2026年中考数学：与圆有关的计算（知识解读+例题讲义）解析版

第28讲与圆有关的计算

3"知识导航

知识点1:正多边形与圆有关的计算

知识点2：弧长，扇形面积与圆锥的有关计算

知识点3：不规则图形面积的计算

M知识梳理

知识点1：正多边形与圆有关的计算

i.正多边形的相关概念

正多边形概念各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.

正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形的中心正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

角

正多边形的边心中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

距

2.正多边形的常用公式

边长Qn=2Rn•sbi华（Rn为正多边形外接圆的半径）

周长Pn=n-3n外角/中心角360。

度数n

面积Sn=^an-rn-n对角线条数Mn-3)

2

边心距rn=Rn-COS^^内角和(n-2)X180°.

n

内角度数(n-2)x180°n边形的边数(内角和+1800)+2

n

。八Rn、rn的关.腿=吟+苧⑸、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个

值，第三个值可以借助勾股定理求解.）

【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成

2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系,

故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算.

3.正多边形常见边心距与边长的比值

图形OA:AB:OB内切圆与外接圆半径的

比

等边三角1:5:21:2

形

&OB=60。

正方形1:1:VT1：V2

，\OB=45。

①

正六边形VT:1:2vr：2

，4OB=30。

【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.

知识点2：弧长，扇形面积与圆锥的有关计算

设。0的半径为R,n°圆心角所对弧长为1，n为弧所对的圆心角的度数，则

扇形弧长公式，=黑（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表

loU

示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.）

r.nR21>

扇形面积公式sc^=—=-/DR

圆锥侧面积公式S圆推侧（其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）

圆锥全面积公式S圆推全=nH+nr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）

圆锥的高h,圆r2+ft2=I2

锥的底面半径r

知识点3：不规则图形面积的计算

求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形

的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有：

1）直接用公式求解.

图形公式

S阴影二S扇形ABC

Ac

B

阴影二

SSAABC

B

S阴影二S四边形AECD=ab

Bc

2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或

差，进行求解.

①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阻影二S常见图形士S常见图形）

图形面积计算方法图形面积计算方法

IT,

以s阴影=S4ACB-S扇形s阴影二s扇形BAB，+S半

CADK\〃圆AB，-S半圆AB

S阴影二S4AOB-S扇形HS阴影二S半圆AC+S

半圆BC_ACB

CODSA

A(「：

s阴影二S半圆AB-S阴影二$扇形BAD-S

2

Sz^AOB1:半圆A3

S阴影二S扇形EAF一s阴影二s扇形之和二

nnR2_nR2

等・SAADE

3602

4^----------lH

②构造和差法

冰依S阴影二S扇形BOE+S/XOCE-S扇形COD

3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进

行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解.

①全等法

图形公式

S阴影二S扇形BOC

②等面积法

图形公式

,阴影二’扇形COD

P0P0

③平移法

④旋转法

⑤对称法

写题型精讲

【题型1正多边形与圆有关的计算】

【典例1】如图，。。的周长为8%，正六边形48C0E厂内接于。。.则△。4B的面积为

【答案】B

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关

键.

根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可.

【详解】解：设半径为r,由题意得，2仃=8兀，

解得r=4,

•••六边形力BCDEF是。。的内接正六边形，

360°

.^AOB=—=6Q°,

'-OA=0B,

••.△AOB是正三角形，

••・OAB=60%

.•.弦48所对应的弦心距为。4sin60。=304=2百，

••$△408=1X4X2V5=4V3.

故选：B.

【变式1】将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是()

A.60°C.180°D.360°

【答案】B

【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可.

360°

【详解】解：正六边形的中心角的度数为：—=60%

二正六边形绕其中心旋转60。或60。的整数倍时，仍与原图形重合，

••・旋转角的大小不可能是90。：

故选B.

【点睛】本题考查旋转图形，正多边形的中心角.熟练掌握旋转的性质，正多边形的中

心角的度数的求法，是解题的关键.

【变式2】如图，正五边形ABCDE内接于。0,连接力C,则乙1CD的度数为.

【答案】72°

【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形

内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键.

