2026届高三数学二轮复习讲义：思想方法 第1节 函数与方程思想（含解析）

高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础

性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组

合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录

和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、

处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与

化归思想等.

第1讲函数与方程思想

【思想蹴述】函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认

识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.

方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方

程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.

方法一运用函数相关概念的本质解题

在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函

数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.

例1(1)已知函数人外="”-1)：+4。’满足对任意的实数为，足且为大也，都有伏为)/也)]但-

-,x>1,

x2)<0,则实数〃的取值范围为()

A」11)B.[0,I)

叫9叫1)

思路分析伏为)/也)](笛/(/)为减函数一每一段都单调递成一X=I左侧的函数值不小于右侧的函数值.

答案C

解析对任意的实数即，X2且足工及，

都有L"l)VU2)](X2)<0，

即32竺恒成立

X1-X2

3a-1<0,

a>0,

3a—14-4a>a,

解得*1

批注在函数的第一段中，虽然没有A-1,但当X=\时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，

且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即

火1）,这是解题的一个易忽视点.

（2）对于函数段）（—0）,若存在常数7（7>0）,使得对任意的都有於+7）W«r）成立,我们称函数

#力为"同比不增函数”.若函数.”尸丘+COSX是“5同比不增函数”，则实数人的取值范围是（）

A.[/+8）—

+8）D.（-8,-1

思路分析段）为'驷比不增函数”一4%+9<危）恒成立一分离参数求最值.

答案B

解析因为函数/U尸心十g0是'?同比不增函数”，

所以/（x+3勺U）,

即依+g）+cos（x+三）〈匕+COSX,

故"《cosx-cosfx+

=cosx-cosxcos——sinxsin-

又因为sin(x+?)=-1,

因此gw-l,故T，即实数左的取值范围为（一8,一斗

批注本题关键是理解”7同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转叱成求函数的

最值问题.

[规律方法]解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定

义推导即可.

方法二利用函数性质解不等式、方程问题

函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等

式问题.

例2⑴已知函数人x+2）=log3（3'+3-K）,若人〃-1）。2〃+1）成立，则实数。的取值范围为（）

A.（-8,-2]

BE，j]

C.(-8,,2]U[0,+8)

D.S，-2］昨，+8)

思路分析解不等式问题一比较两个函数值的大小一判断yu)的单调性.

答案B

解析设g(x)习U+2)=log3(3*+3”),

则其定义域为R,

因为g(-x)=log3(3*+3x)=g(x),

所以其用为偶函数，

所以小什2)的图象关于直线.v=0对祢，

所以」期)的图象关于直线42对称.

设｝=3r+3-r,

则y'=y\n3-3,3=(3A-3A)ln3,

令90,则3x-3v>0,得x>0,

所以产3、+3八在(()，+8)上单调递增,

因为函数y=logu为增函数，

所以g(x)在［0,+8)上单调递增，

所以义工)在［2,+8)上单调递增，

因为汽〃-1)电2〃+1),

所以|〃-1-21212a+1-2|,

所以(。・3)2》(2。-1)2,化简得3+2)(3a-4)W0,

解得

•5

所以实数。的取值范围为卜2,：］.

批注本题关键是利用函数的奇偶性及单调性脱掉了列出不等式，然后解不等式.

(2)设x,y为实数，满足(x-1"+2025(x-l)=-1,()，-1月+2025()，-1)=1,则%+产________.

思路分析观察两方程形式特征一借助函数几)=5+2025/的单调性、奇偶性求出X+F

答案2

解析令用户H+ZOZSf,则〃)为奇函数且在R上是增函数.

由/(A-I)=-I=火产1)yi->),

可得=则x+y=2.

批注本题关键是根据函数的特点构造函数，然后利用函数的亘调性求解.

［规律方法］函数与方程的相互转化：对于方程«r)=0,可利用函数)，习")的图象和性质求解问题.

方法三构造函数解决数学问题

在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁

为简、化难为易的效果.

