高一数学阶段检测卷1 （范围：第六章～第七章）

阶段检测卷1（范围：第六章〜第七章）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共4（）分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.若i为虚数单位，贝区在复平面内对应的点位于（）

1乙1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案B

助士二ii（l+2i）-2+i2h

解析z」_21]_（2i）2-5--5+5b

其对应的点（一点§位于第二象限.

2.若i为虚数单位，复数z满足z（l+i）=|3+4i|,则z的虚部为（）

5555

.B-?--

A.22

答?

案D

解析・・・z(l+i)=|3+4i|=5,

._5_5(1-i)_55.

,"一币_2一1一亍，

・•・复数z的虚部为一|.

3.下列等式恒成立的是()

A.卷+成=0B.施一危=心

C.(ak)c=a(lfe)D.(a+b)c=ac+力c

答案D

解析AB+BA=0,故A错误;

AB~AC=CB,故B错误；

（eb）c表示与。共线的向量，而aS-c）表示与。共线的向量，两者不一定相等，故

C错误；

根据平面向量数量积的运算性质可知D正确.

4已知向量。=（2,-1）,8=（1,7）,则下列结论正确的是（

A.a-LbB.a-L(a~b)C.bL(a-b)D.a_L(a+b)

答案D

解析因为a=(2,-1),b=(l,7),

所以。仍=1X2+7X(-l)=-5,故A错误；

a—b=(2,—1)—(1,7)=(1,—8),

a+b=(29—1)+(1,7)=(3,6),

所以a\a—^)=2X1+(—1)X(—8)—10,

H«-^)=lXl+(-8)X7=-55,故B,C错误;

o(〃+b)=2X3+(—l)X6=0,

故a_L(〃+b),故D正确.

5.已知向量。=(2c()s夕，2sin9)，9金0，兀J,)=(0,—1),则a与力的夹角为(

)

371c兀।-2兀h

A.fB.5+CC.p-丁D.(p

答案A

ab(3兀\

解析设。与力的夹角为&cose=j^i=—sin少=cos]»-—可,

人3兀（71

结合了一@£弓

2'叫，

可得0=当一夕.

〃z+2i

6.已知，〃为实数，i为虚数单位，若加+（加—4）数0,则等于（）

2-2i

A.iB.lC.-iD.-l

答案A

解析因为/n+(/n2—4)i>0,

/77>O,

所以"?+(//—4)i是实数，且彳2)八

I"广一4=0,

〃z+2i2(14~i)

解何机=2,故至石=2(I)=

7.菱形ABCQ的边长为2,NABC=60。,点P在边上（包含端点），则（或+而）.无

的最小值为（

9

C-O

A.一小8D.

答案C

解析如图，设ACG8O=O,因为四边形A8C。为菱形，所以AC_L8。.

以。为原点，AC,OB所在直线分别为x轴、），轴建立平面直角坐标系.

易得A（—1,（））,8（0,仍），C（l,0）.

设P（x.y）.BP=ABC,其中OWAWL

则a,厂小）=2（i,一小）,

所以P（2,小一小人）.

PA=（—1—2,y[3/,一5）,PB=（一九^32）,

PC=（l-2,血一小），

则（声+PB）PC=8"-KU+2

所以，当4轴，（或+的用取最小值一

OO

8.设△4BC内角4,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=2,a2sinC=6sin4,则

△A6C面积的最大值为（）

A.小B.小C.#D.3

答案B

解析由正弦定理及6?sinC=6sinA可得

42c=6。，即ac=6.

由b=2及余弦定理可知4=«2+c2-12cosB,

所以4+12cosB=a1+(r^2ac=\2,

2

当且仅当时取等号，所以cos82?

所以S"8c=5〃csin3<5乂6X¥=小，

当且仅当a=c=加时取等号，

所以△ABC面积的最大值为小.

