浙教版初升高一数学暑假预习练习题：函数的单调性与最值（原卷版+解析）

函数的单调性与最值

一、函数的单调性

1.增函数、减函数的概念

一般地，设函数/（X）的定义域为A,区间。工A：

如果对于。内的任意两个自变量的值x/、xz,当时，都有那么就说了⑷在区间。上

是增函数；

如果对于。内的任意两个自变量的值笛、M,当HVM时，都有/（箝）＞/a）,那么就说/（3在区间。上

是减函数.

2.单调性与单调区间

（1）单调区间的定义

如果函数JQ）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在区间。上具有单调性，D称为函数/G）

的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

①单调区间与定义域的关系—单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；

②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

③不能随意合并两个单调区间；

④有的函数不具有单调性.

⑵已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？

3.函数的最大（小）俏

一般地，设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在实数M满足：

①对于任意的都有/（x）WM（或/（x）NM）；

②存在与£/,使得=那么，我们称M是函数），=/a）的最大值（或最小值）.

①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量工°,使/（左）等于最值；

②对于定义域内的任意元素x,都有（或/（x）N/（%）），“任意”两字不可省；

③使函数/（x）取得最值的自变量的值有时可能不止•个：

④函数/（x）在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标：最小值的几何意义

是图象上最低点的纵坐标.

4.证明函数单调性的步骤

（1）取值.设如超是/（X）定义域内一个区间上的任意两个量，且不＜/；

（2）变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

（3）定号.判断差的正负或商与1的大小关系；

⑷得出结论.

5.函数单调性的判断方法

（1）定义法；

⑵图象法；

⑶对于更合函数），=/［g（x）］,若/=g（大）在区间（a,与上是单调函数，则y=/Q）在区间

（g（〃），gS））或者（g®,g（a））上是单调函数；若f=g（x）与y=/（7）单调性相同（同时为增或同时为

减），则y=/［g（x）］为增函数；若r=g（x）与），=/'（1）单调性相反，则＞=/［g（x）］为减函数.

一、基本初等困数的单调性

1.正比例函数g=Aw（上装0）

当七〉（）时，函数y=Ax在定义域R是增函数；当时，函数y="在定义域R是减函数.

2.一次函数y=M+，）（上0）

当七＞0时，函数），=履+〃在定义域R是增函数；当女＜0时，函数y=丘+〃在定义域R是减函数.

3.反比例函数y=&GWO）

＜2/

k

当上＞0时，函数y=—的单调递减区间是（Y,0）,（0,y）,不存在单调增区间；

.1

当攵＜0时，函数y=&的单调递增区间是（-8,0）,（0,-8）,不存在单调减区间.

X

4.二次函数g=Qt2+辰+c（Q于0）

若口＞0,在区间（-8,-2］,函数是减函数；在区间［-2,+00）,函数是增函数；

2a2a

若水0,在区间（-8,-2］，函数是增函数；在区间［-2,+0O）,函数是减函数.

2a2a

三、一些常见结论

⑴若/⑶是增函数，则-/（X）为减函数；若是减函数，则-/（©为增函数；

⑵若/（X）和以X）均为增（或减）函数，则在/（X）和ga）的公共定义域上/（%）+双幻为增（或减）函数;

⑶若/(x)>0且/(x)为增函数.则函数J76为增函数，」一为减函数；若/(x)>0且/(x)为减函

数，则函数J7B为减函数，—为增函数.

fM

例I:函数的单调性

已知：函数f(x)=x+L,讨论f(x)的单调性.

X

【解答】见解析

【脩析】设©、。2是定义域上的任意实数，且©V/2,则

/(的)-/但)=⑻+三1一a+=

\d，2.

=（©-X2）+50

（皿—①2）+

X}X-2

1

=（11一的）1一

（XiX—l

=（曲—X2）2

\工1七2

①当Ci<g<-1时，Ci一±2<0，1<XIX2>

ST>o,故㈤-乃）•仅心一°<0,即/（为）-/（的）<0,

X\X2\X\X2/

:，的<的时有f（的）v/（①2）,

二"力二£+1在区间(-8,-1)上是增函数.

