：若$\lim_{n\to\infty}a_n=a$，$\lim_{n\to\infty}b_n=b$，且存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$a_n\leqb_n$，则$a\leqb$。证明：假设$a>b$，取$\varepsilon=\frac{a-b}{2}>0$，根据数列极限的定义，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，$|a_n-a|<\varepsilon$，即$a_n>a-\varepsilon=\frac{a+b}{2}$；存在正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，$|b_n-b|<\varepsilon$，即$b_n<b+\varepsilon=\frac{a+b}{2}$。取$N=\max{N,N_1,N_2}$，则当$n>N$时，有$a_n>\frac{a+b}{2}>b_n$，与已知条件$a_n\leqb_n$矛盾，所以假设不成立，即$a\leqb$。对于函数极限，同样具有类似的不等式性质：若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A>0$，则存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)>0$；若$A<0$，则存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)<0$。若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x\tox_0}g(x)=B$，且存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\leqg(x)$，则$A\leqB$。（二）标准部分的不等式性质标准部分函数也具有相应的不等式性质，这些性质与极限值的不等式性质是等价的。若$x\in{}^*\mathbb{R}$，且$x>0$，则$\text{st}(x)\geq0$；若$x<0$，则$\text{st}(x)\leq0$。特别地，若$x$是正的无穷小量，则$\text{st}(x)=0$；若$x$是正的无限大量，则$\text{st}(x)=+\infty$（在扩展实数系中）。若$x,y\in{}^*\mathbb{R}$，且$x\leqy$，则$\text{st}(x)\leq\text{st}(y)$。证明：设$\text{st}(x)=a$，则$x=a+\varepsilon$，其中$\varepsilon$是无穷小量。若$x>0$，则$a+\varepsilon>0$。假设$a<0$，则取$\varepsilon=-\frac{a}{2}$（因为$\varepsilon$是无穷小量，存在这样的无穷小量），此时$x=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}<0$，与$x>0$矛盾，所以$a\geq0$，即$\text{st}(x)\geq0$。同理可证$x<0$时的情况。设$\text{st}(x)=a$，$\text{st}(y)=b$，则$x=a+\varepsilon$，$y=b+\delta$，其中$\varepsilon$和$\delta$是无穷小量。因为$x\leqy$，所以$a+\varepsilon\leqb+\delta$，即$a-b\leq\delta-\varepsilon$。由于$\delta-\varepsilon$是无穷小量，所以$a-b$必须小于等于0（否则，若$a-b>0$，则$\delta-\varepsilon\geqa-b>0$，与$\delta-\varepsilon$是无穷小量矛盾），即$a\leqb$，所以$\text{st}(x)\leq\text{st}(y)$。（三）不等式关系的一致性极限值和标准部分在不等式关系上的一致性，进一步体现了二者的紧密联系。在数列情形下，若${a_n}$和${b_n}$是两个实数序列，且存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$a_n\leqb_n$，那么对应的超实数序列${a_n}$和${b_n}$在无限大的超自然数$N$处也满足$a_N\leqb_N$，根据标准部分的不等式性质，有$\text{st}(a_N)\leq\text{st}(b_N)$，而根据极限值与标准部分的等价性，$\text{st}(a_N)=\lim_{n\to\infty}a_n$，$\text{st}(b_N)=\lim_{n\to\infty}b_n$，所以$\lim_{n\to\infty}a_n\leq\lim_{n\to\infty}b_n$，这与经典分析中极限值的不等式传递性一致。这种一致性使得我们可以在非标准分析框架下，利用标准部分的不等式性质来证明经典分析中的极限不等式问题，反之亦然。例如，在证明函数极限的保号性时，我们可以先将函数扩展到超实数系，利用标准部分的保号性，再转化为经典分析中的结论。五、标准部分与极限值在复合运算中的关系（一）复合函数的极限值在经典分析中，复合函数的极限是一个重要的概念，它描述了函数嵌套后的极限行为。设函数$y=f(u)$，$u=g(x)$，如果$\lim_{x\tox_0}g(x)=u_0$，且在$x_0$的某一去心邻域内$g(x)\nequ_0$，同时$\lim_{u\tou_0}f(u)=A$，那么$\lim_{x\tox_0}f(g(x))=A$。证明：对于任意正数$\varepsilon$，因为$\lim_{u\tou_0}f(u)=A$，所以存在正数$\eta$，使得当$0<|u-u_0|<\eta$时，$|f(u)-A|<\varepsilon$。又因为$\lim_{x\tox_0}g(x)=u_0$，所以对于上述$\eta$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$|g(x)-u_0|<\eta$。同时，由于在$x_0$的某一去心邻域内$g(x)\nequ_0$，所以当$0<|x-x_0|<\delta$时，$0<|g(x)-u_0|<\eta$，从而$|f(g(x))-A|<\varepsilon$，即$\lim_{x\tox_0}f(g(x))=A$。（二）复合超实数函数的标准部分在非标准分析中，复合超实数函数的标准部分也有相应的性质。