2026年福建省北师大版高中数学必修第4章单元测试卷

2026年福建省北师大版高中数学必修第4章单元测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的公差d等于（）A.-2B.0C.2D.4解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4可得2a_5=12，即a_5=6。又a_5=a_1+4d=4，解得d=1/2。但选项中无正确答案，需重新命题。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推式b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。选项中无正确答案，需调整递推关系。3.若f(x)=ax^2+bx+c是定义在R上的偶函数，且f(1)=3，f(2)=5，则f(3)的值为（）A.7B.9C.11D.13解析：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(x)=ax^2+c。代入f(1)=a+c=3，f(2)=4a+c=5，解得a=1/2，c=5/2。则f(x)=1/2x^2+5/2，f(3)=1/2×9+5/2=7。4.已知函数g(x)=√(x^2+px+q)，若g(x)在x=1处取得最小值，且g(0)=3，则g(2)的值为（）A.2√2B.3√2C.4√2D.5√2解析：由g(x)在x=1处取得最小值，可得x^2+px+q在x=1处取得最小值，即p=-2，q=3。则g(x)=√(x^2-2x+3)，g(2)=√(4-4+3)=√3≈1.73。选项中无正确答案，需调整参数。5.在等比数列{c_n}中，若c_2c_8=64，c_4=16，则该数列的前6项和c_1+c_2+...+c_6的值为（）A.32B.48C.64D.80解析：由等比数列性质c_2c_8=c_4^2，代入c_4=16可得c_2c_8=256。设公比为q，则c_2c_8=c_1q•c_1q^7=c_1^2q^8=256。又c_4=c_1q^3=16，联立解得c_1=2，q=2。则前6项和S_6=2(1-2^6)/(1-2)=2×63=126。选项中无正确答案，需调整参数。6.已知函数h(x)=log_a(x^2-2x+3)，其中a>1，若h(x)在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,+∞)D.(0,1)解析：令t=x^2-2x+3，则t在(1,+∞)上单调递增。由h(x)=log_at单调递增可得a>1。又t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2，则log_at单调递增需a>1。选项中无正确答案，需调整函数形式。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=2c^2，则cosC的值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2=2c^2可得cosC=(2c^2-c^2)/2ab=c^2/2ab。又c^2=a^2+b^2-2abcosC，联立解得cosC=1/4。8.已知函数F(x)=f(x)-f(1-x)，若f(x)是定义在R上的奇函数，则F(x)一定是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：由f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x)，则F(-x)=f(-x)-f(1+x)=-f(x)-f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函数。9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=2，b=3，cosC=1/2，则△ABC的面积为（）A.3√3/2B.3√3C.3√3/4D.3√3/8解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+9-6=7，c=√7。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面积S=1/2absinC=1/2×2×3×√3/2=3√3/2。10.已知函数G(x)=x^3-3x^2+2，则G(x)在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为（）A.2和-2B.3和-2C.3和-1D.2和-1解析：G'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令G'(x)=0可得x=0或x=2。计算G(-1)=-2，G(0)=2，G(2)=-2，G(3)=2。最大值为3，最小值为-2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_9=18，则a_7+a_11的值为______。解：由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，代入可得2a_7=18，故a_7+a_11=2a_7=18。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_5的值为______。解：由递推式b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，b_4=b_3+4=11，b_5=b_4+5=16。3.若f(x)=x^2+px+q是定义在R上的偶函数，且f(1)=3，则f(-3)的值为______。解：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(1)=1+p+q=3，解得p=2，q=0。则f(x)=x^2，f(-3)=9。4.已知函数g(x)=√(x^2+mx+n)，若g(x)在x=2处取得最小值，且g(0)=5，则g(4)的值为______。解：由g(x)在x=2处取得最小值，可得x^2+mx+n在x=2处取得最小值，即m=-4，n=4。则g(x)=√(x^2-4x+4)=|x-2|，g(4)=2。5.在等比数列{c_n}中，若c_3c_7=64，c_5=8，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质c_3c_7=c_5^2，代入c_5=8可得c_3c_7=64。设公比为q，则c_3c_7=c_1q^2•c_1q^6=c_1^2q^8=64。又c_5=c_1q^4=8，联立解得q=2。6.已知函数h(x)=log_a(x^2-6x+10)，其中a>1，若h(x)在(3,+∞)上单调递增，则a的取值范围是______。解：令t=x^2-6x+10，则t在(3,+∞)上单调递增。由h(x)=log_at单调递增可得a>1。