-1

②当-IV电V①2Vo时，

...工i—》2<0,0<XiX2<1»

VO<<1,

XiX2

故.”7]>0,即f(.a^(&)>0

:.£1<g时有/Ql)>f(X-2),

・•・“I)=2在区间(-1,0)上时减函数，

X

I1

同理：函数/(%)=)+上在区间(0,1)是减函数，函数/(力=£++在区间(1,+8)是增函数.

•?/

例2：求函数的单调区间

判断下列函数的单调区间；

(1)2/=——3团+2；(2)y=|x-1|+y/(x—2)2

【解答】(1)“力在(-8,-,］上递减,在国上递增，在|0,3上递减,在修,+8)上递增;

*«

(2)/(/)在(-8,1］上递减，在［2,+oo)上递增.

【解析】(1)由图象对称性，画出草图

W

-2</101\_/2

•••/(N)在(-0C,-得上递减，在-弓,。上递增，在0,算上递减，在看,+oo)上递增.

\乙..4..乙/

2+3QVI)

{2c—3(N>2)

・•・/(1)在(-8,1］上递增，在［2,+oc)上递增.

例3：单调性的应用

已知函数/(此是定义域为R的单调增函数.

(1)比较/(/+2)与/(2a)的大小；

(2)若/(。2)>/(〃+6),求实数。的取值范围.

【解答】(1)/(。2+2)>/(2a)；(2)。>3或。<一2.

【解析】(1)因为a?+2—2Q=(Q—1)2+1>0,所以小+2>2。，由己知，/(力是单调增函数，所以

/(a2+2)>/(2a).

(2)因为/(c)是单调增函数，且/(a?)>/(°+6),所以a2〉。+6,解得。>3或。<-2.

巩固练习

一、选择题

I.定义在R上函数/(k)满足/Q+1)=」/(%),且当届［0,1)时,/(x)=i-|2i-1|.则使得/Q)

在回，+8)上恒成立的小的最小值是()

A7c9「13c15

A-2B-2C-TD'T

2.已知函数/(x)=・『(f+G9),且满足/(I-A)=/(1+X),则/(x)的最大值是()

A.-2B.-1C.0D.1

3.函数/(，)=Q>2)的最小值是()

x—2.

A.3B.4C.5D.6

4.已知函数/(x)=ax+\+\2x2+ax-1|(r/GR)的最小值为0,则。=()

A.-i-B.-1C.±1D.士］

5.已知函数/(x)满足/(%+1)=1+，2/(z)—尸(力(££R),则f(l)4/(2020)的最大值是()

A.2-^/2B.2C.2+A/2D.4

二、填空题

6.已知a+b=100,b>0,则」+目的最小值为_____________.

|«lb

7.已知实数小b满足人>0,同+6=1,则DMIM+半的最小值为.

/uJLJau

8.函数g="-8c+20+、/—+1的最小值为.

9.已知阳WR,函数/(x)=尺■〃力+用在［通，，司的最大值是5，则〃?的取值范围是.

10.若函数/(力=2+巳一。在区间(0,2)上为减函数，则满足条件的〃的集合是—.

X

II.已知4>0,函数f(x)="小-〃|-3|在区间［-1,1］上的最大值是2,贝1」4=.

三、解答题

12.一次函数f(x)是R上的增函数，J\f(%)]=4x+3,gQ)=f⑸。+)(m>°),

(1)求f(x)；

(2)对任意K，x2E[\,3],恒有|g(%,)-g(x2)区24,求实数机的取值范围.

13.已知函数/(x)=f+法+c的图象经过坐标原点，且y=/(x+l)为偶函数.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)求证：对于任意的x£[0,4],总有2.4勺(x)W2x；

(3)记函数y=[f(x)-2x・词在区间[0,4]的最大值为G(机)，求G(〃?)的最小值.