先根据正五边形的内向公式求;1"8=乙BCD=108°.再由等边对等角结合三角形内角

和定理求出乙4c8,最后由乙4co=乙8c。一乙ACB即可求解.

【详解】解：•.证五边快18CDE内接于00,

(5-2)x180°

'.BA=BC,乙B=乙BCD=--——=108°,

i80°-za

'-Z-ACB=Z.CAB=­2=36°,

：.Z.ACD=Z-BCD-Z,ACB=72°,

故答案为：72°.

【变式3】如图，边长为6的正三角形A8C内接于。0,则图中阴影部分的面积是

【答案】127r-9百

【分析】本题考查圆中求不规则图形面积，涉及圆的性质、等边三角形性质、三角形外

接圆性质、勾股定理、含30。在角三角形性质、扇形面积公式及三角形面积公式等知识,

连接X。并延长交8C于。，连接OC,如图所示，由等边三角形外接圆性质得到4。18C、

DB=DC,C。平分4再由勾股定理及含30。直角三角形性质求出相关线段长，间接

表示出图中阴影部分的面积是S圆-5乙480,求出圆面枳及三角形面积代值求解即可得到

答案，熟练掌握圆中不规则图形面积的求法是解决问题的关键.

【详解】解：连接入。并延长交连接OC,如图所示：

'：边长为6的正三角形ABC内接于。0,

•••由等边三角形外接圆性质可得AD1BC、DB=DC,C。平分乙AC8,

在Rtanco中，乙4DC=90。，AC=6,DC=3,则由勾股定理可得4。=VAC?-DC?=

762-32=3V3,

•••S&ABC=.4D=；x6x3V3=9百，

在Rtac。。中，WDC=90°,WCD=30°,设0。=居则0C=2%,

•••0A=0C,

/.AD=A00D=0C+0D=3x=3百，解得％=后,即。。的半径为2百，

:.5筏=nOA2=nx（2V3）=12n»

图中阴影部分的面积是s以LSAABC=12T[_9百,

故答案为：12n-9vs.

【题型2利用扇形的公式求弧长】

【典例2】如图(1)是博物馆屋顶的图片，屋顶由图(2)中的瓦片构成，瓦片横截面如图

(3)所示，48是以点。为圆心，18cm为半径的弧，弦的长为18cm,则AB的长是

()

哪

(1)(2)(3)

A.24ncmB.12ncmC.lOncmD.6ircm

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得04=08=48=18

cm,则△04B是等边三角形，进而根据弧长公式/=瑞，即可求解.

【详解】解：依题意，。4=OB=AB=18cm,

.•.△OAB是等边三角形.

：.Z-AOB=60°.

60

.•.AB的长为痂nx18=6ncm.

故选：D.

【变式1】如图，直线'll。，直线m分别交。于点A、B,以A为圆心，氏为半径画弧,

分别交，2、A于直线m同侧的点gD,乙408=35。，88=9,则而的长等于()

A.5ITB.4TTC.57rD.补

【答案】C

【分析】本题主要考查了弧长计舜，等腰二角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关

的判定和性质是解题的关键.连接AC,先根据平行浅的性质求=Z.ADB=35°,

Z.ADB=Z.ABD=35°,Z-ABC=Z.ACB,根据平行线的性质得出乙ZMC=匕力CB=70。，

根据弧长公式求出结果即可.

【详解】解：连接AC,如图所示：

叫II%，

；/CBD=/-ADB=35\

根据作图可知:AB=AC=AD,

“ADB=乙ABD=35\/.ABC=^ACB.

...N4cB=/.ABC=Z-ABD+乙CBD=70°,

叫IIG，

：.£DAC=LACB=70°,

-一-707rx97

:c。的长为180=产

故选：c.

【变式2】在0。中，如果75。的圆心角所对的弧长是2.5ncm,那么O。的半径是（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】A

【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可.

【详解】解：根据弧长公式:L=x2nr,其Us=75,L=2.5TT

代入彳'J：2.5TT=怎jx2nr

解得：r=6（cm）

故选：A.

47r

【变式3】将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2,弧长为可，则扇形

的圆心角大小为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关健.

