分式的运算（数学竞赛题汇编）-八年级答案

专题03分式的运算

令全国各地竞赛真题试题汇编■

1.（24-25八年级上•甘肃）若［一:=贝上+?—2的值是（）

aba-bab

A.-B.--C.1D.-1

22

【答案】D

【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解答本题的关键.把1-:二白:变形

a0a-b

畿+2=i,然后代入2+?-2计算即可.

0aao

【详解】解：

aba-n

,b-a_1

•aba-b

._g_b)

aba-b

.(u-b)2

*ab=—1»

.a2-2ab+b2

=—1,

：.^-2+-=-1,

ba

・・.*=1,

ba

.*.-+7-2=1-2=-1,

ab

故选:D.

2.（24-25八年级下•江苏南京）若§+*+击。、8、C均为常数）的计算结果为君急方,则力+B+2C

的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式.

(2A=2

先将g+*+*化简计算得到比嗤詈寿产01则得到方程组4+8+C=1,即可求解48,C,

(34+28+C=0

再代入求值.

【详解】解:-+47+-77

xx+1x+2

(x+1)(%+2)A+x(x+2)8+x(x+1)C

=x(x+l)(x+2)

(x+1)(%+2)A+x(x+2)8+x(x+1)C

x(x+l)(x+2)

1/15

(x2+3x+2M+(%2+2x)B+(x2+x)C

=x(x+l)(x+2)

_(,4+B+C)X2+(3A+2B+C)X+24

x(x+l)(x+2)'

•・・d+W+£(/、B、。均为常数)的计算结果为,,

xx+1x+2x(x+l)(x+2)

(2A=2

AA+B+C=l，

(34+23+C=0

A=1

解律8=-3,

(C=3

：,A+8+2C=1+(-3)+2x3=4,

故选：D.

3.（24-25八年级•江苏无锡）己知人”是有理数,x是无理数’如果公舒翳舞是有理数,则？

等于.

【答案】-鬻

【分析】本题主要考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识等知识点，掌握有理数除以无理数若

等于有理数，则该有理数一定为。是解题的关键.

先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为川，得到关于〃，的方程，由切、a、6是有

理数，x是无理数，确定m的系数和结果均为0,求出m和a勺值即可.

O

2

【详解】解:3ax-6ar—2018x4-2x2018

4/,x2-8bx+2017x-2x2017

3ax(x—2)—2018(x—2)

4必(x-2)+2017(X-2)

(x-2)(3ax-2018)

(无一2)(4bx+2017)

x是无理数，

X—2H0,

原[77i式x=3”诉—2赤018，

赤是有理数,

设:则4bznx+2017m=3ax—2018,

4bx+2017

*a、方是有理数，x是无理数，

.0018+2017771=0解得2018a_4m__4x2018__8072

**13a—4mb=0'用牛宣"2017'b~3~~3x2017—6051

故答案为：-翳

b22

4.（23-24七年级上•湖南长沙）已知a,b,c,d,x,y,z,叩是互不相等的非零实数，K-c

i2y2+b2x2b2z2+c2y2

2/15

不妥=电巴则＜+与+4+与的值为

c‘w"+d"xyzwdycz，u,4

【答案】2

a2b2b2C2c2d2abed1日n-a2'y12b2x2b2z2c2y2fZiv2d2Z-xyzw.

【分^5】设・22222222工，即有：而+谖=而+k/+k而=z'

ay+bx~b^+c^y~^W+dZ~xyzw

化简:=H则有:「中好"瑞=匕哈

7二m，记=渝=〃

即+='=!，­2=-2=-^m+zt=J+%=k,k==mn,则问题即可得解.

xrz，my'w'nc，abed

【详解】结合a，b,c,d,x,y,z,w是互不相等的非零实数进行下述运彝，

设<42_____________________c_2_*_/2_____abed_1

^a2y2+b2x2~b^+c^y2~c2u-2+dV一xyzwk'

则有：a2y2+b2x2_b2z2+c2y2_c2w2+d2z2_xyzw_&

a2b2b2c202d2abed

HF1右a2y2b2/b2z2,c2/c2iv2,d2z2xyzw.