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得()

分)

9.对任意zi,Z2,z《C,下列结论成立的是()

A.当〃2,时，有泮z"=/+"

B.若z++z3=0,则zi=0且Z2=0

C.互为共甄复数的两个复数的模相等，且|zF=|z|2=z-z

D.Zl=Z2的充要条件是|?1|=|Z2|

答案AC

解析由复数乘法的运算律知，A正确；

取zi=l,Z2=i,满足4+z3=O,但zi=0且Z2=0不成立，B错误；

由复数的模及共朝复数的概念知，C正确；

由Z1=Z2能推出|zi|=|Z2|,但|Z||=|Z2雕不出Z1=Z2,

因此|Z||=|Z2|是Z1=Z2的必要不充分条件，D错误.

10.在等腰梯形A8CO中，AB//CD.ND48=60。，点。为对角线AC与8。的交

点，若力=1通+;垃)，贝lj()

A.BP=PD

B.ADDB=0

C.B+2d)=0

D.(AC+DB)//(AC-AD)

答案BCD

.].2f

解析由^

if2

即有制踮）=g（屐）_Q）,

化为丽=2的，故P光线段8。靠近。的三等分点,

所以曲壬丽,故A错误；

由P为等腰梯形ABCQ对角线AC与BD的交点、,

pnDC

得△则而=内，

QCPsaBAP,nrAn

又|丽|=2|而I，所以QC：A8=1：2,

所以施=一2而，即葡+2C方=0,故C正确；

设A5=4,则CO=2,乂ND4B=60。，

如图，过点C,。向AB作垂线，垂足分别为N,M,

则AM=1,则AO=2,则DM=y]AD2—AM2=事,

BD=、DM2+BM2=q（g2+32=2s,

所以8£>2+A4=AB2,故ADLDB,

即屐）•加=0,故B正确；

危+加=通+5而=/，AC~AD=DC,所以（危+加）〃（危一血），故D

JLJ

正确.

11.已知△A8C三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是

（）

A.若cosA=cos3,则5c为等腰三角形

BfA>8”是“sinA>sinB”的充要条件

C.若。=8,c=10,3=60。，则符合条件的△ABC有两个

D.若sinX+si/Bvsint则△48C是钝角三角形

答案ABD

解析对于A,若cosX=cosB,则A=B,此时△ABC为等腰三角形，故A正确；

对于B,若A>Bt则a>b,则2/?sinA>2/?sinB,

即sinA>sin3成立，反过来，也成立，故B正确；

对于C,由余弦定理可得

22

/7-^8+10-2X8X10X1-A/84-2V21»只有一解，故C错误；

对于D,若sinZA+si/Bvsi/C,

/+从一c2

则根据正弦定理得42+02</,COSC=---砺---<0,

则C为钝角，此时△ABC是钝角三角形，故D正确.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知复平面内平行四边形ABC。的顶点A,&C的坐标分别为(-2,-1),(2,

4),(11,7),则向量崩所对应的复数是________.

答案9+3i

解析由四边形ABCO为平行四边形可得

AD=BC=(Hf7)-(2,4)=(9,3),

则向量屐)所对应的复数为9+3i.

13.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰隹为45。，沿倾斜角为30。的斜坡

前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75。，则山的高度BC为

千米.

答案2

解析作QE_LBC,垂足为E,如图所示.

由题意得/D4C=30。，NBAC=45。，ZADE=15O°1/BDE=75。,

所以NB4O=15。，ZADB=135°,NA6O=30。，且40=2千米，

在△A3。中，由正弦定理得

AD_AB

sinZABD~sinZADB1

1sin30°sin135。'

即2—殁

即:返

22

解得AB=2加（千米），

所以BC=ABsin45。=2也X乎=2（千米）.

14.如图，为半圆的直径，点。为筋的中点，点M为线段上的一动点（含端

点A,8）.若46=2,则|危+彘|的取值范围是_______.

C

AMB

答案[叵V10]

解析因为点。为4A的中点，48=2,

所以|而=小，ZCAB=^f

所以|病+MB\2=（AC+MB）2=AC2+血2+2ACMB

=|AC|2+\MB\2+2\AC\\MB\cos彳

=|荻/+2|讪|+2=（|讪|+1）2+1.