例3已知6>0,x,»Kex+tsiny=e'sinx,则下列关系式恒成立的为()

A.cosxWcosyB.cosxNcosy

C.sinxWsinyD.sinxS^siny

思路分析e飞in产声加工一嚅=邛一由e12放缩等式一哭与呼的关系-构造/W二华，x-，

9）一利用函数的性质求解.

答案A

解析构造於尸誉，x£（_》）

则/⑴心浮，

当xE（一时，cosx>sinx,

所以火v尸骡在（一：，：）上单调递增，

因为e'>0,ev>0,

当翳=*，冷1时,

贝Isinx>siny>0,所以詈■邛芸>0，

所以（）<><r<7，

4

又产cosX在（0,9上单调递减，

所以cosx<cosy.

当翳书<。,冷1时，

贝Usinx<sin><0,所以詈<^^<0,

所以?<xvy<0,又产cosx在（―/0）上单调递增，所以cosx<cosy；

r+£

当.三尸0时，满足esin>=e'sinx,

此时cosA-COSy.

综上所述，cosx^cosy.

批注本题注意到£>o,主要是先由针+£>廿放缩，然后根据题目结构再构造函数，利用函数的性质求解.

［规律方法］在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系使问题明晰化.

专题强化练

［分值：73分］

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2025・石家庄模拟）已知函数）=/"）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）

A.）可因）B.）寸A2）

C.y=xJ（x）D.y=J（x）+x

答案D

解析因为＜x)是定义在R上的奇函数，则＜-x)=/x),

又因为川-x|)YM),所以)是偶函数，A不符合题意；

令Pa)yf),则尸)=F(x),所以Rx)是偶函数，B不符合题意；

令M(x)=x-fix),则“(-式月㈤次㈤书：")二M(x)，所以M(x)是偶困数，C不符合题意；

令M')Jx)+x，则M-x)可(㈤-户次¥)-4-伏分闭:W。)，所以是奇函数，D符合题意.

2.(2025•北京海淀区模拟)已知兀0=足日,6WR,则“忆1”是“汽幻是奇函数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当〃=-1时，依)/罟，

定义域为(-1,1),关于原点对称，

且/(-x)=lnfM=-ln誉己/(x),因此/W是奇函数，充分性成立.

1+X1-X

如果JU)是奇函数，则yu)的定义域必须关于原点对称，因此b=-i,必要性成立，

所以*=/"是“/W是奇函数”的充要条件.

3.(2025・上海模拟)定义在R上的函数段)为奇函数，其导数为人幻，且当代(-8,0］时，八幻＜1,则不等式

府)/2026)2片2026的解集是()

A.(2026,+oo)B.［2026,+8)

C.(-8,2026］D.(-8,2026)

答案C

f

解析令g(x)守U)-x,当x£(-8,()］时，g(.r)=f(x)-l＜0,

所以g。)在(-8,0］上单调递减，又因为函数./U)为定义在R上的奇函数，产工为定义在R上的奇函数，所

以g。)为定义在R上的奇函数，

则g(K)在(0,+8)上单调递减,即函数g(x)在R上单调递减,

所以由J{x}fi2026)2/2026,可得府)x却2026)2026,

即g*)2g(2026),所以xW2026.

4.(2025・贵阳模拟)已知定义在(一(5上的函数儿i)=x3+ianx+3,则不等式Xx-1)+/(|)＞6的解集是()

A(r5+1)B(ri+2)

C(”)D.(|,+8)

答案A

解析设以幻=/(1)-3二丁+匕11居工£(一：，；)，则g(-x)=-g(x),所以g(x))x)-3为奇函数.

易知产N,y=tanx在区间（一］,与上单调递增，

所以g（x）在区间（一］,5上单调递增.

因为不等式人山）巩；）>6,

可得笈1）-3以；）-3>0,

所以ga-D+g^）〉。，

所以g（x-1）>-g0=g（-；）.