即有：即+即=而+即=@+m=砺="'

化简:px+A犷=嗡=匕

r2„2v2盯zw_,

则有：3―，泊

abed

峪=Qm,g==n,

即4=鸟=匕4=d21.Z2W2.

-»m+九=/+k=k,

力zm

则有：m2="fl2y2w2

n=*'m'

即有：女=喏=inn,

abed

rmi右a2,b2c2d2222(m+n)2k

则有：—+-2+^+—=-+-=-----=7=2Q，

xcyrzcwcmnmnk

故答案为：2.

5.(2023八年级上•四川眉山•竞赛)(1)若。2-3。+1=0,求3a3-8。2+。+品＞的值；

(2)若：10232-2046X23+232=k+9992-1,求々的值.

【答案】(1)2;(2)2000

【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，分式的加法运算，完全平方公式的应用：

(1)将。2-3Q+1=0变形得出Q3=3。2-Q,a2=3a-1,G2+1=3a,通过等量代换进行降次，可得

答案；

(2)等式左边利用完全平方公式变形为(1023—23)2=1+9992—1,即可求解.

【详解】(1)解：由a?-3Q+1=0(a芋0),可得标=3次一如a2=3a-1,a24-1=3a.

原式=3a(3a—1)—8(3a—1)+a+二

3a

1

=9a2?—3Q-24Q+8+QH—

1

=9(3a-l)-26a+8+-

3/15

1

=27Q—9—26Q+84—

a

1

=GH-----1

a

G2+1

=----------1

a

3a

=-----1

a

=2.

(2)解：V10232-2046x23+232=/c+9992-1,

A10232-2x1023x23+232=/c+9992—1,

，(1023-23)2=〃+9992-1,

即10002=1+9992—1,

・・・(999+=k+9992-1,

A9992+2x999x1+1=k+9992-1,

：.k-l=2X999+1,

：.k=2x999+2=2x(9994-1)=2000.

6.(2024九年级下•江苏无锡・竞赛)先化简，再求值：(第-1+力+乒誉］，其中"满足/一%一2=0.

【答案】x2+X,6

【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是

解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点.

先解一元二次方程，再根据分式的混合运算法则把原式化简，再代入计算即可.

【详解】解：•••/一%-2=0,

.••解得：%=2或%二一1,

/2x+1\x+2

\x+l)X2+2x+1

2x+1+x2-1(x+I)2

x4-1x+2

x(x+2)—+1)2

x+1x+2

=x(无+1)

=A2+X,

..•当时，分式无意义，故x=2,

当x=2时，X2+X=6.

7.(24-25八年级上•浙江温州)已知1+:+!=+，求证：

abca+b+c

(l)Q,b,C三个数中必有两数之和为零；

⑵对于仟意奇数九均叫+»为春=高寸

4/15

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键.

(I)先去分母转化为整式，然后分解因式为(。+8)(。+。)(8+弓=0解题即可；

(2)由(1)可得。+匕,。+。,6+。中必有一个为0,不妨设a+b=O,然后代入得到然后再

cn

根据；=之即可得到结论,

(a+b+c)”cn

【详解】(1)证明：2+1+1=$-，L+：=士一二

abca+b+caba+b+cc

.a+b_-(a+b)

ab(a+b+c)c

:.(a+b)(Q+b+c)c+(a+b)ab=0.

•••(a+b)(ac+be+c2+ab)=0,

(a+b)(a+c)(b+c)=0,

a4-b=0或a+c=0或匕+c=0,

・，a、b、c三个数中必有两数之和为0；

(2)证明：•••Q+b,Q+c,b+c中必有一个为0,

不妨设Q+b=0，则Q=-8.

几为奇数，

•3+那=0,

1,1an+bn

:.--h—=----

/bnanbn

cf+W一6,

(c+b+c)n中'

1,1.111

,-+—+—=-------=--------

a"bn0n(a+b+c)”

8.(24-25八年级下•广东)通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算,

还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连.已知2x+y-3=0,解决下列问题:

⑴求诉诉的值:

⑵若=1+寻求小B的值,

(l-2x)(4x+2)

⑶分式嗝的值为止数时，工应满足什么条件？

【答案】⑴]

(2)

'7

5/15

(3)l<x<1.

