重难点10 函数易错题九大题型-人教B版高中数学讲义（必修一）

重难点10函数易错题九大题型汇总

EB题型解读；

ESi满分技巧!

技巧一•不理解函数的定义

理解函数的定义，一定要抓住的要点事一对一，或者多对一.

技巧二.忽略定义域的函数

在求解定义域问题时，主要定义域代表的是X的范围.

技巧三.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则

研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。

技巧四.处理二次型函数忽略讨论系数是否为零

处理二次型函数需要优先要论二次项的系数是否为零

技巧五.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称

判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f(-x)与f(x)的关系得到结论;

技巧六.抽象不等式忽略函数的定义域

在解决抽象不等式的问题时，需要注意函数的定义域

技巧七.解决分段函数的单调性时忽略端点值

在解决分段函数别的单调性时，注意端点值大小的讨论

技巧八.复合函数忽略讨论根号里的范围

在解决复合函数的单调性与最值问题时，注意小球定义域

雄M题型提分练/

题型1不理解函数的定义

【例题1]（2023秋・江苏常州・高一常州市北郊高级中学校考期末）已知集合力=[0,+co）,F=口+8）,下

列对应关系中从A到B的函数为（）

A./:xy=xB./:x->y=x2

C./:x->y=2xD.f:xy=2x+2

【答案】D

【分析】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据因数的定义分别进行判断即可.

【详解】对于A,在对于关系f：%ty='中，当x=0时，y=0,则集合8中没有元素和x对应，不是从集

合力到集合8的函数，故A错误，

对于B,在对于关系-y=/中，当％=0时，y=0,则集合B中没有元素和%对应，不是从集合A到集

合8的函数，故B错误，

对于C,在对于关系-y=2z中，当x=0时，y=0,则集合B中没有元素和x对应，不是从集合4到集

合E的函数，故C错误，

对于D,在对于关系%->y=2x中，因为工G[0,+OO）,所以yG[2,+oo）[1,4-co）,且则集合力中任意一

个元素x在集合8中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合力到集合8的函数，故D正确，

故选：D.

【变式1-1】1.（2022秋•江苏徐州•高一统考期中）已知力=（x\l<x<2],B=[y\l<y<4],下列对

应法则不可以作为从4到8的函数的是（）

A.x-»y=2xBy=x2

C.f:%Ty=]D./:x->y=|x-4|

【答案】C

【分析】求出每个选项中对应法则中y的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，当1WxW2时，y=2%W[2,4],且[2,4]G8,A中的对应法则可以作为从力到8的

函数；

对于B选项，当1Wx<2时，y=/€[1,4],且B=[1,4],B中的对应法则可以作为从4到8的函数;

对于C选项，当1WxW2时，y=江区1],且畛,1]C8,C中的对应法则不能作为从4到8的函数；

对于D选项，当1W%W2时，-3Wx-44一2,则y=|x-4|£[2,3],且[2,3]GB,

D中的对应法则可以作为从A到8的函数.

古嫡：C.

【变式1-1】2.（2020•浙江杭州•高一期末）若函数y=f（%）的定义域为卜|一3三％W8/手5},值域为

{y|-1<y<2,y*0},则y=/[x）的图象可能是（）

【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.

【详解】选项A中，当％=8时，y=0,不符合题意，排除A;选项C中，存在一个x对应多个y值，不

是函数的图象，排除C;选项D中，x取不到0,不符合题意，排除D.

故选：B.

【变式1-1]3.（多选）（2023秋•广东深圳•高一统考期末）下列是函数图象的是（）

【答案】ABD

【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..

【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个不只有一个y和它对应，

因此不能出现一对多的情况,所以C不是函数图象，ABD是函数图象.

故选:ABD.

【变式1-1]4.（2023秋•上海徐丁•高一上海中学校考期末）下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图

像的是().

【答案】D

【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.

【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对应.

选项D的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.

故选：D

题型2忽略定义域的含义

【例题2](2023秋・吉林・高T春市第二实验中学校联考期末)若函数八灯的定义域为[0,4],则函数g(x)=

+2)的定义域为()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【分析】由函数/C)的定义域，可得0<x+2<4,求出x的范围，即可得到函数g(x)的定义域.

【详解】因为函数/(%)的定义域为[0,4],

所以0«x+2«4,解得一2«丫42,

所以函数g(x)=/(x+2)的定义域为[-2,2].

故选：A.

