用公式法分解因式 课后练习-2026-2027学年人教版数学八年级上册

17.2用公式法分解因式(人教版)

1.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：〃-1,x-y,

2,/+1,x,〃+1分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河.现将

2./一1)一2y(/—1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是()

A.我爱河南B.爱河南C.我爱学D.河南数学

2.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是()

A.x2-4xB.x2-4x+4C.x2-4D.x2+4

3.取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理

是：如对于多项式f-此因式分解的结果是5-娟"田(/+门，当工=9,y=9

时，各个因式的值是x-)，=0,x+y=18,X2+/=I62,于是就可以把“018162”作为

六位数的密码，对千多项式叙3-孙，2,取尤=1(),y=1O时，用上述方法产牛的密码可

以是()

A.101030B.010I03C.100130D,301001

4.探求多项式V+2x-4的最小值时,我们可以这样处理：

解：JM^=X2+2X+1-1-4=(X+1)2-5.

•」无论x取什么数，都有卜+1)2的值为非负数，

/.(x+l)2的最小值为0,此时x=-1.

二.(/+1)~-5的最小值是0-5=-5.

即当工=-1时，原多项式有最小值-5.

根据上面的解题思路，多项式-3/_i2x+12的最值情况为()

A.有最小值22B.有最小值24C.有最大值22D.有最大值24

5.对于非零的两个实数“4规定。<8>〃=/一4那么将〃切6结果再进行分解因式，则

为()

A.a(a+2)(a—2)B.a(a+4)(a—4)C.(a+4)(〃—4)D.4(〃~+4)

6.如果a+h=3,昉=1,那么+2a之力2的值为()

A.OB.lC.4D.9

7.下列因式分解正确的一项是()

A.f+)2=(x+),『B.x2-4=(x+2)(x-2)

C.%2—2x—1=(x—1)D.2xy+4x=2(<xy+2尢)

8.下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（）

A.x2—6x—9B.4x2-4x+1C.4x2+2x+lD.4x2+1

9.下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（）

A.元2+2孙+4/B.-9x3-y2

cAx-y2D.x2-8^+16/

10.下列因式分解正确的是()

^.ctx+ay+a=a(x+y)+1B.3a+3〃=3(。+b)

C./+4a+4=(〃+4/D.a2+b=a(u+b)

11.因式分解：9m24-6/n+1=.

12.因式分解：f-9)，2=.

13.若多项式_（困，+/（〃〉0）可用完全平方公式进行因式分解则〃的值为

14.分解因式：（。+1尸-4〃=.

15.因式分解：7f_63=.

16.分解因式8~（工一3）+仇工-3）=.

17.【阅读材料】因式分解析：/+49+4）3-16

解析：・・・X2+4不，+4;/=（工+2»，，将x+2），看成整体，令x+2），=A7,则原式

=M2-16=（M+4）（M-4）,将M还原，则原式=（x+2），+4）（x+2y—4）.上述解题过

程用到的是“整体思想”，请用“整体思想''解决以下问题：

【数学理解】（1）因式分解析：（a-圳2-6（々-以）+9

【拓展探索】（2）证明：无论a,力取何值时，卜办2-4々）（4%2_44-2）+1的值一定是

非负数.

18.下面是某同学对多项式（f—4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程：

解析：设W-4x=y,

原式二(y+2)(y+6)+4(第一步)

=/+8y+16(第二步)

=()，+4)2(第三步)

=卜2一4%+4)2(第四步)

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(填序号).

A.提取公因式B.平方差公式

C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式

(2)该同学在第四步将)，用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结

果是否分解到最后？(填"是'或否')，如果否，直接写出最后的结果.

⑶请你模仿以上方法尝试对多项式2)+1进行因式分解.

19.把下列各式因式分解圻：

(1)2/-12〃2+18〃

(2)9/卜一),)+折(y-x).

20.分解因式.

(1)-2x3+8D—Sx;

(2)X2(3X-2)+(2-3X)

21.阅读下列解题的过程.

分解因式：d+64

解：jr4+64=jr4+16x2+64-16x2

=(x2+8)2-16x2

=(x2+8+4JC)(X2+8-4x)

以上解法中，在d+64的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个

式子的值保持与d+64的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列

因式分解：

(1)/+4；

(2)x4-34r/+81y4.

参考答案

1.答案：A

解析：・・•2x（6z2-l）-2y（6/2-1）=2（6z2-l）（x-y）,

又丁6f2—1=（4—1乂4+1）,

**•2x（4--1）-2y（a~-1）

=2（a-l）（a+l）（x-y）,

•・,对应密码字：2f我，（x-y）f爱，

（。+1）—河，（a-l）f南，

・・・密码信息为“我爱河南”，

故选：A.