【分析】本题主要考查了分式的化简、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练

掌握并能根据题意列出关系式是关键.

(1)由已知得2x+y=3,再根据分式化简的步骤求解即可：

(2)由已知得、一1二一2无+2,由分式的性质得到普];1,据此求解即可；

(3)由题意得到或结合y=-2x+3,据此求解即可.

【详解】(1)解：・・・2x+y—3=0,

/.2x+y=3.

.]

4x2+4xy+y2

1

=(2x+y)2

i

(2)解：V2x+y-3=0,

.\2x+y=3,

/.>•—1=-2%+2,

.i-y

♦,(l-2x)(4x+2)

-i2-y-

(1-2x)(2%+1)

y-i

(2x-l)(2x+l)

_-x+l

一(2x-l)(2x+D，

ABA(2x+1)+B(2x-1)

------+------=---------------------

2x-12x+l(2x-l)(2x+l)

_2(A+8)x+G4-B)

一(2x-l)(2x+l)>

..1-y_』.B

•(t-2x)(4x+2)-2x-l十2x+l'

・f2(4+F)=-1

RA-B=I'

解得「3；

r-；

(3)解：•・•分式了的值为正数时，

2y

2y>0叫2y<0，

又,：y――2X十3,

6/15

・[1-(-2x+3)>0或fl-(-2x+3)<0

2(-2x+3)>0-“I2(-2%+3)<0'

解得1<x<|.

9.(2024九年级下•浙江宁波•竞赛)(1)己知。2-7。-1=0,求3a2-14。+/的值.

(2)已知？一：二一1,先化简再求值：学畀+。氏

hh^-ab+b6

【答案】(1)53；(2)9.

【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简.乘法公式包括完全平方公式和平方差

公式，完全平方公式是(a+匕尸=a?+2时+/,平方差公式是(a+b)(a-b)二层一匕2

(1)首先把次一7"一1=0整理，可得：。2-7。=1和。一十=7,把多项式3a2-14Q+/整理可得：原式

=2(a2-7a)4-(a-丁+2a吗,再整体代入进行求值即可：

(2)整理三一9=-1可得a+b=3,把竽解+ab整理可得：原式=(a+b)2,再整体代入求值即可.

bba-ab+b*'

【详解】(1)解：a2-7a-1=0,

移项得：a2-7a=1,

把a2-7a-1=0两边同时除以a可得：a—7—^=0,

a——=7,

・•♦3/T4a+/

=(2a2-14a)+^a2+

22

=2(a-7a)+(a-2ax^+l+2ax^)

21

=2(a2—7a)+(a+2。*而

=2x1+724-2

=53；

(2)解：U1,

uD

两边同时乘以力可得：。一3=-乩

整理得：a+b=3,

a44-c^b2+b4

~?-----；----7T~+Qb

az-ab+bz

牌Y)。冲

+ab

ab

――1+—]ab

、ba)

7/15

22

(/a庐+2+b]-\

r/ab\/ab\

T+-+1r+-1

=abx~~^+1

a,b

万+“

/ab\

=abXkb+a+2)

=a2+b2+2ah

=(a+b)2

=32

=9.

10.(23-24九年级下•上海・自主招生)正实数满足孙+yz+zx工1,且(丫…⑶-)+-J)+

xyyz

QJ)(Z2-1)=[,

xz

(1)求工+—+工•的值；

xyyzxz

(2)证明:9(x+y)(y+z)(x+z)>8xyz(xy+yz+zx).

【答案】⑴1

(2)见解析

【分析】本题考查了分式的加减法，单项式与多项式，多项式与多项式的乘法运算及提公因式，比较复杂,

正确计算是关键.

(1)先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz-(无+y+z)](xy+yz+zx-1)=0,从而得xyz=

x+y+z,将所求分式通分后代人可得结论；

(2)计算两边的差，把(1)中*yz=x+y+z代入并计算可得差之0,从而得结论.