【变式2-1J1.(2022秋•山东威海高一山东省文登第一中学校考期末圮知函数y=f(%)的定义域为[-8,1],

则函数g(x)=卓等的定义域()

A.[-p-2)U(-2,0]B.[-8,-2)U(-2,1]

C.(-oo,-2)U(-2,3]D.[-p-2]

【答案】A

【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于%的不等式组，由此可解得函数9(切的定义域.

【详解】因为函数y=/(幻的定义域为「8,1],对于函频(幻=彗2,

则有「8^2x+l<1,解得％v_2或-2<x<0.

因此,函数仪外的定义域为卜，-2)U(-2,0].

故选：A.

【变式2-1]2.(2023秋・辽宁本溪•高一校考期末)若函数y=f(幻的定义域是[1,2023],则函数以外=

安的定义域是()

X—1

A.[0,2022]B.[-1,1)U(1,2022]

C.(1/2024]D.[0,1)U(1,2022]

【答案】D

【分析】由抽象函数定义域相关概念可得答案.

【详解】因y=八外的定义域是[1,2023],

则由gG)=与平可得：｛1<x+l<2023r0<x<2022

x-1*0Ix1

则g(x)定义域为：[0,1)U(1,2022].

故选：D

【变式2-1]3.(2022秋•甘肃兰州•高一校考期末)若函数/(%)的定义域为[0,4],则函数g(幻=/(%+2)+

器的定义域为()

A.(1,2)B.(1,4)C.(1,2]D.(1,4]

【答案】C

【分析】根据题意可得出关于无的不等式组，由此可解得的数gG)的定义域.

【详解】解：因为函数/'(%)的定义域为[0,4],

对于函数仪幻=/(无+2)+泰，则｛°阳蓝4，解得1K2，

即函数仪外=/(%+2)+的定义域为(1,2].

古姆：C

【变式2-1]4.(2023秋•山东威海・高一统考期末)已知函数fQ)的定义域为(1,2),则/(%-1)的定义域

为

【答案】(0,1)

【分析】通过函数“外的定义域可得fa+1)中1vX+1v2,解出即可.

【详解】由函数f(x)的定义域为(1,2)得1VxV2,

，对于/a+1)有1Vx+1<2,

0<x<1,即/a4-1)的定义域为(0,1).

故答案为：(0,1).

【变式2-1J5.(2023秋•江苏扬州•高一期末)已知函数/(2x-3)的定义域为,设函数FQ)=-^==，

则函数F(x)的定义域是

【答案】(1,3]

【分析】由“2%-3)的定义域得出一5<2x-3<5,进而由｛-51r2；胱得出所求

【详解】因为函数f(2X-3)的定义域为[—1,4],所以T<x<4,-5<2x-3<5

即｛一言>2；眈，解得lv*.w3

故函数FQ)=寿*,则函数“切的定义域是(1,3]

VOX-7

故答案为：(L3]

题型3求函数解析式忽略函数的定义域

[例题3]2023秋•四川成都•高一校考期末)已知f(y-1)=T,则/(幻=

【答案】("+17，丝-1

【分析】用换元法求解函数解析式.

【详解】令t=«-1,其中£e|l,+00),则X=(£+1)2,即f©=Q+1)2

故答案为：(X+1)2,XN—1.

【变式3-1】1.(多选)(2022秋・吉林长春•高一校考期末)已知函数f(%)满足fG)=箸，则关于函数

/G)正确的说法是()

A.不等式f(x)>2的解集为(-1,0)B./⑺值域为｛y|y工1且？H2｝

C.f(2)=gD.f(x)的定义域为｛划x*-1｝

【答案】ABC

【分析】换元法求得/⑶=1+:且｛小丰0且％*-1｝即知D正误，解分式不等式判断A,根据分式型函

数的性质求值域并求/(2)的值.

【详解】令t=§工。则》=;，故f(t)=钓=誉，即f(%)=1+上且｛Mx丰0且工工一1｝,D错误；

XC-+11十11"TX

所以f(%)=1+*>2,即一自>0,故+1)<0,得T<X<0,A正确；

由/(%)=1+W且口氏*。且汇丰一1｝/则值域为｛y|y*1且y*2｝,B正确；

"2)=1+击=1c正确.

故选：ABC

【变式3-1]2.(2022秋・河北石家庄•高一统考期末)已知/•(夜=1)=x+l,则函数f(x)=.

【答案】无2+2,无之0

【分析】采用换元法，令^/^二T=t,(t>0),即可得/“)二尸+2,即可求得函数解析式.

