高一数学 第三课时 正弦定理、余弦定理的应用

第三课时正弦定理、余弦定理的应用

课标要求1.利用正弦、余弦定理探求三角形中边与角的关系.2.利用正弦、余弦

定理判断三角形的形状.3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.

【引入】我们上两节课学习了正弦定理和余弦定理，利用这两个定理可以解决如

下问题.

(1)已知两边和夹角的问题：先利用余弦定理求第三边，再用余弦定理的推论求另

外两角；

(2)已知三边的问题：利用余弦定理的推论求三个角；

(3)已知两角和任一边的问题：先由三角形内角和求第三个角，再利用正弦定理求

另外两边；

(4)已知两功和其中一小对角的问题：可先由余弦定理求第三功，此时需从功的角

度进行检验，需满足任意两边之和大于第三边，再由余弦定理的推论求另外两角；

也可由正弦定理求另外一边的对角，此时需从角的角度进行检验，大边对大加，

小边对小角，内角和180。，再由内角和求第三个角，最后由正弦定理求第三边.

一、利用正弦定理和余弦定理解三角形

例1在中，己知匕=3,c=34，B=30。，解三角形.

解法一由余弦定理62=/+/—2〃ccos8,

得32=4+(34)2—2小35・cos30°,

・・・〃2—9〃+18=0,解得〃=3或4=6.

当〃=3时，A=30°,?.C=120°；

当4=6时，由正弦定理，得

•々sinB6乂？

sinA=-j-=^-=l,

・・・A=90。，C=60°.

法二由正弦定理，得嬴=餐，

解得sin。=坐，

入c>b,--.30o<C<150°,

・・・C=60。或C=120°.

当C=60。时，A=90。，由勾股定理，得。=6；

当C=12()。时，A=30°=B,a=h=3.

思维升华若己知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另

一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在AABC

中，已知。，〃和A,由余弦定理/=庐+/—2Z?CCOS4,求出c,此时c的个数即

为三角形解的个数.

训练1已知。O的半径为R,在它的内接△A8C中有2R(sin2A—4/0=(啦〃一

/DsinB成立，求角C的大小.

解由正弦定理，得

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

因为2R(sii?A-sin2c)=(也干一b)sinB,

所以(2R)2(sin2A-sin2Q=2R(^2a一份sinB,

22

所以a—c=(y[2a—b)b1

即a2~\-b2—cr=yl2ab.

+反—c2、历

因为ccsC="号"，所以cosC=竽.

因为0。＜。＜180。，所以。=45°.

二、利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状

例2在△ABC中，已知sinC=2sin(8+C)cosB,那么△ABC一定是()

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等边三角形

答案B

解析因为sinC=2sin(B4-QcosB,sin(B+C)=sinA,

所以sinC=2sinAcosB,

a2+c2—tr

由正、余弦定理得c=2o—5"—,

化简得层="，

所以。=仇所以△ABC为等腰三角形.

思维升华判断三角形形状的方法及注意事项

⑴利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边（或角）的关系，通过因式分解、

配方等得出边（或角）的不应关系，从而判断三角形的形状.

（2）统一成边（或角）的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.

/—序

训I练2在△48C中，角4,C的对边分别为a,b,c若中=再否7/则△A8C

一定是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

劭土匚」♦♦+（?一加F人一―Er川苏2〃CC0SB

解析由/=从+1_丹及余修定理可得/=2bccosA，

所以ASI

所以由正弦定理可得需=照，

所以sin/AcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin2B.

因为A,8为△ABC的内角，

所以2A=28或2A+28=兀，

TT

所以A=5或4+3=5：

所以△ABC一定是等腰三角形或直角三角形.

三、正弦定理和氽弦定理的综合应用

例3设△ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且戾inA=/acosB.

⑴求8的大小；

（2）若〃=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

解（1）：Z?sinA=小4cosB,

；・由正弦定理，得sin，sinA=，5sinAcos

在△ABC中，sinAWO,

即得tanB=S，又区£(O,兀)，

(2)VsinC=2sinA,，由正弦定理，得c=2m

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

jr

即9=Q2+4Q2—2a2acos彳，

J

解得。fC—267=2A/3.

