2025-2026学年广东省深圳市某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年广东省深圳市翠园中学高二（±）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)已知集合。="624<9},集合4={-2,2},则CM=（

A.)-1,(),1}B.{-I,1}C.[-1,1]D.(-1,1)

2.(5分）己知点4(1,1),E(5,3),则以线段46为直径的圆的标准方程为（）

A.(x-2)2+(广3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=1

C.(x-3)2+(y-2)2=5D.(x-3)2+(y-2)2=1

3.（5分）已知空间向量之=（1,n,2），b=（-2>1,2），若2a-b与b垂直，则|aI等于（）

A.殳巨C.返

22。・等

4.(5分)已知点尸（1,1）,直线/：y=去+1（蛇R）,则点尸到直线/的距离的取值范围是（）

A.[0,1]B.（0,1]

C[。，I）D.[0,1）U（p1]

5.（5分）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好正以在池塘中

看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入

射光线上有一点力（2,4）,经直线x+y=0反射后经过点8（4,2）,则入射光线所在直线方程为（）

A.x-2y=0B.x+2v=0C.2x+y=0D.2x-y=Q

6.（5分）若。为椭圆。：¥4=1上任意一点，Q,&为椭圆0的左右焦点，G为圆（x-5）

2+（y-2）2=5上任意一点,则|OG|-尸]|的最小值为（）

A.V5B.2-V5C.2-V6D.V5-4

7.（5分）如图，在四棱锥尸一4BCQ中，顶点P在底面的投影。恰为正方形44CO的中心且卷地，设

点、M、N分别为线段P。、P。上的动点，已知当4V+MN取得最小值时，动点M恰为尸。的中点，则

该四棱锥的外接球的表面积为（）

第1页（共19页）

p

「25五

234

8.(5分)已知圆c].(x+1)6+y2=16,圆，2：(x-1)?+y2=r2(0<r<2>动圆M与圆Ci，

外，则」-4^工的

圆Q都相切，若动圆圆心”的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为的,

ele2

值为（）

A.2B.4C.6D.8

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）下列说法正确的是（）

A.直线mx-y+1・〃?=0必过定点（1,1）

B.直线y=3x-2在y轴上的截距是・2

C.过点尸（1,2）且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y・3=0

D.已知直线3x+4y-1=（）与直线6x+my-12=0平行，则平行线间的距离是1

（多选）10.（6分）如图，在平行六面体Z8C。■小81Gol中，以顶点4为端点的三条棱长都是1,且N

DAB=ZDAA\=ZBAA[=60^,则下列说法中正确的有（）

A.AC-LBD^

B・BD]S

C.8。_1平面力。。]

D.直线85与力。所成角的余弦值为近

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（多选）11.（6分）已知在△48。中，内角4B,。的对边分别为mb,c,外接圆半径为5,且满足

4sinJ+3cos（B+C）+3cos（B-C）=8,则下列结论正确的是（）

A.sinA二生B.△XBC是锐角三角形

5

C.b=2>/5D.△48C的面积为10

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知力（1,1,0）,B（3,5,6）,C（6,“，b）三点共线，贝Ua乜=.

13.（5分）已知直线/[：ar+yH=0与直线6：（a・1）x・@+2=0垂直，则实数a的值为.

14.（5分）规定：若函数为的图象与函数处的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函

数”，其公共点称为“兄弟点”若函数刈=|入一利（〃怎R）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”

2x

的横坐标分别为X\,X2»X3，且X]VX2VX3,若存在X\,X2»X3使得不等式

Xlk2-（3xi+x2+x3）k+3xG0成立，则实数A,的取值范围为-------------

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）在△48。中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosC=2aW^a

（1）求B：

（2）若c=2V2,D为/c的中点，求BD.

16,（15分）在平面直角坐标系中，己知力（（），5）,8（1,-2）,C（0,-3）,。（-3,-4）.

（1）证明：A,B,C,Q四点共圆：

（2）过点P（2,-1）作（1）中圆的切线，求切线方程；

（3）坐标原点。，点E（3,。），请问（1）中圆上是否存在点P满足|PE|=2|尸0]?若存在，求出。的

坐标；若不存在，请说明理由.

