旋转模型综合问题-2026中考数学压轴大题（学生版）

专题21旋转模型综合问题

经典例题

所在平面上一点，且/”8=/3。。=/。%=120°,则点

P叫做△ABC的费马点.

⑴如果点尸为锐角△ABC的费马点，且/4BC=60°.

①求证：f\ARPs/\RCP：

②若%=3,PC=4,则PB=.

(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACQ,CE和B。相交于

P点.如图(2)

①求NCP。的度数；

②求证：P点为△48C的费马点.

(1)(2)

【例2】.如图①，点M为锐角三角形48c内任意一点，连接4M、BM、CM.以A8为一

边向外作等边三角形△48E,将8M绕点8逆时针旋转60。得到用V,连接EM

(I)求证：4AMB学4ENB；

(2)若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△4BC的费马点.若点M为△48C的费马点，

试求此时/4M从NBMC、NCMA的度数：

(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以AABC

的AB.AC为一边向外作等边△4BE和等边△ACR连接CE、BF,设交点为M,则点

M即为△A8C的费马点.试说明这种作法的依据.

【例3].如图(1),尸为AABC所在平面上一点，且乙428=/8/3。=/。%=120°,则点

户叫做△A8C的费马点.

(1)若点尸是等边三角形三条中线的交点，点P(填是或不是)该三角形的费马点.

(2)如果点P为锐角△ABC的费马点，且/4BC=60°.求证：MBPs△BCP、

⑶已知锐角△ABC,分别以4B、AC为边向外作正和正△ACD,CE和BD相交于

P点.如图(2)

①求NCP力的度数；

(1)已知，点尸是正方形4BCO内的一点，连以、PB、PC.将△陶8绕点8顺时针旋转

90°到△「'C4的位置(如图1),设A4的长为a,PB的长为〃gVa),求△RW旋转到

△P'C8的过程中边附所扫过区域(图1中阴影部分)的面积；

【实际运用工

(2)如图2,点P是等腰Rt^ABC内一点，AB=BC,连接南,PB,PC.若以=2,PB

=4,PC=6,求N4PB的大小：

【拓展延伸】:

⑶如图3,点P是等边ZUBC内一点，以=3,PB=4,PC=5,则的面积是(直

接填答案)

培优训练

1.如图，P是正三角形A8C内的一点，且掰=6,PB=8,PC=10.若将△雨。绕点A逆

时针旋转后，得到AP'A3.

⑴求点。与点P'之间的距离;

(2)求/4P8的度数.

B

2.(原题初探)(1)小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图I,P是正方形力BCO

内一点，连结PA,PB,PC现将△以8绕点B顺时针旋转90°得到的△尸’CB,连接

PP'.若以=&，PB=3,NAPE=135°,则PC的长为,正方形ABC。的

边长为.

(变式猜想)(2)如图2,若点。是等边△A8C内的一点，且以=3,PB=4,PC=5,请猜

想NAPB的度数，并说明理由.

(拓展应用)⑶聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的闰题：

如图3,在四边形A3C。中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=AADC=^,则3。

的长度为.

3.问题：如图1,在等边△/WC'内部有一点尸，已知/%=3,/抻=4,〃C=5,求NA/个的

度数？

(I)请写出常见四组勾股数：、、、.

(2)解决方法：通过观察发现啊,PB,PC的长度符合勾股数，但由于附，PB,PC不在

一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将AABP绕A逆时针旋转60°

到△AP'C,此时△ABPgZXACP：这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出

NAPB=.请写出解题过程.

(3)应用：请你利用⑵题的思路，解答下面的问题：

如图2,在△A4C中，ZC4B=90°,A13=AC,E,F为3c的点，且N£4F=45°,若

BE=m,FC=〃,请求出线段E尸的长度(用〃?、〃的代数式表示).

图1图2

4.(1)如图1,点尸是等边△ABC内一点，已知以=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度数.

分析：要直接求NAPB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，

因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内.

解：如图2,作/以0=60°使A/)=AP,连接PD,C。，则△物D是等边三角形.

/.=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60a

•••△ABC是等边三角形

：.AC=AB,NB4C=60°AZBAP=

：,BP=CD=4,=ZADC

•・•在△PC£>中，PD=3,PC=5,CD=4,PD1+CD2=PC2

・•・ZPDC=°

AZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°

(2)如图3,在△ABC中，AB=BC,NABC=90°，点P是△ABC内一点，%=1,PB=

2,PC=3,求NAPB的度数.

任意一点，连接啊,FB,PC,则以+PB+PC的最小值为.

5.如图1,。、E、尸是等边三角形A8C中不共线三点，连接A。、BE、CF,三条线段两两

分别相交于。、E、F.已知4尸=80,ZEDF=60°.

