2026年高考物理一轮复习：动态平衡和临界极值问题（讲义）学生版+解析

第10讲动态平衡和临界极值问题

核心考点

考点一动态平衡问题............................................................1

考点二平衡中的临界、极值问题.................................................4

考点一动态平衡问题

基础过关

1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题

一个力（"）恒定，另一个力（乃）方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。

若Fi与后不垂直，当■后时，后有最小值，Bmm=Fisin。，如图乙。

2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题

一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行,

即三力构成的矢量三角形与aACO几何三角形相似，则对应边比值相等。

基本矢量图，如图所示

基本关系式：等=普=?。

HR+rL

3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题

利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆

心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。

[例1]（2025・河南•三模）蜘蛛通过两根蛛丝（OA和03）悬挂在树枝上保持平衡。初始时,

蛛吆OA与竖直方向的夹角为仇蛛丝。3水平，如图所示。若猎物在A点被蛛丝缠住并向右

侧移动，蛛丝03仍保持水平。蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说

法正确的是（）

A.蛛丝OA的拉力逐渐减小，蛛丝03的拉力逐渐增大

B.蛛丝04的拉力逐渐增大，蛛丝06的拉力逐渐减小

C.蛛丝OA和OB的拉力均逐渐增大

D.蛛丝0A和OB的拉力均逐渐减小

【例2】（2025•陕西渭南•三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为0。一

只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。

已知。。与。尸的夹角为8=45。，在此过程中，下列说法正确的是（）

A.大理石半球对小蚂蚁的作用力变大

B.大理石半球对小蚂蚁的支持力变小

C.地面对大理石半球的摩擦力始终为零

D.地面对大理石半球的支持力变小

【例3】（2（）25・湖南怀化・三模）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模

型：ZBAC=90°,叉车臂AC与水平方向夹角为8。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始

终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若夕从0。缓慢增加为90。，叉车臂对石墩的作用

力FAC和车把对石墩的作用力F科的大小变化为（）

B

A.一直增加B.F.先增加后减小

C.%。先减小后增加D.F.一直在减小

【例4】（2025•山东威海•三模）如图所示，工人利用定滑轮通过绳索施加拉力尸，将一根均匀

的纲梁A8拉起，定滑轮位于钢梁A端的正上方，拉起的过程中钢梁绕A端缓慢转动。拉力尸

的大小（）

A.始终不变B.逐渐增大

C.逐渐减小D.先增大后减小

【例5】（2025•贵州毕节•三模）如图所示，竖直杆M、N固定于地面，轻绳a一端固定于N杆

上的F点，另一端与光滑轻质小圆环拴接于。点；轻绳b一端穿过小环后固定于M杆上的E

点，另一端与小物体连接。若初始时刻。点的位置比E点高，整个系统处于静止状态，a、b

绳上的拉力分别记为工和乙，则（）

A.仅将E点缓慢上移少许，工增大

B.仅将七点缓慢下移少许，入增大

C.仅将M杆缓慢左移少许，6减小

D.仅将M杆缓慢左移少许，工减小

精讲考点

1.分析动态平衡问题的流程

化“动”为“耕’“野”中求"动"

受力分析A画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形

定性分析

-------根据矢量三角形边长关系确定矢量

的大小变化

。।三角函数关系

三生兰」正弦定理f找关系求解

।相似三角形

考点二平衡中的临界、极值问题

基础过关

1.临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”

或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类:

(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。

(2)绳子恰好伸直，拉力尸=0。

(3)刚好离开接触面，支持力尸N=0。

2.极值问题

平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

3.解题方法

(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从

而找出平衡的临界点利极值点。

(2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方

法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分

析：确定最大值与最小值。

【例6】(2025.河北邯郸•模拟预测)我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金'端中提到为

了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图

所示，若斜面的倾角为15。，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为且，重力加速度为g。现用

3

轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑,所需的拉力最小值为（）

瓜\/6+V2

〃火C.D.---机g

■'

【例7】（2025•浙江湖州•三模）如图所示,一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A,

另一端通过光滑滑轮连接重物B,此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力产作用在滑块A上,

使A向右移动。已知A、B的质量分别为例和2〃z,滑块A与细杆间的动摩擦因数为W。则

3

()

F

B

A.若A做匀速运动，则B也做匀速运动

B.若B做匀速运动，则A做加速运动

C.若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30。时，拉力厂有最小值

D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30。时，拉力E一直在增大

【例81（24-25高一上•湖北武汉・期末）如图所示，能承受最大拉力均为100N的三段轻绳40、

BO、C。系于。点，质量为加=lkg的物体系于C端，A。与水平顶板间的夹角为例30。，BO

水平，A、B点固定，物体静止不动，然后在物体上作用一个竖直向下、大小从零逐渐增大的

外力。g取lOm/s?。（结果可以用根号表示）求：

⑴外力作用前，AO绳拉力八大小？30绳拉力加大小?

