人教版七年级数学下册期末复习专练：二元一次方程组的压轴题（11大压轴题型）

专题09二元一次方程组的压轴题（11大压轴题型）

真题实战•百练通关

题型1含参二元一次方程（组）题型7行程问题

题型2整数解问题题型8销售利润问题

题型3错解问题题型9分配问题

题型4同解问题题型10几何面积问题

题型5新定义问题题型11特殊解问题

题型6方案选择

考题猜想•高分必团

题型一含参二元一次方程（组）

1.已知J二一2是方程-2mx+5'=3的一组解，则〃?的值为（）

A.2B.2C.5D.11

【答案】C

【分析】本题考查二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，代入％=1,y=-2得到关于m的

一元一次方程，求解即可得到答案.

【详解】解：将％=1,y=—2代入方程-2mx+y=3,得：-2m-1+（-2）=3.

解得：m=-1,

故选：C.

2.己知】:I是关于羽V的二元一次方程以一"二3的解，则2a+48的值是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【分析】把x,y的值代入方程，根据等式的性质变形即可求解.

【详解】解：根据题意得，a+2b=3,

2x（Q+2b）=3x2=6»

/.2a+4b=6,

故选：B.

【点睛】本题主要考查根据二元一次方程的解求参数，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键.

3.小明解得方程组+:二*解为匕:彳，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数•和★，则这两

-y_1v（y_Lu

个数分别为（）

A.10和4B.2和一4C.一2和4D.一2和一4

【答案】B

【分析】把代入3x-y=10，得y=-4,把y=-4,x=2代入3x+y=得13=2.

【详解】解：把｛：：：，代入3x—y=10,得

6-*=10,

=—4,t'1-y=—4,

把y=-4,%=2代入3%十、=团，得

6+（-4）=0,

0=2,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握将解代入原方程组求出有关的

数值是解题关键.

4.已知关于小），的方程组匚］的解满足x+y=5,则出的值为（）

A.|B.2C.3D.5

【答案】B

【分析】首先解方程组，利用k表示出％、y的值，然后代入％+y=5,即可得到•个关于〃的方程，求

得k的值.

x+2y=k-1①

【详解】解:

2x+y=5k+4②

由②X2-①得3x=9k+9,

解得x=3k+3,

把％=3k+3代入①得3k+3+2y=k—1,

解得y=-k-2.

vx+y=5,

•••3/c-3—Zc-2=5,

解得k=2.

故选B.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法.正确解关于工、

y的方程组是关键.

题型二整数解问题

5.方程5x+2y=17的正整数解有（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解题的关键.

把方程化为用一个未知数表示成另一个未知数的形式，再根据小y均为正整数求解即可.

【详解】解：方程5x+2y=17可化为y=宁，

：x、），均为正整数，

17-5x>0且为2的倍数，

当戈=1时，y=6,

当％=3时，y=l,

二方程5%+2y=17的正整数解为［:，后二；，

故答案为：B.

6.写出二元一次方程％+2y=11的一个整数解.

【答案】（答案不唯一）

【分析】本题考查了二元一次方程整数解，解题关键是理解方程解的意义，选一整数代入求另一个未知

数的整数值.

根据二元一次方程的整数解的定义写出即可.

【详解】解：当y=5时，¥+2x5=11,

解得x=l,

・•・二元一次方程的一个整数解为：［;；（答案不唯一）.

故答案为：及二;（答案不唯一）.

7.当正整数m=时，关于％y的方程组］霁:］：有正整数解.

【答案】1或2/2或1

【分析】本题考杳的是二元一次方程组的正整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法”是解本题的关键.

利用代入消元法先消去未知数x，求解），，再根据〃，为正整数,x是正整数可得，〃的值，再进行检验即可.

【详解」解：f+myng

［x+l=y@

把②代入①得：x+m（x+1）=5

解得…=^=T+岛

•••》为正整数，/〃为正整数,

m=1或m=2,

此时y=x+1也为整数,

3

故答案为：1或2.

8.已知关于不、y的方程组有正整数解，则k的值为

【答案】一4或一^或1

【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由％=14-

4y及％、y为正整数得出y=l或2或3是解题的关键.