17.（15分）某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮

品店通过公开竞标的方式获得实现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的16（）天的连入沙滩的人

数做前期的市场调杳，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停

止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.

人数(万)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]

频数(天)8816242432

（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求。和这组数据的65%分位数;

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♦蟀

2.00...

1.75

1.50................r■■■

1.25

1.00

0.75................

0.50____________......_________人数

0.25■————（万）

()020.40.60.81.01.21/

（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙滩的人数

（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售

饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记丫为该店每日的利润（单位：元），求y和X的函

数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.

18.（17分）如图，在四棱锥P-48CO中，底面48CZ）,BC=CD=2,AC=4,ZACB=ZACD=

60°.

（1）求证：平面P4C_L平面P/18：

（2）若尸为尸C的中点，RAF±PB；

（/）求证：四棱锥2-448的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径;

（Ji）求二面角片-/F-£）的正弦值.

19.（17分）（I）已知：如图1,两同心圆：./+/=3和/+炉=4,R为大圆上一动点，连结OR（O为坐

标原点）交小圆于点K,过点/?作x轴垂线RH（垂足为H），再过点K作直线的垂线K0,垂足为

Q.当点R在大圆上运动时，求证：垂足。的轨迹是椭圆，并求出椭圆。的轨迹方程.

（2）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图2,是以椭圆。为底面的“椭圆柱”,

片，&为下底面椭圆的左右焦点，AA'=4,P为BB'上的中点，E为线段上的动点，MN为过点

出的下底面椭圆的一条动弦（不与48重合）.

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求三棱锥E-PMN的体积的取值范围.

（3）已知集合U={（X,V）|x,yER},A={（X,y）|3xcos0+2V3ysin0-6=0},求莫合8=CS

表示的面积.

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2025・2026学年广东省深圳市翠园中学高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

二.多选题（共3小题）

题号91011

答案ABDBCDAC

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.【答案】A

【解答】解：•・•集合U={xEZk2v9}="WZ|-3VxV3}={-2,-1,0,1,2）,

集合/={-2,2},

,64={-1，0,1}.

故选：A.

2.【答案】C

【解答】解：由题意，圆心为力8的中点（3,2）,直径为5一1产+（3一1）2=2遥,

工半径为函，

所以，圆的标准方程为G-3）2+（厂2）2=5,

故选：C.

3.【答案】B

【解答】解：由于空间向量；），（），

=Q,n,2b=-2,1,2

故W1=（4,2n-l,2），

若2；五与）垂直,则（2；G）・E=-8+2n-l+4=0,解得〃=回,

2

故；=（1,y,2），

乙

第6页（共19页）

所以白=。+成)2+22驾

故选：B.

4.【答案】C

【解答】解：直线/：y=h+l(AWR),可知直线恒过定点时(0,1),

当点P在直线/上时，则点尸到直线的距离为0,

当FMAJ时，则点P到直线的距离最大，且此时最大距离d=1,

且此时直线/_Lx轴，直线的解■率不存在，不符合条件.

所以点P到直线的距离的范围［0,1).

故选：C.

5.【答案】D

【解答】解:己知入射光线上有一点力(2,4),经直线x+y=()反射后经过点4(4,2),

设8(4,2)关于直线x+y=。对称的点为(a,b),

b-2一1

a.4T

a=-2,即夕(

则，解得_2,-4),

a+4J+2

=0b=-4

22

因为入射光线经过点4(2,4),所以力"所在直线的斜率为卜;尹禺

:2,

则入射光线所在直线方程为y-4=2(x-2),即2x・y=0.

故选：D.

6.【答案】D

【解答】解：如图所示，由题意得QB|+|Q&|=4,|OG|2|Z)G|-当且仅当。，G,G三点共线,

且G在线段上时取等号，

所以|OG|-QB|=|OG|-(4-|DF2|)=|。6|+|。尸2|-4-灰冽。。1|+|£>&|-4-«冽6巳|-4一灰，当

且仅当Ci，G,D,尸2共线，且G,。在线段G巳上时取等号，

因为&(1，0),C|(5,2),

则(|OG|一|。川)加产J(5-1)2+(2-0)2-4-V5=V5-4，

所以|A四・|MQ|的最小值为：V5-4

故选：D.

