人教A版高一数学暑假预习：幂函数的图像和性质（讲）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

3.4募函数的图像和性质

【题型解读】

【知识储备】

一.易函数

(I)一般地形如y=f(a为常数)的函数叫做幕函数.

［知识点拨］累函数与指数函数的区别与联系

函数表达式相同点不同点

指数函数y=a'(a>0,且aWl)指数是自变量，底数是常数

右边都是暴的形式

幕函数y=P(a£R)底数是自变量，指数是常数

(2)对于累函数，我们只讨论。=123,-1时的情形.

(3)图象：在同一坐标系中，鼎函数y=x,)，=『，)，=2,j=x2,)，=入门的图象如图.

［知识点拨］赛函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x=l的右侧，图象从上到下，相应

的指数由大变小，即指数大的在上边.

(4)五种常见塞函数的性质，列表如下:

定义域值域奇偶性单调性公共点

y=xRR奇在R上是增函数

在(一8,())上是减函都过

R[0,+8)偶数；在［0,+8)上是(1,1)点

增函数

），=丁RR奇在R上是增函数

2非奇在［0,+8）上是增函

y=x1[0,+8)[0,+8)

非偶数

(一8,0)U(一8,0)U在（一°°»0）和（0,+

y=x-1奇

(0,+8)(0,+8)8）上均是减函数

【题型精讲】

【题型一寨函数的概念】

方法技巧寐函数的概念

判断一个函数是否为寐函数的依据是该函数是否为y=U（a为常数）的形式，即函数的解析式为一个寐的形

式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.

例I（2022•河北・武安市第一中学高一期末）下列函数是幕函数的是（）

A.y=2x2B.y=-x-1

C.y=4D.y=2x

x

例2（2022•广东中山市月考）已知函数/（月=（〃2-〃-1）/一向（〃eZ）为幕函数，则/（2）=__.

【题型精练】

1.（2022・山东•济南一中期中）若昂函数/（x）经过点（6,36）,且〃。）=8,则。=（）

A.2B.3C.128D.512

2.（2022•安徽宣城市•高一期末）7=2”是"函数/（x）=（如一3）-1卜々（。为常数）为痔函数”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【题型二累函数的图像】

例3（2022・山东济宁•高•一期中）已知幕函数y=x"在第一象限内的图象如图所示.若

〃气2,-2,3，-弓，则与曲线G，c2,G，G对应的〃的值依次为（）

例4（2022•湖北十堰高一期末）（多选）如果某函数），=（〃/-3〃]+3）/-m”的图象不过原点，则实数〃?

的取值为（）

A.0B.2C.1D.无解

【题型精练】

（1、

1.（2022・四川凉山•高一期末）已知幕函数），=/（"的图象经过点P4,-，则y=/（x）的大致图象是

（）

2.（2022•河北石家庄期中）若aeR,函数/（x）=（x—+3的图象恒过定点尸，则点P的坐标为

【题型三募函数的三要素】

例5（2022•绥德中学高一期末）已知哥函数），=x”的图象经过点（27,；1则此事函数的解析式为

例6（2022•山西•怀仁市第一中学校月考）（1）函数）,=#的定义域是,值域是

（2）函数ft的定义域是—，值域是；

（3）函数j的定义域是,值域是；

（4）函数的定义域是，值域是

）一彳

【题型精练】

1.（2022•北京大兴•高一期末）（多选）已知ae{-1,1,2,3},贝］使函数），=/的值域为R,且为奇函数的

〃的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

2.（2022・河南开封•高一期末）讨论下列函数的定义域、值域.

,ia2

（1）y=X；（2）y二户；（3）y=X'；（4）y=X3.

【题型四塞函数的性质】

例7（1）（2021•广西高一期末）基函数〃力=£•的图象过点（9,3）,那么函数/⑶的单调递增区间是

()

A.(-2,+x)B.[—l,+oo)-C.[0,+oo)D.2)

(2)(2021•安徽高一开学考试)已知累函数/("=(1-3/〃+3)廿是偶函数，则〃2)=.