又t=x^2-6x+10=(x-3)^2+1≥1，则log_at单调递增需a>1。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=3c^2，则cosA的值为______。解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，代入a^2+b^2=3c^2可得cosA=(c^2)/2bc=c/2b。又c^2=a^2+b^2-2abcosA，联立解得cosA=1/3。8.已知函数F(x)=f(x)+f(1-x)，若f(x)是定义在R上的奇函数，则F(x)一定是______。解：由f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x)，则F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函数。9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=3，b=4，cosC=1/2，则△ABC的面积为______。解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面积S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=6√3/2=3√3。10.已知函数G(x)=x^3-6x^2+11x-6，则G(x)在区间[-1,4]上的最大值与最小值分别为______和______。解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。计算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(4)=2，G(11/3)=11/27。最大值为5，最小值为-24。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_10=14，则a_6+a_8=7。（×）解：由等差数列性质a_4+a_10=2a_7，代入可得2a_7=14，故a_6+a_8=2a_7=14。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等比数列。（×）解：由递推式b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3=b_1+5，b_4=b_3+4=b_1+9，相邻项之差不为常数，故不是等比数列。3.若f(x)=x^2+px+q是定义在R上的偶函数，则p一定等于0。（√）解：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(-x)=x^2-px+q=f(x)=x^2+px+q，故p=0。4.已知函数g(x)=√(x^2+mx+n)，若g(x)在x=1处取得最小值，则m一定等于-2。（√）解：由g(x)在x=1处取得最小值，可得x^2+mx+n在x=1处取得最小值，即m=-2。5.在等比数列{c_n}中，若c_2c_8=64，则该数列的公比q一定等于2。（×）解：设公比为q，则c_2c_8=c_1q•c_1q^7=c_1^2q^8=64。q的值取决于c_1，不一定等于2。6.已知函数h(x)=log_a(x^2-4x+4)，其中a>1，则h(x)在R上单调递增。（×）解：令t=x^2-4x+4=(x-2)^2，则t在x=2处取得最小值。由h(x)=log_at单调递增需a>1且t>0，但t在x=2处取得最小值，故h(x)不单调。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。（√）解：由勾股定理a^2+b^2=c^2，故△ABC是直角三角形。8.已知函数F(x)=f(x)-f(1-x)，若f(x)是定义在R上的奇函数，则F(x)一定是偶函数。（×）解：由f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x)，则F(-x)=f(-x)-f(1+x)=-f(x)-f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函数。9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=5，b=12，cosC=1/2，则△ABC的周长为39。（√）解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=25+144-60=109，c=√109。周长为a+b+c=5+12+√109≈39。10.已知函数G(x)=x^3-6x^2+11x-6，则G(x)在区间[-1,3]上的最小值与最大值分别为-6和5。（√）解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。计算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(3)=3。最小值为-24，最大值为5。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质a_3+a_9=2a_6，代入可得2a_6=20，故a_6=10。设首项为a_1，公差为d，则a_6=a_1+5d=10。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），求b_10的值。解：由递推式b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4，b_3=b_2+6=b_1+10，b_4=b_3+8=b_1+18，...，b_{10}=b_1+4+6+8+...+20=b_1+110。3.若f(x)=x^2+px+q是定义在R上的偶函数，且f(2)=5，求f(-3)的值。解：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(2)=4+2p+q=5，解得2p+q=1。则f(-3)=9-3p+q=9-(3p-q)=9-1=8。4.已知函数g(x)=√(x^2+mx+n)，若g(x)在x=3处取得最小值，且g(0)=7，求g(5)的值。解：由g(x)在x=3处取得最小值，可得x^2+mx+n在x=3处取得最小值，即m=-6，n=9。则g(x)=√(x^2-6x+9)=|x-3|，g(5)=2。5.在等比数列{c_n}中，若c_4c_6=81，c_3=3，求该数列的公比q。解：设公比为q，则c_4c_6=c_3q•c_3q^3=c_3^2q^4=81。又c_3=3，故3^2q^4=81，解得q=±3。6.已知函数h(x)=log_a(x^2-8x+16)，其中a>1，若h(x)在(4,+∞)上单调递增，求a的取值范围。解：令t=x^2-8x+16=(x-4)^2，则t在(4,+∞)上单调递增。由h(x)=log_at单调递增可得a>1。又t=(x-4)^2≥0，则log_at单调递增需a>1。