由①可得％=14-4y,由“、？为正整数可得y=1或2或3,进而得出方程组的正整数解，然后代入方程

②即可求出々的值.

x+4y=14①

【详解】解:

A-y=1-2kz

由①可得：%=14-4y,

•・法、y为正整数,

Ay=1或2或3,

.(X=10.(%=6.(%=2

.】/=］火］=2或1=3'

把代入②,得；

9=1-2k,

解得：k=-4：

把好二;代入②，得:

4二1-2匕

解得：k=-l；

把代入②，得：

-1=1-2匕

解得：k=1；

综上，k的值为-4或一弓或1,

故答案为：一4或一号或1.

题型三错解问题

9.两位同学在解方程组甲同学正确地解出j；］：,乙同学因把e抄错了解得

。，b,c正确的值应为（）

A.a=-3,b=—l,c=—5B.a=l,b=—l,c=-10

C.a=2,b=—4,c=-10D.a=3,b=l,c=-10

4

【答案】C

【分析】本题主要考查了二元•次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组.把甲的

结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出mb,C的值，即可求出所求.

【详解】解：把（J;二;代入方程组得｛'二；二;

把C~代入以+by=2得：-3a-2b=2,

联立得:[解得：]:=2

1-3Q-2b=23=—4

由一c-7=3,得到c=-10,

故选：C.

10.在解关于X,），的方程组二二时甲看错①中的小解得｛jl，，乙看错②中的乩解得｛;二工

则。和的正确值应是（）

A.Q=5,b=3B.Q=3,b=3C.Q=3,b=-5D.Q=5,b=-5

【答案】A

【分析】本题主要考杳了二元一次方程组的错解问题.甲看错了小则甲的结果满足②，乙看错了〃，

则乙的结果满足①，由此建立关于心〃的方程求解即可.

【详解】解：根据题意得：:6?=一）解得：

12a-12=-23=3

故选A.

11.小莹和小亮同时解关于力y的方程组2匕=],小莹解得正确结果为凭;】，小亮因为抄错了m,

（.mx—3y=6（y=3

解得错误结果为二:，则4a+36+771二.

【答案】3

【分析】本题主要考查二元一次方程组的解,把匕力代入方程组得俨+3：二堂，再把忆一:代

U-J157n—9=6｛2）U-$

入方程组中第一个方程得-3a-3b=3③，联立①②®,求出a,b,m的值代入计算即可.

【详解】解:把建代入方程组偿t沈科第;二翁

•・•｛；:二;是方程+hy=2的一组解.

：.-3a-3b=3（3）,

a=3

联立①②③，并解得b=-4,

m=3

，4a+3b+m=12-12+3=3,

故答案为：3.

12.李明、王超两位同学同时解方程组｛晨：/二：9，李明解对了，得：｛仁]，王超抄错了抽，得：

5

卮;二：，则原方程组中Q的逍为.

【答案】-1

【分析】本题主要考查了考查了解二元一次方程组，根据题意可得｛获?和｛；=二;都定方程g+

by=2的解，据此可得｛H砥二，解方程组即可得到答案.

【详解】解：•・•李明、王超两位同学同时解方程组2李明解对了，得：产力,卜超

抄错了m,得：&二_：，

.（-2a+3b=2

**l-2a-2b=2'

解得｛m

故答案为：—1.

题型四同解问题

13.关于“，y的方程组｛幻;与；有相同的解，则。+4b_3的值为.

【答案】4

【分析［本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于％,y的方程组2与

£；?：7有相同的解，则｛銮矍1；，解得:膛然后代入黑篙:;噫:丈;,

求出｛W1‘最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解」.关于X,y的方程组｛第X：；与朦;沈;有相同的解，

位4X”僚常二有相同的解，

由｛翼/黑解得:e：3-

.叶代入爆常:;噫髯:;

解得，器］.

：•ci+4b—3=-1+4x2—3=4,

故答案为：4.

14.若关于X、丁的方程组。二日二和的解相同，则（。+力严5的值为.