(3)(2021•安徽省安庆九一六学校高一开学考试)已知基函数=(〃-1)/的图象过点(2,8)•,且

/(b-2)</(1-2Z?),则b的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2)-C.(5)【).(l,+oo)

【题型精练】

1.(2022・陕西•咸阳市高新一中高一期中)下列函数既是基函数又是偶函数的是()•

A./(x)=3x2B.f(x)=y/x

C./(幻=4D.f(x)=x~3

X

2.(2022•安徽宣城・高一•期中)已知寻函数/(幻=1〃2-3〃7+3卜”儿小在(0,+8)上单调递增，则m值为

3.(2021•江苏•高一专题练习)下列比较大小中正确的是().

A.g产严

B.(-1)-,<(-1)_,

33

C.(一2.1户<(一2.2尸

D.(§<(g

4.(2022•广东高一期末)已知塞函数/。)=/用过点(3,27),若/(公+3)+/(9-8攵)<0,则实数人的

取值范围是__________.

【题型五幕函数的综合运用】

例8(2022•陵川县高级实验中学校月考)若暴函数/。)=(2>+/〃-2)一向在其定义域上是增函数

(1)求/⑴的解析式；,

(2)f(,2-a)<f(a2-4),求。的取值范围.

【题型精练】

1.（2022.广东.金山中学高一期中）已知累函数/（"=”八丁6（小€2）在区间（0,y）上是减函数.

⑴求函数的解析式；

⑵讨论函数/（"的奇偶性和单调性；

⑶求函数/（X）的值域.

2.（2022・全国•高一课时练习）已知暴函数），=/。）=/21.（〃[£2）在（0,+8）是严格减函数，且为偶

函数.

（1）求丁=/（%）的解析式；,

（2）讨论函数尸叭幻+（。-2）户/（工）的奇偶性,并说明理由.•

3.（2022•湖南高一月考）已知事函数/（力=（加-2机+2）户口[（Awz）是偶函数，且在（0,+“）上单

调递增.

（1）求函数“X）的解析式；4

（2）若〃2..1）＜/（2-力〜求X的取值范围;

32

⑶若实数明”3-）满足2〃+3f加求西+a的最小值.

3.4幕函数的图像和性质

【题型解读】

【知识储备】

一.基函数

⑴一般地形如y=K(a为常数)的函数叫做累函数.

I知识点拨I黑函数与指数函数的区别与联系

函数表达式相同点不同点

指数函数y=a\a>0,且aWl)指数是自变量，底数是常数

右边都是辕的形式

辕函数y=K(a£R)底数是自变量，指数是常数

(2)对于寻函数，我们只讨论。=123,-1时的情形.

2

(3)图象：在同一坐标系中，鼎函数)，=x,y=f,y=x2,的图象如图.

I知识点拨I森函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线X=1的右侧，图象

从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边.

(4)五种常见冢函数的性质，列表如下:

定义域值域奇偶性单调性公共点

RR奇在R上是增函数

都过

在(-8,0)上是减函

产fR[0,+8)偶(1,1)点

数：在［0,+8)上是

增函数

RR奇在R上是增函数

非奇在[0,+8）上是增函

了=巨[0,+°°)[0,+8)

非偶数

(一8,())u（一8,（））u在（一8,0）和（0,十

y=x-1奇

(0,+8)（0,+8）8）上均是减函数

【题型精讲】

【题型一幕函数的概念】

方法技巧黑函数的概念

判断一个函数是否为旌函数的依据是该函数是否为），=d（a为常数）的形式，印函数的解析式

为一个禄的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.

例1（2022・河北・武安市第一中学高一期末）下列函数是基函数的是（）

A.y=2x2B.y=-x~'

C.y=4D.y=2x

x

【答案】C

【解析】形如），=严（。为常数且owR）为呆函数，

所以，函数丁=9=/3为黑函数，函数）,=2/、y=--、y=2”均不是幕函数.