【详解】令4一1=t,(t20),则％=t2+1,

故/(t)=t2+l+l=t2+2,即f(x)=x2+2,x>0,

故答案为：/+2,x>0.

【变式3-1］3,(2022秋•黑龙江大庆♦高一大庆外国语学校校考期末港+1)=%+4，则”3)=

【答案】6

【分析】首先求函数〃为，再求f(3)的值.

【详解】设y+1=t>1,则五=t-1

所以f⑷=。-1/+t-1=产-t,gP/(X)=X2-X,(X>1),

/(3)=32—3=6.

故答案为：6

【变式3-114.(2022春・云南曲靖・高一校考期末)已知函数G(y+2)=x+26+1.

(1)求函数次外的解析式；

(2)g/(x)=若巴，若存在xG［2,3］使/(%)-奴30成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)。(幻=(工一1)2(工工2)；

⑵卜也+8)

【分析】(1)由配凑法得g(e+2)=(6+2-1)2,再结合日+2>2,即可求出g(x)的解析式;

(2)先求出“幻，将题设转化为k1在xG［2,3］上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值

即可求解.

22

【详解】(1)^(7%+2)=x+2y+1=(Vx4-1)=(Vx4-2-1)，则g(x)=(%-1尸，又、+2>2,

则。(勿=(%-1)2(%22)；

(2)/•(%)=*卫==%+：-4(%22),又存在X6［2,3］使/■(%)-kx<0成立，即kN-+

1在Xe［2,3］上有解，

令£=/设九(t)=t2—4t+1=(t—2)2—3,易得h(t)在单减,贝必(t)min=h(£)=-

即AN-［故实数k的取值范围为［一+8).

【变式3-1]5.（2023秋•新疆乌鲁木齐•高一乌鲁木齐101中学校考期末）若函数/1+3=/+/且

fM=4,则实数zn的值为（）

A.V6B.遥或-历C.—V6D.3

【答案】B

【分析】令'+：=乙配凑可得f⑴="-2,再根据/（m）=俅解即可

【详解】令》+§=£（tN2或tW-2）*+点=卜+y-2=产一2/./（t）=C2-2,f（m）=m2-2=4,

m=+V6.

故选；B

题型4二次函数相关问题忽略讨论二次项系数为“0”

【例题4]（2023秋咛夏银川•高一校考期中）若函数y=涓芸云的定义域是一切实数，则实数k的取值

范围是（）

A.（0,+8）B,（-0）,0]C.[o,^）D.（o,1）

【答案】C

【分析】由题意可知,对任意的x£R,kx2+4kx+3工0恒成立，分k=0、kH0两种情况讨论，结合已

知条件可求得实数k的取值范围.

【详解】因为函数f（%）=-2rxM的定义域为R，

KX"T*TKXTO

所以，对任意的叉eR,kx2+4kx+3H。恒成立.

①当k=。时，则有3=0,合乎题意；

②当k工0时，由题意可得△=16k2-12k<0,解得0<kV4

综上所述，实数A的取值范围是[o，）.

古嫩：C.

【变式4-1】1.（2022秋・河南洛阳•高一校联考阶段练习）函数f（x）=J（Q-1）产一ax十1的定义域为R,

则a的取值范围为()

A.(2}B.［1,2］C.(2,+oo)D.［2,+oo)

【答案】A

【分析】先验证a=1时的情况，再当aH1时，利用二次函数的性质列不等式求解.

【详解】当a=1时，/'(%)=V-A+1,定义域不为R；

当a装1时，若函数f(x)=J(Q-1)%2-QX+1的定义域为R,

则1=(-泥/3"0，解得"2

故选：A.

ax2+2x,x>—1

【变式4-l】2.(2023秋四川成都高一校联考期中)已知f(x)=小?满足也,小eR,

••(1-3a)x-x<—1।

与。乃，都有巫必>0,则实数a的取值范围为

Xi-X2

【答案】［0,

【分析】由题意得到/(%)的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解.

【详解】因为£R,X】工上,都有“必)一"小)>0,

xl~x2

所以/(x)在R上为增函数，

当a=0时，f(x)=L3>x<_1,易知函数/(%)在R上为增函数；

a>0

--<-1i

1l3a>0，解得"a<

{(l-3a)x(-l)-1<a-2

综上，04aWJ则a的取值范围为［0,力

故答案为：［0,；］.

【变式4-1】3.(2023春・上海金山•高一统考阶段练习)设“幻=心一(0+1次+1,%£(-1,0,若函

数y=f(x)在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a

的取值范围是

【答案】(-8,-i)u(-1,-m

【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得a*-1；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为x=

等6(一;《)，求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.

