隐圆问题3种模型（解析版）-中考数学复习（全国）

专题13隐圆问题3种模型

压轴题密押

通用的解题思路：

隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心,

等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角

转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四

边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。

压轴题预测

类型1：定点定长

1.（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同•・平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

（1）已也如图1,OA=OB=OC,请利用圆规画出过力、B.。三点的圆.若403=70。，则4c'8=

35。_.

如图，R3ABC中，ZJ5C=90°；N8C4=30。，AB=2.

（2）已知，如图2.点尸为4C边的中点，将力。沿历1方向平移2个单位长度，点力、P、C的对应点分

别为点。、E、F,求四边形灰加。的面积和的大小.

（3）如图3,将力。边沿8c方向平移a个单位至。尸，是否存在这样的a,使得直线。尸上有一点0,满

足/8。4=45。且此时四边形84。尸的面积最大？若存在，求出四边形胡。尸面积的最大值及平移距离a,

若不存在，说明理由.

BCF

AD

D

图3

图1图2

【分析】（1）利用圆的定义知力,B,C三点共圆,再利用圆周角定理求解.

（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而

解.

（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出。点能够向右移动的最大距离,

求出四边形的最大面积.

【解答】（1）以。为圆心，O力为半径作辅助圆，如图,

•••ZAOB=70°,

乙4cB=35。,

故答案为35。.

(2)连接尸3,PE,如图,

RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

:.AC=4,ZBAC=60°,BC=2yf3.

P为RtAABC斜边AC中点，

/.BP=-AC=2,

2

线段4C平移到。产之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

.•.四边形力APE为菱形，

NBAC=60°,

ZBEA=30°,

-CF//BD,EZABC=90°,

.•.四边形以WC为直角梯形，

/.5=-（5D+CF）X5C=-!-X6X273=6>/3,

22

（3）如图所示，以44为斜边在.44的右侧作等腰直角三角形。14,以O为圆心，04为半径作。0,

满足N8Q1=45。且此时四边形BADF的面积最大，

?.直线。尸与。。相切于点。，

连接OQ交力。于G,过点。作。〃1力。于〃，

则Z.AHO=4OHG=/DQG=90°,NO4H=45°，/GDQ=30°，

•.•N48C=90°,ZBCA=30°,AB=2,

BC=2y/3,OA=OB=OQ=>/2t

AH=OH=\,HG=—,OG=—,

33

/.GQ=y/2--,DG=2GQ=lj2-—,

33

.•JQ=/〃+〃G+GQ=l+乎+20一殍=1+20—6，

Q=1+2V2->/3,

此时直角梯形X8FQ的最大面积为：

S='x（8尸+40）x48=1x（26+1+2^—6+1+20—6）x2=48+2.

22

【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求

解.

2.（2024•兰州模拟）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三带形为背景，探究图形变化过程中的几何问

题，如图，在&中，AB=AC,NB4c=90°,点。为平面内一点（点/,B,。三点不共线），AE

为A/3。的中线.

【初步尝试】（1）如图1,小林同学发现：延长4E至点〃，使得=连接。M.始终存在以下两

个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

=AC；②N."Z^1+N。力B=18O。：

【类比探究】（2）如图2,将力。绕点力顺时针旋转90。得到力/，连接b.小斌同学沿着小林同学的思考

进一步探究后发现：AE=-CF,请你帮他证明：

2

【拓展延伸】（3）如图3,在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点。在以点力为圆心，为半

径的圆上运动（力。＞43）,直线与直线C户相交于点G,连接6G,在点。的运动过程中4G存在最人

值.若44=4,请直接写出8G的最大值.