第7页(共19页)

\FiQyx

7.【答案】B

【解答】解：在PC上取点,使得PAT=PM,

则〃N="N,

当4W'_LPC时，AM'取得最小值，

BPAN+NM'的最小值为4W',

•・•〃为P力的中点，故而M'为尸。的中点，

：,PA=AC=2,/.W=7PA2-AO2=^3，

设外接球的半径为厂，则/=（«-〃）2+1,

解得：厂=2叵.

3

・•・外接球的表面积为

3

故选：B.

8.【答案】B

【解答】解：如图，当动圆M与圆G，。2均内切，

第8页（共19页）

IG幽=4,IG幽=|GM+|M%，|M附=|M°|,\MQ\=|AfC2|+l2C2|=\MC2\+r,

则|MC]|+|MC2l=|CiM-|M^+|A/C2|=|C]PF|-|JW2|4-|MC2|=4-(\MQ\-|MC2|)

=4-|eC2|=4-r>|CIC2|,

故圆心M的轨迹为以G(-1,0),C2(1,0)为焦点的椭圆方程，此时2田=4-r,

故a]=2-^-r,

故离心率为e1=T­,

al9-1.

因为G(-1,0),C2(h0),如图，动圆M与圆C|内切，与圆。2外切,

此时|MV|=|町，|TG|=4,|NQ|=r,

|MC||+|MQI=|MCi|+|MM+|NC2l=IM。\+\MT\+\NC2\

=|rC1|+|JVC2|=4+r>|ClC2b

故圆心M的轨迹为以G(-I,0),C2(1，0)为焦点的椭圆方程，此时2。2=4+八

第9页(共19页)

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.【答案】ABD

【解答】解：对手/,由皿--〃/=（）=/"（人-1）-Cy-1）»显然人=1时，y=1恒成立，

即该直线恒过定点（1,1）,故彳正确；

对于从根据直线的斜截式定义可确定直线y=3x-2在），轴上的截距是-2,故8正确；

对于C,若截距均为0,则该直线为y=2x；

若截距不为0,可设该直线方程为工2=1，代入点P（1，2）可得工上=1=3,

aaaaa

即。=3,.”+），・3=0,故。错误；

对于。，直线3x+4y-1=0与直线12=0平行，则3〃?=4X6,/.,n=8,

此时方程6+/町，-12=0可化为3x+4y-6=0,故两直线距离为d=1尸⑹I口,

A/32+42

故。正确.

故选：ABD.

10.【答案】BCD

【解答】解：以｛正，而，■｝为空间一组基底，

则西通+75+西二-蓝+75+刖，AC=AB+AD»

所以BDi・AC=（-AB+AD+AAi）・（AB+AD）=-AB+AD・AB+AA]・AB-AB・AD+AD+AA/AD

=-l2o+lX1X^1+1XlX-1^-lX1X1）+Fo+1X1X）1=1，

乙乙乙乙

所以XC不垂直于45，故*错误；

因为西=-标+而+加，

所以BDi=AB+AD+AA「2AB,AD-2AAi・AB+2AD・AAi

=l2+l2+l2-2XlXlX-l-2XlXlX-i-+2XlXlX-i-=2»

乙乙乙

所以IBD；|故"正确；

第io页（共19页）

依题意可知，四边形48。是菱形，所以力C_L8O,

又而=AB-AD.

所以瓦•瓦二二(五-标)•丽=K5•布一标•而

=1XIX工-lXIX工=0，所以而_!_£]，所以8。_1_44],

22

又力。门力力1=力，AC,44]U平面力CC],

所以BD_L平面力CG，故C正确；

设直线BD｝与力。所成角为9,

因为正二疝+而，

WAC2=AB2+2AB-AD+AE2=1+2XIX1X91=3，

乙

所以I正I二y,

----IBDi•AC|iyTa

所以.cos8:cos(BDi,AC)-——(,一~一二〒---L二二-，

1|BDiH|AC|V2XV36

所以直线85与4C所成知的余弦值为逅，故。正确.

