样本估计总体（基础练）解析版

章统计

9.2样本估计总体（基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.为考察A、B两名运动员的训练情况，卜面是A、B两名运动员连续10天完成训练指标任

务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（）

•"*4运动员5运动员

A.第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；

B.第1天至第7天B运4员的得分逐日提高；

C.第2天至第3天A运助员的得分增量大于B运动员的得分增量：

D.在10天的得分统计中，A运动员得分的极差小于B运动员得分的极差.

【答案】D

【解析】由图象可得，第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故A正确；

由图象可得，第1天至第7天B运动员的得分逐日提高，故B正确；

第2天至第3天，A运动员得分增量大于2,B运动员得分增量小于2,所以第2天至第3

天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量，故C工确；

在10天的得分统计中，A运动员最小得分小于78,B运动员最小得分大于80,且两运动员

最高得分相接近，所以A的极差大丁B的极差，故D错误.故选：D

2.张老师将某位高三学生10次选填题专测的成绩进行统计，得到的统计结果如图所示，但

学习委员在将成绩登记在册的时候将62与68均登记成了65,则两个成绩相比，不变的数

字特征是（）

5357

62358

7557

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

【答案】C

【解析】两个成绩比较，具体情况如下：

众数中位数平均数方差

张老师75646567.4

学习委员65656565.6

观察可知，平均数相同，众数、中位数和方差均不相同.故选：C.

3.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、

12.设其平均数为。，中位数为〃，众数为c,则有()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.h>c>a

【答案】B

【解析】将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17,

.•.。二卡(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,中位数为〃=15，

众数为c=17.因此，故选：B.

4.已知数据王,与，…，5，/的平均数为/，方差为s：,数据为,与，…，%的方差

为s；，则()

A.B.s：=s；

C.$；<学I),s：与s；的大小关系无法判断

【答案】C

【解析】由N.…卜工”=九得z+x,+…+x“+f=«〃+1),

/?+1

所以西+£+…+七=/〃，所以N+&+…+/=/,

n

故两组数据的平均数都是1,

则=-[(Xj—t)2+(x—t)~+...+(x—t)2+(/—O~]»

〃+1ytl

^2=J[(N_/)2+(X，_/)2+...+(X“一力2]，

n

/.5,2<S?,故选：C.

n+1n

5.某组数据的茎叶图如图所示，其众数为。，中位数为方，平均数为J则()

089

1357

201336

323

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

里四二2。.5

【解析】由图中数据可得〃=23，b=

2

8+9+13+15+17+20+21+23+23+26+32+33

=20所以故选：A

12

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低

气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温

约为5℃.下面叙述正确的有（）

七月

——平均最低气温——平均最高气温

A.各月的平均最低气温布在0℃以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温高于20c的月份有5个

【答案】ABC

【解析】对广选项A,由图易知各月的平均最低气温都在0℃以上，故A1E确；

对于选项B,七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点

与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大故，B正确；

对于选项C,三月和十一月的平均最高气温均为10℃,故C正确；

对于选项D,平均最高气温高于20℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误.

故选：ABC.

7.随着人口红利的消失和智能制造趋势的演进，工业机器人逐渐成为企业提高产品质最、

向智能化转型升级的核心力量.经过多年的发展，我国的工业机器人产业已经达到了定的规

模，不仅在焊接、装配、搬运、冲压、喷涂等专业领域涌现出大量的机器人产品，同时机器

人关键零部件方面也已经接近或达到了世界领先水平.如图是“中投产业研究院”发布的

《2020-2024年中国机器人产业投资分析及前景预测报告》中关于2019年全国工业机器人

产量数据的统计图数据来源：国家统计局根据统计图分析，以下结论正确的是（）

2019年全国工业机器人产量数据（单位：万套，%）

■本月广・&三各月止，计-O本月的au■长•<>•本H止•计内比■长

A.2019年3~12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月份，最高的是12月

B.2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在0%以下

C.2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是4月份

D.2019年3~12月，全国工业机器人在12月份同比增长超过15%

【答案】ABI）

【解析】由《2020-2024年中国机器人产业投资分析及前景预测报告》中关于2019年全国

工业机器人产量数据的统计图，知：

对于选项A,由本月同比增长拆线图得：

2019年3〜12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月份，最高的是12月份，故A

正确；

对于选项B,由本月累计同比增长拆线图得：

2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在。％以下，故B正确：

对于选项C,由本月同比增长拆线图得：

2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是8月份，故C错误；

对「选项D,2019年3~12月，生国「•业机器人在12月份同比增长超过15%，故D正确•

故选：ABD.

