深圳市某中学2026届高三（下）二轮二阶测试数学试题

深圳中学2026届高三二轮二阶测试

数学试题

注意事项，

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题K上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小JB只有一个选项符合要求

1.已知集合力={x|log2x<l},8={xI3x—1>0},则1U8=

A.(-y,2]B.(y,+00)C.(0,+oo)D.R

2.命题xERt3”的否定是

A.VxeH.eVB.C.Vxd>3D.3xG/?,ex>3

3.若aVAV0,则下列不等式成立的是

b、a亭

A.a2<b2B.a-<abC.£>万D*>2

4.已知空间向量Z=(1,0,0),6=(0,1,0),则下列选项可以与落日构成空间向量的一组基底的是

A.3=(0,0,0)B.c=(0,0,l)C.c=(l,l,0)D.3=(1,2,0)

5.已知数列{a,}，{aJ均为等差数列，且的+8=4,%+人9=8,则a』+h7=

A.5B.6C.7D.8

6.在平面直角坐标系x0，中，如图所示,将一个半径为1的圆盘固定在平面匕圆盘的圆心与原点重合，圆

盘.上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点4(1,0)重合)系着一支铅笔，让细

线始终保持与圆相切的状态展开，切点为4,细绳的粗细忽略不计，当伊=2rad时，点M与点。之间的距

离为

数学试题第1页共4页

7已知函数/(x)=x3+ax2-\-bx+c,且0</⑴=/(2)=/(3)函3,则c的取值范围为

A.(-oo,-6)B.(-6,-3)C.(-6,-3]D.[-6,-3)

8.已知关于z的方程+++有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应

的点共圆，则。的取值可能是

A.-4B.-6C.-7D.-9

二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某校高三数学考试的预估均分与实际均分存在略微差异，为评选“最难人的代表”，有同学统L了历次考试

分差并得到一组数据：7.7,8J8.2,8.7,94,9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则

A.这组数据的极差变小B.这组数据的均值不变

C.这组数据的方差变小D.这组数据的第75百分位数不变

10.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的

距离为4,远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为出，并且近日点、远日点及太阳中心在同一

条直线上，则

轨道的离心率为等今

A.轨道的焦距为4+d2B.

当，越大时，轨道越扁

C.轨道的短轴长为2向不D.

11.己知角a,4满足tana・tan£=:an(a+6)，则

A.存在。在第一象限，0在第三象限B.存在a在第一象限，尸在第四象限

C.存在a在第二象限，成在第三象限D.存在a在第二象限，尸在第四象限

三、填空本j■共3小题,每小题5分，共15分

12设随机变量J服从正态分布N(2,1),若1)=P4Va)，则a=

13.若四面体ABCD中，=CD=百，〃C=D4=加，力C=,则四面体ABCD的体积是

14.已知直线y=-x+«，e&)与曲线/(x)=W+x+1,g(x)=lnx分别交于力，8两点，则|48/=.

四、解答川本JR共5小J■，共77分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步充

15.如图，在△川9c中,。是边8c上一点,AB=AD,记NCAD=a,/.ABC=4a/G(0,要)，满足sina+

cos2/?=0.

(1)求/加C的值：

(2)若XC=6OC,求力的值.

数学试题第2页共4页

16数列｛«,｝满足对任意的正整数〃，函数/(x)=千+1nx—(%+2)x均存在两个极值点X,,VA

(1)证明/+匕＞2;

(2)若=(〃+1)〃”,求｛%｝的前〃项和Sn.

17.如图，四棱锥P-48c。中,以=尸。=力。=。。=2,48=1,48〃CQ且48_1,力。.

(1)若平面PAD±平面川?。。,证明:平面PBC±平面PCD：

(2)若BC_L求平面尸8c与平面PCD的夹角的余弦值.

数学试题第3页共4页

18设。为实数，口是以点(0,0)为顶点，以点F(0,/)为焦点的抛物线，心是以点力(0,。)为恻心、半径为

1的圆位于y轴右侧且在直线y=。下方的部分.

(1)求口与心的方程；

(2)若直线》=x+2被&所截得的线段的中点在门上，求。的值；

(3)是否存在a,满足:A在储的上方，且「2有两条不同的切线被「所解得的线段长相等？若存在，求出。

的取值范围;若不存在,请说明理由.

19.数学中的等效性与对称性不仅体现在几何和函数中，还体现在概率问题中.已知一个不透明的解子中有

编号分别为1,2,3,…，2〃的2〃个小球(〃>2),除编号外，小球的大小、质地完全相同.现从中一次性随

机摸出左个小球.