故选：C.

例2（2022•广东中山市月考）已知函数丁为帚函数，则

"2）=—.

【答案】8

【解析】由于函数/（x）=W-〃一（"Z）为哥函数，则/_〃_]=],即

“2一〃-2=0,

・.・〃wZ,解得〃=-1或2,所以，/（x）=E

因此，"2）=23=8」

故答案为：8.-

【题型精练】

1.（2022・山东・济南一中期中）若'标函数/（“经过点（道,36）,且/（。）=8,则。=

（）

A.2B.3C.128D.512

【答案】A-

【解析】设/(x)=x-因为塞函数/(.r)经过点(6,36),所以/(")=(6尸=36，

解得a=3,所以/(〃)="=8,解得。=2,故选：A

2.(2022•安徽宣城市•高一期末)*=2"是"函数/(可=(如2-3〃一1卜“(。为常

数)为基函数〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】•・•当函数/(x)=(2〃2—3〃—1卜“为恭函数时，2^2-3/2-1=1,解得8=2或

2，

•••7=2"是"函数/(支)=(%2—3/?-1卜“为累函数〃的充分不必要条件.故选：A.

【题型二幕函数的图像】

例3(2022・山东济宁•高一期中)已知暴函数y=x"在第一象限内的图象如图所示.若

〃£«2,-2,5，-5»则与曲线G，。2，。3，。4对应的〃的值依次为()

B.2,—,—2,

22

cl]r1

C.2,—,——,—2D.-2-2

222'2'

【答案】c

【解析1由塞函数的图象与性质，在第一象限内，在人=1的右侧部分的图象，图象由下至

上，呆指数依次增大，曲线G，G,G，O’对应的〃的值依次为：2,1,-1-2

故选：C.

例4(2022・湖北十堰高一期末)(多选)如果耗函数)，=(川-3〃7+3)入川-"-2的图象不过

原点，则实数〃?的取值为()

A.0B.2C.1D.无解

【答案】BC

【解析】由已知可得”一痴；3：1,解得〃?=1或2.

nr-m-2<0

故选：BC.

【题型精练】

1.（2022・四川凉山•高一期末）已知幕函数的图象经过点则），=/（工）的

【解析】设豪函数为/*）=/,

因为寻函数），=/（力的图象经过点「卜；），

所以4。=g,即22a=2，

解得a=—1，

所以“r）=/，

则函数的定义域为（O，+R）,所以排除CD,

因为一;<0,所以〃工）=/在（0,内）上为减函数，

所以排除B，

故选：A

2.（2022•河北石家庄期中）若awR,函数/（x）=（戈-1）。+3的图象恒过定点尸，则点

尸的坐标为.

【答案】（2,4）

【解析】因为〃力=丁过定点（草），将图象向公平•移一个单位，向上平移3个单位得：

/（力=（1-1）“+3,

所以/（力=（不-11+3过定点（2,4）.故答案为：（2,4）.

【题型三募函数的三要素】

例5（2022•绥德中学高一期末）已知幕函数y=x"的图象经过点（27,；）,则此事函数

的解析式为.

【答案】v_x4

y-x

【解析】因为塞函数y=x”的图象经过点（27,；）,所以27"二；,解得〃=-g,所以

y=x3

故答案为：y=x4

例6（2022•山西•怀仁市第一中学校月考）（1）函数）=j的定义域是,值域是

_____;

（2）函数ft的定义域是—，值域是：

<3）函数的定义域是,值域是;

（4）函数\,_工3的定义域是，值域是

【答案】R[0,+8）{X|XN0}（0,+8）[0,+8）[0,+oo）（O,4-X>）

（0,+co）

【解析】（1）v_j的定义域是R，值域是[0,+8）；

41

（2））'=x=F•的定义域是{xlxwO},值域是（0,48）：

X5

（3）j的定义域是。”），值域是[°，+8）：

J一八

_51

（4））'=X'==的定义域是（O,+R）,值域是（0,+8）；

故答案为：R；［0,+8）；{x|xwO}；（0,+oo）；［0,+oo）；［0,+oo）,（0,+co）；

（0,4-oc）.