I。人CvV»~I""人IL/V~~乙

【答案】0

【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于X、y

的方程组，求出x、），的值，再将小），的值代入含。、〃的方程组即可求出。、。的值，即可求出代数式

6

的值.

因为两个方程组有相同的解•，故只要将两个方程组中不含有4,8的两个方程联立，组成新的方程组,

求出八•和)，的值，再代入含有”,〃的两个方程中，解关于4力的方程组即可得出〃方的值，代入(。+份2。25

计算即可.

【详解】解：联立优；£二〉

解瞰：i，

得『甘丫6.

(2Q+匕=—2

解%二2，

.,.(a+8)2025=(-2+2)205=0.

故答案为：0.

15.若关于x,y的方程组优:?的解是｛；：:，则关于x,y的方程组｛器二？:龄二2Z:的

(“2%十C2y-C2—1Va2\x刀十D2\y)-C2

解是_____

【答案】｛/二3

【分析】把-)，看作整体，则，二/二4,从而得到方程组的解.

【详解】根据题意得：「二

(x=s

A(y=-1J

故答案为：

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键.

16.已知，关于羽y的二元一次方程组与方程组东十下：一个有相同的解

\ux十uy——o(cix—oy——4,

(1)求这两个方程组的相同解：

(2)求(2Q+8)2025的值.

【答案】⑴y二二

(2)1

【分析】本题考查同解方程组.

(1)将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可；

(2)把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的

值即可.

7

【详解】⑴解：由题意得：+5厂二修，

13%-5y=36(2)

①+②得：5x=10,解得：x=2,

把％=2代入①得：4+5y=-26,

解得：y=-6,

原方程组的解为：｛；;二，

・••这两个方程组的解为：｛;;工；

(2)把户=2代入产iy=_4[2Q+6b=-4

‘九N二一6八八&%+皿=-8»」何•[2b-6a=-8

化简得：[：+?=一级,

(b-3a=-4@

①x3得：3a+96=-6③，

②+③得：108=-10，解得：b=-1,

把b=-1代入②得：-1-3a=-4,

解得：。=1,

2025

A(2a+b)=(.2x1-1)2025=12025=1

17・已知关于X,y的方程组和常个7有相同的解"

(1)求出它们的相同解；

(2)求(Q+。2。24的值.

【答案】⑴位二3

(2)1

【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值.

(1)将2%-y=7和x+2y=1联立方程组求得x,y的值即可：

(2)将(1)中求得%,y的值代入2ax—by=4和a%+2by=7中计算出的值,代入(a+匕尸。?，中即

可.

【详解】(1)解：•・・关于x，)，的方程组一七=7和广：宾有相同的解，

(zax—oy=4｛ax+幺”=7

(2x-y=7(1)

(%4-2y=1@

②x2-①得：2%+4y-(2%-y)=2-7,解得：y=-1.

将y=-1代入②中得：x=3,

・..该方程组的解为｛;二

・••相同解为;

(2)解：由(1)得：

8

'将｛j匚11代入2ax—by=4和ax+2by-7中得：

6a+b=4①

3a-Zb=7②’

①x2+②得：12a+2b+3a-26=8+7,即：a=1,

将a=1代入①中得：6+b=4,即：b=-2,

/.(a+8)2。24=(1-2)2024=1.

题型五新定义运问题

18.定义:二元一次方程y=ax+力与二元一次方程y=bx+a互为"反对称二元一次方程如二元一次方

程y=2x+1与二元一次方程y=x+2互为“反对称二元一次方程”.

(1)直接写出二元一次方程y=4x-1的“反对称二元一次方程”：

(2)二元一次方程y=3%+5的解弋，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出〃?，〃的值.

【答案】【小题l】y=-x+4【小题2】m=l,n=8.

【分析】(1)本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题.

(2)本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元•次方程，根据概率得出》=3%+5的

“反对称二元一次方程“，再将加，〃代入这两个二元一次方程求解，即可解题.

【详解】(1)解：由题知，二元一次方程y=4无一1的“反对称二元一次方程”是y=T+4,

故答案为：y=-x+4.