14.已知函数/数)=|5--\x+m\(TM>0)的最大值为8.

(1)求〃？的值；

(2)若实数。满足/(a-1)+”◎)>0,求。的取值范围.

15.已知函数/(/)=，1+N+，1—£.

(1)求函数/(x)的定义域和值域；

(2)F{x)=ay/\-x2+0+x+y/1-x(其中a为参数)，求尸(x)的最大值g(a).

16.某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资

64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支中费用增加2

万元.从第一年起，每年收入都为36万元.设/(〃)表示前〃年的纯利润总和(/(〃)=前八年的总收入

-前〃年的总支出费用-投资额)

(1)求了(〃)的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；

(2)计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值.

17.设函数/(x)=『+|x-a|(x€R,。为实数).

(1)若/(外为偶函数，求实数〃的值；

(2)设求函数/(外的最小值(用。表示).

18.设函数f(x)=\x-lbAGR.

(1)求不等式/(x)-1)的解集；

(2)已知关于x的不等式/(工)g(x+l)・卜-。|的解集为M,若求实数。的取值范围.

0T_o

9已知函数/⑴=E.

(1)判断函数/(x)在区间［0,-8)上的单调性，并用定义证明其结论;

(2)求函数/(x)在区间［2,9］上的最大值与最小值.

4

20.己知函数/(力=£+二

X

(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间［2,+8)上为增函数

(2)解不等式：f(.?-2r+4)Wf(7)

函数的单调性与最值

一、函数的单调性

1.增函数、减函数的概念

一般地，设函数/(X)的定义域为A,区间。口4

如果对于力内的任意两个自变量的值工八检，当时，都有/3)V/a),那么就说/(x)在区间。上

是增函数；

如果对于。内的任意两个自变量的值M、M,当笛〈此时，都有/(汨)>/&),那么就说/但在区间。上

是减函数.

2.单调性与单调区间

(1)单调区间的定义

如果函数/(x)在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数/(力在区间。上具有单调性，。称为函数/G)

的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

①单调区间与定义域的关系--单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；

②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

③不能随意合并两个单调区间；

④有的函数不具有单调性.

(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？

3.函数的最大(小)值

一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：

①对于任意的XE/,都有(或f(x)NM)；

②存在与£/,使得=那么，我们称"是函数)，=/(x)的最大值(或最小值).

①最值首先是一个函数值，即存七一个自变量与，使/(小)等于最值；

②对于定义域内的任意元素x,都有/0)«/(/)(或/(x)2/(%))，“任意”两字不可省；

③使函数/(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个；

④函数/(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标：最小值的几何意义

是图象上最低点的纵坐标.

4.证明函数单调性的步骤

（D取值.设打工2是一。）定义域内一个区间上的任意两个量，且王＜工2；

（2）变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形：

（3）定号.判断差的正负或商与1的大小关系；

（4）得出结论.

5.函数单调性的判断方法

（1）定义法；

⑵图象法；

⑶对于复合函数y=/［g（x）］,若，=g（x）在区间（。，。）上是单调函数，则y=在区间

（4〃），晨份）或者（g®,g（a））上是单调函数；若f=g（x）与单调性相同（同时为增或同时为

减），则y=/［g（x）］为增函数：若f=g（x）与y=单调性相反，则尸/［履切为减函数.

二、基本初等函数的单调性

1.正比例函数沙=岫（上手0）

当幺＞0时，函数），=依在定义域R是增函数；当K0时，函数）="在定义域R是减函数.

2.一次函数V=既+/上羊0）

当七＞0时，函数），=依+〃在定义域R是增函数；当代0时，函数＞=丘+〃在定义域R是减函数.

3.反比例函数g=&（上子0）

X

当k＞0时，函数y=K的单调递减区间是（70,0）,（0,依），不存在单调增区间；

X

当上＜0时，函数y=A的单调递增区间是（-20）,（0,一），不存在单调减区间.