【题型精练】

1.（2022•北京大兴•高一期末）（多选）己知aw卜1』,2,3},则使函数y=丁•的值域为

R,且为奇函数的。的值为（）

A.-1B.1C.2D.3-

【答案】BD

【解析】当。=-1时，y=x-'=p为奇函数，但值域为卜»工0},不满足条件；

当a=l时，），=不为奇函数，值域为R,满足条件；

当a=2・时，/为偶函数，值域为卜”之。},不满足条件；

当。=3时，y=V为奇函数，值域为R,满足条件.

故选BD.•

2.（2022・河南开封•高一期末）讨论下列函数的定义域、值域.

（1）y=x4i（2））,=大；；（3）y=x~3；（4）

【答案】（1）定义域为R，值域为【。,+8）；（2）定义域为［0,+8）,值域为［0,48）;：3）

定义域为（—8,0）J（0，+8），值域为（-8,0）U（0,+8）；（4）定义域为R,值域为［0,48）.

【解析】（1）函数的定义域为R,值域为［0,+。。）.

（2）因为）,=%：=近，所以函数的定义域为［0,+8）,值域为［0,+8）.

（3）因为丁二犷3=」,所以工工0,且＞#（）,所以函数的定义域为

（一8,。）50,内），值域为（F,0）11（0,内）.

（4）因为）,=%：=浮，所以函数的定义域为R,值域为［0,+8）.

【题型四幕函数的性质】

例7（1）（2021•广西高一期末）塞函数/*）二/的图象过点（9,3）,那么函数/（八）的单

调递增区间是（）

A.（-2,+co）B.|-l,4-co）-c.［0,+8）D.（-00,-2）

（2）（2021•安徽高一开学考试）已知哥函数/（"=（＞-3〃?+3）/是偶函数，则/（2）=

（3）（2021•安徽省安庆九一六学校高一开学考试）已知轻函数/（x）=（。-l）x”的图象过点

（2.81，则〃的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(5)D.(1*)

【答案】(1)C(2)4(3)C

【解析】(1)因为塞函数过点(9,3),所以〃9)=9°=3-，解得。=g,所以〃x)=4，

那么可知函数的增区间为©+oo).故选：C

(2)因为函数/(x)为辕函数，所以>-3〃?+3=1,解得〃,=1或〃?=2.

当〃7=1,时，/(x)=x,函数/(X)为奇函数，不合题意;

当〃?=2时，/(x)=x2,函数“X)为偶函数，所以f(2)=4.故答案为:4.

(3)因为系函数/。)=(。-l)x"•的图像过点(2,8),

,aI_।'“_2

所以，:、,所以<所以/(%)=/，

2=8=3

由广函数/(x)=d•在R上单调递增，

所以/S—2)v/(l-3)ob—2<l—2〃，解得：b<\.故b的取值范围是(ro,D.故选：C.

【题型精练】

1.(2022•陕西•咸阳市高新一中高一期中)下列函数既是鼎函数又是偶函数的是()■

A.f(x)=3x2-B.f(x)=6

C./(x)=4D.f(x)=x~3

X

【答案】c

【解析】幕函数的图象都经过点(1,1),排除A；\

/(幻=6与/*)=£3不是偶函数，排除B,D.故选:C

2.(2022.安徽宣城.高一期中)已知暴函数/3)=(加2-3〃7+3)/'"””在(0,+<)。)上单调

递增，则m值为.

【答案】2

nr-3m+3=1

【解析】由题意可知<?，解得〃2=2故答案为：2

m-m—\>0

3.(2021.江苏.高一专题练习)下列比较大小中正确的是().