【详解】对①:f(x)4-/(-X)=[ax2-(a+l)x+1]+[a(-x)2-(a+l)(-x)+1]=2(ar2+1)*0,

即/G)*-/(-x),

故/(、)不是奇函数；

若/(%)是偶函数，则f(%)-f(一X)=[ax2-(a+l)x4-1]-[a(-x)2-(a4-l)(-x)+1]=-2(a4-l)x=0,

可得a+1=0,即a=-1；

故若f(%)是非奇非偶函数，贝!Ja=-1；

对③：若/(外在(-：*)上有最大值，则有：

当a=0时，则/'CO=t+1在(后看)上单调递减，无最值，不合题意；

当aH0时，则/•(%)=ax2-(a4-l)x+1为二次函数且对称轴为x=誓，

由题意可得｛_工V丝1V1,解得Q<--,

I22a2

故若人外在(―：，)上有最大值，则a<；

对②：若aV则八幻二Q/-(a+l)x+1开口向下，且对称轴为x=翳£,

故/(%)在上既不是增函数也不是减函数；

综上所述：实数a的取值范围为(-8,-1)u(-1,一)

故答案为：(-8,-1)U(一1,一：).

【变式4-1】4.(2023秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考期末)若二次函数/(%)=ax2+2(a-l)x+2

在区间(-8,4]上为严格减函数，则实数a的取值范围是

【答案】(0,1]

(a>0

【分析】由题知，再解不等式组即可得答案.

I2a~

【详解】解：因为二次函数八为)=ax2+2(a-l)x+2在区间(-8,4]上为严格减函数，

(a>0(a>01

所以，_2(。-1)>4，即｛0VaW；解得。<a<-,

V2a—I-5

所以，实数a的取值范围是(0,才

故答案为:(0中

【变式4-1]5.(2023秋・上海松江•高一上海市松江二中校考期末)已知函数f⑺=x,gW=ax2-x,

其中Q>o,若对任意的%]G[1,3]，总存在%2G[1,4],使得f(石)/(%2)=9(巧)或小)成立，则实数a的取值

范围是

【答案】图

【分析】根据题意可得Q-2=工，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果.

x2x\

222

【详解】由f(Xi)f(>2)=g(M)g(%2)可得=(axj-41)(。工22-12)，化简得：aX1x2-ax^x2-

ax^2=0,

+

因为a>0,e[1,3],x2e[1,4],所以-工2--&=。，即。=生孑V1

XLX2X1x2

所以，a—=已因为3，且。一3[。一1，"力,

因为对任意的打H1,3],总存在*G口川，有Q-2=工成立,

x2X1

r,ir.-i(^>a-1

所以，片1]G[Q—1,QT，所以」

所以，祥a转，即实数a的取值范围是居]

故答案为：生弓

题型5由奇偶性求解析式忽略“x”的范围

【例题512023秋•福建福州•高一福建省福州格致中学校考期中月知/(%)是定义在R上的偶函数，当％<0

时，fM=x2+2x;贝!]当％>0时,/(%)=

【答案】x2-2x

【分析】当％2o时，T40,先写出函数y=/(T)的解析式,再利用函数为偶函数，即可写出分段因数的

解析式.

【详解】由已知可得，当XN0时，一工工0,/(一0=%2-2x=f(x),

即当x>0时J(x)=x2-2x；

故答案为：x2-2x

【变式5-1J1.(2022秋•海南海口•高一海口一中校考期中H知函数y="的为奇函数目当X>0时/(幻=

x2-2%+3,贝I当」％<。时,fM=

【答案】-x2-2x-3

【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.

【详解】因为函数y=f(x)为奇函数，

所以当不<0时J(x)=-/(-X)=-(%2+2%+3)=-x2-2x-3,

故答案为：———2x—3

【变式5-1]2.(多选)(2023秋・广西桂林•高一统考期末)已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，当工工0

时/⑺=r2一2%,贝(]()

A./(%)的最大值为1B•/(%)在区间(1,+8)上单调递增

C.fW>0的解集为[-2,2]D.当》>0时，/■(%)=/—2%

【答案】AC

【分析】根据函数奇偶性定义以及部分解析式可求得函数f(x)=仁”;；与x；:，画出函数图象即可求得

其值域及单调性，结合图象进行不等式求解.