【详解】(1)由等式①一】)wT)+y&一1)*(/2一1)①一』=4

xyyzzx

去分母得z(%2—l)(y2—1)+x(y2—l)(z2-1)+y(z2—l)(x2-1)=4xyz

x2y2z+xy2z2+x2yz2—[x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz]+(%+y+z)—xyz=0

xyz{xy+yz+zx)一(无+y+z)(xy+yz+zx)+(%+y+z)—xyz=0,

[xyz-{x+y+z)]{xy+yz+zx-1)=0,

8'15

\*xy+yz+zx工1,

xy+yz+zx—1w0,

xyz-(x+y+z)=0,

/.xyz=x+y+z,

・..原式=也t=1;

xyz

(2)由(1)得:％yz=%+y+z,

又为正实数，

:.9(无+y)(y+z)(z+x)-8xyz(xy+yz+zx)

=9(x+y)(y+z)(z+x)-8(x+y+z)(xy+yz+zx)

=x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)—6xyz

=x(y-z)24-y{z—x)2+z(x-y)2>0,

AS(x+y)(y4-z)(z4-x)>8xyz(xy+yz+zx).

2

11.(24-25八年级下•江西)已知不相等的两个正数a,b满足Q2-5a=-2,b-5b=-2,求下列各式的

【答案】（1）午

（2“5+2近

【分析】本题考查根与系数的关系，二次根式的混合运算，解题的关键是构造以a,b为解的一元二次方程：

（1）根据题意，得到Q,匕是炉-5%二一2的两个实数根，根据根与系数的关系，得到Q+b=5,ab=2,整

体代入法进行计算即可；

（2）根据Q?-5a=-2,b2-Sb=-2,得到Sa-a2=2,b2+2=5b,整体代入卜？厂;）+。e+了

7b，+2a-b.（口a一

+（论一甯），进行化简，得到器+J，再根据a,6为正数，且a+b=5,a匕=2,得到Jj+£=口+

Vb=J（V^+江）2=>/a+b+2Vab=J5+2鱼,即口J.

【详解】（1）解：•・•不相等的两个正数Q,b满足。2一5。=一2,b2-5b=-2,

・・・a,b是方程/-5%+2=0的两个实数根，

・二a+b=5,ab=2,

:.(a+b)2=a2+b2+2ab=a24-b2+4=52»

/.a24-b2=21,

/.(a—b)2=a2+bz-2ab=21-4=17,

9/15

：.\a-b\=V17,

.3a2_泌+3b2_3(a2+F)-ab_3x21-2_61VT7

•'―\a-b\—~|a-b|-B~17；

(2)Va2-5a=-2,b2-Sb=-2,

.*.5a-a2=2,b2+2=56,

.5(5a-a2)a-<fa+by/bT)

•Jb2+2+a-b

5x2ay/a+b4bby/2a—b\[a—aVb—bVb

+

5ba-b-abb

(/?—a)d2ab(—\[ab+Q+b)b

ab(a-b)byfa—a\[b—bVb

,・，a,b为正数,且a+b=5,ab=2,

班=j(四+®2

=yja+b+2\[ab=,5+2夜.

今全国联赛真题试题汇编「

1.（2。24八年级•全国・竞赛）若分式■的值为正数,则”的取值范围是（）

A.1<x<2或不<-2B.x<-2或x>2

C.-2<%<1或%>2D.-2<%<2

【答案】C

【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可.此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据

题意列出不等式组.

【详解】解：•・•分式三）的值为正数，

1罔一2

10/15

•[1^1—2>0—2<0

**lx-1>0x-1<01

解得：一2VXV1或%>2.

故选：C.

2.(2024八年级•全国•竞赛)在1〜2016这2016个整数中，使得注是最简分数的〃共有______个.

n+l

【答案】1008

【分析【本题考查了完全平方公式、分式的除法，熟练掌握完全平方公式是解题关键.先将曾转化为九-1+

n+l

二，从而可得要使出?是最简分数，则只需二二是最简分数，再判断出n是偶数，由此即可得.

n+ln+ln+l

【详解】解：—=(^1)2-2(^1)+2=n-1+—,

n+ln+ln+l

要使得电是最简分数，则只需々■是最简分数，

n+ln+l

所以八+1是奇数，即n是偶数，

因为在1〜2016这2016个整数中，共有等=1008个偶数，

所以使得可是最简分数的n共有1008个，

n+l

故答案为：1008.