思维升华利用正弦、余弦定理解三角形的注意点

正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理

更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，

余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.

训练34A6C的内角4B,C的对边分别为a,I),c,KasinA+csinC-^/Lzsin

C=Z?sinB.

⑴求5的大小；

(2)若A=75。，b=2,求mc的值.

解(1)由正弦定理，得〃2+/—也〃c=b2.

由余弦定理，得庐=a2+c2-2accosB.

故cosB=坐，

又0。<8<180。，因此B=45。.

(2)sinA=sin(30°+45°)

=sin30°cos450+cos30°sin450=

故由正弦定理，得〃=分.鬻=1+祗

A11IJLZ

由已知得，。=180°—45°—75。=60。，

,,.sinC八、/sin600r-

故c=b'~T>=2X-:so=勺6.

sinBsin4715v

【课堂达标】

1.在△ABC中，力=¥，A=60。，则3=()

J

A.45°B.90°

C.135°D.45。或135。

答案A

解析・・♦在△A8C中，。=6，b=¥，A=60。，・••由正弦定理得sin8=®4=

也

2，

•：b〈a,则8VA,・・・8=45。.

2.在△ABC中，若AB=g,BC=3,C=120°,则4c等于（）

A.lB.2

C.3D.4

答案A

解析在△ABC中，设角A,B,。所对的边分别为a,b,c,则由/二合十/一

2/7/JCOSC,

得13=9+〃-2X30X（—£）,

即方+3b—4=0,解得人=1（负值舍去），

即AC=].

3.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.由增加的长度确定

答案A

解析设直角三角形的三边长分别为〃，b,C,且/+3=/,三边都增加K,

则3+x）2+S+x）2-（c+K）2=42+/+2f+2（4+/?）4一/-25—/=25+人一0次

+x2>0,

所以新三角形中最大边所对的角是锐角，

所以新三角形是锐角三角形.

4.在△A8C中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,若〃cos8+/?cos4=茨，则

b=.

答案2

解析因为4cosB+bcosA="c,

所以由正弦定理得，sinAcos8+sinBcosA=^bsinC,

则sin（A+8）=sinC=JbsinC,

又sinCWO,所以5=1,即b=2.

------------------------课时精练-------------------------

一、基础巩固

1.在△45C中,角A,B,C的对边分别为小b,c.若。=2,4=45。,8=30。,则

b的值及外接圆的半径分别为（）

A市,2y[2B.啦，啦

C.2啦，也D.2卷2啦

答案R

.2X1

解析由正弦定理可得/?=黑，=-^=也.

sill、/2

2

设△ABC的外接圆的半径为R,

则由正弦定理可得2/?=看=妄=2啦，

2

所以R=巾.

2.在△ABC中，角A,B,。的对边分别是a,b,c,若反osA+acos8=廿，a=b

=2,则△ABC的周长为（）

A.5B.6

C.7D.7.5

答案A

庐+/一/a2+C2—廿

解析由余弦定理的推论，得万居,％,.=dnc=l,即△ABC的

周长为5.

3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若力+c=2a,3sinA=5sin

4,则C等于（）

.兀

A-3By

C”D-

3D.6

答案C

解析由和

olll/IdillL>3sinA=5sinB,

3

得3ci=5b,即b=7a

■'t

7

亍

・•・由余弦定理的推论，

ZBr-+―一dI

付cosC=_2ab-=-2*

又Ce(0,7t),AC=y.

4.在3c中，角A,B,C的对边分别为。，4c.若2〃cosB+b=2c,则A=()

p匹

A,6B4

r2兀

C.1D.—

答案c

解析2〃cosB+/?=2c,

・••根据正弦定理得2sinAcos3+sinB=2sinC,

/.2sinAcosB+sinB=2sin(A+3)

=2(sinAcosB+cosAsinB),

/.sinB=2cusAsinB.