【详解】根据题意可知当X>0时，T40,所以/'(T)=-(-r)2-2(-x)=-x2+2x；

又因为/(%)是定义在R上的偶函数，所以/■(%)=/(-X)=-/+2x；

因此，出二仁2；2善■易知选项D错误;

画出函数/•(%)的图象如下图所示:

由图可知，/(幻的最大值为1,即A正确；

易知外%)在区间(1,+8)上单调递减，即B错误；

结合图像可知/■(%)>。的解集代表的是函数图象在无轴上方部分对应的自变量的取值范围，即x€[-2,2],

所以>0的解集为[-2,2],即C正确.

故选：AC

【变式5-1]3.(2023秋・北京•高一校考期中)已知/'(x)是定义在R上的奇函数，当“e[0,+8)时，f(x)=

/+2x,则/(-1)=，当工£(-8,0)时，/(%)二.

【答案】-3-%2+2%

【分析】根据题意结合奇函数的定义分析求解.

【详解】由题意可得：/(-1)=-/(D=-3；

当xe(-8,0)时，则一%>0,

所以/(%)=-/-(-X)=-[(-X)2+2(-x)]=-x2+2x；

故答案为：-3；-x2+2x.

【变式5-1]4.(2023秋•陕西西安・高一统考期末)已知y=f3是定义在R上的奇函数，当x<0B寸J(x)=

x2+2x.

(1)求函数f(x)在R上的解析式；

(2)若函数f(x)在区间[-1,7九-1]上单调递增，求实数m的取值范围.

【答案】⑴3)=1%2黑黑;

(2)I：0,2]

【分析】(1)由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；

(2)作出函数y=f(x)的图象，从而得函数的单调递增区间，由题意列不等式求解,即可得答案.

【详解】(1)设x>0,则r<0,所以/(r)=/一2%,

因为函数y=/(均是定义在R上的奇函数，

所以/(无)=-/(-x)=-X2+2x,

所以函数人均在R上的解析式为f(幻=,

(2)作出函数y="幻的图象，如图所示，

由函数图象可知，y=/(%)在[-L1]上单调递增，

根据题意得/—1<TH—1<1,解得0VmW2,

所以实数m的取值范围为(0,2].

【变式5-1]5.(2022秋・安徽芜湖•高一安徽省无为襄安中学校考期中)已知y=f(x)是定义在R上的奇函

数，当为N0时，/(%)=x2-2%;

(1)求/•(1)，〃-2)的值；

(2)求f(%)的解析式.

【答案】=,f(-2)=0

_(x2—2x,(x>0)

=l-x2-2x,(%<0)

【分析】(1)根据题意，求出/(I)的值，由奇函数的性质计算可得答案；

(2)令xV0,则-%>0,利用奇函数的性质求出f(%)的表达式，综合可得答案.

【详解】(1)根据题意，当xN0JG)=炉-2x,则f(1)=12-2=-1,

f(«)是奇函数,则八一2)=一/⑵=0.

(2)令x<0,则一%>0,由已知/(一幻=(-x)2-2(-x)=%2+2x,

••/(%)是奇函数,

.•・当x<。时，/(x)=-/(-%)=-x2-2%,

.心_"-2x,(x>0)

一八)一(一产一2项。<0)

题型6判断函数奇偶性忽略求定义域

【例题6](2023秋湖南娄底•高一校考期末)已知f(%-1)=x+

(1)求/(%)的解析式及定义域；

(2)求f(%)的值域，单调区间并判断奇偶性.(不要求写理由，只写结果)

【答案】Q)/(x)=x+：+1,定义域为{RxH0};

(2)详见解析.

【分析】(1)利用配凑法求/(%)的解析式，根据解析式求定义域；

(2)由定义法求函数单调区间，得函数值域；由定义法判断函数奇偶性.

【详解】(1)因为f(%—1)=X+-7-7=X—1+-^―+1,

X-1X-1

所以f。)=x+^+1.

函数f(x)有意义，则%*0,

所以/(%)的定义域为{x|x*0}.

因为/■(%)=，任取

(2)x+-+10<<%2r

所以/(“】)—〃M)=必+：+1-(乃+《+1)=,

•*1\42，xlx2

由0<%1V%2，可得%1-X2<0,XjX2>0,

xx

当0<Xi<X2<1时，-1<o；当1<X1V%2时，l2-1>0/

所以当0</VX2Vl时，/。1)一/(%2)>0，f(不)>f(必)，

当1v多<工2时/fM-f(小)<oJG>)v/(不),

所以/(无)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,f⑴=3；

同理，/(%)在(-8,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减,/(-I)=-1；

所以/(%)值域为(-8,-1]U[3,+CO);

v/(x)-f(-x)=x+^+1-(-x+^+1)=2X4-|^0,即f(x)*f(-x),

fW+/(-x)=x+3+l+(T+/+l)=2HO,即/(X)丰-/(-x),

所以f。)为非奇非偶函数；

所以函数/■(%)的值域为U[3,+8)；单调增区间为(一8,-1),(1,+8)，单调减区间为(一1,0),(0,1)；

/(%)为非奇非偶函数.