⑵为保证所有绳都不断，所加外力的最大值？

【例9】（24-25高一上.江苏常州.期中）如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10N的相

框对称地悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5m。已知绳能承受的最大张力为10N,

为使绳不断裂，绳子的最短长度为（）

13D.4

A.0.5mB.1.0mC.—m

33

【例10】（24-25高二上•云南曲靖•阶段练习）如图所示，用两根长均为1m的轻绳把一重为10N

的物体悬吊在天花板上，两细绳与竖直方向的夹角个（未知）相同，若每根轻绳能承受的最大

拉力为5及N,则绳子与天花板两悬点间的距离不得超过多少？

精讲考点

1.在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用

“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力

尸作用下做匀速直线运动，改变。大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力

「代替支持力与摩擦力，入与R的合力/方向一定，即“摩擦角”。满足tana=3=〃，则

Fmin=〃zgsina,此时0=a9

第10讲动态平衡和临界极值问题

核心考点

考点一动态平衡问题............................................................1

考点二平衡中的临界、极值问题.................................................4

考点一动态平衡问题

基础过关

1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题

一个力（FD恒定，另一个力伊2）方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。

若尸I与死不垂直，当6_LB时，”3有最小值，6mm=FisinO,如图乙。

2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题

一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行,

即三力构成的矢量三角形与AACO几何三角形相似，则对应边比值相等。

基本矢量图，如图所示

基本关系式：等=鲁=?。

HR+rL

3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题

利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆

心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。

[例1]（2025・河南•三模）蜘蛛通过两根蛛丝（OA和03）悬挂在树枝上保持平衡。初始时,

蛛吆OA与竖直方向的夹角为仇蛛丝。3水平，如图所示。若猎物在A点被蛛丝缠住并向右

侧移动，蛛丝03仍保持水平。蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说

法正确的是（）

A.蛛丝OA的拉力逐渐减小，蛛丝03的拉力逐渐增大

B.蛛丝04的拉力逐渐增大，蛛丝06的拉力逐渐减小

C.蛛丝OA和OB的拉力均逐渐增大

D.蛛丝0A和OB的拉力均逐渐减小

【答案】D

【详解】设蜘蛛的重力为G,蛛丝0A的拉力为蛛丝0B的拉力为尸2,由平衡条件有

F^sind=F21COS0=G

解得耳F,=Gtan0

COS0

当。减小时，cos。增大，tan。减小，故F/减小，后也减小。

故选De

【例2】（2025•陕西渭南•三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为0。一

只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P,运动过程中大理石半球始终保持静止。

已知。。与0P的夹角为8=45。，在此过程中，下列说法正确的是（）

A.大理石半球对小蚂蚁的作用力变大

B.大理石半球对小蚂蚁的支持力变小

C.地面对大理石半球的摩擦力始终为零

D.地面对大理石半球的支持力变小

【答案】C

【详解】AB.对小蚂蚁受力分析如图所示

可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持

不变；蚂蚁受到的摩擦力为/=mgsin”