4.二次函数g=Q,2+红+c（0力0）

若。》0,在区间（-8,-2］,函数是减函数：在区间［__L,+oo）,函数是增函数；

2a2a

若水0,在区间（-8,-2］,函数是增函数：在区间［-2,+00）,函数是减函数.

2a2a

三、一些常见结论

⑴若/"）是增函数，则一/5）为减函数；若/（X）是减函数，则一"X）为增函数;

⑵若/（X）和g（x）均为增（或减）函数，则在/（%）和g（x）的公共定义域上/（x）+g（x）为增（或减）函

数;

⑶若/（x）>（）且/*）为增函数，则函数J标为增函数，卷为减函数：若/。）>（）且/（X）为减

函数，则函数为减函数，7缶为增函数.

例I：函数的单调性

已知：函数/（x）=x+,，讨论f（x）的单调性.

X

【解答】见解析

【解析】设为、G2是定义域上的任意实数，且"V12,则

/(如)一/(g)=电+V-

21

=Ql-X2)+(［一})

的一

=(的-42)+

X}X2

=(…GW

I1电一1

=（的-如）

(1途2.

①当21<二2<-1时，Xl-X2<Of1<21初，

.力打一1故■一动.（专1）（。,

>0,即/（向）一/但）<0,

•XiX2

：•的V12时有/31)<f(X2)，

.•.『（N）=c+工在区间（-8,-1）上是增函数.

X

②当-1〈为Vc2Vo时，

「.£1—£2<0，0<<1»

:0V22V1，

X\Xo

故.（心才,—1）>0,即/（不）^（用）>0

\xlx2/

:.①1<。2时有/（11）>/（电），

.•."/）=2+工在区间（-1,0）上时减函数，

X

同理：函数/(1)=2+［在区间(0,1)是减函数，函数/(力=，+1在区间(1,+oo)是增函数.

XX

例2：求函数的单调区间

判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2—3\x\+2；(2)◎=|c—1|+，(,一2)2

【解答】(1)/㈤在(-8,-。上递减,在层上递增，在［。，■上递减,在停,+oo)上递增;

(2)/(力在(-oo,l］上递减，在［2,+oo)上递增.

【解析】(】)由图象对称性，画出草图

;

⑺在(-00,-■!上递减，在-■!，()上递增，在0,1上递减，在冬+oo)上递增.

-2x+3(x<1)

{2c—3(①>2)

・・・/3)在(-8,1］上递增，在［2,+oc)上递增.

例3：单调性的应用

已知函数/(X)是定义域为R的单调增函数.

(1)比较/(/+2)与/(2幻的大小；

(2)若+求实数。的取值范围.

【解答】(1)/(a2+2)>/(2a)；(2)i>3或。<-2.

【解析】(1)因为。2+2—2a=(a-l)2+l>0,所以小+2>2%由己知，/①)是单调增函数，所以

/(a2+2)>/(2a).

(2)因为/(z)是单调增函数，且/(/)>/(a+6),所以。2>。+6,解得a>3或。V-2.

巩固练习

一、选择题

I.定义在R上函数/(%)满足/&+D=；/(冷，且当.诧［0,I)时,/(x)=l-|2x-1|.则使得/Q)

在的，+°°)上恒成立的机的最小值是()

【解答】D

【解析】•・36[0,1)时，f(x)=1・|2x・1|[0,1]；

.*.A+le[l,2)时，.伯[0,1),f(x+1)=(x)=-|x-/忙[0，3]，

x+2G[2,3)时，x+l€[l,2),f(x+2)=(x+l)=]-|-^x-；|G[0»-j]>

x+3G[3,4)时，x+2e[2,3),f(x+3)=[/(x+2)=*-\^x-J»

]]1131

令/(x+3)=g-l^x-卫1=m=1=彳或者x=4；

故工+3=学或x+3=竽，

15

所以〃，的最小值为加=?，故选。.