图1图2图3

【分析】（1）利用S4S证明A/IBEMAMQE,可得力8=QM,再结合力8=4。，即可证得。加=4。；由全

等三角形性质可得Z.BAE=NDME，再运用平行线的判定和性质即可证得NMDA+/.DAB=180°；

（2）延长月上至点使得“石=力石，连接力M.利用S4S证得&46="＞历4,可得B=再由

AE=-AM,可证得产；

22

（3）延长。力至“，使4W=40,设力M交CF于N,连接3M交C77于K,取力。中点儿连接GP,

可证得A4C/=A48M（S4S）,利用三角形中位线定理可得力,即4G//8M,利用直角三角形性质

可得GP=LXC=」/18=2,得出点G在以尸为圆心，2为半径的。。上运动，连接8P并延长交0尸于G，，

22

可得8G的长为8G的最大值，再运用勾股定理即可求得答案.

【解答】（1）证明：①•.YE为MB。的中线，

BE=DE,

在MAE和AMOK中，

BE=DE

，乙4EB=Z.MED,

AE=ME

AABE三^MDE(SAS),

/.AB=DM,

•：AB=AC,

/.DM=AC；

②由①知MBE2^MDE,

ABAE=4DME,

/.AB//DM,

：.NMDA+ND4B=180°；

(2)证明：延长力E至点M,使得“石=力七，连接。M.

F

图2

由旋转得：AF=AD,/D4/=90。，

•••Z.BAC=90°,NDAF+NBAC+NBAD+Z.CAF=360°,

/B4D+NC4F=180。,

由(1)②得：^MDA+Z.DAB=180°,DM=AB=AC,

：.NCAF=ZMDA,

在A/1CF和中，

AF=AD

、Z.CAF=/MDA,

AC=DM

二.MCF=&DMA(SAS),

:.CF=AM,

vAE=-AM,

2

AE=-CFx

2

(3)如图3,延长D4至〃，使40=力。，设AM交C产于N,连接区必交C尸于K,取力。中点尸，连

接”，

D

B、、…'C

图3

由旋转得：AF=AD,ZDAF=90°,

AF=AM,ZMJF=180°-90°=90°,

•••NB4C=90°,

：.ZMAF+NC4M=ZBAC+/.CAM,

即ZCJF=/BAM,

在A/1CF和MBM中，

AC=AB

•Z.CAF=/BAM,

AF=AM

MCF=MBM(SAS),

Z.AFC=NAMB,即NAFN=NKMN,

•/Z4NF=NKNM,

：.ZFAN=NMKN=90°,

/.BM_LCF,

••・£、4分别是08、DW的中点，

「./IE是MDW的中位线，

:.AE"BM,即4G//8M,

AGA.CF,

:.ZAGC=90°,

•.•点尸是力C的中点,

GP=-AC=-AB=2.

22

.•.点G在以P为圆心,2为半径的OP上运动,

连接8P并延长交。户于G\

8G，的长为5G的最大值,

在RtAABP中，BP=>lAB2+AP2=742+22=275,

/.BG=BP+PG=2国2,

.•"G的最大值为26+2.

【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理,

勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等二角形的判定定理是解决本题的关键.

3.（2022•番禺区二模）已知抛物线尸江+队-,①〉。）与x轴交于点力，B两点,OA<OB,44=4.其

顶点C的横坐标为T.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设点。在抛物线第一象限的图象上，OE14C垂足为石，。尸/小轴交直线力。于点/，当面

积等于4时，求点。的坐标；

（3）在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，用点从点8运动到达点C,FM1FN交直线BD于点、

N,延长A"与线段OE的延长线交于点H,点尸为N,F,，三点构成的三角形的外心，求点尸经过的

路线长.

【分析】（1）利用对称性，求得4和B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；

（2）证明ACG4和AOE厂都为等腰直角三角形，利用等面积法求得=4,再求得直线4C的解析式为

>'=x-1,设点。的坐标,得到点尸的坐标,然后求解即可：

（3）先求得NBDF=45。,推出点P的运动路径时小乂的中点绕点F逆时针旋转90。得至ljN?”的中点之间

的弧长，证明四边形。乂产E为正方形，即可求解.

【解答】解：（1）•.•点4,点8两点关于直线x=-l对称，AB=4,

,/(1,0),8(-3,0),

代入y=。』+bx-5得，

3

a+b—=01

2a=—

.，解得：2，

3

9a-3b——=0b=1

2

抛物线的解析式为J，=gx2+x-g.