设$f:{}^*\mathbb{R}\to{}^*\mathbb{R}$是一个超实数函数，$g:{}^*\mathbb{R}\to{}^*\mathbb{R}$是另一个超实数函数，$x\in{}^*\mathbb{R}$，$\text{st}(x)=x_0$，$\text{st}(g(x))=u_0$，且$\text{st}(f(u))=A$对所有满足$\text{st}(u)=u_0$的$u\in{}^*\mathbb{R}$成立，那么$\text{st}(f(g(x)))=A$。证明：因为$\text{st}(g(x))=u_0$，所以$g(x)=u_0+\varepsilon$，其中$\varepsilon$是无穷小量。令$u=g(x)$，则$\text{st}(u)=u_0$，根据已知条件，$\text{st}(f(u))=A$，即$f(u)=A+\delta$，其中$\delta$是无穷小量。所以$f(g(x))=A+\delta$，因此$\text{st}(f(g(x)))=A$。（三）复合运算关系的一致性复合函数的极限值与复合超实数函数的标准部分在一定条件下是一致的。设$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是一个实数函数，$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是另一个实数函数，$\lim_{x\tox_0}g(x)=u_0$，且在$x_0$的某一去心邻域内$g(x)\nequ_0$，$\lim_{u\tou_0}f(u)=A$。将$g$和$f$扩展为超实数函数$^g:{}^\mathbb{R}\to{}^*\mathbb{R}$和$^f:{}^\mathbb{R}\to{}^*\mathbb{R}$（即保持在实数上的取值不变，在超实数上的取值由超实数系的性质决定）。根据极限值与标准部分的等价性，$\lim_{x\tox_0}g(x)=u_0$意味着对于任意满足$\text{st}(x)=x_0$且$x\neqx_0$的超实数$x$，有$\text{st}(^*g(x))=u_0$；$\lim_{u\tou_0}f(u)=A$意味着对于任意满足$\text{st}(u)=u_0$且$u\nequ_0$的超实数$u$，有$\text{st}(^*f(u))=A$。由于在$x_0$的某一去心邻域内$g(x)\nequ_0$，所以对于满足$\text{st}(x)=x_0$且$x\neqx_0$的超实数$x$，有$^*g(x)\nequ_0$（否则，根据共起性原理，存在实数$x$在$x_0$的去心邻域内使得$g(x)=u_0$，与已知条件矛盾）。因此，$\text{st}(^*f(^*g(x)))=A$，而根据复合函数极限的定义，$\lim_{x\tox_0}f(g(x))=A$，所以$\text{st}(^*f(^*g(x)))=\lim_{x\tox_0}f(g(x))$。这种一致性表明，在复合运算中，标准部分和极限值的行为是相似的，我们可以在非标准分析框架下利用标准部分的性质来研究复合函数的极限，反之亦然。六、标准部分与极限值的应用差异（一）标准部分在非标准分析中的优势非标准分析中的标准部分概念为解决一些经典分析中的难题提供了新的思路和方法，具有以下优势：直观性：标准部分函数将超实数系中的元素与实数系中的元素联系起来，使得我们可以用“无限接近”的直观概念来处理极限问题。例如，在计算数列极限时，我们可以直接考虑无限大指标处的超实数项的标准部分，而无需使用繁琐的ε-δ语言。简化证明：许多经典分析中的定理和命题在非标准分析中可以通过更简洁的方式证明。例如，闭区间上连续函数的介值定理，在非标准分析中可以利用超实数的性质和标准部分函数进行直观的证明，避免了经典分析中复杂的区间套或有限覆盖等方法。处理无限小和无限大：标准部分函数为无限小和无限大的运算提供了严格的数学基础，使得我们可以像处理普通实数一样处理无限小和无限大，从而简化了涉及无限过程的计算和推理。例如，在微积分中，导数的定义可以通过无限小量的比值的标准部分来表示，即$f^\prime(x)=\text{st}\left(\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}\right)$，其中$\Deltax$是无限小量，这种定义方式更加直观，符合导数的原始思想。（二）极限值在经典分析中的地位尽管非标准分析提供了新的工具和方法，但经典分析中的极限值概念仍然具有不可替代的地位：基础性：极限值是经典分析的核心概念，整个微积分理论都是建立在极限的基础上的。导数、积分、级数等重要概念都是通过极限来定义的，极限值的ε-δ定义为分析学提供了严格的逻辑基础，确保了数学推理的严密性。广泛性：经典分析的方法和理论在数学、物理、工程等众多领域有着广泛的应用，极限值的概念已经成为这些领域中不可或缺的工具。许多实际问题的建模和求解都依赖于经典的极限计算方法，例如在物理学中，速度、加速度等物理量的定义和计算都离不开极限的概念。成熟性：经过长期的发展，经典分析已经形成了一套成熟的理论体系和方法，包括各种极限计算技巧、判别法和定理等。这些方法和理论在解决实际问题时具有高效性和实用性，例如洛必达法则、泰勒展开等方法可以快速计算复杂的极限。（三）应用场景的选择在实际应用中，我们可以根据问题的特点和需求选择使用标准部分或极限值：当问题涉及到无限小或无限大的直观理解，或者需要简化证明过程时，非标准分析中的标准部分概念可能更加合适。例如，在一些数学理论研究中，利用非标准分析的方法可以更深入地揭示数学概念的本质；在一些教学场景中，使用标准部分的概念可以帮助学生更直观地理解极限的思想。当问题需要进行具体的数值计算或应用成熟的理论方法时，经典分析中的极限值概念和方法可能更加高效。例如，在工程计算中，我们通常使用经典的极限计算方法来求解各种物理量和工程参数；在数值分析中，极限的概念是数值算法设计和分析的基础。七、标准部分与极限值的推广与拓展（一）多元函数情形上述关于标准部分与极限值的代数关系可以推广到多元函数的情形。在经典分析中，多元函数的极限定义与一元函数类似。以二元函数为例，设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一去心邻域内有定义，$A$是一个实数。如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$时，不等式$|f(x,y)-A|<\varepsilon$成立，那么就称$A$是函数$f(x,y)$当$(x,y)\to(x