(1)若〃=4,A=3,求这〃个小球编号两两不相邻的概率：

(2)记X,y分别为摸出的这4个小球的最大、最小编号，求以X+Y)；

(3)若a=〃，记△表示摸出小球的最大最小编号之差，A表示未摸出小球的最大最小编号之差，记26)

=P(A=A),证明8⑷>得(一吉).

参考公式:已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量乙八有£(j±〃)=£4)±£(〃)..

数学试题第4页共4页

参考答案

I.C

【解析】由已知A={x|log2x<1}={xI0VxV2},8={x|3x—1>0}={xx>-y}，所以4

>()}.

2.C

【解析】命题“二丫€心^&3”为存在量词命题,该命题的否定为“VxWR,e'>3”.

3.D

【解析】因为aVbVO,所以一。>—b>0,所以(-4)2>(一份2,即标>〃，故力错误；

因为aVbV0,所以H>而，故5错误;

由/知〃>人两边同乘以正数左，则常.，故。错误；

因为aVbVO,所以菅+菅>2)£,车=2(ar6,等号不成立)，故£+号>2

,。正确.

4.B

【解析】对于月，由于基底向量不能是零向星，故月错误，

对于4,由于才=(0,0,1)与人日不共面，符合基底要求，故4正确，

对于C,1=(1,1,0)=)+日,故方，日,一共面,不符合要求，C错误，

对于。工=(1,2,0)=方+2唬故心唬^共面,不符合要求，D错误.

5.B

【解析】因为的+仇=4,%+自=8,所以的+1+&++=12,即的+他+仇+2=12,根据等差数列的

性质可知。3+“5+优+仇=2。4+2Z>7=12,所以〃4+b[=6.

6.D

1

【解析】展开过程中：BM=AB=(p-R=2,BO=1tMO=dBMYBO=75.

7.C

,-,」~八.、垢5心fa=-6

【rA解,析+t】由/⑴=〃,/c2\)=/(3)得:%(1++aa+Z"?+cc==287++4a9a++23A+"cc,解得{=U

.\/(X)=X3-6A-2+UX+C.由OV/(1)&3得:0Vl-6+U+C43,解得:C€(-6,-3].

8.C

【解析】因为z2-4z+5=(),即(z-2)2=-l=(±i)2,解得z二2±i,

设所对应的两点分别为N、8,则4(2,1)、4(2,-1),

设Z2+QZ+9=0的解所对应的两点分别为C、。，记为C(X1Ji).D(x2.y2),

当△V0,即标—36V0,解得一6V4V6,即一6VaV6时，

因为44关于x轴对称,且C,。关于x轴对称，

当A,B,C,D四点共线时，。二一4,不合题意，

除此种情况，以力、氏C、。为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，所以力、氏C、。四点共圆；

当A>0,即a>6或a<—6时,此时。3,0),力(4,0),且闲.*=—^-,X[X2=9,

故此圆的圆心为a(—发，0),半径r=与对="36,

参考答案1页共6页

又圆心Q到A的距离='(2+号/+口=’•，解得q=一7,

综上可得aW(-6,-4)U(-4.6)U{-7}.

9.ABC

【解析】对于4原来6个数据的极差为9.5-7.7=1.8,

去掉一个最高分和一个最低分后这组数据的极差为9.4—8.2=1.2,极差变小了，故力正确；

对于B,原来6个数据的均值为77+8.1+X.2%8.7+9.4+9'=86>

0

后来这4个数据的均值为土纪产±24.=8.6,所以均值不变，故4止确；

对于C,原来6个数据的方差为

y[(7.7-8,6)2+(8.1-8.6)2+(8.2-8.6)2+(8.7-8.6)2+(9.4-8.6)2+(9.5-8.6)2]«0.45,

后来这4个数据的方差为十[[8.1—8.6)2+(8.2—8.6)2+(8.7—8.6)2+(9.4—8.6)2]々0.27,

所以这组分值的方差变小，故C正确；

对于。，因为6x年=4.5,所以原来6个数据的第75百分位数为9.4,

又4x卷=3,所以后来这4个数据的第75百分位数为g24=9,05，故D错误.