8.2020年11月23日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、威宁县等

9个县退出贫困县序列，至此，货州全省66个贫困县全部实现脱贫摘帽，标志着全国832

个贫困县全部脱贫摘帽.某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭、对他们过去

7年（2013年至2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单

位：千元/人）数据，绘制折线图如图：

2013年至2019年甲、乙家庭人均纯收入（单位：千元/人）

的判断，正确的是（）

A.过去7年，“甲”的极差小于“乙”的极差

B.过去7年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值

C.过去7年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数

D.过去7年，“甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率

【答案】ACD

【解析】极差是一组数据中最大的数减去最小的数，甲的极差为：4.2-3.6=0.6,乙的极差

为：4.1-3.4=0.7；故A正确;

甲的平均值为：3.6+3.7+3.6+3.7+3.8+4.0+4.2=3；乙的平均数为：

77

3.4+3.6+3.8+3.6+3.9+4.0+4.126.4但

------------------------------=——；故8错误；

7---7

甲的中位数为：3.7；乙的中位数为：3.8,；故C正确；

过去7年甲的平均增长率为：乙的平均增长率为：而1±1—1；故。正确；

3.63.4

故选:AC1）.

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.为了解学生课外阅读的情况，随机统计了〃名学生的课外阅读时间，所得数据都在

［50,150］中,其频率分布直方图如图所示.己知在［50,75）中的频数为100,则u的值是

【解析】由图可得在［50,75）中的频率为0.004x25=0.1,

I（N）

所以一=1000,故答案为：1000.

0.1

10.若样本数据M，与，…，的标准差为4，则方差为_;数据1-2*,

1-2々，…，1-2.%的标准差为

【答案】168

【解析】设原数据的平均数为X，则新数据的平均数为1-21,

2

则原数据的方差为专[(再7)2+(x2-x)+...+(xl0-x)']=16,

222

则新数据的方差为:，新一型-1+2X)+(1-2X2-1+2X)+...+(1-2XIO-1+2X)]

1一一)-

=4X—[(x,-xy+(x2-x)'+...+(为0-x)*]

=4x16=64.

故数据1-2不，1一2马,…，1一2玉0的标准差为：8.故答案为：168

11.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单

位：cm）；

152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,

171,x,174,175,若样本数据的第90百分位数是173,则工的值为________.

【答案】172

【解析】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置,

r+174

本题第90百分位数是173,所以^------二173,x=172,故答案为：172

2

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了10（）户居民去年一年的月均用电量,

发现他们的用电量都在5QkW・h至350kW-h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图

如图所示.

（1）求a的值；

（2）求被调查用户中，用电量大于250kW・h的户数；

（3）为了既满足居民的基本用电需求，乂提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价,

希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW-h）的建

议，并简要说明理由.

【答案】⑴0.006：（2）18；（3）245.5kW-h.

【解析】（1）因为（0.0024+0.0036+a+0.0044+0.0024+0.0012）x50=l,所以

a=0.006:

(2)根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW-h”的频率为

(O.(X)24+O.(X)12)x50=0.18,

所以用电量大于250kW­卜的户数为：100x0.18=18,

故用电量大于250kW-h有18户;

(3)因为前三组的频率和为：(0.0024+0.0036+0.0C6)x50=0.6<0.8,

前四组的频率之和为(00)24+0.0036+().006+().(XJ44)x50=0.82>0.8,

所以频率为0.8时对应的数据在第四组，

所以第一档用电标准为：200+08~06x50«245.5kW-h.

0.22

故第一档用电标准为245.5kW・h.

13.一组数据中的每一个数据都乘以3,再减去50,得到一组新数据,，若求得新的数据的平

均数是1.6,方差是3.6,则求原来数据的平均数和方差.

【答案】17.2,0.4

【解析】设一组数据为七(，=1,2,3,…,〃)，平均数为工，方差为所得一组新数据为

上(=1,2,3,…,〃)，平均数为》，方差为s)

则乂=3%一50(»=1,2,3,，一〃)，yj+%++J.6,

n

所以3%—5°-3%2—5°++3x〃-5°=]6,

n

所以35—50=1.6,所以3=3=17.2,

3

由题意得$=：[()]—刃2+(力一9)2++(),,一刃2]=3.6,

2

所以)[(3石-50-1.6>+(3巧-50-1.6>++(3x,t-50-1.6)]=3.6,

所以，x9[(5-17.2)2+(4-17.2)2+,,+(._17.2)2]=36

所以/x9[(%-x)2+(&-工/++区-£尸]=3.6.

所以9s；=3.6,所以s：=0.4.

14.高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修4-4和选修4-5中任选一题作

答，满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情

况，计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将1000名考生

的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.

(1)若采川系统抽样法拍样，从编号为000〜999的成绩中随机确定的编号为026,求样本

中的最大编号.

(2)若采用分层抽样法，按照学生选择选修4-4或选修4-5的情况将成绩分为两层，己

知该校共有600名考生选择了选修4-4,400名考生选择了选修4-5,在选取的样本中，

选择选修4-4的平均得分为6分，方差为2,选择选修4-5的平均得分为5分，方差为

0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差.

【答案】(1)926；(2)平均得分为5.6,方差为1.74.

【解析】(1)根据系统抽样法知，抽样间隔为100,

所以最大编号为26+100x(10-1)=926.