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=2c^2，求cosC的值。解：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2=2c^2可得cosC=(2c^2-c^2)/2ab=c^2/2ab。又c^2=a^2+b^2-2abcosC，联立解得cosC=1/2。8.已知函数F(x)=f(x)+f(1-x)，若f(x)是定义在R上的奇函数，求F(0)的值。解：由f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x)，则F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函数。F(0)=f(0)+f(1)=0+0=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_7=18，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_5+a_7=2a_6，代入可得2a_6=18，故a_6=9。设首项为a_1，公差为d，则a_6=a_1+5d=9。前10项和S_10=10a_1+45d=10(a_1+4.5d)=10×9=90。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_n=b_{n-1}+n（n≥2），求b_1+b_2+...+b_5的值。解：由递推式b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3=b_1+5，b_4=b_3+4=b_1+9，b_5=b_4+5=b_1+14。求和b_1+b_2+...+b_5=b_1+(b_1+2)+(b_1+5)+(b_1+9)+(b_1+14)=5b_1+29。3.若f(x)=x^2+px+q是定义在R上的偶函数，且f(3)=10，求f(-5)的值。解：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(3)=9+3p+q=10，解得3p+q=1。则f(-5)=25-5p+q=25-(5p-q)=25-1=24。4.已知函数g(x)=√(x^2-4x+4)，求g(x)在区间[0,4]上的最大值与最小值。解：g(x)=√((x-2)^2)=|x-2|，在x=2处取得最小值0，在x=0或x=4处取得最大值2。5.在等比数列{c_n}中，若c_3c_7=64，c_2=4，求该数列的前6项和S_6。解：设公比为q，则c_3c_7=c_2q•c_2q^5=c_2^2q^6=64。又c_2=4，故4^2q^6=64，解得q=2。前6项和S_6=4(1-2^6)/(1-2)=4×63=252。6.已知函数h(x)=log_a(x^2-6x+9)，其中a>1，若h(x)在(3,+∞)上单调递增，求a的取值范围。解：令t=x^2-6x+9=(x-3)^2，则t在(3,+∞)上单调递增。由h(x)=log_at单调递增可得a>1。又t=(x-3)^2≥0，则log_at单调递增需a>1。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=7，b=24，cosC=1/2，求△ABC的面积。解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=49+576-84=641，c=√641。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面积S=1/2absinC=1/2×7×24×√3/2=84√3/2=42√3。8.已知函数G(x)=x^3-9x^2+27x-27，求G(x)在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解：G'(x)=3x^2-18x+27，令G'(x)=0可得x=1或x=9/3=3。计算G(-1)=-40，G(0)=-27，G(1)=8，G(3)=0。最大值为8，最小值为-40。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入可得2a_5=18，故a_5=9。设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=9。又a_3+a_7=2a_5=18，即a_1+2d+a_1+6d=18，解得a_1+4d=9。故公差d=1。2.D解：由递推式b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4，b_3=b_2+6=b_1+10，b_4=b_3+8=b_1+18，...，b_{10}=b_1+4+6+8+...+20=b_1+110。3.A解：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(1)=1+p+q=3，解得p=2，q=0。则f(x)=x^2，f(-3)=9。4.B解：由g(x)在x=2处取得最小值，可得x^2+mx+n在x=2处取得最小值，即m=-4，n=4。则g(x)=√(x^2-4x+4)=|x-2|，g(4)=2。5.C解：由等比数列性质c_2c_8=c_5^2，代入c_5=8可得c_2c_8=64。设公比为q，则c_2c_8=c_1q•c_1q^7=c_1^2q^8=64。又c_5=c_1q^4=8，联立解得q=2。6.C解：令t=x^2-6x+10=(x-3)^2+1，则t在(3,+∞)上单调递增。由h(x)=log_at单调递增可得a>1。又t=(x-3)^2+1≥1，则log_at单调递增需a>1。7.D解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，代入a^2+b^2=3c^2可得cosA=(c^2)/2bc=c/2b。又c^2=a^2+b^2-2abcosA，联立解得cosA=1/3。8.A解：由f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x)，则F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函数。9.B解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面积S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=3√3。10.B解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。计算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(4)=2，G(11/3)=11/27。最大值为5，最小值为-24。二、填空题1.18解：由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，代入可得2a_7=18，故a_7=9。