4

2.已知函数/a)=-A2(/+奴+力)，且满足/(I-X)=f(l+x),则/⑺的最大值是()

A.-2B.-1C.0D.1

【解答】C

【解析】v/(1-x)=/(l+x),

，函数/(x)=-x2(f+ar+〃)的图象关于宜线x=I对称，

・•・将函数y=/(x)的图象向左平移1个单位，得函数y=/(x+l)的图象关于x=0对称，

可得/(x+1)=-(x+1)2[(x+1)2+a(x+1)+b]=-x4-(a+4)x3-(6+3a+b)x2-(4+3〃+2方)x+l+a+力

是偶函数，

设g(x)=f(x+1)=-x4-(。+4)-C6+3a+b)x2-(4+3a+2Z>)x+\+a+b,

*：g(-x)=g(x)，

4—解之得a=-4

6=4

因此，f(x)=-x2(x2-4x+4)=-丁+4/-4f,

求导数，得/(x)=-4,?+lZr-8x,

令了(x)=0,得k=0,X2=l，工3=2,

当xW(-8,o)时，f(x)>0：当(0,1)时，/(x)<0；

当尤(1,2)时，f(x)>0；当属(2,+8)时，/(x)<0,

・寸(外在区间(-8,())、(1,2)上是增函数，在区间(0,1)、(2,+8)上是减函数,

.V(.r)在x=O和x=2处有极值点/(0)=0,/(2)=0,

/./(x)”3=0.故选C.

丁2—2T-4-*4

3.函数/(力=^―名产G>2)的最小值是()

X—2.

A.3B.4C.5D.6

【解答】D

2

+二、rixX—2x+Ax(x—2)4-44(Q\,4

【解析】/(力=——a=一—2=+口=(L2)+口+2,

VA>2,.*.A-2>0,

，小)=(厂2)+与+2N2,(L2)•告+2=6,当且仅当x-2=

即1=4时，等号成立，

・•・函数/(x)的最小值为6,故选。.

4.已知函数/(x)=ax+\+\2x2+ax-l|(t/GR)的最小值为0,Ma=()

1

A.2B.-1C.±1D.

【解答】C

g(£)+〃(/)=or+1g⑴=a:24-ax

【解析】设

gQ)一九(①)=2/+皈-1’h(x)=1—rr

2gQ),gQ)2g)

则J(x)=g(x)+h(x)+|g(x)-h(x)|=

2h(x),g(x)<h(x)

由于g(x)=x(x+a)的图象恒过(0,0),(-a,0),h(x)的图象为开口向下,

且过(-1,0),(1,0)的抛物线，

且『(X)的最小值为0,结合图象可得・。=1或・“=-1,即有。=±1,故选C.

5.已知函数“工)满足/(z+1)=1+，2/(z)一尸(力(££役),则/(1)4/(2020)的最大值是()

A.2-^/2B.2C.2+^/2D.4

【解答】C

[解析]由/(N+1)=1+，2/包)一/(①)(2£氏)，

得？/'(X)-/(X)20，得o</(x)W2,

平方得f(x+1)=1+2y/2f(x')—/2(x)+2f(x)-f(x)»①

/.2/(x+l)=2+2,2/(力一/(力②

②-①得？/'(x+1)~f(x+1)=2+2,2/⑺一产(力-[l+2y2/(3；)-/2(x)+2f(x)-f(x)]=1-\2f

(A)-f(x)j,

即4、a+l)-f(x+l)+2fCx)-f(x)=1,③

设g(x)=2f(x)-f(x),

则③等价为ga+l)+g(x)=1,

即g(x+2)+g(x+1)=g(x+1)+g(x)=1,

(x+2)=g(x),

则g(0)=g(2)=g(4)=',,=g(2020),g(1)=g(3)=g(5)=3=g(2021),

则g(1)+g(2020)=g⑴+g(0)=1,

A2/(1)-/(1)+2f(2020)-f(2020)=1,

即2|7(1)+f(2020)]-[f(1)+F(2020)1=1

即2[/1⑴V(2020)]-{[/<!)+f(2020)]2-2f(1)/(2020)]}=1

22

2f(1)/(2020)=l+[/(l)4/(2020)]-2[/(1)47(2020)]W2X[⑴+/(2020)=l|y(i)+f

(2020)]2,

设4/(2020),

则不等式等价为1+--2/忘《产，

整理得t2・4/+2W0,

得2々2+―

即2—6勺⑴4/(2020)W2+6,

则/(1)4/(2020)的最大值为2+故选C.