因为函数火力的定义域为（一^,

所以…V=）,且/（十号，

所以二£（—］+1,1+1），

又函数g（x）在区间（一］,与上单调递增，

所以由g（x・1）>g（一，得，x-1>-p

解得综上，|<X<^4-1.

5.（2025•曲靖模拟）已知xi是函数火式）=xlnx-2025的零点，X2是函数g（x）=lnx+x-\n2025的零点，则工会的值

为（）

A.-C.V2025D.2025

e2025

答案D

Xy1InXy1=2025,

（x4-Inx=ln2025,

22

可得X2+InX2=ln（xiln%i）=lnxi+ln（lnXi）,

因为函数y=x+lnx在（（），+8）上单调递增，

所以X2=\nx\,则MX2=Xilnx）=2025.

6.（2025・昭通模拟）已知函数以E-f+oi'-x+Mogza+Zb）,若於）或0,则〃，〃满足的关系式为（）

A.4-26=1B.a+2Z?=1

C.a=2bD.a=-2b

答案B

角星析y（x）=（-x,4-^zx2-A+6r）log2（x+2/?）=［x2（d-x）4-（rt-x）］log2（x+2/7）

=，+1）（-x+a）log2（x+2Z?）,又^+1>0,

所以贝工）<0等价于Gx+a）log2（x+2〃）W0,

又月og2（x+2b）在定义域（-24+8）上单调递增,且零点为1・26

y=-x+a在定义域上单调递减，且零点为a,

所以函数产log2（x+2/?）与函数y=-x-ia的零点重合，

则a=l-2b,即a+2b=\.

7.(2025・天津模拟)已知g(x)=f-3x+l,若V笛£［1,2］,3x2e［0,2］,使人达尸双刈)成立，则实数

。的取值范围为()

A.r-L1］B.［l,|］

C.k”］D.卜1,|］

答案D

解析由题意可知，函数人x)在［1,2］上的值域是函数g(x)在［0,2］上的值域的子集，

而函数在［1,2］上单调递增，所以函数式用的值域为［，1+a］,

又函数g(x)的导函数为&。)=3*-3,

当x£［0,1)时，g3<0,所以函数g(x)在区间［0,1)上单调递减，

当xE(l,2］时,g'(x)>0,所以函教g(x)在区间(1,2］上单调递增,

所以函数g(x)在区间［0,2J上的最小值为g⑴=-1,

而g(0)=l,g(2)=3,

所以函数g(x)在区间［0,2］上的值域为［-1,3］,

Q之一1,o

所以3=>-K(7^-,

-+a<32

v2

即实数〃的取值范围为［-1,|］.

8.(2025・天津模拟)已知/U)是定义在R上的奇函数，当为，x2e(0,+~),且即WE时，辿色匚心》恒

成立，|3)=-6,则不等式./U)+2x>0的解集为()

A.(-3,0)U(3,+8)B.(-8,-3)u(3,+<»)

C.(-3,0)U(0,3)D.(-oo,-3)U(0,3)

答案A

解析构造函数g(x尸警，xWO,

贝ijg(-x尸等哼

故函数g(x)为偶函数,

当Xi,也£(0,+8),且时，

生山经2〉o恒成立，

Xl-X2

不妨设Xl《2,则句3)-阳”2)V。，

则“2„1)一工J("2)JS1)/(%2)<0

'X1X2XlX2'

即g5)<g(X2),

故函数g(X)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，

因为43)=6,则g(3)=g(-3)=噜=-2,

当x>0时，由y(x)+2x〉0,得吟・2,即g(x)>g(3),解得x>3；

当x<0时，由./W+2x>0,得A&-2,即g(x)<g(-3),解得-3<r<0；

X

当广。时，易知yu)+2『o.

综上所述，不等式火x)+2>0的解集为G3,0)U(3,4-00).