2.16解：由递推式b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3=b_1+5，b_4=b_3+4=b_1+9，b_5=b_4+5=b_1+14。3.9解：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(1)=1+p+q=3，解得p=2，q=0。则f(x)=x^2，f(-3)=9。4.2解：由g(x)在x=2处取得最小值，可得x^2+mx+n在x=2处取得最小值，即m=-4，n=4。则g(x)=√(x^2-4x+4)=|x-2|，g(4)=2。5.2解：由等比数列性质c_2c_8=c_5^2，代入c_5=8可得c_2c_8=64。设公比为q，则c_2c_8=c_1q•c_1q^7=c_1^2q^8=64。又c_5=c_1q^4=8，联立解得q=2。6.(3,+∞)解：令t=x^2-6x+10=(x-3)^2+1，则t在(3,+∞)上单调递增。由h(x)=log_at单调递增可得a>1。又t=(x-3)^2+1≥1，则log_at单调递增需a>1。7.1/3解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，代入a^2+b^2=3c^2可得cosA=(c^2)/2bc=c/2b。又c^2=a^2+b^2-2abcosA，联立解得cosA=1/3。8.奇函数解：由f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x)，则F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函数。9.3√3解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面积S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=3√3。10.5和-24解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。计算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(4)=2，G(11/3)=11/27。最大值为5，最小值为-24。三、判断题1.×解：由等差数列性质a_4+a_10=2a_7，代入可得2a_7=14，故a_7=7。2.×解：由递推式b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3=b_1+5，b_4=b_3+4=b_1+9，相邻项之差不为常数，故不是等比数列。3.√解：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(1)=1+p+q=3，解得p=2，q=0。4.√解：由g(x)在x=1处取得最小值，可得x^2+mx+n在x=1处取得最小值，即m=-2。5.×解：设公比为q，则c_2c_8=c_1q•c_1q^7=c_1^2q^8=64。q的值取决于c_1，不一定等于2。6.×解：令t=x^2-4x+4=(x-2)^2，则t在x=2处取得最小值。由h(x)=log_at单调递增需a>1且t>0，但t在x=2处取得最小值，故h(x)不单调。7.√解：由勾股定理a^2+b^2=c^2，故△ABC是直角三角形。8.×解：由f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x)，则F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函数。9.√解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=25+144-60=109，c=√109。周长为a+b+c=5+12+√109≈39。10.√解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。计算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(3)=3。最小值为-24，最大值为5。四、简答题1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质a_3+a_9=2a_6，代入可得2a_6=20，故a_6=10。设首项为a_1，公差为d，则a_6=a_1+5d=10。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），求b_10的值。解：由递推式b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4，b_3=b_2+6=b_1+10，b_4=b_3+8=b_1+18，...，b_{10}=b_1+4+6+8+...+20=b_1+110。3.若f(x)=x^2+px+q是定义在R上的偶函数，且f(2)=5，求f(-3)的值。解：由偶函数性质f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(2)=4+2p+q=5，解得2p+q=1。则f(-3)=9-3p+q=9-(3p-q)=9-1=8。4.已知函数g(x)=√(x^2-4x+4)，求g(x)在区间[0,4]上的最大值与最小值。解：g(x)=√((x-2)^2)=|x-2|，在x=2处取得最小值0，在x=0或x=4处取得最大值2。5.在等比数列{c_n}中，若c_3c_7=64，c_2=4，求该数列的前6项和S_6。解：设公比为q，则c_3c_7=c_2q•c_2q^5=c_2^2q^6=64。又c_2=4，故4^2q^6=64，解得q=2。前6项和S_6=4(1-2^6)/(1-2)=4×63=252。6.已知函数h(x)=log_a(x^2-6x+9)，其中a>1，若h(x)在(3,+∞)上单调递增，求a的取值范围。解：令t=x^2-6x+9=(x-3)^2，则t在(3,+∞)上单调递增。由h(x)=log_at单调递增可得a>1。又t=(x-3)^2≥0，则log_at单调递增需a>1。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=2c^2，求cosC的值。解：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2=2c^2可得cosC=(c^2)/2ab=c^2/2ab。又c^2=a^2+b^2-2abcosC，联立解得cosC=1/2。8.已知函数F(x)=f(x)+f(1-x)，若f(x)是定义在R上的奇函数，求F(0)的值。解：由f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x)，则F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函数。F(0)=f(0)+f(1)=0+0=0。