(1)证明:EF=DF；

(2)如图2,点M是EQ上一点，连接CM,以CM为边向右作△CMG,连接EG.若EG

=EC+EM,CM=GM,ZGMC=ZGEC,证明：CG=CM.

(3汝口图3,在(2)的条件下，当点M与点。重合时，若CO_LAQ,GO=4,请问在△4CO

内部是否存在点尸使得产到△AC。三个顶点距离之和最小,若存在请直接写出距离之和

的最小值；若不存在，试说明理由.

6.如图①，尸为△ABC所在平面上一点，且NAP8=N8PC=NC以=120°,则点尸叫做

△ABC的费马点.

(I)如果点P为锐角三角形4BC的费马点，且NABC=60°.

①求证：AABPsXBCP.,

②若%=3,PC=4,求的长.

(2)已知锐角三角形ABC,分别以/W、AC为边向外作正三角形A6E和正三角形AC/),

CE和B。相交于P点，连结AP,如图②.

①求NCP。的度数；

②求证：〃点为△ABC的费马点.

①②

7.【问题情境】

如图I,在△/WC中，乙4=120°,AB=AC,BC=5氏,则△/WC的外接圆的半径值

为.

【问题解决】

如图2,点P为正方形/WCO内一点，且NBPC=90'，若人8=4,求AP的最小值.

【问题解决】

如图3,正方形A8C。是一个边长为3•〃的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边

6c上,CE=Mc/〃,点尸是正方形ABC。内设立的一个活动岗哨，到8、E的张角为120“，

即N8PE=I2O。，点缸。为另两个固定岗哨.现需在隔离区域内部设置一个补水供给

点。使得。到A、。、P三个岗哨的距离和最小，试求Q4+QO+QP的最小值.(保留根

号或结果精确到3〃，参考数据加F.7,10.52=110.25).

8.问题提出

(1)如图，点M、N是直线/外两点，在直线/上找一点K,使得MK+NK最小.

问题探究

(2)在等边三角形A8C内有一点P,且以=3,PB=4,尸。=5,求乙4PB度数的大小.

问题解决

⑶如图，矩形ABCD是某公园的平面图，43=38几米，8C=60米，现需要在对角线

BD上修•凉亭£,使得到公园出口4e。的距离之和最小.问：是否存在这样的点E?

若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由.

9.在平面直角坐标系中，二次函数丁=々1+队-8的图象与工轴交于A、B两点，与)，轴交

于点C,直线)，=依+国(kWO)经过点A,与抛物线交于另一点R,已知。。=2。4,OB=

3

3OA.

(1)求抛物线与直线的解析式：

(2)如图1,若点P是x轴下方抛物线上一点，过点尸做ZV/1AR于点凡过点P做PQ

〃工轴交抛物线于点Q,过点P做_Lx轴于点H',K为直线上一点，且PK

=2«PQ,点/为第四象限内一点，且在直线PQ上方,连接IP、IQ、IK,记/=W_pH」

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PQ,m=IP+IQ+IK,当/取得最大值时,求出点尸的坐标,并求出此时用的最小值.

(3)如图2,将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M,过点“做的_1上•轴，交

抛物线于点N,动点D为x轴上一点，连接MD.DN,再将沿直线MD翻折为

△MDN'(点M、N、D、N'在同一平面内)，连接AN、AN'、NN',当△ANN'为等

腰三角形时，请直接写出点。的坐标.

10.(1)如图I,点P是等边△ABC内一点，已知%=3,PB=4,PC=5,求的度数.

要直接求/A的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑

借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2,作/附0=60"使连接PO,

C7),则△物。是等边三角形.

J=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=6Q°

:△ABC是等边三角形

：.AC=AB,NBAC=60°

/.NBAP=

/.AABP^AACD

:・BP=CD=4,=ZADC

•・・在△PC。中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

:.ZPDC=°

A^APB=ZADC=ZADP+^PDC=600+90°=150°

(2)如图3,在△ABC中，AB=BC,NABC=90°，点P是△ABC内一点，M=l,PB=

2,PC=3,求NAP8的度数.

①如图1,已知点P为等边△4BC外接圆的BC上任意一点.求证：PB+PC=PA.

②定义：在△A4C所台平面上存在一点尸，使它到二角形二顶点的距离之和最小，则称

点P为△ABC的费马点，此时以+P8+PC的值为△ABC的费马距离.

(2)知识迁移

①我们有如下探寻△ABC(其中NA,NB,NC均小于120。)的费马点和费马距离的方法：

如图2,在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCO及其外接圆，根据(1)的结论，易知

线段的长度即为△A8C的费马距离.

②在图3中，用不同于图2的方法作出4c的费马点P(要求尺规作图).

(3)知识应用

①判断题(正确的打J,错误的打X)：

i.任意三角形的费马点有且只有一个：

ii.任意三角形的费马点一定在三角形的内部.

②已知正方形43cO,。是正方形内部一点，且以+P3+PC的