【变式6-1]1.(2022秋•江苏连云港•高一统考期中)已知/Q)=x|x-2m\+x,meR.

(1)判断f(%)的奇偶性并说明理由；

(2)当％e[0,1]时，/•(%)的最大值为2,求m的值.

【答案】Q)当m=0时，/'(%)是奇函数；当加工0时，"X)既不是奇函数，也不是偶函数，理由见解析

(2)m=0或m=1.

【分析】(1)分加=0与mH0两种情况分别判断即可；

(2)去绝对值将函数改为分段函数，再分情况讨论二次函数对称轴与区间的位置关系求解即可.

【详解】(1)函数/(切的定义域为R,

当m=0时，f(x)=x\x\+X,因为f(r)=-x\-x\-x=-x\x\-X=-/(%),

所以/(%)是奇因数.

当?n*0时,f(-l)=-|1+2m\-1,f(l)=|1-2m\+1,

可知/(一1)0/(I),/(-I)*-/(I),所以/(%)既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)由题意得/(%)=广2工:21)］>2m,

+(1+2m)x,x<2m,

当m-即一1Wm4时,

/G)在R上是增函数，

当27n<m,即zn<-g时，

f(x)在(m-+8)上是增函数;

因为根一：vo,所以f(x)在［0,1］上是增函数;

当2m>m,即m>:时，

八%)在(一co,m+｝上是增函数；

因为m+1>1,所以f(x)在［0,1］上是增函数；

故当为G［0,1］时JQ)的最大值为/⑴=|l-27n|+l=2,

解得7M=0或1.

【变式6-1］2.(2022秋•上海浦东新•高一校考期中)已知函数/*(幻=x+&，其中Q,bER.

(1)讨论函数f(%)=x+&的奇偶性，并说明理由；

(2)若a<^,b=0,判断函数y=/(%)在［1,+8)上的单调性，并证明.

【答案】Q)见解析

(2)单调递增，证明见解析

【分析】(1)由奇偶性的定义求解，

(2)由单调性的定义证明，

【详解】(1)以幻的定义域为&戊Hb］,

当£工。时，f(%)为非奇非偶函数，

当匕=0B寸,/(x)=%+/J(r)=-无+委，

令/(r)=~fW，解得a=0，令f(r)=f(%)，得a无解，

综上，当Q=b=0时，/(%)为奇函数，

当a工0或匕=0时，/(均为非奇非偶函数，

(2)/(x)=%+£,设《,426[1，+8)/且XI<x2,

则/(%2)-f(%l)=%2+考一(%1+3)=(%2-%1)(1-"*?)).

由^5^=772+<2,a<孑导1->°，而2%—>°，

故/(4)一/■&])>0,y=f(x)在[1,+8)上单调递增

【变式6-1]3.(2022秋・浙江•高一舟山中学校联考期中)设函数“X)=芹a€R.

4X,一1

⑴讨论函数f(x)的奇偶性(写出结论,不需要证明)；

(2)是否存在实数a,使得关于%的方程/(*)=1有唯一解？若存在，求出实数a的取值范围：若不存在,

请说明理由.

【答案】(l)a=0时,/(%)为奇函数；a。0时，/(%)为非奇非偶函数

(2)存在，卜1,W)U(/2)U{-畜

【分析】(1)讨论a的取值，根据奇函数的定义即可判断函数的奇偶性；

2

(2)利用换元法，设”六，将关于x的方程f(含)=1有唯一解转化为9(。=4t-t-l/y=a的图象

在t6(0,0uQ,1)上只有一个交点，数形结合，可得答案案.

【详解】(1)a=0时，/'(%)=蜡7?满足f(-x)=-f(%),/()为奇函数；

-x+a

aH0时，f(r)=^776-/(x)J(-x)=丰fw，/(%)为非奇非偶函数.