（2）如图1所示：

•••。户//y轴〃GC,

・♦.ZGCA=NDFE，

•••抛物线的解析式为y=lx2+x-|=l(x+l)2-2,

顶点C(-l,—2),

/.AG=2,CG=2,

△6&/!为等腰直角二角形，

ZGCA=4DFE=45°,

•••DELAC,

・••ADE"为等腰直角三角形，

DE=EF,DF=y/2DE,

・*"；DEEF=4,

DE=2>/2,

。尸=&x2近=4,

设直线力。的解析式为y=h+〃，则

ktb=()4=1

,解得:

-k+b=-2b=-\

，自,线力。的解析式为y=x-\,

11

2

设点D(x,—x+x——),则F(xyx—1)>

?.DF=—x2+x---(x-1)=—x2--=4,

2222

解得：工=3或》=-3(舍),

「.0(3,6),F(3,2).

(3)如图2所示，

是直角三角形，

ANFH的外心是斜边NH的中点，

当点M位于点8时;△N{FH1,其外心是斜边的中点，

当点M位于点。时，得ANFE,其外心是斜边乂”2的中点，即N2E的中点,

•.•0(3,6),5(-3,0),

/.tanZ.BDF==I，

6

£BDF=45°,

由（2）得，NFDE=45。,

：.NDBA=/BAC=45°,

BD//AC,

:.FN±BD,

Z）/平分ZBDE,NBDE=90°，

点。，N,F,，四点共圆，

.•.点P在线段。尸的垂直平分线上，即点尸在ME上运动，即点P的运动轨迹是一条线段.

vADN2F=ZN2DH=ADHF=90°,FN?=FE,

.•.四边形。M所为正方形，

此时点尸在。尸上，且）=2；

当点"与点。重合时，此时点尸在上，即为鸟，且R=E6=2,

由题意，BN1=BD-DN1=4,BF=2A/10,N1F=2五,FNJIDH、,

M3FN?s△BH、D,

^-=—,解得/771=布，

BD

：.FF；=V5,

由勾股定理可得：42=1,

即点尸的运动轨迹长为1.

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧

长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键.

4.（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完'‘圆”这一章内容后，感觉到有一些几何

问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在A48C中，AB=AC,乙%。=80。，。是A44C外一点，且4。=力。，求。的度

数.若以点力为圆心，为半径作辅助圆。力，则点C、。必在。力上，NA4c是。力的圆心角，而/8QC

是圆周角，从而可容易得到4。。=_40。一

(2)问题解决：

如图，在四边形力4cZ)中，/BAD=/BCD=90°,^BDC=25°,求NZU。的度数.

(3)问题拓展:

抛物线),「一_!_3一1)2+3与》轴交于点,4,顶点为5,对称轴8c与x轴交于点C,点尸在抛物线上，直线

4

。。//8。交工轴于点0,连接80.

①若含45。角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与。重合，直角顶点。在8。上，另一顶点上在

PQ上,求。的坐标；

②若含30。角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点。在80上，另一个顶点E在尸。上，点。与点

4,点。不重合，求点Q的坐标.

【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解•.

(2)由力、B、C、。共圆，得出N80C=N历IC,

(3)①先求出抛物线顶点的坐标，再由点。、C、0、E共圆，得出/。。3=/0£。=45。，求出C。，再

求点。的坐标.

②分两种情况，I、当30。的角的顶点与点C重合时，II、当60。的角的顶点与点。重合时，运用点。、

C、。、E共圆，求出C。即点尸的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，即可求出点「的坐标.