6

故选：BCD.

11.【答案】AC

【解答】解：因为/+4+C=m所以4+C=n-4,因此COS(4+C)=-cosJ,

所以由4siM+3cos(B+C)+3cos(B-C)=8可得，

4sinJ-3coS/4+3cos(B-C)=8,

即5sin(J-<p)+3cos(B-C)=8,其中cos®:三，sin^=—f

55

再由三角函数值域可知sin(J-<p)Wl,cos(B-C)Wl,

因此只有当sin(J-(p)=1,cos(5-C)=1时,

等式5sin(J-(p)+3cos(B-C)=8成立，

因此sin(J-<p)=1»即A-0="^"+2k兀，kEZ，

2

对「力，可知sinA=sin(。y-+2k兀Asin(Q=c0so=~»即力正确;

5

对于8,由分析可知cos(8-C)=1,即8=C,

又4sin4-3cos4+3cos(B-C)=8,sinA=-,所以cosA=-3,

55

第11页(共19页)

因此力为钝角，即△XB。为钝角三角形，即3错误：

对于C,由分析知h=c,且a=2RsinJ=8,

根据余弦定理可得COsA二二二空事二-最，

2bc2b25

解得b=2^，即C正确；

对于。，此时三角形面积S=[bcsinA=[x2\/^X2x/^X卷=2，即。错误.

225

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.【答案】26.

【解答】解：由1,1，0),B(3,5,6),C(6,a,h)可得：

AB=(2,4,6)»AC=(5,a-1,b)»

因为正=入族，所以人至，

2

所以1=10,6=15,所以a+b=26.

故答案为：26.

13.【答案】2或0.

【解答】解：由于直线小4刈”1=0与直线匕：(。-1)x-砂+2=0垂直，

故a-1)-a=0,解得a=2或0.

故答案为：2或0.

14.【答案】(1,3).

【解答】解：在平面直角坐标系中作出刈=|xr川与丫2=—^的部分图象，如图:

第12页(共19页)

由乃=及，得|x~in|—-显然xVO,

x

2mm

当x-〃?20时，x-m=_—,即x-MX+2=0,当△=nr-8>()时，解得x=~^

当x-〃?V0时，_x+m=_2,即/-mx-2=0,解得x二m±』m2+8

观察图象知，两个函数的交点只能在第二象限，从血xVO,小VO,Vm2+8>|m|="in'

因此4姬坦,nH/mM!_m+Vm2-8

1222，

则」L：11Hzm2+8」(1+、匡"⑴尸),

x2+x32m2Ym'

由切2_8>O,得0<与<1,1<llgv血,于是1<一^<上空,

mVmX2+X3/

2+,

不等式乂建2-（3乂1+乂2+'3）卜+3乂1》0^(k-3k+3)x1>(x2x3)k而

k2-3k+3=

则有x1—，

x2+x3k2-3k+3

依题意，存在x],X2,有使得不等式使」一—成立，从而iC—S_,

x2+x3k2-3k+3k-3k+3

即F-44+3VO,解得1VkV3,所以％的取值范围为（1,3).

故答案为：（1，3）.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【答案】（1）迎

4

（2）近.

2

【解答】解：（1）因为2bcoK=2aW^c，由正弦定理得2sinBcosC=2sinA-h/2sinC，

BP2sinBcosC=2sin[兀-（B+C）]W^sinC，可得2sinBc：osC=2sinBcosC+2cosBsinCV2sinC»

化简得2cosBsinC=W2sinC.

3兀

因为sinOO,所以cosB二-结合（0>n）,可得B=

24

第13页（共19页）

(2)在△48C中，由余弦定理从=42+c2-2accosB,

可得6/15)2;a2+(2&)2-2・bX(2V2)X(,解得。=1,

222

a+b-c1+13-8_3V13

所以cosC=

2X1XV13-13

在△08。中，由余弦定理得BD2=1十运-2XIX山3解得BD=^■（舍负）.

421342

16.【答案】（1）证明见解析.

（2）x=2或21x-2（）y-62=0.

（3）不存在这样的点尸，理由见解析.