4X2-1

(2)假设存在实数a,使得关于烟方程/(*)=1有唯一解，即药+a

4•岛)2-1

不妨设t=去，由题意可得，*€(°,)u&1),

整理可得：Q=4/一C-1在t£(0,1)UG，1)上有一个根，

设g(t)=4严一£一1,作出其在「G(o,1)UG，1)内的图象，

如下图所示，若X的方程/(六)=1有唯一解，则g(t)=4t2-t-l,y=a的图象在tG(o,1)U&1)上只

有一个交点，

则a的取值范围是卜1,-3U(-Q)U{一部

故存在aE卜1，一》U(后,2)U{-高，使得关于x的方程f(舟)=1有唯一解.

【变式6-1]4.(2022秋•广东东莞•高一校联考期中)已知函数/(%)=慧.

(1)判断函数/(%)是否具有奇偶性？并说明理由；

(2)试用函数单调性的定义证明：/(%)在(-1,+8)上是增函数；

(3)求函数在区间[1,4]上的值域.

【答案】Q)函数f(%)不具有奇偶性；理由见解析；

(2)证明见解析；

⑶[.

【分析】(1)通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；

(2)任取xl,x26(-1,+8)，且xl<x2,通过计算f(xl)-f(x2)的正负来判断单调性；

(3)通过因数/(外在区间［1,4］上的单调性求得最值即可.

【详解】(1)由已知3+1*0,故x*-1

函数/(%)定义域为(-8,-1)U(-l,+oo),

因为定义域不关于原点对称，

所以函数f(%)不具有奇偶性；

(2)证明：/(X)=—=2(x+1)-5=2--,

八/x+lX+lX+1

任取xl,x2e(-1,+8),且xl<x2

f(xl)-f(x2)=(2-^_)-(2-^)

__J___5=5a1+1)-5(必+1)

-X2+lXi+11(Xi+l)(X2+l)

=5&T2)

"

(*I+1)(X2+1)，

又由-1<xl<x2,KOX1-X2<0,xl+l>0,x2+l>0,

故f(xl)・f(x2)<0,BPf(xl)<f(x2),

所以f(x)在(・1,+8)是增函数；

(3)由(2)知,f(x)在［1,4］上单调递增,

所以f(x)min=Rl)=-1f(x)max=f(4)=1,

故f(x)在［1,4］上的值域是"，1］.

【变式6-1］5.(2023秋•北京•高一校考期中)已知f(x)=

(1)判断函数f(行的奇偶性，并说明理由；

⑵求证：函数/(外在区间(1+应,+8)上单调递增.

【答案】(1)/(%)是非奇非偶函数，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数f(%)的定义域，即可得出结论；

(2)利用函数单调性的定义证明即可.

【详解】(1)解：由X-100,可得函数八切的定义域为(一8,1)U(l,+8).

因为(-8,1)U(1,+8)不关于原点对称,

所以函数f(X)不具有奇偶性，即f(%)是非奇非偶函数.

（2）证明：Vxlx工26（1+或,+8）,且与<x2,

由/⑴==1=/-1+2

=x+l

X-1x-1

可得f（右）-f（*）=[I+1+看）一12+1+云）=（X!-X2）[1-鼠T）

（…*2）[（必-1）（*2-1）-2]

（3-1）（小一1）

因为丫2>Xj>1+V2,所以丫2—1>—1>A/2,且丫1—x2<0,

（X1-0）【（必一1）02-1）-210

所以/■（无1）一/（x2）=

（*1-1）（七一1）

即八/)>f(&)，亦即函数/(幻在区间(1，+8)上单调递增.

题型7抽象不等式忽略函数的定义域

【例题7](2023秋•宁夏银川・高一宁夏育才中学校考期中)蹴/■(*)的定义域为[-3,4],且在定义域内是

增函数，若f(2m-1)-/(I-m।>0,则m的取值范围是

【答案】

【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式.

【详解】由/'(2m-1)-/(I-m\>。得f(2m-1)>/(I-m),

因为函数f(x)的定义域为[-3,4],且在定义域内是增函数，

2m—1>1—m

所以—3<2m—1<4,解得|<m,

—3<1—m<4

所以m的取值范围是f<m<l，

J乙

故答案为：:〈mW：.

【变式7-1］1.(2021秋•云南昆明・高一昆明八中校考期中)已知函数f(x)是定义域为［-2,2］的偶因数，

且函数/(、)在区间［-2,0］上单调递增，若/(1一7九)一vo,则实数m的取值范围是()

A.&+8)B.(-8,£)C.［-1,0D.(-1,0

【答案】C

【分析】根据奇偶性和单调性可知/(幻在［0,2］上单调递减；根据函数值的大小关系可得不等式|1-刈>|m|,

又目变量需符合定义域要求，可得不等式组，解不等式组求得结果.

