正弦定理和余弦定理-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题4.11正弦定理和余弦定理.重难点题型精讲

衣

»••aa••■■■••.■■■..MM••a•^BB

1.余弦定理

(1)余弦定理及其推论的表示

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边

文字表述

与它们夹角的余弦的积的两倍.

fl2=62+c2-26ccosA,b2=a2+c2-2accosB、d=a2+62-

公式表述

2aAosC.

46?+c?-a'Da?+c?-6?八o'+6'-c?

推论C08A=---------------CO8D=c.COSC=A,

2bc92ac2ab

(2)对余弦定理的理解

①余弦定理对任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦

定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.

④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.

2.正弦定理

(1)正弦定理的表示

在MBC中，若角ABC对应的边分别是〃力c则各边和它所对角的正弦的比相等，即=、二一万:

sinC

(2)正弦定理的常见变形

在“此中，由正弦定理得北厂导=云=3°)'则斫3"'Esin4,EsinC,由此可得

正弦定理的下列变形:

①吗=$吟,，苦,，.展丽人，〃sinC=csinA,加inGcsing

smBbsinAasinCc

哂a_b_c_a+♦_a+c_b+c_a+b+c

sinAsinBsinCsinA4-sinBsinA+sinCsinB+sinCsin力+sin4+sinC'

③a:〃:c=sinA:sin8:sinC：

④"二二/五=/7；=2/?,(R为AABC外接圆的半径).

sinAsinBsinC

(3)三角形的边角关系

由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.

3.解三角形

(1)解三角形的概念

一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边〃力,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个

元素求其他元素的过程叫做解三角形.

(2)余弦定理在解三角形中的应用

利用余弦定理可以解决以卜.两类解三角形的问题：

①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；

③已知三边，求三角形的三个角.

(3)正弦定理在解三角形中的应用

公式号二f反映了三角形的边角关系.

sinAsinBsinC

由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：‘二二/五，&■=r三,二彳=七.上述的

sinAsinBsinBsinCsinAsinC

每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方

程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的边和角，

③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.

4.测量问题

(1)测量距离问题的基本类型和解决方案

当A8的长度不可直接测量时，求A3的距离有以下三种类型：

(2)测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型:

类型筒图计等方法

测得8C'=a.C的大小,A8=a•tanC.

测得CO=a及LACB与LADB的度数.

点8与

先由正弦定理求出AC或A2再解良角

共线

三角形得.48的值.

测得CD=a及乙BCD,乙BDC,乙ACB的

度数.

在ABCD中由正弦定理求得BC,再解直

角三角形得.48的值.

(3)测量角度问题

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方

位角等概念，若是观察建筑物、由峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图

形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

5.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

角形不能被唯—确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角“时三角形解的情况，下面以已知

“力和A,解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若sinB二写W>1,则满足条件的三角形的个数为0：

②若sinB=吟4=1,则满足条件的三角形的个数为1：

③若sinB=生乎■<1,则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0。泊4=号4<1可得4有两个值，一个大于90、，一个小于90、考虑到“大边对大角”、“三

角形内角和等于180。”等，此时需进行讨论.

(2)从几何的角度分析“已知两边和其中•边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知〃力和

6.三角形的面积公式

(1)常用的三角形的面积计算公式

①S"BC=;儿hc(儿,心,儿分别为边a，,c上的高).

②将儿二人sinC,/%=csinA,九.二asin/3代入上式可得8c=J“〃sinC=g/?csin4=；acsin/工即三

角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.

(2)三角形的其他面积公式

①S△皿=：4z+Hc)=yr/,其中匚/分别为。的内切圆半径及△43C的周长.

乙乙

与、12sinAsinC1sinJsinC1sintsinB

b22

②叉皿,=^a~sin/l'S4ABC=2-sin4'2C~sinC

短储千一更三

【题型1利用正弦定理解三角形】

【方法点拨】

事实上，所谓解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解三角形时：

⑴由三角形内角和定理A+B+C=180°,可以计算出三角形的第三个角；

(2)由正弦定理高=熹二七，可计算出三角形的另两边

sinAsmDsinC

【例1】(2022.江西赣州.高三期中(理))在448。中，角力㈤C所对的边分别为a,瓦c,若a=4,4=巳C=2,

412

则方=()

A.2V3B.2V5C.2V6D.6

【解题思路】三角形三内角和为兀，故可求角B,利用正弦定理即可求b.

