中考数学复习：二次函数压轴题-角度问题

专题01角度问题

特殊角

【例1】如图，已知抛物线y=云+c与x轴相交于A(FO),4(1,0),与y轴相交于点C,直线/J_AC,垂足

为C.

(1)求该抛物线的表达式：

(2)若直线/与该抛物线的另一个交点为/),求点。的坐标：

(3)设动点打〃?,〃)在该抛物线上，当NP4C=45。时，求〃？的俏.

综合与探究

如图.脑物线），='/一”一3与x轴交于A.△两点（点A在点△的左侧），与），轴交于点C.直线/与抛物线交于

A,力两点，与），轴交于点E,点。的坐标为（4,-3）.

（1）请直接写出A,5两点的坐标及直线/的函数表达式；

（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为砥/〃..0）,过点P作PM_Lx轴，垂足为M.PM与直线/交于点N,

当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；

（3）若点Q是），轴上的点，且4。。=45。，求点Q的坐标.

如图1,抛物线)，=—；/+/»+c与X轴交于点44.0),B(-2,0),与y釉交于点C,线段BC的垂直平分线与对称

轴/交于点。，与x轴交于点/，与BC交于点E.对称轴/与K轴交于点〃.

(1)求抛物线的函数表达式及对称轴；

(2)求点。和点尸的坐标；

(3)如图2,若点尸是抛物线上位于第一象限的一个动点，当NE/7>=45。时，请求出此时点〃的坐标.

如图1,抛物线y=%2+H+C交工轴于4,4两点，其中点4的坐标为(1,0),与)，轴交于点。(0,-3).

(I)求抛物线的函数解析式；

(2)点£)为)，轴上一点，如果直线班＞与直线BC的夹角为15。，求线段CQ的长度：

(3)如图2,连接AC,点尸在抛物线上，且满足NQ48=2NACO,求点p的坐标.

平分角度

【例1】如图，二次函数-6or-l6a（4wO）的图象与x轴交于点4,A（A在8左侧），与），轴正半轴交于点C,

点。在抛物线上，CD//X轴，且O£>=AB.

（1）求点A,8的坐标及。的值；

（2）点尸为），轴右侧抛物线上一点.

①如图①，若0P平分N8D,0P交CD于点、E,求点P的坐标；

②如图②，抛物线上一点户的横坐标为2,直线C厅交x轴于点G,过点尸作直线C厂的垂线，垂足为Q,若

ZPCQ=ZBGC,求点。的坐标.

【变式训练1】如图1,已知抛物线y=+版+。与x轴交于A、8两点（点A在点3的左侧），与），轴交于点C,

且Q8=2Q4=4.

（1）求该抛物线的函数表达式：

（2）设。是（1）中抛物线上的一个动点，当直线OC平分NACP时，求点尸的坐标；

（3）如图2,点G是线段AC的中点，动点石从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点8运动，动点尸从

点8出发，以每秒血个单位长度的速度向终点C运动，若E、尸两点同时出发，运动时间为/秒.则当，为何值

时，A£FG的面积是A/WC的面积的1?

【变式训练2】如图.在平面直角坐标系中,直线），=gx-2与x轴交于点人,与），轴交于点C,抛物线

），=•!■/+6+C经过A、C两点，与x轴的另一交点为点3.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点。为直线AC下方抛物线上一动点；

①连接CD,是否存在点O,使得AC平分NOCD?若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

②在①的条件下，若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以尸、C、A.。为顶点的四边形面积记作S,

则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有两个？

【例2】如图，抛物线），=&-+辰+3与.X轴交于4-3,0）、仅1，0）两点，与y轴交于点。，点。是抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是），轴正半轴上的一点，。加=四，点。在对称轴左侧的抛物线上运动，直线OQ交掘物线的对称轴于

点N,连接MN,当平分NOM）时，求点Q的坐标；

（3）直线AC交对称轴于点E,。是坐标平面内一点，当APCE与MCD全等时，请直接写出点。的坐标.

角度相等

【例1】如图，抛物线y=a—+bx-3(。/0)与x轴交于点A(-1,0)和点A,与y轴交于点C,该抛物线的对称轴为

3

x=­.

2

(1)求a，b的值；

(2)若点。在抛物线上，且在/轴的下方，作射线秘，当/尸8A=NACO时，求点。坐标：

(3)若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点8、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，

请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由.

【变式训练1】如图1,直线=f+1与X轴，y轴分别交于点8,点E,抛物线4：了=+法+。经过点5，

点4(-3,0)和点C(0,-3)，并与直线L交于另一点D.

(I)求抛物线右的解析式；

(2)如图2,点尸为x轴上一动点，连接AD,AC,CP,当N尸C4=NAD8时，求点尸的坐标；

(3)如图3,将抛物线右平移，使其顶点是坐标原点O,得到抛物线人,将直线向下平移经过坐标原点O,

交抛物线七于另一点小，点M(-g，0),点N是4上且位于第一象限内一动点，MN交J于Q点、,QR//x轴分

别交O”,QV于S,R,试说明：QS与SR存在一个确定的数量关系.

■＞4

如图，已知二次函数＞=or+，＞+4的图象与y轴交于点A,与X轴交于点B(-2,0),点C(8,0),直线y=-§x+4

经过点A,与x轴交于。点.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)点E为线段AC上方抛物线上一动点，若AAOE的面积为10,求点石的坐标；

(3)点P为抛物线上一动点，连接AP,将线段”绕点A逆时针旋转到AP,并使NPAP=4MO,是否存在

点夕使点〃恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P的横坐标；如果不存在，请说明理由.

【变式训练2】如图，二次函数y=Y+法+3的图象与)，轴交于点A,过点A作工轴的平行线交抛物线于另一点A,

抛物线过点C(1,O),且顶点为。，连接AC、BC、BD、CD.

(1)填空：b=；

(2)点尸是抛物线上一点，点P的横坐标大于1,直线PC交直线8D于点Q.若NCQD=ZACB,求点，的坐标；

(3)点石在直线AC上，点E关于