10.BC

【解析】由题知f，解得a=华虫，c=普心，

对于选项A,因为轨道的焦距为2c=4一4，所以选项A错误，

对于选项B,因为离心率为©=%。，所以选项B正确，

CI«21«)

对于选项C,因为轨道的短轴长为2后二『=2且『-(巧&)2=2画，所以选项C正确，

1-A

对于选项。，因为华言=—3=_1+，■厂，则4越大时,离心率越小,则轨道越圆，故选项。

1+A1+A&

心d?

错误.

W.BCD

【解析】因为tana・lanS=tan(a+£),tan(a+/?)=，

所以tana•tan夕=黑，令％=⑶优，歹=tan//，则◎二三亍，整理得xy+(l-x)p+x=0,且

方程有解，

有4=(1一月2一叙・/>0,。一1)2~4/,作函数》=(》一1)2,乎=标3图像：

则由图像可知存在即C(0,1),有/(与)=0,所以当xVO时，△>()恒成立,

则为+乃=三LV0，必为=?V0，

X-A

因此必，刈一正一负，说明当a在第二象限时，夕在四个象限均可，

当xW(0,x(>)时，A>0成立，此时为<0,^ijv=—>0.

X-2X

因此必，为皆为负，说明当a在第一象限时，力只能在第二象限或第四象限，

综上所述，BCD正确.

参考答案2页共6页

11T

【解析】因为。~"(2,1)且尸£＞。+1)=。(。＜〃)，所以。+1+。=2'2,解得。=等.

13.2

【解析】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出长方体，如羽所示，

设BE=x,BF=y,BU=z,贝!W+y=5,产+卢=10,/+/=13,

解得x=2,y=1,z=3,

KtSCD=嗫力体―^D-ABEVR-CDH—Vc-ABF-^A-CD＜3

=xyz-4"x^rxyzx4=白盯z=2.

14.V2

【解析】设力，B两点的横坐标分别为M,必，

2

由,*1：：二1+即+1,得(X|-t-1)=ln.r2+x2=/,故X[=­+不一1.

、一x?十/一\nx2

因此\AB\=V2|X2--vj=V2\X2—Vhuy+^2+1|-

_____2V1ILX+X—--1

令〃(x)=x—Vlnx+x+1,h\x)=------1'---,

2vInx十式

令0(x)=2V\nx+x---1,显然8(x)递增且3(1)=0,当xV1时，”(x)VO;当x>1时，，(x)>0；

X

因此〃(X)min=W)=।，W|J^|mi„=V2.

15.(1)在AJ8C中，•••48=4。，；.AADB=AABC=p.

:.sina=-cos(2/7)=-cos(n-Z.BAD)=cos/.BAD=sin(-^--NBAD),

VO<a<y,-y<y-Z5/tD<y

：.a=^-/.BAD

=a+N84Q=£,因此N84C=半

ACDC.又AC=6DC,4ADC=R—。,・•.、区左心=

(2)在^ADC中，根据正弦定理得

sinZ.ADCsincesin；n—p)

QC,sin夕=V3since,

sina

又,/sina=-cos2^,.\sin/?=-，Jcos2/7.2A/3sin2/?—sin^—\/3=0,解得sinQ=或

V爰,sin/—，:邛=^.

16.⑴函数f(x)定义域为(0.+8)•日r(x)=x+，—0,—2,因为函数“X)有两个极值点，，尸(外在

•V

(0,+8)上有两个变号零点。

令/'(X)=(),解得X2-(a.+2)x+1=(),有两个不相等的正根，

'△=(%+2)2-4>0

,x“+x；=*+2>0=%>0,

xX=l>0

/.xn+x；=%+2>2.

2

(2)由(1)知\xn-xn\=V(X„+A；,)-4A-X=J曷+44=(〃+l)a“，

参考答案3页共6页

所以“备=2«—土)

所以工=2[(1-/)+(：-：)+(+-4)+--+(士一看)+(十一圭)]

=2(1+4-_-^rrT7)=3-^j--^y.

\2〃+1〃+2/n+I〃+2

17.⑴证明：因为平面PAD±平面ABCD,且平面PADA平面ABCD=AD,AB工4D,ABU平面ABCD,可

得力8J,平面为。，

又AP,PDU平面以D,故AB工AP,ABA.PD,又4B//CD,所以PD工CD

由以=尸。=4。=。=2,力8=1,得PB=与西而=瓜

BD=dAa+AB，=5BC=dAD*CD-AB『=®

PC=VPZ^+CD2=2V2,

如图1,取PC中点M,连接BM,DM,有?C_LBM,PC±DM,

r

又QM=}PC=0,8A/=vP"一（aPC/=—所以BD・BM?+DM2,故BM上DM

因为5W_LDM,BM_LPC,尸CCl。必=M,PCU平面PCD,DMU平面PCD,所以RM_L平面PCD,

又8WU平面PBC,故平面PBC_L平面PCD

⑵取中点。，以O为原点，。。为y轴，过。且平行于的直线为x轴，过O且垂直于平面ABC。的

直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系

因为为=PO,O为4。的中点，所以0〃=/？万匚彷=JJ,P在平面xOz内.