【解答过程】因为=*所以BULA—CW，

4123

因为啖=白，所以8=誓=绯=孥=2遍.

sinzlsinBsin4sin-if

42

故选：c.

【变式1・1】(2022•浙江•高一期中)在A4BC中,内角48,C的对边分别是4瓦c,且a=3,c==2”,

则坐等于()

sm3C

A.1B.V3C.3D.3V3

【解题思路】根据正弦定理，结合已知条件，即可容易求得结果.

【解答过程】在三角形ABC中，当=点吟=笔々=誓

sin3csin(2C+C)sin(B+C)s\nA

由正弦定理可得：^=-=1.

sinAa

故选:A.

【变式1-2］（2022•河南南阳•高三期中（理））在△ABC中，C=30。，b=W，c=x.若满足条件的△ABC有

且只有一个，则》的可能取值是（）

A.-B.—C.1D.V3

22

【解题思路】利用正弦定理得到sinB=3，再分0<B£30°和B>300两种情况讨论，结合正弦函数的性质

求出”的取值范围，即可判断.

【解答过程】解：由正弦定理七=三，即二,所以sinB=W，

sinesinCsinfisin302x

因为△ABC只有一解，

若B>30°,则8=90°,

若。<8430°显然满足题意，

所以0<sinB转或sinB=l,所以°<算工意媛=1，

解得%>企或%=圣

故选：D.

【变式1・3】（2022•河南南阳•高三期中（理））在44BC中,角A,B,C所对的边分别为a,匕,c,V2（c-bcosA）=

a,8=3a则4力8。的外接圆面积为（）

A.47rB.67rC.87rD.97r

【解题思路】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得sin8=中，并利用正弦定理求外

接圆半径，即可求得三角形的面积.

【解答过程】由正弦定理可知,&{sinC-sinFcos/l）=sin4

即、方sin（4+B）—sinBcos川=sin/1

x/2sin/lcosfi=sin/1,因为sin/1W0,cosF=—,

2

sin3=V1—cos2B=—,

2

根据正弦定理可知2R=-。=6,得/?=3,

sinF

则AABC的外接圆面积s=nR2=97r.

故选;D.

【题型2利用余弦定理解三角形】

【方法点拨】

根据具体题目，利用余弦定理或其推论，进行转化求解即可.

【例2】(2023•广东•高三学业考试)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c.若A=60。，b=2,

c=3,则a=()

A.V7B.V10

C.4D.回

【解题思路】利用余弦定理求解艮]可.

【解答过程】VA=60°,b=2,c=3,

由余弦定理得2/?ccosA=4+9—2x2x3x^=7,

d=s/7.

故选：A.

【变式2・l】(2022•全国•高一课时练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,瓦c.若上萼=",则。=

a+ft-c

()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解题思路】化简已知等式可得。2+》2-c2=ab,由余弦定理边化角可求得cosC,由此可得C.

【蟀答过程】山。"3一〃=c?得：十庐一c?=c2(a+匕-c)=c2(a十b)—”，

a+b-c

••a3+b3=(a4-b)(a2—ab+b2)=c2(a+b),

•••Q+bHO,•••a2—ab+b2=c2»BPa2+b2—c2=ab,

:，cusC=a'+b3二3又0°vC<180°,C=60°.

2ab2

故选:B.

【变式2-2](2022.安徽省高三阶段练习)在△/1BC中，ZC=pAC=2,M为49边上的中点，且CM的长度

为"，则AB=()

A.2V3B.4C.2V7D.6

【解题思路】根据cosN/IMC=-cosNBMC,结合余弦定理可得到4C2+8C2=2(CM2+/1M2),由此可整理得到

2BC2-20=AB2；在△4BC中，利用余弦定理可得4+8。2_28。=力炉，解方程组可求得48.

A

CB

【解答过程】

/……AM2+CM2AC2

在中，cosZi4MC=———；

2AMCM

在ABCM中，COSZ8MC=BM^CM2'BC2；

2BMCM

*：^AMC+ZBMC=n,AcosZ/lMC=-cosZBMC,又

.AM2+CM2-AC2AM2+CM2-BC2

••=-9

2AMCM2AMCM

整理可得：4C2Tse2=2（CM2+AM?）,即4+3。2=2（7+4”2）,

:.2AM2=^AB2=BC2-\0,J2BC2-20=AB2；

在△4BC中，AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=4+BC2-2BC=AB2,

：.4+BC2-2BC=2BC2-20,解得：BC=-6（舍）或BC=4,

：.AB=y/2BC2-20=2V3.