【解答】解：(1)\'AB=AC,AD=AC,

・•.以点力为圆心，点4、C、。必在。力上，

•••NA4C是。力的圆心角,而N8DC是圆周角,

Z5Z)C=-Z^C=40°,

2

(2)如图2,

•••NBAD=/BCD=9M,

点力、8、C、。共圆,

...NBDC=NBAC,

ZBDC=25°，

NBAC=25°,

•.•点4为抛物线y=一])2+3的顶点，

4

.•.点4的坐标为(1,3),

•••45。角的宜角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，宜角顶点。在〃。上，另一顶点E在尸Q

上，

点。、C、。、£共圆，

NCQB=4CED=45。,

:.CQ=BC=3,

0Q=4,

点。的坐标为(4,0),

I、当30。的角的顶点与点C重合时，

♦.•直角三角板30。角的顶点与点C重合，直角顶点。在80上，另一个顶点E在P。上

.•.点。、。、。、£共圆，

:./CQB=NCED=600,

；.CQ=与BC=d,

/.OQ=1+VJ,

LIQ

「.把1+g代入y=—(x-1)~+3得y=_,

44

t-o

点尸的坐标是(i+JL-)

4

•.•直角三角板60。角的顶点与点C重合，直角顶点。在40上，另一个顶点石在尸。上

点。、C、。、£共圆，

ZCQB=/CED=3。。,

：.CQ=6BCS

00=1+36，

把］+3百代入y=_，（x_lf+3得y=_"，

44

.•.点P的坐标是（1+3力，-—）

4

综上所述，点尸的坐标是（1+石，2）或（1+36，—丝）.

44

【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等.

类型2:定弦定角

1.（2022•雁塔区校级三模）问题提出

（1）如图①，已知为边长为2的等边三角形，则A/YC的面积为_JJ_；

问题探究

（2）如图②，在。8C中，已知N84C=120。，BC二垄,求的最大面积；

问题解决

(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形48c。，其宽相=20米，长8C=24米，为了能够监控到

礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CQ上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端

墙面48区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角N4W8=45。，请你通过所学知识

进行分析，在墙面CO区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理

由.

图①图③

【分析】(1)作力。于。，由勾股定理求出力。的长，即可求出面积;

(2)作A48c的外接圆OO,可知点”在8c上运动，当HO_L8C0寸，A48C的面积最大，求出4”的长,

从而得出答案:

(3)以48为边，在矩形力比。的内部作一个等腰直角三角形404,且乙108=90。，过O作〃G_L44于

H,交CO于G,利用等腰直角三角形的性质求出CM,0G的长，则以。为圆心，。力为半径的圆与。。相

交，从而OO上存在点满足/4口？=45。，此时满足条件的有两个点"，过.M1作取/_L/14于/，作

E01MF于E,连接。尸，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题.

【解答】解：(1)作/O_L8C于。,

•••LABC是边长为2的等边三角形,

BD=\,

AD=4AB'-BD'二G

.•・A48C的面积为1x2x6=6

2

故答案为：6

（2）作A/18C的外接圆。O,

vZ.BAC=\20°,BC=6C，

当401BC时，AJ8c的面积最大，

ZBOA'=60°,BH=CH=3>/3,

:.OH=3,08=6,

AfH=OAr-OH=6-3=3,

：.XABC的最大面积为,x66x3=9>/J：

2

(3)存在，以AB为边,在矩形.48CO的内部作一个等腰直角三角形ZO4,且408=90。,

过。作〃G_L48于"，交CO于G,

•••44=2()米，

.•."7=0"=10米，04=10底米，

•••8。=24米，

0G=14米，

•.•【0披>14,

.•.以O为圆心，。力为半径的圆与CO相交，

.•.0。上存在点满足N4WA=45。，此时满足条件的有两个点M,

过M/乍为8于b，作EO1,%产于E,连接。9，

D

图③

.•.£/=0〃=10米，。％=100米，

・"M=14米，

:.0E=-=2米，

:.CM\=3尸=8米,

同理CM?=石=10+2=12（米），

二.MC的长度为8米或12米.

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾

股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键.

2.（2023♦漏桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，为等腰三角形,ZC=120°,AC=BC=S,D

是,44上一点，且CQ平分A44。的面积，则线段CQ的长度为」

图①图②IS@

问题探究：（2）如图②，A48C中，ZC=120°,48=10,试分析和判断&48C的面积是否存在最大值,

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会

场旁规划一个四边形花圃"O满足8C=600米，C0=300米，ZC=60°,4=60。，主办方打算过

BC的中点.以点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形/3CQ边

上一点，通道"£把四边形力BCD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供

影迷休闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道ME?若存在，请求出点/距出口的距离的长；若不存

在，请说明理由.