蚂蚁受到的支持力为&=mgcos0

小蚂蚁缓慢从图中。点沿圆弧爬向。点的过程中。逐渐变小，则小蚂蚊受到的支持力变大，摩

擦力变小，大理石半球对小蚂蚁的作用力不变，故AB错误；

CD.选取大理石半球与小蛆蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，

所以大理石半球受到地面的支持力始终大小等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地

面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。

故选Co

【例3】（2025•湖南怀化♦三模）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模

型，ZBAC=90°,叉车臂AC与水平方向夹角为，。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始

终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若。从0。缓慢增加为90。，又车臂对石墩的作用

甲乙

A.一直增加B.F.先增加后减小

C.%°先减小后增加D.F.一直在减小

【答案】AD

【洋解】在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，并将石墩所受的三个力进行平移构

成一个首尾相接的矢量三角形，在。从0。增加为90。过程中，该矢量三角形的三个顶点应落在

一，个圆上，如图所示

重力为圆的直径，由图可知，尸"一直增加，Etc一直在减小。

故选ADo

【例4】（2025•山东威海三模）如图所示，工人利用定滑轮通过绳索施加拉力尸，将一根均匀

的纲梁A8拉起，定滑轮位于钢梁A端的正上方，拉起的过程中钢梁绕A端缓慢转动。拉力尸

的大小（）

A.始终不变B.逐渐增大

C.逐渐减小D.先增大后减小

【答案】C

【详解】对钢梁AB受力分析，向下的重力〃吆，细绳的拉力F以及地面对A点的作用力N（摩

擦力和支持力的合力），三个力的合力交于一点，组成力的封闭三角形，则由相似三角形可知

mg_F

~CA~~OC

则随着钢梁8点逐渐升高，贝JOC的减小，尸减小。

故选c。

【例5】（2025•贵州毕节•三模）如图所示，竖直杆M、N固定于地面，轻绳a一-端固定于N杆

上的F点，另一端与光滑轻质小圆环拴接于。点；轻绳b一端穿过小环后固定于M杆上的E

点，另一端与小物体连接。若初始时刻O点的位置比£点高，整个系统处于静止状态，a、b

绳上的拉力分别记为工和则（）

MN

A.仅将七点缓慢上移少许，工增大

B.仅将七点缓慢下移少许，入增大

C.仅将M杆缓慢左移少许，产b减小

D.仅将M杆缓慢左移少许，工减小

【答案】D

【详解】A.两根绳子与水平方向的夹角分别为。、夕，物块质量为〃？，因为b绳跨过小圆环

与物块相连，同一根绳子所以冗=mg

先将E点缓慢向上移动少许，两个心之间的夹角变大，所以两个力的合力减小，因为F.与两

个心的合力大小相等，方向相反，所以工减小，乙不变，A错误；

B.将E点缓慢向下移动少许，两个兄之间的夹角变小，所以两个力的合力变大，因为工与

两个居的合力大小相等，方向相反，所以工变大，尸b不变，B错误；

CD.将M杆向左移动少许，夕减小，即两个兄之间的夹角变大，所以两个力的合力变小，

因为工与两个心的合力大小相等，方向相反，所以工减小，心不变，C错误，D正确。

故选Do

精讲考点

1.分析动态平衡问题的流程

化“动”为“耕’W中求"动”

受力分析--------"画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形

定性分析

-------＞根据矢量三角形边长关系确定矢量

的大小变化

AI三角函数关系

定量计:1正弦定理f找关系求解

I相似三角形

考点二平衡中的临界、极值问题

基础过关

1.临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”

或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类:

(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。

(2)绳子恰好伸直，拉力/=()。

(3)刚好离开接触面，支持力尸N=0。

2.极值问题

平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

3.解题方法

(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从

而找出平衡的临界点和极值点。

⑵数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方

法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分

析，确定最大值与最小值。

【例6】（2025•河北邯郸•模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为

了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图

所示，若斜面的倾角为15。，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为且，重力加速度为g。现用

3

轻绳拉着质量为〃?的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（）

A.—mgB.---mgC.—mgD.---mg

乙3

【答案】A

【详解】对矿石受力分析如图

将五N与耳合成，设其合力方向与汽N成。夹角，易知tana=2=正，得。=30。

外3

分别作出A、A与再合力的反向延长线，可知重力与G的反向延长线夹角与斜面倾角相等,

即夕=15。，由几何关系得，过重力的下端点作外与工合力反向延长线的垂线，即为所需的

拉力最小值，=mgsin（a+/）,得（而二正加白。

2

故选Ao

【例7】（2025•浙江湖州•三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A,

另一端通过光滑滑轮连接重物B,此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力/作用在滑块A上，

使A向右移动。已知A、B的质量分别为机和2〃?，滑块A与细杆间的动摩擦因数为无。则

3

)

6

B

A.若A做匀速运动，则B也做匀速运动

B.若B做匀速运动，则A做加速运动

C.若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30。时，拉力厂有最小值

D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30。时，拉力厂一直在增大

【答案】D

【详解】AB.对AB两滑块速度关系如图所示

由几何关系有力=VACOS6^

若A做匀速运动，。逐渐减小，cos。逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，0

逐渐减小，cose逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故AB错误；

CD.对滑块B有7=2mg

由于滑块A从图示（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至。=30°过程中30,46490

可却Tsin8=2mgsin0>mg

则在竖直方向上有Tsin6=mg+N

则在水平方向有尸=4%+7以光。

联立解得

F=2mgcos9+24mgsin9一4mg=2mgjl+,cos3+,sin0-〃ng

（Jl+X?J1+4）

^1V341

假没sina=『^二〒,cosa=^==-

Jl+42/+〃-2

解得a=60

则可求得F=2mg11+sin（60+。）一Ring

滑次A从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，。减小,可知尸逐渐增大，当。=30°时

解得拉力尸有最大值匕3s=6,咫

故C错误，D正确。

故选Do

【例81（24-25高一上•湖北武汉•期末）如图所示，能承受最大拉力均为100N的三段轻绳4。、

80、。。系于。点，质量为加=lkg的物体系于。端，A。与水平顶板间的夹角为6三30。，B0

水平，A、8点固定，物体静止不动，然后在物体上作用一个竖直向下、大小从零逐渐增大的

外力。g取10m/s2o（结果可以用根号表示）求：

/////////////////////////////

££

（1）外力作用前，A。绳拉力〃大小？B。绳拉力方大小？

（2）为保证所有绳都不断，所加外力的最大值？

【答案】（D20N；10月N

（2）40N

【详解】（1）外力作用前，以物体为对象，根据受力平衡，=mg=10N

T10

外力作用前，以。点为对象，根据受力平衡可得AO绳拉力大小为-N=20N

sin^0.5

80绳拉力大小为心=Jc_=10V3N

tan。

(2)根据[=上=2],看=工=序

sin0tan0

可知普〉，

为保证所有绳都不断，则有北==27；：=2(m^4-F)<100N

sin，

解得所加外力的最大值为F=40N

【例9】（24-25高一上•江苏常州•期中）如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10N的相

框对称地悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5m。已知绳能承受的最大张力为10N,

为使绳不断裂，绳子的最短长度为（