【详解】••"(%)是定义在［-2,2］上的偶函数且在［-2,0］上单调递增

・・•/•(%)在［0,2］上单调递减,

由/(1-m)-/(m)<0,

|1-m|>|?n|

则/(I-2m)Vf(m)得：一241一m工2

—2<m<2

解得：-1WmVg

古嫡：C

【变式7-1】2.(2023秋•宁夏银JI卜高一银川二中校考期中)已知函数y=/(%),xe［-2,2］,对任意的飞

x2£［-2,2］且与H4，总有蛆止3>0,若汽m+1)>f(2m),则实数m的取值范围是

X1-X2

【答案】［一1,1)

【分析】分析可知,函数/G)是定义在［-2,2］上的增函数，根据/(m+1)>f(2m)可得出关于实数m的不等

式组,由此可解得实数m的取值范围.

【详解】对对任意的与、小e［-2,2］且修牛x2,总有驾山>0,

不妨设X1>%2，则/(%1)—不工2)>0，即f(%1)>不力2)，

所以,函数/(%)是定义在［-2,2］上的增函数，

(-2<2m<2

因为/(m+1)>/(2m),则一2<m+l<2,解得-1<m<1.

(2/71<771+1

因此，实数m的取值范围是

故答案为：［-1,1).

【变式7-1］3.(2022秋•黑龙江佳木斯・高一佳木斯市第二中学校考期中)已知定义域为［-2,2］的函数/(%)

在［-2,0］上单调递增，且/(外+八一x)=0,若/(一1)=-1,则不等式/"(2%-1)<:的解集为.

【答案】

【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数fG)在［-2,2］上单调递增,再利用单调性的定义求解.

【详解】解：因为定义域为［-2,2］的函数/(%)在［-2,0］上单调递熠，且/(%)+/(-x)=0,

所以函数f(x)在［-2,2］上为奇函数，且在［-2,2］上单调递增，

又“-1)二一1所以

又不等式f(2X-1)<持价于/(2x-1)4/(I),

所以一2<2x—1<1,解得一<x<1z

所以不等式f(2x-1)<:的解集为卜：，1］.

故答案为：［—pl］

【变式7-1］4.(2022秋♦江苏南京♦高一南京师大附中校考期中)已知函数f(x)是定义域为区间,

且图象关于点(1,1)中心对称.当1<%<3时JQ)=%+1-1则满足f(无-1)+/(X)<2的x的取值范

围是()

A.［-1,1］B.g,+oo］C.［0,1］D.［1,3

【答案】C

【分析】根据给定的条件，可得f(2-％)+/(©=2,再与已知联立结合函数单调性及定义域解不等式作答.

【详解】因函数/(乃的图象关于点(1,1)中心对称，则有f(2-幻+/(%)=2,而f(%一1)+f(x)<2,

于是得-1)+f(x)<f(2-x)+f(x),即/(%-1)</(2-x),

又当1<x43时，f(x)=x+l-^,有"%)在(1,3］上单调避增，则在［一1,1)上单调避增，

而/(l)=1/因此函数f(x)在上单调递增，于是得一1<x—1<2—x<3,解得0<x<|,

所以满足fa-1)+f(x)W2的X的取值范围是［03

故选：C

【变式7-1】5(2021秋•四川自贡高一校联考期中猎奇函数/Xx)在定义域上是减函数若-1<%<0

时,/(x)=r2-2x,

(1)求f(%)的解析式；

(2)求满足"1一m)+/(I-m2)<o的实数m的取值范围

［答案］Q)fQ)=『£一；；'；：；

VX—ZX,USX<i

(2)0<n?<1

【分析】(1)根据奇函数的性质直接求解；

(2)根据奇函数的性质及单调雌立不等式组即可求解.

【详解】(1)因为/(%)是定义域上的奇函数,

所以对于任意X€(-1,1),则/(T)=-/(X),且/'(0)=0.

iSO<%<1,则一1<rV0,

由已知得/(%)=-/(-X)=一[一(一%)2-2(-x)]=x2-2x,

而/(0)=0满足上式,

r-r-piz-z、f-%2-2x,-l<x<0

所以/(')=[X2_2X,O<X<1-

(2)由于/(均在定义域上是减函数，且为奇函数,

所以/(I-m)+/(I-m2)<0,SP/(1-m)<-/(I-