【分析】（1）由题意可知，CO是A/13C的中线，利用等腰三角形的性质推出CD_L/B,利用三角函数求解

即可解决问题：

（2）当A48。的48边上的高最大时，三角形48C的面积最大，即。。过圆心O,连接力。.求出CO

的最大值即可得出答案；

（3）连接。M,BD.首先证明/8。。=90。，求出80,推出A8OC的面积是定值，要使得四边形48CQ

的面积最大，只要A44。的面积最大即可，因为8。为定值，/Z为定角=60。，推出当A4B。是等边三角形

时，求出四边形/8C。的面积最大值，然后再求出NMQE=90。，构建方程解决问题即可.

【解答】解：（1）如图①，

18©

平分A4AC的面积，

AD—DB,

•.­JC=5C=8,

CDJ.AB,Z.ACD=Z.BCD=-^ACB=60°，

2

CD=>1CcosZACD=8cos60°=4,

.••CQ的长度为4,

故答案为:4；

（2）存在.如图②,

图②

•.•/仍=10,N/C8=120。都是定值，

二.点C在施上，并且当点C在右的中点时，A45C的面积最大;

连接OC交4?于点。，则COJ.,48,AD=BD=-AB=5,

2

ZJCD=-ZJC5=60°,

2

tanZJC£>=—,CD=^—=—

CDtan6003

・•.SMBC=；AB.CD=晔，

答：的面积最大值是早;

（3）存在.如图③，连接。历，BD,

81@

•・•”是8C的中点,

.-.GW=-5C=300,

2

:.CM=CD,

又ZC=60°,

ACM。是等边三角形,

...£MDC=NCMD=60°,CM=DM=BM,

/.£CBD=/MDB=30°,

/.Z5DC=90°,

BD=CDtan60°=300G米，

在根4£）中，50=300。米，4=60。为定值，

由（2）可知当=时，即&44力为等边三角形时&4B。的面积最大,

此时也为四边形ABCD的最大值（\BDC的面积不变），

Ss=SNBX+SABI”=gX300X300后+乎（300百产=112500^；

•.•418。是等边三角形，

...AADB=60°,

ZADM=ZADB+ZBDM=90°：

S

由S曲D+S&cDM=gnM.x，得：

-Z）£x300+—x3002=-x11250073,

242

解得：DE=22573,

AE=AD-DE=300^-225^=75>/3（米），

答：点4距出II的距离力七的长为756米.

【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属丁中考压轴题.

3.（2023•柯城区校级一模）如图，点4与点8的坐标分别是（L0）,（5,0）,点P是该直角坐标系内的一个

动点.

（1）使N4尸6=30。的点尸有无数个:

（2）若点尸在y轴上，且乙4尸3=30。，求满足条件的点夕的坐标；

（3）当点尸在y轴上移动时，乙”8是否有最大值？若有，求点。的坐标，并说明此时最大的理由;

若没有，也请说明理由.

B

【分析】（1）已知点力、点8是定点，要使/力尸8=30。，只需点P在过点彳、点8的圆上，且弧力8所对

的圆心角为60。即可，显然符合条件的点尸有无数个.

（2）结合（1）中的分析可知：当点。在歹轴的正半轴上时，点尸是（1）中的圆与），轴的交点，借助于垂

径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在），轴的负半轴上

时，同理可求出符合条件的点。的坐标.

（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要ZAPB

最大，只需构造过点力、点〃且与y轴相切的圆，切点就是使得最大的点P，然后结合切线的性质、

三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题.

【解答】解：(1)以48为边，在第一象限内作等边三角形48。，

以点C为圆心，彳。为半径作。C,交y轴于点”、P2.

在优弧上任取一点P,如图1,

则ZJP^=-ZJC^=-x60°=30°.