3.(2024八年级•全国•竞赛)己知实数心y满足条件工一工二三，则代数式夫一机=______.

xyx+y2x2y

【答案】1

[分析】本题主要考查代数式求值,先将:卜高变形为2xy=(y-x)(y+%)，再把仝-点变形为出缪之

然后代入计算即可.

【详解】解：

xyx+y

•-2xy=(y-x)(y+x),

••上一二

2x2y

y2-x2

~2xy

(y-x)(y4-x)

2xy

_(y一无)(y+%)

~(y-%)(y+%)

=i»

故答案为：i.

4.(2024八年级•全国•竞赛)若z为正数，且％-1=3,则丁三二____________.

XA—

【答案】陪

【分析】先求：1q2+4=11.再求+最后整体代入二三二仁进求解即可.此题考查了分

Lxx^-x+1x-l+-

11/15

式的运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键.

【详解】解：•・“为正数，且

X

•二（％-：）=9,x+^>0»

即，+当=11,

X

2

，（％+：）=x24-+2=13,

A+-=V13,

X

.x_1_1_m+i

",

=7T?X=7TTT=_72

故答案为：誓

5.（2024八年级•全国•竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件.原计划每小时生产a个零件，实

际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前.

小时完成生产任务.

【答案】言今

a（a+10）

【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可.

【详解】解：根据题意：-=

aa+10a（a+10）

故答案沏

6.（2024八年级•全国•竞赛）已知实数戈、》满足条件：则代数式'+工的值为________.

xyx+yxy

【答案】±2V2

【分析】此题考查了分式的混合运算、完全平方公式、开平方等知识，先求出工-三=2,令？=3则t-1=2,

xyxt

求出产+"=6,则（亡+7=产+2+捻=8,开平方即可得到答案.

【详解】解：---=—

xyx+y

两边同乘以x+y得，

x+yx+y_2

xy'

・・・1+、1—=2,

xy

•y

『2,

令?二t,则亡一：二2,

1\2

-)+2=6,

.•・《+》2=£2+2+/=8,

所堤+>£+>±2&

12/15

故答案为：±2&.

7.(2024八年级•全国•竞赛)设〃、6、c是互不相等的实数，且Q+：=b+'=c+2，则abc=________.

bca

【答案】±8

【分析】本题考查分式的化简求值，由Q+[=Z)+士可得反=华9同理可得碇=等，Qb=%出，由

bca-bb-cc-a

此三式相乘即可解答.

【详解】解：•・・Q+：=b+±=C+士，

bca

•.444(b-c),444(c-a)444(a-6)

••a-b=---=\,b-c=-=——L,c-a=---=,,

cbbeacacbaab

•.4(b-c)4(c-a).4(a-b)

•.cc=----->ac=-.......,ab=-,

a-bb-cc-a

：.a2b2c2="H•%2效%包=64,

a-bb-cc-a

abc=±8.

故答案为：±8.

8.(2024八年级•全国・竞赛)己知VTT的小数部分为则生普+三一冬=

【答案】一誓/一看位

【分析】本题考查了分式的混合运算，无理数的估算，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给代数式

化简，再求出a的值，然后代入化简后的结果计算即可.

【详解】解：尝言+三一白

a+7a+12a+4a+3

(Q—3)2Q+4a

--------------------X--------------------

(a+3)(Q+4)Q—3Q+3

G—3a

a+3Q+3

=总

V3<VT1<4,

・・・VTT的整数部分3,

/.a=VTl—3.

故答案为：-警.

9.(2024八年级•全国・竞赛)(1)计算内xJ-4XJjx(2015-V2016)0；

(先化简，再求值：(孑・各，其中，满足百

2)\X2/:xy二+y―yx/xxyyvm