【解答】（1）证明：设经过4B,C三点的圆的方程为『+产+6+与HF=O,

r25+5E+F=0

则'D-2E+F+5=0，

,9-3E+F=0

解方程组可得。=6,E=-2,F=-15,

，圆的方程为，+y2+6x-2y-15=0（或（x+3）2+（y-1）2=25）；

又点。（・3,-4）在圆/+）2+6Q2），・15=0上，

，四点在圆/+6x・2y-15=0上，A,B,C,。四点共同；

（2）解：当斜率存在时，设直线方程为yH=A，（x-2）,

即去一厂2h1=0,

工可得」-3kJ-2k-l|=5,可得k=2L,

"20

，直线为2lx-20），-62=0；

当斜率不存在时，方程为》=2,与圆相切，成立；

・••所求切线方程为x=2或2Lx-20y-62=0；

（3）解：设尸的坐标为（x,y）,依题意可得.金-3）2+/=2匕2,

平方化简可得产的轨迹方程为（x+1）2+/=4,

两圆圆心的距离d=V5<3=5-2,

・•・两圆的位置关系为内含，.••不存在这样的点P.

17.【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）由总人数为160,则。=48,

由图表知道人数在1.0以下的是50%,在1.2以下的是80%,

第14页（共19页）

我们不妨假设L0至IJ1.2是均匀分布的，1.0+02X°・65-0・5=11,所以65%分位数是1.1：

0.8-0.5

画

分

图

图

频

率

布

方

如

所

I示

J|||

2G0

•

175

1・50

•2

15

•O

10

o1・75

•5

o0岁

•I

O25

•1

(2)由题意知，当X210000时，y=10X100()=100()0元:

当XV10000时，y=-^-XIQ-(1000-需)X5=L5X・5000.

'10000(X>10000)

所以Y二

,1.5X-5000(0<X<10000),

设销售的利润不少于7000元的事件记为力.实际上得到X28000,

此时夕(A)=(24+48+32)4-160=0.65.

18.【答案】（1）证明见解析：（2）（/）证明见解析，V7：（//）苴互.

8

【解答】解：（1）证明：由余弦定理,

有AB^/AC2+BC2-2AC*BC-cosZACB=273，

（2^3）2+22=42,AB2^BC2=AC2,

所以4C_L/4,

因为产力_1_底面如"?。，4Cu平面力8CQ,

所以I3CLPA,

因为尸404〃=力，PJcYfflPAB,/IBu'K面P43,

所以8C_L平面尸48,

因为8Cu平面PBC,

所以平面尸8C_L平面PAB.

（2）（/）证明：连接必，FD,

第15页（共19页）

因为8C_L平面48,P8u平面尸48,

所以8C_LP8,

因为尸为尸C的中点,

所以FB^PC，同理，有FD=^PC，

乙乙

因为夕/_1_底面力8CQ,ABCD,

所以PALAC,

因为产为PC的中点，

所以FA=^PC，因此，WFB=?D=FA=FP=FC^-PC*

所以尸为四棱锥P-ABCD的外接球的球心.

按如图所示建立空间直角坐标系，连接。8,取力8的中点连接。M,由△力CBZA4CD,有AB=

AD,

又/DAB=2/CAB=6G,所以△48。是正三角形，

有DML1B,易知A(0，0,0),B(2V§,0,0),C(2V§,2,0),D(V§,3,0),

设尸4=。,则P(0,0,a),F(V3>1,巧)，

有屈=(V§,1,y),PB=(2V3,0,-a)，

因为"上p氏所以正•丽二o，

有百,2V3+l*0+-|->(-a)=0,得a=2^/§，

乙

即PA=2心WPC^/PA2+AC2=2^7f

故四棱锥P-ABCD的外接球的半径为，7；

(//)F(V3，1，V§),

得标=(2爪，0,0),而=(F，1,炳),AD=(V3,3,0)，

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设平面94歹的法向量为\=（X,y,z），

则但，■，由B@=°,j2V3x=0,

mlAFlm・AF=OlV3x+y+V3z=0

则x=0,取z=Ly=-V3,

得平面84尸的一个法向量为：=（0,二巧，1）,

设平面“1方的法向量为口（X。,y0，z0