(2)解：二元一次方程y=3%+5的“反对称二元一次方程”是y=5x+3,

又二元一次方程y=3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，

.•・配『，解得产=,

15m+3=nIn=8

/.m=1»n=8.

19.定义：若代数式P(x)满足P(a)=kP(b),其中女为非零常数，则称x=Q是关于x=6的k级平衡数系.例

如：对于代数式PQ)=2%+1,当％=2时P⑵=5,当％=0时P(0)=1,满足P⑵=5P(0),则称％=2

是关于％=0的5级平衡数系.

(1)若P(x)=77i/-8%+工0),且％=3是关于x=1的9级平衡数系，求〃的值.

(2)若P(x)=2x2+mx-n,且％=4是关于％=1的3级平衡数系，其中m-n=10,求in,n的值.

【答案】(l)n=6

(2)m=—2,n=-12

【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键：

(1)根据新定义，列出方程进行求解即可：

(2)根据新定义，列出方程组进行求解即可.

9

【详解】(1)解：由题意，得：32m—8x3+n=9m—8x9+9n,

解得:n=6；

(2)由题意，得：2x42+4m-〃=3x2xl2+3m-l-3〃，

整理，得：m+2n=26,

乂m—n=10,

联立｛m+2n=*解得:fm=-2

lm—九=10m=-12

.*.m=-2,n=-12.

题型六方案选择

20.毓秀学校在“读书FT期间购进了一•批图书，需要用大小两种规格的纸箱来装运.3个大纸箱和2个小纸箱

一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书.

（1）一个大纸箱和一个小纸箱一次分别可以装多少本书？

（2）如果一共购进100本书，每个纸箱恰好装满，且两种规格的纸箱都有，分别需要用多少个大、小纸

箱？

【答案】（1）一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书

（2）需要2个大纸箱、2个小纸箱

【分析】本题考查了二元•次方程组的应用以及二元•次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.

（1）设一个大纸箱可以装x本书，一个小纸箱可以装了本书，根据“3个大纸箱和2个小纸箱一次可以

装130木书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120木书”，即可得出关于x»，的二元一次方程组，解

之即可得出结论；

（2）设需要用〃?个大纸箱，〃个小纸箱，根据这些纸箱共装100本书，即可得出关于，〃，〃的二元一

次方程，结合加，〃均为正整数，即可得出结论.

【详解】（1）解：设•个大纸箱可以装％本书，•个小纸箱可以装y本书，

依题意得:既沈膘，

解得:g：20-

答：一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书.

（2）解：设需要用m个大纸箱，几个小纸箱，

依题意得：30m+20n=100,

L3

/.n=5——2m.

又•••两种规格的纸箱都有,

10

••.7n,n均为正整数，

二产=2

In=2

答：需要2个大纸箱、2个小纸箱.

21.某运输公司现有190吨物资器要运往外地，拟安排A、3两种货车将全部货物•次运完（两种货车均满

载），已知A、4两种货车近期的三次运输记录，如下表：

A货车（辆）B货车（辆）物资（吨）

第一次128360

第二次1812■

（1）表格中被污渍盖住的数是.

⑵第三次运输安排了5辆A货车，4辆8货车，运输物资共160吨.清问4、8两种货车每辆每次分别

可以运送物资多少吨？

（3）请你通过计算说明所有可行的运输方案.

【答案】（1）540

（2）A货车每辆每次可以运送物资20吨，8货车每辆每次可以运送物资15吨

⑶共有3种可行的运输方案：方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；方案2：使用5辆A货车，6

辆B货车；方案3：使用8辆A货车，2辆B货车

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元

一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键.

（1）根据第一、二次A,6两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运算防疫物资的质量；

（2）设A货车每辆每次可以运送物资x吨，8货车每辆每次可以运送物资3，吨，根据第一、三次运输

记录的数据，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；

（3）设使用，〃辆A货车，〃辆8货车，根据要一次运输190吨防疫物资且每辆货车均满载，列出二元

一次方程，求出自然数解，即可得出各运输方案.

【详解】（1）解：:12:8=18:12,

・•・表格中被污渍盖住的数是360x居=540（吨），

故答案为：540.