根据弧长公式1=黑（1是弧长，n是圆心角度数，r歪扇形半径）得到n=等,由此即

可求解.

【详解】解：扇形的半径为2,弧长为竽，弧长公式［=黑a是弧长，几是圆心角度数,

r是扇形半径），

180。，180°x^

•••n=-^T=2n=120°,

故选：D.

【题型3求扇形的面积】

【典例3】如图，A,B,C,。是。。上的点，半径。力=3,AB=CDt乙DBC=25。,连接

AD,则扇形力。8的面积为（）

【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接OC、OD,由圆周角定理切得

△COO=240BC=50。，进而得乙408=4C。。=50。，再根据扇形的面枳计算公式计算

即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键.

【详解】解：连接。。、OD,则乙COD=2/OBC=50。，

,,•AB=CD,

•••乙4。8=乙COD=50\

c50XHX325

,•S扇形A08=-360-二产

故选：A.

2

【变式1】若扇形的面积是它所在圆的面枳的则这个扇形的圆心角的大小是度.

【答案】240

【分析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式，掌握扇形面积s=言•是解题的关

键.

nirR2

设扇形的圆心角度数为n,半径为R由扇形面积公式和圆的面积公式得到第=?即

可求解.

【详解】解：设扇形的圆心角度数为阳半径为R,

nrrR2.

由题意得提=§,

解得：n=240°,

故答案为：240.

【变式2】习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市某学校组织

开展中华优秀传统文化成果展示活动，小糕同学制作了一把扇形纸扇.如图，

OA=20cm,OF=5cm,纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角

^AOC=120°.现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（）cm2.

25

A.ynB.75TTC.125ITD.150TT

【答案】C

【分析】将山水画所在纸面的面枳转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题.本题

主要考杳了扇形面枳的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键.

【详解】解：由题知，

2

120-^20400(2、

S扇形04c=360=M(cm),

2

120-7T-525(2、

5扇形08D=360=yTT(Cm),

40025o

所以山水画所在纸面的面积为：—7r-pr=1257r(cm2).

故选：C.

【变式3】如图，以正六边形04BC0E的顶点。为圆心，。力的长为半径画圆，若圆与王六

边形重叠部分（图中羽影部分）的面积为3m则0。的半径为（）

【答案】A

【分析】本题考查了壬多边形与圆，掌握扇形面积公式是解题关键.先求出正六边形的

内角度数，再设。。的半径为r,根据扇形面积公式列方程求解即可.

【详解】解：•••正六边形。A8CDE,

(6-2)x180°

Z-A0E=6=120°,

设。。的半径为r，

,120nrz

则360=3n，

解得：r=3,

即O0的半径为3

故选：A.

【题型4求圆锥的侧面积】

【典例4】一个圆锥的底面直径为6cm,母线长为5cm,则这个圆锥的侧面积为（）

A.157Tcm2B.SOzrcm2C.15cm2D.30cm2

【答案】A

【分析】本题考查了圆锥的侧面枳，圆锥的侧面积公式为S=TTH,其中，•为底面半径,

/为母线长.

根据圆锥的侧面积计算即可.

【详解】解：••・底面直径d=6cm,

半径r==3cm.

,••母线氏，=5cm,

2

二侧面积S=7rxrx/=7rx3x5=ISTTCHI.

故选：A.

【变式1］已知圆锥的底囱圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为（）

A.6nB.12nC.15irD.24Tl

【答案】B

【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算

公式：圆锥的侧面积nX底面半径X母线长.

【详解】解：S恻=nrl=nx3x4=12兀，

故选：B.

俯视图

A.12TCB.157rC.187rD.247r

【答案】B

【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为5,再根据圆锥的

侧面（扇形）面积公式，即可求解.

【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥，

如图，过点4作4D1BC于点。，

-CD=^BC=3,

••.AC=y/AD2+CD2=5,

即圆锥的母线长为5,

•••这个几何体的侧面积是%x6x5=157r.

故选：B

【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几

何体为圆锥是解题的关键.

【变式3】如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面

半径为5cm,母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cm2

(结果用含n的式子表示).

