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文档简介

一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分§9．5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分柱面坐标、柱面坐标系的坐标面直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素柱面坐标系中的三重积分球面坐标、球面坐标系的坐标面直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分

设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标．这里规定r、q、z的变化范围为：0

r<

，0

q

2

，

<z<

．xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x

yq三个数r、q、z叫做点M的柱面坐标．r

r0一、利用柱面坐标计算三重积分坐标面r

r0，q

q0，z

z0的意义：xyzOq

q0z

z0r0q0z0

设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标．这里规定r、q、z的变化范围为：0

r<

，0

q

2

，

<z<

．三个数r、q、z叫做点M的柱面坐标．直角坐标与柱面坐标的关系：柱面坐标系中的体积元素：

dv

rdrdqdz．柱面坐标系中的三重积分：xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x

yqx2

y242解闭区域W可表示为：r2

z

4，0

r

2，0

q

2

．于是z

x2

y2或z

r24xyzO例1二、利用球面坐标计算三重积分这样的三个数r、j、q叫做点M的球面坐标．设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r、j、q相对应，其中r为原点O与点M间的距离，j为有向线段与z轴正向所夹的角，q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角．这里r、j、q的变化范围为0

r<

，0

j<

，0

q

2

．xyzOzPM(x,y,z)x

yqrj坐标面r

r0，j

j0，q

q0的意义：xyzOrqj

点的直角坐标与球面坐标的关系：球面坐标系中的体积元素：

dv

r2sinj

drdjdq．柱面坐标系中的三重积分：xyzOzPM(x,y,z)x

yqrj

例2

求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积．xyzOa2a

例2

求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积．解该立体所占区域W可表示为：0

r

2acosj，0

j

a，0

q

2

．于是所求立体的体积为xyzOa2arj．

例3求均匀半球体的重心．

解取半球体的对称轴为

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