人教版高中数学必修第二册 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例【原卷+答案】

第六章第4课时余弦定理、正弦定理应用

举例

A级必备知识基础练

1.如图，在河岸一侧取A,8两点,在河岸另一侧取一点C,若A8=12m,借助测角仪测得N

CAB=45°,ZCBA=60°，则。处河面宽CO为()

A.6(3+V5)mB.6(3-V3)m

C.6(3+2V3)mD.6(3-2百)m

2.如图Q,C,8三点在地面同一直线上从CQ两点测得点A的仰角分别是

人。(0〈份,则点A离地面的高度AB等于()

asinasin。asinasin。

A.B.

sin(/?-a)cos(a-F)

c.asinacosfiDacosasin/?

sin(/?-a),cos(af)

3.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°,从电视塔的西偏南3()°的B处,

测得塔顶仰角为45°间距离为35m,则此电视塔的高度是()

A.5V21mB.10m

4900

rmD.35m

13

4.一艘船上午9:30在A处，测得灯塔5在它的北偏东30c的方向，且与它相距872n

mile,之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达8处，此时又测得灯塔S在它的北

偏东75°的方向，则此船的航速是()

A.8(>/6+V2)nmile/hB.8(V6—V2)nmile/h

C.l6(V6+V2)nmile/hD.16(V6—V2)nmile/h

5.如图，两座山峰的高度AM=C7V=3OOm,为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在

8点(ARC在同一水平面上)测得M点的仰角为2点的仰角为也且则两座山

峰峰顶之间的距离MN=()

A.300mB.600m

C.3OOV2mD.600V2m

6.某船在岸边A处向正东方向航行xnmile后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3n

mile到达C处，若A处与C处的距离为百nmile,则x的值为.

7.已知甲船在岛B的正南方A处,48=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛

8航行,同时乙船自岛8出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两

船距离最近时.，计算它们所航行的时间.

8.某人见一建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°

方向行走了3km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,8在其北偏东74°方向上，试

求这两个建筑物间的距离.

B级关键能力提升练

9.如图所示，在坡度一定的山坡4处测得山顶上一建筑物CQ的顶端C相对于山坡的斜

度为15°,某人向山顶前进100m到达8处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若

CD=50m,山坡的坡角为。则cos0=()

3

2

B.V3-1

C.2-V3

D.—

2

10.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右转了15。°,然后沿新方向走了3km,结果

离出发点恰好V5km,则x的值为()

A.V3B.2V3

C.2D.3

11.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

30°,则甲楼的高是米，乙楼的高是米.

12.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与

60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角，求两条船之间的距离.

13.某海上养殖基地A,接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(V3+l)n

mile的海面上有一台风中心，影响半径为2()nmile,正以1()V2nmile/h的速度沿其一方

向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(B+l)h后开始影响基地持续

2h.求台风移动的方向.

14.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势,在两个相距为手。的军事基地C和D

处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和8处，且N4Q8=30°,/&)C=30°二

60°,NACB=45°,如图所示.求蓝方这两支精锐部队之间的距离.

答案：

1.B解析在△C8Q和△ADC中,

BD

sin(90°-60c)BD==AQ+8O=(1+

由正弦定理得,AD

(40=CD

sin(90°-45°)

y)CD=l2=>CD=6(3-V3)m.

2.A解析在△AQC中,ND4C二夕-a.

由正弦定理，得=

sin(g-a)sina

asina

：.AC=

sin(/7・a)'

・・.A8=ACsin左嚅手.

3.A解析设此电视塔的高度是xm,如图所示.则4。二二m,N3C4=150°、48=35m.

v3

CX2+|X2-352

cos150"=——J—.

2.第道

.\x=5yj21.

故选A.

4.D解析由题意，得在ZkSAB中，NBAS=30°,ZSBA=180°-75°=105°,N3S4=45°.

九

由正弦定理，得募F

故此船的航速为"今二16(乃-V2)(nmile/h).

2

5.C解析在中、8M=缶=^=3()。&(m),

在R△BCV中,BN=缶=^=600(m),

在dBMN中.MN“BM2+BN2-2BMBNcos乙MBN

2

+6002-2X300V2X600

=300&(m).故选C.

6.国或2b在△A8C中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOS氏即x2+9-2*3cos

30°二(通产即f-3V5x+6=0,解得X=2A/5或x=V3.

7.解如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为/h,距离为snmile,

此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(l()-4f)nmile,乙船距离B岛6inmile,

222

所以在ABC。中，由余弦定理，得cos120°=(6t)+(1°-4"-S=』,化简得$2=28产-2()任1()0.所

lU-4v)2

以当，二悬=5时，M取最小值，即当甲、乙两船距离最近时陀们所航行的时间是^h.

8.解如图，在△BCO中,NBOC=70°-30°=40°,ZBCO=(180°-70°)-74°=36°,

/.ZCBO=180°-40°-36°=104°.

,:003,

由正弦定理，得一上一=一吆一，则8。二%蟠一.

sin104sin36sinl04

在△ACO中,NAOC=70°,NCAO=56°,则/ACO=54°.

由止弦定埋，得二^=-^二，则A。=会*.

sin56sin54sin56

在aAB。中，由余弦定理，得

AB=>JAO24-BO2-2AOBOcos300~1.630(km)=l630(m).

故这两个建筑物间的距离约为1630m.

9.B解析在△ABC中，由三弦定理，得8c二”当等=.1斐I11】二、二50(遍-&)(m).

sinz.ACBsin(45-15)

在△6CO中，由正弦定埋，得sinZBDC=，i(：s'nA(：，iD=对显可皿-=遍八

CD50

由题图知cos。=sinNAOE二sinN8QC=V5-l,故选B.

10.AB解析如图所示，在AABC中,AB=MBC=3/C=V5,NA8C=30°,

由余弦定理得,AC2=482+5C2_2A3NCCOSNABC,

即(V5)2=f+32-ZT3cos30°,

解得x=2yG或x=>/3.

11.2()73—解析甲楼的高为20tan6()°=20xV3=2()V3«);

3

乙楼的高为20V3-20tan30°=20>/3-20x^=竽（米）.

12.解设炮台顶部为A,两条船分别为3,C,炮台底部为。（如图）,

则NBAO=45"，/CAO=3(F,ZBDC=3OU,4。=30m.

在RtAABD与RtAACD中,tan45°嗯tan300啜

解得DB=3()m,DC=l()V3m.

在ADBC中，由余弦定理，得BC2=DB2+DC2-2DBDCCOS30°，即^C2=302+(10A/3)2-

2x30x1()73x—,

2

解得^C=1（）V3m.

13.解如图,设预报时台风中心为8,开始影响基地时台风中心为C,

基地刚好不受影响时台风中心为。，则8,。,。在一条直线上,且4。-201101混,4。-20

mile.

由题意，得AB=20(V3+l)nmile,£)C=20\/2nmile,BC=10V2(V3+