【答案】60兀

【分析】本题考杳了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长,

再利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解：•••底面半径为5cm,

・••圆锥底面圆的周长为27Tx5=lOir(cm),

即扇形纸片的弧长为10/rcm,

,••母线长为12cm,

1

圆锥的侧面积5X12x10zr=607r(cm9').

故答案为：607r

【题型5不规则图形的面积】

【典例5】如图，正六边形A8C0EF的边长为4,中心为点。，以点。为圆心，以长为半径

作圆心角为120。的扇形，则图中阴影部分的面积为.

【答案】--8V3

【分析】连接04、OE、OF,过点O作。MJL4广于点"，根据正六边形的性质得出

OA=OE=OF,Z.A0F=乙EOF=—=60°,乙BAF=120°,证明△OAF和△OEF为

等边三角形，求出Sao"=x1x4x2A/3=4V3,证明△GOA三△HOE、得

出S^GOA=SAEOH，得出S五边形HGOHF=S四边形AOEF=2s“。f=8百，根据S阴影=S圾形一

S五边形AGO〃F求出结果即可.

【详解】解：连接。力、OE、OF,过点。作OMUFf点忆如图所示：

•••六边形4BCDEF为正六边形，

360°

：.0A=OE=OF,Z-AOF=Z.EOF=~0r=60°,Z.BAF=120°,

△0/19和△OEF为等边三角形，Z-AOE=60°+60°=120%

•••ZOFF=Z-OAF=60°,

•••OMIAF,

•-AM=FM=\AF=2,

••.OM=V42-22=2、房,

••.S^OAF=\AFxOM=x4x2V3=4收

"BAF=120°,

：.^OAG=120°-60°=60°,

：.Z.OAG=乙OEH,

•：Z.GOA+Z.AOH=N.4OH+Z.EOH=120°,

：./-GOA=乙EOH,

•••△G04三△HOE,

:S〉GOA=S&HOE，

•'•SaGO/l+S四边形AOHf=S4HOE+S四边形A0HF，

，S五边形4G0HF=S四边形AOEF=^^AOF=8百，

J.S阴影=5崩形-S五边拶4G0”户

1207rx42「

=15-8右

=等-8收

故答案为：8A/3.

【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形

面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质.

【变式1】如图，。。的半径为1，A,B,。是。。上的三个点.若四边形。力3C为平行四

边形，连接力C,则图中阴影部分的面积为.

【答案】I

【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接08,证明四边形0/1BC

为菱形，易得ZkAOB为等边三角形，S&40B=S&4BC=自菱形04BC，得到乙40B=60。,

根据阴影部分的面积等于弓形4B的面积加上△45C的面积，即为扇形048的面积，进

行求解即可.

【详解】解：连接。B,交AC于点D,则：OA=OB=1,

•••四边形。48c为平行四边形，。4=0C,

，四边形04BC为菱形,

••-0/4=AB=OB,S.408=S4ABC=B菱形OABC，

.•・△A08为等边三角形,

二乙40B=60°»

•••AC=2AD=V3,

二阴影部分的面枳=§扇形048一%。8/1+SAABC=S扇形04B=360X12=6

故答案为：fi.

【变式2】两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆。'的一个直径端点与半圆。的圆心重

合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（

百44V3

A.B.赳D-3^--

【答案】A

【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点,

熟练掌握扇形的面积公式是关键.

如图：连接04,A。'，作AB10。'于点8,得「角形4。。'是等边三角形，求出力8=百

，S弓形40，=S扇形A。。,—S△力00,=百＞，再根砧S阴影二S弓形A。,+，扇形40,0,即“I解答.

【详解】解：如图：连接。4A。'，作A8_L。。'于点8,

O

-：0A=00=A0=2,

•••三角形A。。'是等边三角形，

.20。'=60。，08=4。0'=1,

-.AB=722T2=g

2

「「c6Qnx2

•••S弓形40,=S崩形400，-54400,=3602xV3x1=y-V3,

2nl27r47rr-

」.s阴影二S弓形a。,+S扇形A。,。=——v3+—=——v3.