故选:A.

【变式2・3】（2022.福建省高三阶段练习）如图，在△力"中，NBAC=5而=2而,P为CD上一点、,且满

足而=mm+；而，若|而|=2,|而|=3,则|4P|的值为（）

A.<13B.—C.—D.—

234

【解题思路】设而=a而，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出入m的值，依题意可得△/me为

等边三角形，求出CP,再由余弦定理求出力P即可：

【解答过程】解:设而=入而，

则方=而+而=而+入前=m+；1(|AB-AC)=IAAB+(1-A)AC=JAB+mAC,

3A=2,解得

I,

m=\-Am=4

因为|通|=3,所以＜。=豺8=2,又I冠|=2,ZBAC^,所以△ADC为等边三角形，

所以N"D=W，CP=；CD=；,

342

由^&IAP2=AC2+CD2-2ACCDCOSZACD=22+(1)2-2X2X“：=?，

所以4。=孚

故选：B.

【题型3判断三角形的形状】

【方法点拨】

判定三角形形状的途径：

⑴化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

⑵化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

【例3】(2022•江西•高三阶段练习(文))在AAB。中，己知sinC=2sin(B+C)cosB,那么△ABC一定是()

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形

【解题思路】由两角和的正弦公式结合正弦定理和余弦定理可求出a=从即可判断△48。的形状.

【解答过程】因为sin。=2sin(B+C)cos8,sin(B+C)=sinA,

所以sinC=2sirii4cosB,

所以由正余弦定理得C=2a•：化简得。2=b2,

2ac

所以a=b,

所以△力8c为等腰三角形.

故选：B.

【变式3-1](2022•全国•高一课时练习)在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,4c,若普=2=鱼，则

cosfia

该三角形一定是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【解题思路】由余弦定理得到Q2(b2+c2—Q2)=b2(a2+c2—M),结合^二或，得到。2=出十炉,判断

a

范三角形为直角三角形.

【解答过程】・・・々=2,

cosBa

Gcos71=bcosB,

■+.r?日b2+c2-a2,a2+c2-b2

由余弦定理可得：=

整理可得：a2（Z>2+c2—a2）=b2（a2+c2-b2'）,①

•・'=&

・••力2=2a2,②

由①®得c?=3Q2=Q2+》2,

・•・该三角形是直角三角形.

故选：A.

【变式3-2］（2022•全国•高一课时练习）在△48。中，cos2?=等（a,b,c分别为角的对边），则△力BC

22C

一定是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【解题思路】根据二倍角公式将己知条件变形，然后利用余弦定理进行边角转化进行判断.

【解答过程】Vcos2^=^,A2cos2^=—,即l+cosB=^,

22c2cc

根据余弦定理可得

1十注*="，整理得M+/=。2,

2acc

由勾股定理知，△A6C为直角三角形.

故选：B.

【变式3-3］（2022•内蒙古包头•高一期末）已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,则下列说

法中错误的是（）

A.若也=竿=k，则△ABC一定是等边三角形

B.若bcosB=acos4,则△48C一定是等腰三角形

C.若acosB+bcosA=a,则△48C一定是等腰三角形

D.若/?2+C2<Q2,则△48C一定是钝角三角形

【解题思路】根据正余弦定理中，边角互化即可求解.

【解答过程】对于A:由正弦定理以及等=等=等得黑=篝=舞=tag=tanB=tanC,因为

A,B,CW（0,兀），所以4=B=。,故也48。是等边三角形，故A对，

对B:由bcosB=acosH以及正弦定理得：sinBcosB=sinAcosA=s\n2B=sin24，

由于4,8£（0,兀），24W（0,2TT）,2B£（0,2兀），因此2B=24或者24+2B=兀，即B=4或者力+B=%故

△4BC为等腰三角形或者直角三角形，故B错误，

对C:由正弦定理得sin4cos8+sinBcos力=s\nA=sin（4+B）=sinA,

由于在△4AC中，sin。+B'）=sing因此可得sinA=sinC;

由于4,C€（0,冗）,4+C＜兀，故力=C,故C正确,

对于D:由方+c2V得cos4=vo故4为钝角，因此D正确

2bc

故选：B.

【题型4和三角形面积有关的问题】

【方法点拨】

根据具体条件，结合三角形面积公式，进行转化求解即可.