二、填空题

6.已知〃+〃=100,b>(),则J-+4的最小值为

㈤b

【解答】忐

【解析】显然

1,|a|1,«击(a+冷,a

①当〃>0时,向+寸=&+]=-a—+1

W+(1(L+I)-lUo=W

当且仅当《即。=罂，〃=鬻时等号成立;

b=10a1111

志(a+")।

②当4Vo时，—+增=3+/=-a

|a|b-aI)T

=J_+21b+』=&_

100\-100ab)-100十，/-100ab~100,

当且仅当卜丁二；°°,即。一限吐曙时等号成立.

6=-10ft99

综上，告+乎的最小值为黑.

|a|01(J(J

7.已知实数小〃满足力>0,\a\+b=\,则9M:十怨义的最小值为.

【解答】2021

【解析】・；b>0,\a\+b=I,

。+12019=al2019

…2019闷+b=2019|o|十2019同+b

_a,(1,2019)=a(12019\(八

一2019|a|\2019|a|b)~2019|a|12019b)'V|a|)

=2019|a|+2019+2019+201/+|a|+0--2019+2019+2019+2=2021

当且仅当zo,“二弊回’即仁一感,仁瑞时等号成立，

则扃+竿的最小值为202L

8.函数y=y/x2-8x-\-2()+x1+1的最小值为.

【解答】5

【解析】由题意，可知

y=—8/+20+2+]

=小-4)2+22+疗手尸

=，/-4)2+(0-2)20)2+(0—1)2.

则上式可看作X轴上一点P(x,0)到两定点M(4,2)、N(0,I)的距离之和.

由题意，求函数)，的最小值，即为点P到两定点M、N的距离之和的最小值，如下图所示,

根据图，作点N(0,1)关于x轴的对称点N'(0,-1).

很明显，当点M、P、N三点共线时，函数)，取得最小值，

此时最小值即为皿M|=V(4-0)2+(2+1)2=5.

9.己知〃?WR,函数/(x)=*■〃力+用在怎]的最大值是5,则〃?的取值范围是

【解答】mJ

乙

【解析】由题意，可知

不等式*-m|+〃?W5在上恒成立，

/.|A2-,川W5-m,

，5-〃?20,即〃1W5,

绝对值不等式转化为/〃・-"W5-in,

整理,得2「・5W》W5,

.・/+5(@]+5_7

•——12-2'

7

••町《5♦

10.若函数/(力=，+区一a在区间(0,2)上为减函数，则满足条件的。的集合是一

X

【解答】{4}

【解析】①。＜0时;g(o)=z+9—a在(0,2)上是增函数，

X

X趋向0时，g(x)趋向-8；X趋向2时，g(x)趋向2—弓＞0,

・•・/(%)在(0,2)上没有单调性，不合题意：

②a=0时，/G)=因在(0,2)上为增函数，不合题意：

③a＞0时，gQ)=。+色一a在(0,y/a,)上是减函数，在(y/a,+°°)上是增函数,

时，g(X)取得最小值2，^—a,

解2，1一。20得，0V〃W4,显然“V4和q>4时，都不满足f(外在(0,2)上是减函数，只有〃=4

时满足了(x)在(0,2)上是减函数，

，满足条件的”的集合是{4}.

11.已知4>0,函数f(x)="小・。|-3|在区间［-1,1］上的最大值是2,则。=.