22

.•.使/AP8=30。的点F有无数个.

故答案为：无数.

(2)①当点P在)，轴的正半轴上时，

过点C作CG_L44,垂足为G,如图1.

♦.•点4(1,0),点4(5,0),

...。月=1,OB=5.

.“8=4.

♦.♦点。为圆心，CG1AB,

：.AG=BG=-AB=2.

2

/.OG=OA+AG=3.

•.•A42C是等边三角形，

.\AC=BC=AB=4.

CG=y]AC2-AG2

="-22

=2y/3.

.•.点。的坐标为(3,2>/3).

过点C作CO_Ly轴，垂足为。，连接。鸟，如图1,

•••点C的坐标为(3,26)，

:.CD=3,2G

••”、？是0C与y轴的交点，

/.ZAPlB=^AP2B=30°.

•/CP2=CA=4,CO=3,

...DP、=V42-32=V7.

♦.•点C为圆心，CDLP{P2,

P\D=P?D=不.

.•J（0,2V3-V7）.6（0,2>/J+近）.

②当点尸在y轴的负半轴上时，

同理可得：4（0,-26-近）.4（0,-26+"）.

综上所述：满足条件的点夕的坐标有：

（0,2百一五）、（0,2百+小）、（0,-2行—6）、（0,-2V3+V7）.

（3）当过点力、4的OE与歹轴相切于点尸时，N4尸8最大.

理由：可证：/APB=NAEH,当N/P8最大时，NAEH最大.由sin/4E〃=—得：当力E最小即产E最

AE

小时，NAEH最大.所以当圆与『轴相切时，乙4PB最大.

①当点尸在歹轴的正半轴上时，

连接"，作石"lx轴，垂足为，，如图2.

•••OE与y轴相切于点尸，

PE1OP.

•••EHVAB,OPL0/1,

AEPO=4POH=/EHO=90°.

四边形7是矩形.

OP=EH,PE=OH=3.

EA=3.

vZEHA=90°,4H=2,E4=3,

:.EH=ylEA2-AH2

=V32-22

：.OP=45

P（o,回

②当点Q在y轴的负半轴上时，

同理可得：P（0,-V5）.

理由：

①若点尸在y轴的正半轴上，

在y轴的正半轴上任取一点M（不与点。重合），

连接M4,交。E于点N,连接M4,如图2所示.

ZANB是MMN的外角,

NANB>Z.AMB.

•••NAPB=4ANB,

NAPB>/AMB.

②若点夕在y轴的负半轴上，

同理可证得：/APB>NAMB.

综上所述：当点尸在y轴上移动时，/月08有最大值，

此时点P的坐标为（0,布）和（0,-石）.

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的

性质、三角形外角性质等知识，综合性强.同时也考查了创造性思维，有一定的难度.构造辅助圆是解决

本题关键.

类型3：四点共圆

1.（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料•，并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点

作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.

某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图（1）,已知A48c内接于。。，点。在。。上（不与点力，B,C重合），过点尸分别作

AB,BC,4C的垂线，垂足分别为点。，E,F.求证：点。，E,b在同一条直线

上.

如下是他们的证明过程（不完整）：

如图（1）,连接网?,PC,DE,EF,取尸。的中点。，连接QF,

贝|JEQ=E。=;PC=P0=C0,（依据1）

•.•点E,F,尸，。四点共圆，

/.£FCP+4FEP=180°.（依据2）

又•：N4CP+NABP=180°,

ZFEP=NABP.

同二可得点4,D,P,E四点共圆，

任务:

（1）填空:

①依据1指的是中点的定义及立角三角形斜边上的中线等于•斜边的一半；

②依据2指的是—.

（2）请将证明过程补充完整.

（3）善于思考的小虎发现当点尸是应的中点时:BD=CF,请你利用图（2）证明该结论的正确性.

【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；

（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E,F,P,C和点8,D,P,E四点分别共圆，再说

明/在2+/。"=180。，可证明结论；

（3）连接左，PB,PC,利用〃1证明RQPBD合RtAPCF,从而得出结论.