【例4】（2022•重庆高三阶段练习）已知△力"中，/B=6/C=2,AD为N84C的角平分线，则△力8c的

面积为（）

A.2&B.4V2C.3A/2D.36

【解题思路】根据S，F8C=SJ8D+SFCD利用三角形面积公式、倍角公式化简整理可得COS8=£再求sin。，

4__1/1DC2—i/1DLx/ICU5

代人面积公式运算求解.

【解答过程】设N8/m=Naw=e

，：S^ABC=SAABD+SAACDfAC-sinZBAC=^ABAD-sinZBAD+^ADAC-sinZCAD

即;x6x2xsin28=；x6xVJxsin6+；x2xVJxsin。，可得V5sin20=2sin6=2\/5sin0cos。

Vsin0^0,则COS8=F

2

.,.sin0=Vl-cos0=y,MSAi4BC=S△i4BD+SAXCO=jx6xV3x^+1x2xV3x2^=472

故选:B.

【变式4-1］（2022•陕西•高二阶段练习）在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为小b,c,已知a=2,b=

l,cosC=i,则△ABC的面枳为（）

A.乎B.IC.V2D.2V2

【解题思路】由平方关系求得sin。，再由面积公式计算.

【解答过程】因为cosC=$CG(0,7T),

«J

所以sinC=71-cos2c=竽，

所以S=-absinC=-x2xlx—=—.

2233

故选：A.

【变式4-2](2022•全国•高二开学考试)在△力BC中，内角A,8,C的对边分别为a",c,若cos4=&8=%

54

且AABC的外接圆面积为25花，则△48c的面积为()

A.24B.25C.27D.28

【解题思路】根4A8C的外接圆面积为25兀可得△ABC的外接圆半径R=5,再根据sinC=sin(A+B),结合

正弦定理化简可得c=acosB+bcosA=7-y2,再根据面积公式求解即可.

【解.答过程】易知△48c的外接圆半径R=5.由cos。=洱得sinA=J1一=£所以a=2RsinA=8,

b=2Rs\nB=5注,由sinC=sinQ4+F)=sinAcosB+sinBcosA,结合正弦定理可得c=acosB+bcosA=

7VL所以SUBC=|acsinB=1x8x772xy=28.

故选：D.

[变式4-3](2022•黑龙江•高二阶段练习)已知a,b,c分别为△48c三个内角48,C的对边,且2ccos8=2a-

b,a=4,S^ABC=3V3,则》=()

A.3B.3A/3C.6D.6竭

【解题思路】根据正弦定理可得2smecosB=2sinA-sinB,由三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公

式可得2sinBcosC=sinB,由三角形内角的范围可得C=；,再由面积公式即可求解.

【解答过程】由正弦定理及2ccosB=2a-b得2sinCcosB=2sin力-sinB.

又因为在△ABC中，sin/1=sin(8+C),

所以2sinCcosB=2sin(F4-C)-sinB,整理得2sin8cosC=sinfi.

因为在△ABC,sinB丰0,所以2cosc=1,即cosC=

又因为ce(o,7i),所以c=*

«5

又S4ABe=文bsinC=3V3,a=4,所以b=3.

故选:A.

【题型5正、余弦定理在几何图形中的应用】

【方法点拨】

正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在

三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补

或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.

【例5】（2022•陕西•高一期末）在锐角△A/3C中，角A,B,C的对边分别为mb,c,且Be-2bsinC=0.

（I）求角8的大小；

（2）从条件①b=3A/3,a=4；条件②a=2,A=g这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.

4

【解题思路】（1）首先利用正弦定理边化角求出sinB,再结合角的范围，即可求得.

（2）选条件①：首先利用余弦定理求出c=2+g,再结合三角形面积公式即可求得.

选条件②:首先利用正弦定理求出b，再结合三角函数恒等变换求出sinC,再利用三角形面积公式即可求得.

【解答过程】（1）解：（1）因为V5c-2bsinC=0,由正弦定理VSsinC-2sinBsinC=0.

因为C€（0,力sinC黄0,所以sinB=[.

又因为BE（0,9,所以8=全

（2）选条件①：b=3y/3,a=4；

因为b=3V5,a=4,由（1）得8=%

所以根据余弦定理得匕2=c2+a2—2c-a-cosB,可得c?—4c-11=0,解得c=2+V15.

所以△ABC的面积S=asinB=26+3通，

选条件②：a=2,4=g；

4

由（1）知8=g且A=g

根据正弦定理得上--三，所以b-空乎-n，

sines】nAsinA

因为。=兀一人一8=工，

所以sinC=sin^=sin（巳+9=，

12\46/4

所以△248c的面积S=-asinC=柠".