故选：A.

【变式3】如图，正方形,48CO的边长是4,分别以点4B,C,。为圆心，2为半径作圆,

则图中阴影部分的面积是（结果保留兀）.

【答案】16-47T/-47T+16

【分析】分析出阴影面积=正方形面积一圆的面积，再利用相应的面积公式计算即“J.

【详解】解：由图得，阴影面积=正方形面积-4个扇形面积，

即阴影面积=正方形面积一圆的面积，

•••S阴影=42—n-22=16—47T.

故答案为：16—4TT.

【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键.

随堂检测

1.有一个正〃边形的中心角是36。，则〃为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】根据正多边形的中心角和为360。计算即可.

【详解】解：〃二零=10，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360。是解题的关键.

2.。。的半径为2,则它的内接正四边形的边长为（）

A.2B.&C.2五D.4

【答案】C

【分析】通过添加辅助线构造直角三角形，进而运用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：根据题意可画出图形，连接BO、OC,

•••四边形ABCD是正方形,

360°

=—=90°,

'：OB2+OC2=BC2,

:.BC=2>/2,

故选c.

【点睛】本题考查了圆内接正多边形，勾股定理，解题的关键是熟练运用圆内接正多边

形解决问题.

3.半径为3、圆心角为120。的扇形的面积为（）

2

A.2nB.3TTC.和D.3

【答案】B

【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可.

120Tl

【详解】解：由题意，该扇形面积为：丽x3?o=3兀

故选：B.

4.已知圆锥的底面圆半径为2,母线长为3,则圆锥的恻面积为（）

A.3nB.6nC.9nD.12n

【答案】B

【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，

根据Sg|锥例=仃！（厂为圆锥底边圆的半径，/为母线）计算即可.

【详解】解：S即隹侧=jirl=2x3TT=67r.

故选：B.

5.如图，扇形力。8的圆心角为60°点。是。4的中点，连接C8.若。4=4,则图中阴影部分

的面积为（）

A

4nL8〃47rLBny—

A.--V3B.1■一，3C.y-2V3D.y-2V3

【答案】D

【分析】本题考查的是扇形面枳计算，掌握扇形面积公式S扇形=尊是解题的关键.

连接4B,根据等边三角形的性质得到△AOB为等边三角形，得到OC=AC=2,

BC1OA,根据勾股定理求出8C,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可.

【详解】解：S扇形408=^Q7TX42=不，

•.•点C是。力的中点，

...OC==2,

OB=OA=4,

•••BC=OB-sinZ-AOB=4x-y=2百，

•••Swoc=5。。♦BC=x2x2V3=2V3,

AS阴影=S病形408—S^BOC=——2V3.

故选：D.

6.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当亘物上升6ncm时滑轮的一条半径0/1

绕轴心。按逆时针方向旋转的角度约为（）

A.36°B.54°C.72°D.108°

【答案】D

【分析】本题考查了孤长的计算公式，正确理解公式是关键.

重物上升6ircm,即弧长是6ircm,利用弧长公式即可求解.

【详解】解：设旋转角度为"。，由题意得，

nn^-10

6兀,

解得九=108°.

故选D.

7.如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不童叠，且每相邻的两个正七边形有一

边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置.如果我们川几个

全等的正九边形也按褥同样的方式排列，形成一个圆环状，贝切的取值可以是（）

A.6,16B.6,18C.8,16D.8,18

【答案】B

【分析1本题考查了王多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键.根掂题意

分三种情况讨论，先求出正九边形的•个内角的度数为140。，再根据圆周角与360。是

否成整数倍来判断，却可得边数.

【详解】解：如图，

O；

~——=140°,

••.正九边形/BCOEFGH/的每一个内角都为140。，每一个内角都为40。，

当以OE,GF为重合功时.延长。E,G尸交卜点(),

MZEFO=4FEO=40°,

:.乙EOF=100°,

•••360+100=3.6,不是整数倍,

•••不能形成一个圆环状；

当以/H方F为重合边时，延长/H,EF交于点。'，

同理得到/FMG=100°,

:/HM0'=80°,

•:乙GHO'=40°,

.