（2）解：设A货车每辆每次可以运送物资x吨，8货车每辆每次可以运送物资），吨,

依题意得:管君二湍

解得:{;工

智；A货车每辆每次可以运送物资20吨，8货车每辆每次可以运送物资15吨.

（3）解：设使用用辆A货车，〃辆8货车，

II

依题意得：20m+15n=190,

整理得：九=受丝，

3

又•，小〃均为自然数，

・•・共有3种可行的运输方案：

方案1：使用2辆A货车，10辆8货车；

方案2：使用5辆A货车，6辆4货车；

方案3：使用8辆A货车，2辆8货车.

22.某班同学计划暑假参加“非遗，’专承，研学之旅”活动，已知该活动有画糖人和剪纸两个体验节目，据了解

体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同.考

虑场地和安全原因，两个体验节忖都要有同学参加，旦体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍.

（1）请分别求出画糖人和剪纸的体验单价；

（2）请你设计•种总费用为600元的活动方案.

【答案】（1）画糖人的体验单价是15元，剪纸的体验单价是20元

（2）画糖人28次，剪纸9次；画糖人32次，剪纸6次；画糖人36次，剪纸3次

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式的应用和二元一次方程的整数解问题，正确理解

题意是关键；

（1）设画糖人的体验单价是x元，剪纸的体验单价是丁元，根据题意列出方程组求解即可；

（2）设画糖人体验。次，剪纸体验〃次，根据题意可得：15a+206=600,即3a+4b=120,然后

结合体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍，可得关于b的不等式，求出力的范用后再结合

力为正整数，Q=若竺=40-：从。是3的倍数即可解答.

【详解】（1）解：设画糖人的体验单价是x元，剪纸的体验单价是），元，

根据题意可得：fl；］；；。，

解得:g：20-

答：画糖人的体验单价是15元，剪纸的体验单价是20元；

（2）解：设画糖人体验〃次，剪纸体验人次，根据题意可得：15a+206=600,

即3Q+4b=120,

•・•体验画糖人的总次数要超过剪纸总次数的3倍，即Q>3b,

.•・9b+4bV120,即bv詈，

•・&A为正整数，。=若竺=40_gb,〃是3的倍数，

12

：.b=3,6,9,相应的a=36,32,28,

综上：总费用为600元的活动方案可以是：画糖人28次，剪纸9次；画糖人32次，剪纸6次；画糖

人36次，剪纸3次.

23.已知用2辆4型车和1辆8型车装满货物一次可运货10吨；用1辆4型车和2辆8型车装满货物一次可运货11

吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用4型车m辆，B型车九辆，一次运完，且恰好每辆车都装满

货物.根据以上信息，解答下列问题：

(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？

(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案.

【答案】(1)1辆4型车装满货物一次可运3吨，1辆8型车装满货物一次可运4吨

(2)方案一：4型车9辆，8型车1辆：方案二：4型车5辆，B型车4辆：方案三：4型车1辆，8型车7辆

【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的实

际应用是解题的关键.

⑴根据“用2辆4型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨”“用1辆A型车和2辆8型车装满货物一次可

运货11吨“，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；

(2)由题意理解出：3m+4n=31,解此二元•次方程，求出其整数解，得到三种租车方案.

【详解】(1)解：设每辆A型车、8型车都装满货物一次可以分别运货％吨、y吨，

依题意列方程组得：

(2x+y=10

(x+2y=11'

解得：g：4.

答：1辆4型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨.

(2)解：结合题意和(I)得：3m+4〃=31,

・31-4n

..m=------,

3

・・・m、"都是正整数，

•邓:;或:或耳:;

答：有3种租车方案：方案­：4型军9辆，8型车1辆；方案二：4型车5辆，8型军4辆；方案三：A型

车1辆，8型车7辆.

题型七行程问题

24.男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方

向同时出发，每隔25s相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过15min男运动员

追上女运动员，并且比女运动员多跑4圈.求：

(I)男运动员的速度是女运动员的多少倍？

13

(2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈？

【答案】⑴1.25

(2)16

【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的

条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法

及时间相同，路程比等于速度比.