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.(2025•长沙模拟)已知函数/U)=e2W+cos2K(X£R),则下列判断正确的是()

A.函数人工)的图象关于)，轴对称

B.函数,/(x)的最小值为2,无最大值

C.函数兀。在(-冗，江)上单调递增

D.不等式人片1)勺U)的解集为G,+8)

答案ABD

解析由题意得/U)的定义域关于原点对称，/(-x)=e2|-v|+cos(-2.¥)=c2W+cos2x,即贝㈤于㈤,所以函数凡丫)是

偶函数,即函数7U)的图象关于y轴对称，故A正确；

当X20时，/)=e%cos2x,/(x)=2e2t-2sin2xX),所以/)在［0,+8)上单调递增,因为/(0)=2,且於)是偶

函数，所以函数yu)的最小值为2,无最大值，故B正确；

由A,B选项可知，y(x)在(-7T,0］上单调递减，在(()，兀)上单调递增，故C错误；

不等式/U-DM©oMlKH，两边平方得-2x+l<()，得x*，故D正确.

10.(2025・淄博检测)定义在(0,+8)上的函数危)，其导函数为八x),且满足八x)》U)>0,若00［<仆2，旦

XiX2=1,则下列不等式一定正确的是()

A./x2)>y(2-Xi)

C.lnfix\)-ln/(X2)<xi-xz

D.2A2)>3/Q)

答案ACD

解析A选项，因为O<RV142,且X|X2=1,

则X\■^X2>2yjx1x2=2,即X2>2-X\>1,

因为JU)在(0,+8)上单调递增，所以A正确；

B选项，设,/(x)=e巴八刈

当用=点必=2时，B错误;

C选项，令g(x尸午(QO),

则g'(x)J'('，a)>o,

可知g(x)在(0,+8)上单调递增，

因为0<X|<¥2»所以g(M)<g(X2),

即“：)<，(，>),

又因为则，

j\^2)e/

可得In22<lneXL*2,

f(x2)

所以InJ(x\)-\nj(x2)<x\-x2,C正确;

D选项，由C可知缥〃答，

则加2)>g/3)，

令/心)=F・x-l,h\x)=e-\,

当x>0时.Mx)>0./心)单调递增,所以力(戏>力(O)=e°-O-l=O,所以当x>0时,eA>x+l,

所以五工2)>"火即)=€丫2rly(X])>(x2・xi+1求工1)>(2-方次即)，

所以兀V2)>(2・Xi次t[),

当*,必=2时，欧巧。，42)>3/住)，D正确.

11.(2025・济南模拟)已知函数段)是定义在R上的奇函数,当第>0时，危)=夕(41),则()

A.当x<0时，y(x)=ev(x+1)

氏函数,©)有2个零点

C.函数,")在点(-1,0)处的切线方程为x-ey+\=0

D.Vxi,X2£R，都有心1)次切|<2

答案ACD

解析对于A,当x<0时，则・.。0,八㈤=式*1),

因为j(x)是定义在R上的奇函数，所以«%)二次-工)=-[e'(-x-1)]=e'(A+1),故A正确;

对于B,当QO时，

令危)=铲(X-1)=0,解得户1,

由./U)是定义在R上的奇函数，

所以当m-1时，人幻=0,又｛0)=0,故函数/U)有3个零点，故B错误；

对于C,当.r<0时，/(x)=e'(x+1),

/(x)=ev(x+2),所以/(-1)三,

故所求切线方程为.y-0=?x+l),即x-ey+l=0,故C正确；

对于D,当x<0时，/(x)=ev(x+l),/(x)=ev(x+2),

当-2<r<0时，八灯>0,所以函数凡r)在(-2,0)上单调递增，

当x<-2时，/8)<0,所以函数火x)在(-8,.2)上单调递减，/)曲寸(-2)二62,

且当上一一8时，A1)一。，

当•时，/)f1,所以危)的值域为[七'1),

由7U)是定义在R上的奇函数，故当Q0时，./(X)的值域为(-1,e2],因此VM,©ER，都有孤为)次*)|<2,

故D正确.

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.已知人幻是定义在R上的函数，若yw-f是奇函数，贝幻-2,是偶函数，则/U)的值为.

答案