A.(|)05<(|)0-5

B.(-1)-'<(-|)-,

33

C(-2.1)7<(-2.2)_7

1-I-

D.(-a3<e)3

23

【答案】C

【解析】A选项，)，=产在。+8)上是递增函数，。严<(守5,错，

B选项,y=小在(-8,0)上是递减函数,(-±)-'>(-£)-',错，

C选项，y=j在(』，0)上是递增函数，

21---5-33

(-2.1)7=(--)7,(-2.2)7=(--)7,(-2.1V<(-2.2p»对，

D选项，y=j在D+8)上是递增函数，

(-5=(¥'(不>(，，(-/>(¥’错,

故选：C.

4.(2022•广东高一期末)已知事函数/(公=产向过点(3,27),若

/(公+3)+/(9-弘)<0,则实数k的取值范围是.

【答案】(2,6).

【解析】■

,•啼函数/*)=/“过点(3,27),3一,

/."7=1,'

辕函数八处=炉.，显然/(幻是奇函数，且在R上单调递增.

若f(k2+3)+八9-8幻<0•,则不等式即f(k2+3)<八弘-9),

.•.公+3<82-9、:.2<k<6,

故答案为：(2,6).,

【题型五哥函数的综合运用】

例8(2022•陵川县高级实验中学校月考)若幕函数/。)=(2>+,〃-2)0^在其定义域上是

增函数.•

(1)求/(幻的解析式；•

(2)若/(2-/</(/-4),求。的取值范围.

【答案】(1)〃用=产；(2)同。>2或〃<一3}.

3

【解析】(1)因为f(x)=(2〃/+m-2)pT是呆函数，所以2/+〃L2=1,解得〃2-1或

/〃=1,

又/(x)是增函数，2〃?+1>0即〃?>一5，「.〃?=1,则=

(2)因为/(幻为增函数，所以由."2—〃)</(/—4)可得2-。</一4,解得。>2或

aV—3

。的取值范围是{《a>2或a<-3}.

【题型精练】

1.(2022,广东・金山中学高一期中)已知辕函数/(x)=”八吁6(〃yZ)在区间(0,+8)上是

减函数.

⑴求函数/(力的解析式；

⑵讨论函数/(力的奇偶性和单调性；

(3)求函数f(x)的值域.

【答案】(1)/(a=£3或f(x)=/或/("=/

(2)答案见解析

⑶答案见解析

【解析】(1)解：依题意—〃?一6<0,即(2"?+3)(〃z—2)<。，解得一］<〃?<2,因为

/〃eZ,所以〃?=一1或〃z=。或〃?=1,所以f(x)=X”或f(.r)=x-6或/(x)=x-5

(2)解：若〃x)=/定义域为(f,O)U(O,M),则/(x)=/为奇函数，且在(_双0)和

(0.+“)上单调递减；

若/(“二月6定义域为(y,0)U(0,y),则/(x)=x、为偶函数，且在(-8,0)上单调递

增，在(0,+8)上单调递减；

若/(力=/定义域为(y,0)U(0,y),则f(x)=尸为奇函数,且在(7,0)和(0,+8)上

单调递减；

(3)若/(x)=E,则/(x)为奇函数，当x>0时/(x)£(0,+8),所以xvO时

/(A)G(-CO,0),所以函数的俏域为(-e,0)U(0,T8)：

若一(力=/，则/")为偶函数，当x>0时/(x)e(0,+8),所以工<()时/(x)e(O,+⑹，

所以函数的值域为(0,+8)：

若/(x)=E，则/(x)为奇函数,当x>0时/(x)e(O,y),所以x<0时/(x)w(fo),

所以函数的值域为(-8,0)U(0,+oo)：

2.(2022・全国•高一课时练习)已知哥函数y=/*)=/—-£(〃蚱z)在(。,+8)是严格减

函数，且为偶函数.

(1)求y=/(x)的解析式;

(2)讨论函数产数(%)+(a-2)户/