【解答】a=3或号

【解析】40,函数/(x)=*+仅-。|-3|在区间［-1,1］上的最大值是2,

可得/(0)W2,即|a-3|W2,解得1W°W5,

即有/(x)=*-x+〃-3|,-iCtCl,

由/(x)的最大值在顶点或端点处取得，

即『(-1)=2,即1|=2,解得。=3或-1(舍去)；

/(I)=2,即|a-3|=2,解得a=5或a=l；

11Q弓21

f(歹)=2,即—1|=2,解得或丁(舍去).

当口=1时，/(x)=|?-x-2|,

当工=《时，f(x)=4>2,不符题意；

当〃=5时，f(x)=|.r-x+2\,显然当x=・l时，取得最大值4,不符题意；

当4=3时，f(x)=|.r-x\,显然当x=-l时，取得最大值2,符合题意；

当〃=［时，/«)=H-x-］|，/(I)=［，/(-1)=］，/'(/)=2,符合题意.

综上，a=3或弓.

三、解答题

12.i次函数,f(x)是R上的增函数，fif(x)］=4x+3,g(e)=/(］)。+包^―(rn>0).

(1)求f(x)；

(2)对任意即,X211，3］,恒有|g(XI)-g(x2)|W24,求实数，〃的取值范围.

【解答】(l)/(x)=2r+l；(2)，隹(0,1］

【解析】(1)•・•一次函数/(x)是R上的增函数，

.•.设/(x)=ax+b(a>0),

则A/O］=a(ar+h)+b=a2x+ab+b=4x+3,

a2=4a=2

,解得

ab+6=3b=l

：.f(x)=2x+l；

(2)对任意xi，也曰1，3],恒有|g(xi)-g(x2)|W24,等价于g(A-)在[1,3]上的最大值与最小值之差

MW24,

由(1)知g(x)=f(x)(x+—5)=2r2+4/7i¥+z,

g(A)的对称轴为X=-，〃V0且开口向上，

：.g(x)在[1,3]上单调递增，

47几—147Tz-]

；・g(x)mat=g(3)=12切+18+—2—，g(x)min=g(1)=4〃?+2+—年—

:・M=g(3)-g(1)=8w+16<24,解得加Wl,

综上可知，加6(0,11.

13.已知函数/(%)=『+加+c的图象经过坐标原点，且)，=/("1)为偶函数.

(1)求函数/(#的解析式；

(2)求证：对于任意的法[0,4],总有2x-4Wf(%)W2x；

(3)记函数y=[Mx)在区间[0,4]的最大值为G(M,求G(〃?)的最小值.

【解答】(1)f(A-)=f-2x；(2)见解析；(3)2

【解析】(1)由题意，得/(0)=0,即c=0,

1

・寸(％)=x+bxf/(x+1)=AT+(2+b)x+b+1,

是偶函数，・・・-结2=0解得人=-2

.*./(x)=f-2x\

(2)对于任意的.隹[0,4],总有2t-4W/(x)W2K等价于对于任意的.隹[0,4],总有-4可(工)-2A<0；

令g(x)=x^-2x-2x=x2-4x=(x-2)2-4,则当xW[O,4],g(x)e[-4,0]

即对于任意的.隹[0,4J,总有4C/(x)2A<0,得证；

(3)y=\f(x)-lx-m\=|(.r-2)2-4-m\

当〃W-4时，结合(II),因为对于任意的尤[0,4],总有-4W/(x)-2rW0,

则此时(x-2)2-4-77/^0,即有y=(x-2)2-4-/H,故当x=0或4时，y取最大值，即G(〃?)=-〃?；

当・4VmV・2时，如图，

由图，可得此时在x=0或4时，y取最大值，即G(w)=-〃?；

当〃?2-2时，如图,

由图，可得此时当x=2时y取最大值，即G(〃?)=|-4-/川,

-m,m<-2

综上G(w)i|-4—m\^m2-2

当用V-2时，G(W>2,

当成2・2时，G(/«)22,

故G故)的最小值为2.