(2)样本中选择选修4-4的考生有6人，4-5的考生有4人，

所以得分平均数为，x(6.《6+4x5)=5.6；

10

从选择选修4-4的考生中抽取6人，分别记为%,…，％,

从选择选修4-5的考生中抽取4人，分别记为乙，2,么，瓦,

则-x[(%-6)2+(必一6产+...+-6)2J=2,

6

所以a；+a；+…+4=228,

同理邛+以+4+反=103,

所以样本得分的方差为：

-j—[(O]—5.6)~+…+(4~5.6)+(4-5.6)"+...+(4—5.6)"]

=x+...+a：+b；+…+〃；-11.2x(q+...+&+"[+...+Z?1)+10x5.6~]

=-ji-x[228+103-11.2x56+16x31.361

=1.74.

所以估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6,方差为1.74.

A级必备知识基础练

1」探究点一]某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数

的成绩分布为：[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4

人;[100,110）,8人;[110,120）,12人;[120,130）,5人;[130,140）,6

人;[140,150）,2人.则分数在[100,130）中的频数以及频率分别

为（）

A.25,0.56B.20,0.56

C.25,0.50D.13,0.29

2.[探究点一（角度2）]为了了解某学校学生的身体发育情况,

抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出

样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，估计该校2000

名高中男生中体重不小于70.5kg的人数为（）

f频率/组距

os.

S

O6.

6

0.

中5⑥空5$5@505由3③525护.心心5体重/kg

A.300B.360C.420D.450

3」探究点三]已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）:

甲组27,28,39,40,机,50;

乙组:24以34,43,48,52.

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,

则;等于（）

121（

A."B."

7

C.aD.4

4.［探究点一（角度1）］为了帮助班上的两名贫困生解决经济困

难,班上的20名同学捐出了自己的零花钱.他们捐款数（单位:

元）如

下:19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,2

0.班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图,以表彰

他们的爱心,制图时先计算最大值与最小值的差

是.若取组距为2,则应分成组;若第一

组的起点定为18.5,则在［26.5,28.5）内的频数为.

5.［探究点一（角度2）］统计某校1000名学生的数学测试成绩,

得到样本的频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及

格,不低于80分为优秀，则估计及格人数是;优秀

率是.

频率/组距

0.04

0.035

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

1V_____L_

0405060708090100分数

B级关键能力提升练

6.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一

倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,

统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得

到如下扇形统计图:

种植收入

建设前经济收入构成比例

建设后经济收入构成比例

则下面结论不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入略有增加

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入不变

D.新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降

7.（多选题）［探究点三］已知100个数据的第75百分位数是9.3,

则下列说法不正确的是（）

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76

个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第

74个数据的平均数

8.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收

集并整理了2020年1月至2022年12月期间月接待游客量（单

位:万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动

性更小，变化比较平稳

9.已知30个数据的第60百分位数是82这30个数据从小到

大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是

10.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统

计后得到频率分布直方图（如图）,但是年龄组为［25,30）的数据

不慎丢失，则依据此图可得：

O.08

OS.07

06

O.05

O,04

OS.03

02

O.01

（1）［25,30）年龄组对应小矩形的图度为

⑵由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数约为

岁.

11.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2022年11

月11日的网购金额，所得数据如下表：

网购金额（单位:千兀）人数频率

[0.1)16().08

[1,2)240.12

⑵3)rP

[3,4)Vq

14.5)160.08

[5,6]140.07

合计2001.00

已知网购金额小于3千元与不小于3千元的人数比恰为3：

2.

（1）试确定x,y,p,q的值，并补全频率分布直方图（如图）；

[频率/组距

0,45[

0.35卜

Q.3Q\

0.25卜

0.20卜

0.15卜

o.ioLj__

嘴门I,m一

0123456金额/千元

⑵估计网购金额的第25百分位数（结果精确到0.001）.

c级学科素养创新练

12.首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行

了新高考适应性考试，在联考结束后,根据联考成绩，考生可了

解自己的学习情况,作出升学规划，决定是否参加强基计划,在

本次适应性考试中,某学校为了解高三学生的联考情况，随机

抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本,并按照分数段

[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分组，绘制了如图

所示的频率分布直方图.

⑴求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分

为90分及以上的学生所占比例)；

⑵估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数.

参考答案

1.A由题意知该班总人数为2+6+4+8+12+5+6+2=45,其中成绩在[100,130)的人数为

8+12+5=25,故分数在[100,13())中的频数为25,频率为后旬56.

2.B由题中频率分布直方图，得这100名高中男生体重不小于70.5kg的频率是

(0.04+0.035+0.015)x2=0.18,所以估计该校2000名高中男生中体重不小于70.5kg的频率

是0.18,则估计该校2000名高中男生中体重不小于7Q5kg的人数为2000x0.18=360.

3080

3.A因为所以第3()百分位数为〃=28,第8()百分位数为6=48,所以

m4812

7=2S=7

11

4.1165由题意知,极差为30-19=11;因为组距为2,2=5.5不是整数,所以取6组;捐款

数落在[26.5,28.5)内的有27,27,28,28,27共5个，因此频数为5.

5.80020%及格率是1-(0.005+0.015)x10=0.8,所以估计及格人数是1000x0.8=800,优

秀率是(0.01+0.0l)x10=0,2=20%.

6.C因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的

经济收入为/小则建设后的经济收入为2/%

A选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种