因为点例为线段A8上的一动点（含端点），

所以0这|面|W2,所以2W（|诚I+IA+IWIO,

所以I危+讪।的取值范围是[啦，Vib].

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步方展）

15.（13分）①复数z与复数2—⑵相等，②复数z与复数12+16i互为共粗复数，

③复数Z在复平面内对应的点在第一、三象限角平分线上.从这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

问题：若复数z=(l+i)加?+(5—2i)m+(6—15i)(〃£R),,求方程x2+

加上+l=()(xWC)的根.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解z=(l+i)〃P+(5—2i)m+(6-15i)=(/zz2+5rn4-6)+(tn2—2m—15)i.

若选择条件①：根据复数相等的充要条件，

卜九2+5，〃+6=2,

有J,解得机=-1,

[m-一2m—\5=—\2,

：.方程f—x+1=0的根为X=号区.

若选择条件②：根据共轲复数的定义，

m2+5w+6=12,

有12c解得〃7=1,

加2—2m—15=—i16r,

/.方程1=0的根为x=-守昆.

若选择条件③：由题意得，m2+5m+6=zn2—2/zz—15,解得〃z=—3,

・・・方程f—3x+1=0的根为x=美后.

16.(15分)已知|〃|=①，|例=小，ab=~5f

c=xa-\~(\-x)b.

(1)当时，求实数x的值；

(2)当|c|取最小值时，求向量。与c的夹角的余弦值.

解(l)・・》_Lc,

b'C=b-\xa+(1—x)b]

=xb〃+(l—工迫2

=—5x+5(l—x)=0,

解得x=g.

(2)|cF=[m+(l—x)〃F

=JT(T+2x(1~x)ab+(1—x)2^2

=1Ox2—10x(1-x)+5(1-x)2

=25f—20x+5

=25(x—lj+1.

2

当时，|CF有最小值I,即|C|有最小值1.

此时，c=1«+|b,

a-c=aQa+jb]

2,3

=-«2+-«

JJ

23

=、X10+5X(—5)=l.

JJ

设向量a,c的夹角为仇

剧公ac1回

则c°sO—|a||c「回XI-IO.

17.(15分)已知在△ABC中，一小讹=扶,b=2.

⑴求N8的大小；

⑵若AB边上的高等于1,求△A4C的面积.

解(I)由〃+/一木讹=。2可得/+/—。2=方仇\

在△ABC中，由余弦定理可得

ccr+cr—b1y[3acy[?>

cosB=2ac=2〃c=2'

因为0<3<兀，所以8=

(2)因为3弋且A8边上的高等于1,

所以”=BC=导力=士=2,

sinT

6

因为/?=2,所以4=3=5，C=n—A—B=y,

此时△48C为等腰三角形，且唯一确定，

S^ABC=2^ibsinS=2X2X2X=yj^.

18.（17分）如图，4,3是某海域位于南北方向相距15（1+3）海里的两个观测点,

现位于A点北偏东45°,B点南偏东30。的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信

号，位于8点正西方向且与8点相距50海里的。处的救援船立即前往营救，其

航行速度为40海里/时.

（1）求8,。两点间的距离.

（2）该救援船前往营救渔船时应该沿怎样的方向航行？救援船到达C处需要多长

时间？（角度精确到（）01。）

（参考数据：sin21.79°^0.37,cos21.79°^0.93）

解（1）在△ARC中，//MC=45。，Z4/?C=30°,则/ACR=105。，

sinl05o=sin（600+45o）=sin60°cos450+cos60°sin45°

近x啦+(y[2啦（]+也）

X+X

22224

BC_AB

由正弦定理，

sinZBACsinNACB'

fABsinNBAC15(1+g)Xsin45。

付蛇=sinNACA=sin105°

15（1+小）X坐

=啦（1+小）一=3。

4

故8,。两点间的距离为30海里.

(2)在△BCO中，ZDBC=120°,

由余弦定理得DC2=DB1+BC1-2DB-BCcosZDBC

=502+302—2X50X30Xcos120°=4900,

则DC=70,

所以救援船到达C处需要的时间

，=而=