可设乙POx=。，。W(0,兀)，可得P(VJcosa0,Vising,C(2.1,0),8(1,-1,0),0(0J,0),

就=(1,2,0),而=(1-VJcos仇一1,-V3sin/?),

因为4CJLP4,所以正♦闲=0,

即(1-VJcos。)x1-1乂2-6$出。乂0=0,解得85。=一空，得P(-1,0,您)，

P5=(2,-1,-V2),PC=(3J,-V2),ro=(l,1,-72),

设平面P8C与平面PCD的法句量分别为万1=(Xi,y,zi),n2=(42,歹2,4),

参考答案4页共6页

1•序=0,2打一凶_JIzi=0,

由题意可得即《

^-PC=0,3^-,+^|-^221=0,

可取4=1(2V2,-V2,5),同理可得才2=(0,-A/2,-1),

设平面尸8C与平面PCD的夹角为。，故cos。=|COS/?H屈=去£=乂萼，故平面P8C与平面

PCD的夹角的余弦值为嘤^.

18.⑴设「工/=2加，则刍=加=1，解得〃=9，故「：f=p，依题意有+。一°)2=

\(x>0,y<a).

(2)设y=x+2被「1所截得的线段为DE,中点为G,

联立y=x+2和「1：/=»有工2一工一2=0,故，。+¥1,k=\"："=L

{XoX£=—Z乙乙

故VG=XG+2=、,代入n：炉+(y—a)2=l(x>0,^<a)得：

}+怎_甫=1怎<力解得q=

⑶如图，「2在h的上方时，抛物线和圆无交点，联立好二歹和E+3-。)2=1有y+(1-24»+标一1

=0且△=(1—2af—4(〃—1：v0,解得q>等,

显然，门切线斜率存在，设切线方程为y=云+/),由七为四分之一圆知/)Va,0Vk,

又圆心到切线的距离等于半径：=1,故、牛/

/一"，\A

切线方程为y=kx+a-,与/=》联立得X2—Ax-a+Jl+，=0,\

设口被口所截得的线段为“K,则"-双|=4+4171+公,

\HK|=*J\+k2%-x«|=V14-Ar2V^2+4«—4\A+k2,J

记f=Jl+12,则/>1,|〃K|二W/2-1+4a-4/=a-4/3+(4a-1)2,目

4

记f(t)=t—4F+(4a-1)C">1,则/⑴>0,Ll+icmof(j)-»4-oo,

依题意有:对给定的*md=|HK|使得/⑺和y="2有两个交点，

由/()=413—12尸+(84—2»=2«2/2-6/+4〃-1)知

->1使2产一6f+44-1<0即可，否则/⑺在(l,4-oo)上单调，不存在。工打使得/(八)=/(幻，

而八+，2=—5^=3>2,故只需△=(-6)2—4x2(4t/-1)>0,解得a<-U-,综上所述:-?-<«?<-U-.

ZoHo

19.(1)记事件力表示选出的小球编号不相邻，从8个小球中选出3个球共有C9=56种选法，所选小球编号

不相邻方法,等效于将5个相同的小球排成一列,从其产生的6个空隙选3个空插入3个小球,共以=

20种方法，因此P(力)=器=/；

(2)法一(对称法)：

考虑对称变换:将每个编号i映射为2〃+1—i,则编号{1,2,…,2〃}变换后仍为{1,2,…,2〃}.

设原集合的抽样结果为5={〃],%，…，4},X=max{S},Y=min{S},对S进行对称变换得到

S'={2〃+I—m,2〃+1—牝,…2〃+1—图},

则X=max{S，}=2〃+1—min{S}=2〃+1—丫，尸=m\n{Sr}=2〃+1—max{S}=2〃+1-X.

由于抽样是均匀的，s与S，有相同的概率分布，所以x与H同分布，丫与产同分布，所以

E(X)=E(Xf)=E(2n+1-丫)=2〃+1—七(丫)，所E(X+Y)=E(X)+石(丫)=2〃+1.

参考答案