14.已知函数fCr)=|5-jr|-k+w|<m>0)的最大值为8.

(1)求，〃的值;

(2)若实数。满足/(。-1)+fla)>0,求。的取值范围.

3

【解答】(1)m=3；⑵a<\

zn+5/S-m

-2x—m+5,-VcS5.

{-m—5,x>5

可得f可)〃皿=/〃+5=8,即m=3;

8/W-3

(2)由(I)知，f(x)=\一2E+2：-3V

-8,rr>5

当“W-3时,不等式/(“-1)廿’(〃)>0化为8+8>0,显然成立；

当“-1W・3且・3V〃W5,即-3V.W-2时，

不等式/(«-l)V(a)>0可化为8-2«+2>0,解得aV5,

・•・-3ViW-2；

当-3Va-lV〃W5,即・2VaW5时，

3

不等式/(fl-1)+f(a)>0可化为-2(a・1)+2・2a+2>0,解得a<5,

..-2<a<;

当-3V〃-1W5且〃>5,即5VaW6时，

不等式/(a-1)+J(a)>U可化为-2(a-I)+2-8>0,解得-2,无解；

当〃-l>5,即a>6时，不等式化为-8-8>0,无解.

综上，aV,.

15.已知函数/(i)="l+c+，l—t.

(1)求函数/a)的定义域和值域；

(2)F(x')=a，l—1?++r+y/1—x(其中a为参数)，求F(x)的最大值g(a).

【解答】(1)定义域为L1，1］，值域为［—,2］；(2)见解析

【解析】(1)由得-IWXWI.所以函数/Ct)定义域为［-1,1］.

又/Q)=2+2，1^£［2,4］,由/(x)20得值域为［6,2］.

(2)因为歹Q)=a\/l—x2++/+y/1—x=弓[f2(1)—2]+/Q),

令%=/Q)=+c+€[y/2,2],则y/1—x2=)产一1,

F(0=m(£)=a(?2_i

+£=5a£?+£—a、te[A/2,2].

①当a=0时，加(r)=t,所以g(«)=2.

②当aWO时，

由题意知g(〃)记为函数小。)=Ja尸+，一。"£［口,2］的最大值.£=-1是抛物线的对称轴.

/CL-

当a>0时，m(£)=］。产+£一］在［6，2］单调递增，g(a)=m(2)=4+2.

当〃V0时，

①£=一16(0,72］,即噂，则g(Q)=皿(口)=代；

a/

②£=一工€(A/2,2),即一殍VaV-则g(«)=〃？(--)=-〃一(；

(I乙乙(I乙Q

@t=--G［2,+°°),即-<WaVO,则g(a)=m(2)=a+2,

(l乙

z

a+2,a2—-

综上有：g(a)=<-。一一殍VaV-J.

乙IL乙N

16.某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资

64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2

万元.从第一年起，每年收入都为36万元.设/(〃)表示前〃年的纯利润总和(/(〃)=前〃年的总收入

■前〃年的总支出费用■投资额)

(1)求了(〃)的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；

(2)计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值.

【解答】(1)最大值为105万元；(2)前8年的年平均纯利润最大，且最大值为1()万元

【解析】(1)由题意，每年的支出费用组成首项为11,公差为2的等差数列，

故前〃年的总支出费用为11。+”0X2=n2+10n,

(n)=36/i-(n2+l0n)-64=-n2+26n-64,nGN*.

又『(〃)=-(n-13)2+105,

，〃=13时，/(〃)取得最大值105,

即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元.

(2)由(1)知，前〃年的年平均纯利润为小»=-〃'+26〃一=一行+里)+26,

Vn+—^2A/n«—=1G,当且仅当口=更，即〃=8时等号成立，

nVnn

《-16+26=10,

n

即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元.

17.设函数/G)=f+|x・a|(X6R,。为实数).

(1)若/(x)为偶函数，求实数。的值；

(2)设。＞〈，求函数/(%)的最小值(用〃表示).

【解答】(1)。=0；⑵z