北师大版九年级数学上册 第1课时 正方形的性质（导学案）

第1章特殊平行四边形

1.4正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

【学习目标】

1.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归

纳探究能力和数学表达能力.（重点、难点）

2.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.（难点）

学习重点：通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养

学生的归纳探究能力和数学表达能力.

学习难点：利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能

力.

【复习导入】

平行四边形矩形特殊性质菱形特殊性质

边对边平行且相等

性质角对角相等，邻角互补

对角线对角线互相平分

【合作探究】

探究点：正方形的性质

观察-思考

（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？

（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.

总结：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱

形有的性质，正方形都有.

平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:

探究：从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。

正方形的性质

定理正方形的四个角都是直角，四条边相等.

定理正方形的对角线相等且互相垂直平分.

证一证

(1)己知：如图，四边形ABCD是正方形.

求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.

(2)已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.

求证：AO=BO=CO=DO,AC±BD.

判一判

根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打y”.

性质'图形平行四边形矩形菱形正方形

对边平行且相等

边

四边相等

角四个角都是直角

对角线相互平分

对角线相互垂直

对角线

对角线相等

每条对角线平分一组对角

典例精析

例1如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,

且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.

例2如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形,

求证：ZEAD=/EDA=15。.

变式题1:四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边为边作等边△ADE,求

ZBEC的大小.

变式题2：如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,

连接AC、PD.

(1)求证：△APB^ADPC；

(2)求证：NBAP=2/PAC.

尝试•交流

如图，四边形ABCD是正方形。

(I)在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A,C重合，则菱形的另外两个顶

点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。

⑵在图中画一个矩形EFGH,使矩形的四个顶点E,F,G,H依次在正方形ABCD的

边AB,BC,CD,AD上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并

与同伴交流你画图的理由。

当堂反馈

1.正方形具有而菱形不具有的性质是()

A.对角线互相垂直平分

B.内角之和为360。

C.对角线相等

D.一条对角线平分一组对角

2.如图，在正方形A8C。中,对角线AC,8。相交于点O.

第2题图

(l)NA8O=°,ZAOB=°；

⑵若正方形ABC。的面积为9,则48=,对角线8。的长为

(3)图中共有个等腰直角三角形.

3.如图，正方形AAC。的顶点氏。都在x轴上，若点A的坐标是(一2,8),点C的坐

标是(6,0),则点。的坐标是.

第3题图

4.如图，E＞是正方形A8C。内一点，且△E48是等边三角形，则NA£)E=1

第4题图

5.如图，直线/过正方形ABC。的顶点点4,C到直线/的距离分别为3和5,则正

方形ABCD的面积为.

第5题图

6.如图，过正方形A8C。的对角线8。上一点P,作尸E_L8C于点E,PFLCD于点F,

连接AP,EE求证：AP=EF.

参考答案

证一证

（1）证明：•・•四边形ABCD是正方形.

AZA=90°,AB=AD（正方形的定义）.

又•・•正方形是平行四边形，

・♦・正方形是矩形（矩形的定义），

正方形是菱形（菱形的定义）.

ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

AB=BC=CD=AD.

(2)证明：・••正方形ABCD是矩形,

「・AO=BO=CO=DO.

,/正方形ABCD是菱形，

.•・AC±BD.

判一判

根据图形所具有的性质，在卜.表相应的空格中打7”.

性质'图形平行四边形矩形菱形正方形

对边平行且相等V

边VVV

四边相等VV

角四个角都是直角VV

对角线相互平分V

对VVV

角对角线相互垂直VV

线对角线相等VV

每条对角线平分一组对角VV

典例精析

例I解：BE=DF,且BE1DF.理由如下:

①;四边形ABCD是正方形.

ABC=DC,ZBCE=90°,

/.ZDCF=180°-ZBCE=180°-90°=90°.

AZBCE=ZDCF.

又•:CE=CF,

・•・△BCE丝ZXDCF(SAS).

・•・BE=DF.

②延长BE交DF于点M.

VABCE^ADCF,

/.ZCBE=ZCDF.

"DCF=90。，

・•・ZCDF+ZF=90°.

ZCBE+ZF=90°.

AZBMF=90°,ABE1DF.

综和①②可知，BE=DF,且BE±DF.

例2证明：•・•△BEC是等边三角形，

/.BE=CE=BC,ZEBC=ZECB=60°.

•・・四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD,ZABC=ZDCB=90°.

/.AB=BE=CE=CD,ZABE=ZDCE=30°.

/.△ABE,△DCE是等接三角形.

，ZBAE=ZBEA=ZCDE=ZCED=75°.

AZEAD=ZEDA=90°-75°=15°.

【变式题1】

解：当点E在正方形ABCD外部时，

如图①，AB=AE,ZBAE=90°4-60°=150°.

.,.ZAEB=15°.

同理可得NDEC=15。.fflCi)

ZBEC=60°-15°-15°=3O°；

当点E在正方形ABCD内部时，如图②,

AB=AE,ZBAE=90o-60°=30o.

ZAEB=75°.图②

同理可得NDEC=75。.

JZBEC=360o-750-75o-60°=15()。.

综上所述，ZBEC的大小为30。或150。.

【变式题2】

(1)证明：•・•四边形ABCD是正方形,

AZABC=ZDCB=90°.

PB=PC,

AZPBC=ZPCB.

:.ZABC-ZPBC=ZDCB-ZPCB,

即ZABP=NDCP.

又・.・AB=DC,PB=PC,

AAAPB^ADPC.

(2)

证明：•・•四边形ABCD是正方形，

.,.ZBAC=ZDAC=45°.

VAAPB^ADPC,/.AE=DP.

又YAP=AB=AD,

:.DP=AP=AD,

即△APD是等边三角形.

AZDAP=60°.

AZPAC=ZDAP-ZDAC=15。，

ZBAP=ZDAB-ZDAP=30°.

AZBAP=2ZPAC.

尝试•交流

(1)条件：另外两个顶点在正方形对角线BD上，且关于AC对称(或到AC与BD交

点的距离相等)。

理由：菱形对角线互相垂直平分，

正方形中BD1AC且互相平分，满足菱形性质。

(2)条件：AE=CG、AH=CF

(或邻边互相垂直)。

理由：可证EFGH是平行四边形且有直角，符合矩形定义。