(1)设男运动员的速度是V米/秒，女运动员的速度是V米/秒.环形跑道的周长为s米，由等量关系列山

方程组，即可得解；

(2)由(1)知男运动员的速度是女运动员速度的1.25倍，可设女运动员跑了工圈，那么男运动员跑了

(%+4)圈，利用男运动员追二女运动员时多跑4圈，由等量关系列出方程组，即可得解.

【详解】(I)解：(I)设男运动员的速度是丹米/秒，女运动员的速度是切米/秒，环形跑道的周长为

25(%+v2)-

由题意，得25(%+v2)=写丝x(女一v2),

解得Vi=1.25%,

・••男运动员的速度是女运动员的1.25倍.

(2)设女运动员跑了工圈，那么男运动员跑了Q+4)圈，

根据题意，得%+X+4=竺辔，

解得％=16.

・•・男运动员追.上女运动员时，女运动员跑了16圈.

25.某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以41米/时的速度上坡到

达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到

甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？

【答案】9千米

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为x千米，坡路为y千米，依题意，列式

仔+』-5

1：55,再解方程，即可作答.

5+后=益

【详解】解：设平路为-米，坡路为yT-米，根据题意得：

Xy

-4-7=1.5

84

%y55

.9+12=60

x=6

解得

y=3

故％+y=6+3=9（F米）.

14

答：从甲到乙的路程是9千米.

题型八销售利润问题

26.某科研团队对两款仿生机器人4,B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台8型机器人共同

完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由8型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器

人走10步，接着8型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着5型机器人走20步，共

需要27秒.

（1）求A型机器人和8型机器人走一步各需要多少秒？

（2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一

台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求

完成这次接力任务的时间可能是多少秒？

【答案】（1）A型机器人走一步需要0.8秒，8型机器人走一步需要0.75秒；

（2）完成接力任务的时间可能为32.85秒,33.7秒,34.55秒.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用.

（1）设4型机器人走一步需要。秒，B型机器人走一步需要8秒，根据题意列方程组求解即可；

（2）设A型机器人走了机步，B型机器人走了〃步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的

情况即可.

【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要〃秒，8型机器人走一步需要〃秒

由题意可得"

115a4-20b=27

解得晨二挽

答:4型机器人走一步需要08秒，8型机器人走一步需要0.75秒；

（2）设4型机器人走了机步，8型机器人走了〃步

由题意可得757n+65n=3000

13

m=40--n

15

因为〃?、〃为正整数，〃为15的整数倍，

（m=27（m=14fm=1

tn=15tn=30tn=45

当｛:二时'完成接力任务的时间为27x0.8+15x0.75=32.85（秒）

当｛彳二;;时，完成接力任务的时间为14X0.8+30X0.75=33.7（秒）

当=A时，完成接力任务的时间为1x0.8+45x0.75=34.55（秒）

答：完成接力任务的时间可能为32.85秒，33.7秒，34.55秒.

27.2025年10月31FI,神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功.某航天模型销售店看准商机，准备推

15

出“天宫”和“嫦娥”两种模型.已知1个“天宫”模型和4个，嫦娥”模型的进价共1750元；4个“天宫”模型

和3个“嫦娥”模型的进价共3100元.求每个“天宫”和“嫦娥”模型的进价各为多少元？

【答案】每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元

【分析】本题主要考查了二元一次方程组，设每个“人宫”模型的进价为n元，每个“嫦娥”模型的进价为y

元，根据题意列出关于-y的二元一次方程组求解即可得出答案.

【详解】解：设每个“天宫”模型的进价为K元，每个“嫦娥”模型的进价为y元，

由题意献事累累。

解得北二黑

答：每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元.

28.期中考试后，八年一班张老师对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙

两种笔记本作为奖品，已知若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本20个需花费200元；若购买甲种笔

记本20个，乙种笔记本10个则需花费250元.

(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好

赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买

时售价的8折出售.如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，则至多需要购买

多少个甲种笔记本？

【答案】(1)购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元：

(2)至多需要购买21个甲种笔记本.

【分析】本题考杳了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，列出二元一次方程

组和一元一次不等式是解题的关键.