【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

②依据2指的是圆内接四边形对角互补，

故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：②圆内接四边形对角互补：

（2）解：如图（1）,连接P4,PC,DE,EF,取PC的中点。，连接。E.QF,

则EQ=FQ=gpC=PQ=CQ,

;.点E,F,P,。四点共圆，

/./FCP+NFEP=180。,

又•二/力。尸尸=180。，

:.NFEP=NABP,

同二可得点〃，D,P,石四点共圆，

NDBP=NDEP,

•.•乙4BP+NDBP=180。，

ZFEP+Z£>EP=180°,

:.点D,E,尸在同一直线上;

（3）证明：如图，连接PB,PC,

•.•点户是应的中点，

BP=PC,

:.BP=PC,/PAD=/PAC,

又•：PDLAD,PF1AC,

：.PD=PF,

RtAPBD^RtAPCF（HL）,

J.BD=CF.

【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性

质等知识，证明RtAPBDwRtAPCF是解题的关键.

2.（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】

于形同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以

使问题变得非常容易.

例如：如图1,在A4AC中，AB=AC,NA4C=90。，。是A45c夕|、一点，且力。=力。，求力C的度

数.若以点力为圆心，力8为半径作辅助。力，则点C、。必在。/上，NA4c是。力的圆心角，而/3OC

是圆周角，从而可容易得到N4QC=3。.

（2）【问题解决】

如图2,在四边形力8CQ中，NBAD=NBCD=90。,/BDC=25。，求N8/C的度数.

(3)【问题拓展】

如图3,如图，E,尸是正方形/14C。的边4。上两个动点，满足4E=D".连接”■交8。于点G,连接

BE交.AG于点、H.若正方形的边长为2,则线段。〃长度的最小值是—.

【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解.

(2)由/、B、C、。共圆，得出N8Z)C=N历1C,

(3)根据正方形的性质可得力8=%。=。。，/BAD=NCDA,/ZQG=NCQG,然后利用“边角边”证

明和ADC产全等，根据全等三角形对应角相等可得N1=N2,利用“S4s”证明A4OG和ACQG全等,

根据全等三角形对应角相等可得N2=N3,从而得到Nl=/3,然后求出4〃/B=90。，取力8的中点O,连

接OD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CW=L/仍=1,利用勾股定理列式求出

2

OD,然后根据三角形的三边关系可知当O、D、〃三点共线时，。〃的长度最小.

【解答】解：⑴如图1,♦.F4=/C,AD=AC,

.•.以点力为圆心，力8为半径作圆“，点8、C、。必在04上，

•.•/胡。是。4的圆心角，而/80C是圆周角，

NBDC=L/B4C=45。,

2

故答案为：45；

(2)如图2,取4。的中点O,连接40、CO.

NBAD=4BCD=9M,

点力、B、C、。共圆，

?.NBDC=/BAC,

•••NBDC=25°,

：.Z：BAC=25°,

(3)如图3,在正方形力EC力中，AB=AD=CD,ZBAD=Z.CDA,ZADG=ZCDG,

在NABE和\DCF中，

AB=CD

/BAD=ZCDA,

AE=DF

/.MBEM\DCF{SAS),

Z1=Z2,

在MDG和kCDG中，

AD=CD

、ZADG=NCDG,

DG=DG

MDG=^CDG(SAS),

/.Z2=Z3,

Z1=Z3,

NBAH+Z3=/BAD=90°,

；.Z1+NBAH=90°,

ZJ//B=180°-90o=90°,

取,48的中点O,连接OH、OD,

则。〃=48=1,

2

在RtAAOD中，OD=ylAO、AD?NlF2=下,

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,

.•.当O、D、"三点共线时，。，的长度最小，

最小值=。。-0〃=6-1.

(解法二：可以理解为点”是在RtAAHB,48直径的半圆标上运动当。、H、。三点共线时，DH长

度最小)

故答案为：V5-1.

【点评】本题主要考查了圆的综合题