【变式5-1]在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,c=3b.

(1)若8$/1=求^ABC的周长；

6

(2)若△ABC内切圆、外接圆的半径分别为r,R,求r-R的取值范围.

【解题思路】(1)根据余弦定理列方程，结合已知条件可求a,4c，由此求△力BC的周长；

(2)根据正弦定理可得R=扁，根据内切圆的性质及三角形面积公式可得r=鬻g利用二次函数性质求广

R的取值范围.

【解答过程】(1)由余弦定理可得cos4=b+^~a>又cosH=a=4,c=3b,

2bc6

所以今==；,所以c=4,所以A/IBC的周长为V；

6DC633

(2)由正弦定理可得号=2R,所以R=-J，设△48。的面积为S,

sinAsin/1

由内切圆的性质可得gar+^b?'+^cr=S,又S=~bcsinA,

bcsin?l2bc

目「以r=所以r・R乂Q=4,C=3b,

a+》+c'a+b+c'

3

3b21

-

所以2®21

r•/?+-

2+2bb

因为b+c>Q,a+c>b,a+b>c,所以1<匕v2,

令;=3则丁”|点，乒亡<1，所以；<尸+£<2,所以;<点<±

所以：vr-R<2,所以的取直范围为2).

【变式5-2X2022・天津北辰•高三期中)已知△力8c的内角A,8,C的对边分别为a,〃,c,且acosB+VSasinB=

b+c.

(1)求A;

(2)若a=4,△ABC的面积为4百，求△4BC的周长.

【解题思路】(1)根据正弦定理，把边化为角，结合三角形的内角和定理，利用三角恒等变换化简可得sinG4-

*)=〈，进一步求得4

O乙

(2)根据(1)的结论，根据三角形的面积公式可得儿=16,再利用余弦定理变形可得b+c=8,进而求

得AABC的周长：

【解答过程】(1)因为acosB+V3asinfi=b+c,由正弦定理得sinAcosB+y/SsinAsinB=sinB+sinC,

所以sinAcosB+V3s\nAsinB=sinB+sin(/l+B),

所以V5sim4sinB=sinB+cosAsinB,

因为sinBH0,所以VSsinA=1+cosA,

即—cosA=1,所以sin（A—工）=工，

62

因为0V力V兀，所以一㊂<71—-<—,所以？1—-=色即4=-；

666663

（2）因为△力BC的面积为4臼，♦=：

由三角形的面积公式得;bcs呜=473,化简得be=16,

又根据余弦定理42=h2+c2-2bccosm得力2+c2-be=16,

所以（b+c）2—3bc=16,

所以（b+c）2=16+3bc=164-48=64>所以b+c=8,

故AA8C的周长为a+b+c=4+8=12.

【变式5-3］（2022・山东烟台•高三期中）在①c=4：②asinB=bcos（力一割文两个条件中仔诜一个作为己

知条件，补充到下面的横线上，并给出解答.

问题：已知△力BC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,。是4C边的中点，a=BD=三由,且______.

⑴求b的值；

⑵若484。的平分线交8C「点E,求A/IBE的周长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】（1）选①，在△AB0和△80中，应用余弦定理，由cos乙4D8+cos4。。8=0,求得结论；

选②，由正弦定理化边为角，求得A角，然后设匕=2%,c=y,在AABC和AABZ）中对A角应用余弦定理列

方程组求解：

（2）由SM8E+SMCE=SM8C求得力E，再由角平分线定理求得BE后可得三角形周长.

【解答过程】（1）解：选择①：设b=2x,则4）=DC=x,

二+哈16

在中,cosz.ADB—/X

在A8C£）中，cosZ.CDB=

VZ.ADB+乙CDB=7T,COSZ.ADB+COSZ.CDB=0,

即“：弓16+=0所以％=故力=?.