(1)设购买一本甲种笔记本发元，一本乙种笔记本y元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；

(2)设需要购买根本甲种笔记本，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解；

【详解】(1)解：设购买一本甲种笔记本4元，一本乙种笔记本)，元，

根据题意，得以：凿：瑞

解得忧？

答：购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元；

(2)解:设需要购买m本甲种笔记本,

根据题意,得(10-2)?n+5x0.8(35-m)W225,

解得mW2。，

4

•・•”为整数,

16

・•・，〃的最大整数解为21,

答：至多需要购买21个甲种笔记本.

29.学校要购买力、8两种品牌的足球，若买2个力品牌足球和3个B品牌足球，需要花费600元；若买1个小晶

牌足球和4个B品牌足球，则需要花费550元.

（1）求小8两种品牌的足球的销售单价；

（2）学校拟购买4、B两种品牌的足球共20个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案：

方案1：所购买的商品一律打九折；

方案2：若购物总价超过1500元，超过1500元部分的支付金额打七折.

①若学校购买小品牌足球6个，B品牌足球14个时，则按“方案「需要花费元，按“方案2”需要花

费元.

②若学校购买的这20个足球中A品牌的足球有a个，且按照“方案1”支付比按照“方案2”支付的花费更少

时，求最多可以买几个/品牌的足球.

【答案】（1）4品牌足球的销售单价是150元，B品牌足球的销售单价是100元；

⑵①2070,2060；②最多可以买4个4品牌的足球.

【分析】（1）设4品牌足球的销售单价是％元，B品牌足球的销售单价是y元，根据“买2个4品牌足球和

3个B品牌足球，需要花费600元；买1个小品牌足球和4个B品牌足球，需要花费550元”，可列出关于，

y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）①利用"总价=单价X数量”，结合商店给出的两种优惠方案，即可求出选择各方案所需费用；②根

据按照“方案1”支付比按照“方案2”支付的花费更少，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的

取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.

【详解】（1）解：设力品牌足球的销售单价是n元，B品牌足球的销售单价是y元，

根据题意得：｛2口）：,

解得:忧濡

答：A品牌足球的销售单价是150元，8品牌足球的销售单价是100元；

（2）①根据题意得：按“方案厂需要花费150x0.9x6+100x0.9x14=2070（元）：

按“方案2”需要花费1500+（150x6+100x14-1500）X0.7=2060（元）.

故答案为：2070,2060：

②根据题意得：150x0.9a+100x0.9（20-a）<1500+[150a+100（20-a）-1500]x0.7,

解得：a<5,

又为非负整数，

•••Q的最大值为4.

答：最多可以买4个4品牌的足球.

17

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的

关键是：（I）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数最之间的关系，求出选择

各方案所需费用；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

30.近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能.2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北

京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务.某商店在无促销活

动时，若买5件A商品，8件8商品，共需要2400元；若买8件4商品，5件8商品，共需2280元.

（1）求该商店在无促销活动时A,8商品的销售单价分别是多少元？

（2）为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促俏活动，有两种方案.

方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售；

方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售.

某科技公司计划在促销期间购买48两款商品共30件，其中A商品购买。件（0VQ<30）.求当。

在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？

【答案】⑴该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；

（2）当0<aV25时，选用无人机配送服务更合算

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等

量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

（1）设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是工元，4商品的销售单价是），元，根据“某商店在无

促销活动时，买5件A商品，3件8商品，共需要2400元；买8件人商品，5件B商品，共需2280元”，

可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据选用无人机配送服务更合算，可列出关于〃的一元一次不等式，解之可得出。的取值范围，

再结合0<aV30,即可确定结论.

【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，8商品的销售单价是3，元，

根据题意得:膘詈二霁.

解得:=2oJ-

答：该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，8商品的销售单价是200元：

（2）解：根据题意得：250+160x0.75a+200x0.75（30-a）<160x0.8。+200x0.8（30-a）,

解得：a<25,

又<a<30,

0<a<25.

答：当0<av25时，选用无人机配送服务更合算.

31.为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000元资金购进甲、乙两种图书共

1000套，这两种图书的进价和标价如下表所示：