26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章二次函数2026人教版·九年级上册26.1二次函数的概念学习目标1.理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式.2.经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本方法.3.感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题的意识.章前引言函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们已经学习过利用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系，下面再来看一些变量之间的更为复杂的关系。x20－x面积计算：

y=x(20-x)整理得：y=-x²+20x(0<x<20)①不同于一次函数的新函数用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m²）会随矩形一边长x（单位：m）的变化而变化，y与x之间有什么关系？（1）矩形的面积与边长y与x之间关系式

水珠从喷头喷出后，其运动轨迹呈现出完美的抛物线形状，这正是本章学习的二次函数在现实世界中最直观、最优美的体现。

从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线。在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们已经学习过利用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系，下面再来看一些变量之间的更为复杂的关系。（2）喷泉水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x章前引言1.什么是函数？3.什么叫做一次函数？4.什么叫做正比例函数？2.函数有哪些表示方法？一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数.形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)形如y=kx(k≠0)b=0知识回顾1.解析法2.列表法3.图象法你能列出下列变量之间的函数关系式吗？2.正方形的边长为x，面积y与边长x的关系式；3.某商品进价为20元，售价为x元，每日销量为(100-x)件，每日利润y与售价x的关系式.1.一个矩形的长为10cm，宽为xcm，矩形面积y（cm²）与宽x的关系式；y=10xy=x²利润=（售价－进价）×数量y=（x－20）（100-x）=-x²+120x-2000导入新课探究新知问题1

n

支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数

n有什么关系？【分析】每支球队与其他_____支球队各比赛一场.n-1②探究新知问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？【分析】一年后的产量：20(1+x)t两年后的产量：20(1+x)(1+x)ty=20(1+x)2y=20x2+40x+20③探究新知思考观察函数①②③，它们有什么共同点？y=-x²+20x①②y=20x2+40x+20③共同点:(1)含有自变量的代数式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不为0.新知小结一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.x2abcx新知小结二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的特殊形式：当b=0，c=0时，

y=ax2(a≠0)当c=0时，

y=ax2+bx(a≠0)当b=0时，

y=ax2+c(a≠0)一次项系数、常数项可以为0.1.下列函数是二次函数的是()A.y＝x2＋1B.x2y＝1C.y＝2x3－2(x－1)2D.y＝x－0.5A即时即练2.关于函数y=(500−10x)(40+x)，下列说法不正确的是()A.y是x的二次函数 B.二次项系数是−10C.一次项是100

D.常数项是20000C新知小结判断一个函数是否为二次函数的步骤：（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于0.例题分析例

(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S

关于半径r的函数解析式.解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr²+2πr·r，即S=4πr²例题分析

(2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是

x

，写出两年后产品的年销售量

y

(单位：万件)关于

x的函数解析式.解：(2)一年后产品的年销售量为8(1－x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以y=8(1－x)2即

y=8x2－16x＋8.即时即练3.

一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，那么y与x之间的函数解析式为（

A

）A.

y＝60(1－x)2B.

y＝60(1－x)C.

y＝60－x2D.

y＝60(1＋x)2A4.

在半径为4cm的圆中，挖出一个半径为xcm的圆，剩下的圆环面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（

D

）A.

y＝πx2－4B.y＝π(2－x)2C.

y＝－(x2＋4)

D.y＝－πx2＋16πD课堂小结二次函数的概念定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数系数

其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项一般形式y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数)特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a≠0，a，b，c是常数)课堂练习1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)y=8x²-16x+8;(2)y=x²;

(3)(4)y=2(x-1)²-5.二次项系数:一次项系数:常数项:二次项系数:一次项系数:常数项:二次项系数:一次项系数:常数项:二次项系数:一次项系数:常数项:8-16810050=2x2-4x-32-4-3【选自教材P31练习第1题】30mxm20mxm2.如图，矩形绿地的两边长各增加

xm，扩充后的绿地面积为ym2.写出y关于x的函数解析式.解：y=(30+x)(20+x)即y=

x2+50x+600.课堂练习【选自教材P31练习第2题】3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示.课堂练习【选自教材P31练习第3题】已知一个直角三角形的两条直角边的和为20cm.设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边长为xcm,写出S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式及自变量x的取值范围.x20-x解：由题意可得S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为自变量x的取值范围是0<x<20.4.

在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有(

B

)①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系；②在弹性范围