又sinB#0,**•cosA=2,

7T

又•:0<4<兀，,\A=T,

J

”,力一ccosAsin8

5.在△42C中，A,B,C所对的边分别为％b,c,右a-ccosBsinA则

的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

答案A

..—ccosAsinB

解析,CLccosIsinA'

b—ccosAb

・•・由正弦定理得

a-ccosBa

整理得tzcosA=/?cosB,

由正弦定理得sinAcos.4=sinBcosB,

/.sin2/1=sin2B,

：.2A=2B或2A+28=兀，

即A=8或A+B=5

兀71

当A+3=I时，C=y此时△ABC为直角三角形，有ccos8=〃，则〃一ccos8=

0,分母无意义，故舍去，

・・・A=以此时△ABC为等腰三角形.

6.在△A8C中，sin8=2sinA,。+。=3,且cosC=〃则。=.

答案1

解析VsinB=2sinA,：.b=2at

又o+c=3,.，.c=3—67,

标+/一c2〃2+4Q2-(3—^)2]

AcosC=_lab-=五五=不

整理，得*+2°—3=0,

解得。=15=一3舍去).

7.在△ABC中，若b=acosC,则△ABC的形状为.

答案直角三角形

解析•.,〃=4cosC,AsinB=sinAcosC,

则sin(A+C)=sinAcosC,即cosAsinC=0,

VA,Ce(0,兀)，・・・sinC#0,/.cosA=0,

jr

：.A=y.'.△ABC为直角三角形.

7T

122

8.在3c中，角A,B,C的对边分别为mb,c,若A=^a+h-c=abic

=3,则角C=,a=.

答案与小

解析由4+/一/=曲,

2

/Bc层+庐一c1

付cosc--冰—=5,

VCe（o,兀），・・・。=?

由正弦定理一二=/7；,

sinAsinC

..3义]

csm4_____2n

付a-smc—m

2

9.在△ABC中，已知/tan8=〃tanA,试判断△48C的形状.

解设三角形外接圆半径为七

tz2sinBZ?2sinA

则atan6=//tanA<->

cosBcosA

4/^sinXsinBd/^si/BsinA

即

cosBcosA

所以sinAcosA=sin3cosB

<=>sin24=sinIB

=2A=2B或24+2B=TC

oA=B或A+8=E

乙

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

cosBb

10.在△ABC中，mb,c分别是角4,B,C的对边，且工1=

LU、X--2a-be

⑴求8的大小；

(2)若/?=[?§,〃+c=4,求〃的值.

..cosBb

解⑴

・cosC~2〃+c'

・・・由正弦定理，得韬=sin8

2sinA+sinC*

/.2sinAcosB=—sin(B+C),

又sinA=sin(B+0W(),

/.cosB=­y

又0<8<兀，，8=丁.

⑵将b=yl13,ci~\~c—4,B=3,

代入b2=ci2+c2—2accosB得，

13=/+(4—a)2—2a(4-a>cos专，

即〃2-4〃+3=0,解得a=l或a=3.

二、综合运用

2冗

11.在△A5C中,b,c分别为角A,B,。的对力，B=—,若/+02=4枇，则

sin(A+C)

sinAsinC------------"

答案邛

解析由余弦定理得，

序=4+廿一2scosB=5ac,

3

由正弦定理，得sin28=5sinAsinC=j,

3

所以sinAsin。=与，

诉,sin(A+C)____sinB_1()^3

所以sinAsinC=sinAsinC=3,

7T1

12.在△ABC中，8=78C边上的高AO=g8C,且AD=I,贝ijAC=,

sinA=.

答案小噂

解析如图，由40=1,8=彳，知3。=1,

A

BDC

又AD/BC=BD,

・・・8C=3,DC=2,AC=112+22=小.

^义3r

在AABC中，由正弦定理知，sinNBAC=sin臂。=j1=邛黑

13.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，〃，c•，且4cosc+孚c=〃.

⑴求A的大小；

(2)若。=1,b=小,求c的值.

解⑴由6ZC0SC+乎c=b,

得sinAcosC+^^sinC=sinB.

因为sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以丁sinC=cosAsinC.

A

因为sinCWO,所以cos4=^-.

jr

因为0<4<兀，所以4=不.

(2)由正弦尺.