3V7X^Hx；3

选择②：由正弦定理得，sinAsinB=sinBcos（4-匀,

BE(0,7r),Asinfi>0,.,.sirM=cos(力一*

即sinA=TcosA+：sinA,于是tanA=V5,*.A=p

设匕=2x,c=y,

22I12

在AABD中，cos/l=--&9=：,即/+y2_%y=与G),

.2.2112

在AAS。中，cos/1=\B|J4x24-y2-2xy=-^(ii),

联立(i)(ii)解得，x=py=4,即c=4,d=

（2）解：由题思得，^^ABE^&ACE=^^ABCf

-4x4x4Exsin30^1x|x^xsin30-=1x4x|xsin60S/ME=手

又・・S“8E一B£一C_3•DP_W7

f

S.ACE-EC-b-2-5，

，收△ABE的周长为AB+BE+RE=4+叱人行

【题型6解三角形的实际应用】

【方法点拨】

正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形（主要是三角形与四边形）

问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及的术语（如方位角等）构建恰当的三角形，在三角形

中运用正弦定理或余弦定理即可.

【例6】（2022.北京海淀•高三期中）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观

测站4和8,观测人员分别在A,8处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点。处，观测

人员从两个观测站分别测得NB4C=30。，448c=60。，经过一段时间后，该动物种群出现在点。处，观测

人员从两个观测站分别测得NB4D=75。，/-ABD=45°.（注：点A,B,C,。在同一平面内）

（1）求△48。的面积;

（2）求点C,。之间的距离.

【解题思路】（1）由正弦定理求得4。的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；

（2）求出4c和“力。,由余弦定理即可求得答案.

【解答过程】（1）在AABD中，乙BAD=75。,/-ABD=45°,所以NADB=60。.

由正弦定理：一喂=一嚷，得‘为=」嗅，

sinz4BDsinz/lDBsin450sin60°

.退

所以A。=.AB=-^x12=4而（km）,

y

sin60°2

sin乙BAD=sin75°=sin（45°+30°）=当g+：）=

所以△ABD的面枳为另斗8。=-AB•AD•sin^BAD=-x12x4\/6x叵史=36+12V3（km2）.

224

（2）由484c=30°,乙48c=60°,得4。4。=45。，且乙4c8=90。，

•••AC=12cos30°=6V3.

在A4CD中由余弦定理，得

CD2=AC2+AD2-2AC-AD-cosACAD=36x3+16x6-2x6A/3x476xy=60,

所以CD=2715（km）.

即点C,D之间的距离为2代km.

【变式6-1］（2022•浙江•高一期中）如图，在点4处有一座灯塔，8c是一条直的海岸线，已知48=

4c=1km,从灯塔4处射出的灯光照到线段BC上的线段E凡E、F是线段2C（含端点）上的动点，在转动

灯光的过程中，始终保持乙£;4F=：不变.

4

（1）当“48建时，求被灯光照到的区域△4EF的面积；

⑵求海岸线BC上被照到的线段EP长的最小值.

【解题思路】（1）分别利用正弦定理求得4尸,力£,再根据三角形得面积公式即可得解：

（2）设A到"的距离为d,根据北8c=^AB-AC=^BC-d可求得d,从而可得后产的最小值即为△力“面

积的最小值，设匕BAE=6,0<0<；,分别利用正弦定理求得AFME,再根据三角形得面积公式结合三角

4

恒等变换求得△AEF面积的最小值，从而可得出答案.

【解答过程】(1)解：在中，Z.B=-.Z.EAB=-,LAEB=-,AB=1,

4612

由正弦定理，得篝=3也，所以=为,述:、.二W-1，

在ZMCF中，==1,

由正弦定理，得筝=当，所以”=学.3=今

苧s\n-2siny3

所以S“EF=\AE--=YX(V3-1)Xy=

(2)解:设A到“的距离为d,

由得d=当，

所以E尸的最小值即为△力EF面积的最小值，

设/84E=0,0<0<-,

4

在A/18E中，由正弦定理得*==/lE=—辛―，

sin,sin管-8)2sin("：)

在Ai4CF中，由正弦定理得二=—TT—V=>AF=7^7，

sin-sing+0)2cos6

17tV2V2V2\/21

SAAEF=>4F-sin-=—

乙

2sin0+k（sin。+cos8）cos。

_1_________1___________11

一彳1a1+cos26-2&sin侬+今）+1

2sm26+----2----

>--^-=-(72-1),

2遮+121)

当且仅当e=：时，取“二”，

当面积最小时，由S-EF=/「•[，得EF=2或S-EFN2-应，

所以线段EF的最小值为2-收

【变式6-2](2022・湖北・高二阶段练习)如图，经过村庄A有两条夹角为60。的公路A8/C,根据规划在两条

公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=3km.

a

p

N.

AB

(1)当/力时可=30。时，求线段AP的长度；

(2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？(即工厂与村庄的距离