2.答案：C

解析：A.X2-4X=X（X-4）,则此项不符合题意；

B.X2-4X+4=（X-2）2,则此项不符合题意；

C.?-4=（x4-2）（x-2）,则此项符合题意；

D.W+4不能分解因式，则此项不符合题意；

故选：C.

3.答案：A

解析：***4x3-xy2=x（4xJy2）=x（2x+y）（2x-y）,

・••当x=10,y=10时，2:v+y=3O,2x-y=lO

・•・产生的密码可以为：101030,103010,301010,

故选A.

4.答案：D

解析：一3工2-12_¥+12=—3（1+4.。+12=_3（_?+4%44）+12+12=-3（工+2）2+24,

因为无论x取什么数，都有（x+2『的值为非负数，

所以（x+21的最小值为0,此时％=—2,

所以-3（x+2『有最大值为0,

所以—3(x+2『+24的最大值是0+24=24.

所以当x=-2时,原多项式的最大值是24.

故选：D.

5.答案：B

解析：.a③b=a*—ab,

016-—16a—a(^a2-16)—4(4+4)(a—4).

故选B.

6.答案：D

解析：a+b=3,ab=i,

a%+2a2b2+ah3lab+b2)

=ab(^a+b)2

=lx32

=9.

故选D.

7.答案：B

解析：A、f+丁2工"+),『不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；

B、/一4=(、+2乂丫-2)符合因式分解的定义，且因式分解正确,故本选项符合题意：

C、必-2工-1工(戈-1)2,不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；

D、2刈+41=2%()，+2),原因式分解错误，故本选项不符合题意.

故选：B.

8.答案：B

解析：A.X2-6X-9,常数项为负数，不符合完全平方公式的特点，故不能用完全平

方公式进行分解因式；

B.4X2-4X+\=(2X)2-2-2x-1+12,符合完全平方公式的特点，故能用完全平方公式进

行分解因式；

C.4/+2X+1,有两数的平方和，一次项不等于这两个数乘积的2倍，故不能用完全

平方公式进行分解因式；

D.4/+1,只有两项，一个完全平方公式必须有三项，故不能用完全平方公式进行分

解因式；

故选：B.

9.答案：D

解析：A.』+2q，+4)，2,该式不是完全平方式，故选项A不符合题意；

B.-9X3-K，该式不是完全平方式，故选项B不符合题意；

C.4X-/,该式不是完全平方式，故选项C不符合题意；

D.x2-8^+16/=(x-4y)2,该式是完全平方式，故选项D符合题意；

故选：D.

10.答案：B

解析：A选项错误，正确的结果是or+ay+〃=a(x+y+1).

B选项，3々+3。=3(〃+匕)，正确.

C选项错误，正确的结果是〃2+4n+4=(0+2)2.D选项错误，"+〃不能进行因式分解.

故选B.

11.答案：(3m+1)2

解析：9/7?2++1=(3/7!)2+2X1X3/77+12=(3/??+1)2.

12.答案：(x+3y)(x—3y)

解析：

13.答案：4

解析：.多项式4/-〃町，+)，2可用完全平方公式进行因式分解，

,设其等于(2x±»=4x2±4xy+y2,

比较系数得一a=±4,即a=±4,

«.•a>0,

a=4.

故答案为：4.

14.答案：

解析：(〃+1)2—4。=+1+2。一4〃二—2〃+1=(〃-1)2.

15.答案：70+3)0—3)

解析：原式=7(/-9)=7(%+3)(工-3).

16.答案：b(x-3)(b+\)

解析：原式=/;(x——3)=b(x-3)(b+l).

故答案为/x-3)S+l)

17.答案：(l)(tz-2/?)2-6(6/-2Z?)+9=(f/-2Z?-3)2

⑵答案见解析

解析：(1)将(〃-%)看成整体，

・•・可设M=(〃-4),则(〃-如『-6(〃-圳+9="-6知+9,

所以河2-6知+9=(加一3)2,

将M还原，则原式=(〃-2〃-3『，

即(。一功)2—6(a—2〃)+9=(a—2人一3『；

⑵将年从-切看成整体，

；・可设N=(〃62-4〃)，

则一-4。一2)+1

二N(N-2)+l

=N2-2N+\

=(N—1)2

将N还原，得：

[crb2-4〃)(a/一船-2)+1=(a2b?一4a—1丫之0,

即无论mb取何值时，(U44kM2一4〃-2)+1的值一定是非负数.

18.答案：(1)C

⑵否；(4-2)4

(3)(x-l)4

解析：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的函数和的完全平方公式,

故选：C；

(2)否，最后结果求解如下：

原式=1_4x+4)-，

=[(x-2)2j,

=(x-2)\

故答案为：否，(x-2)4.

⑶设/-2x=y

原式二y(y+2)+i

=+2y+l

=(y+i『

=(x2-2x+1)

=(1)，