北师大版九年级（上）数学期末试卷+解析

北师大版九年级上册数学期末试卷

考试范围：九上第1章-九下第2章；考试时间：150分钟；总分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第［卷（选择题）

评卷人得分

-----------------一、单选题

1.已知2=5,则工的值是（）

aa+b

A.--B.--C.-D.-

3333

【答案】A

【分析】由工5,可得力=5”，然后代入r，即可求出其值.

aa+b

【详解】解：W=5,

；.b=5a,且aW0,

rniia-ba-5a-4a2

则--=----=---=---,

a+ba+5a6a3

故选:A.

【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用基本性质.本题中要先确定。与力的关系，再确

定a-b与a+b的关系.

2.如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（）

【答案】B

第1页共24页

【分析】根据俯视图的定义：从上方看几何体得到的图形叫几何体的俯视图，直接判断即可得到答案.

【详解】解：由图像可得，

正五棱柱的俯视图是长方形，中间有三条线，两条虚线一条实线，

故选B.

【点睛】本题考查俯视图的定义：从上方看几何体得到的图形叫几何体的俯视图，解题的关键是注意能看

到的是实线看不到的是虚线.

3.如果反比例函数y="的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是()

A.k<2B.k<-2C.k>2D.k>-2

【答案】A

【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出2<0,即可得出结果.

【详解】解：•・•反比例函数的图象位于第二、四象限，

：.k-2<0,

：.k<2,

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证

是解决问题的关键.

4.已知一元二次方程(a+1)炉+2旅+(a+1)=0有两个相等的实数根，则下面选项正确的是()

A.1一定不是方程+bx+G=0的根B.0一定不是方程X2+bx+Q=0的根

C.1和一1都是方程X2+bx+a=o的根D.1和一1不都是方程X2+bx+a=0的根

【答案】D

【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到/=(2b)2—4(Q+4=0,据此求出a-b+l=O或。

+方+1=0,从而判断出1和-1不都是方程d+bx+a=0的根.

【详解】解：•・•一元二次方程(a+1)必+2取+(a+1)=0有两个相等的实数根，

・・・/=(2b)2-4(a+1)2=0,

.*.fc2=(a+l)2,

，力=。+1或h=-a-l,

，Q-b+l=O或a+b+l=O,

当”-〃+l=0时，x=-l是方程(+bx+a=0的根，

当a+6+1=0时，x=l是方程/|bxIa=0的根，

第2页共24页

Al和-1不都是方程%2+bx+a=O的根，

而0有可能是方程必+bx+a=Q的根，

故选：D.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程©2+与+c=0(QH0)的根与A=b2-4ac

有如下关系：①当/>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当/=0时，，方程有两个相等的两个实数

根；③当4V0时，方程无实数根.

5.已知与、必是一元二次方程，一6%+3=0的两个实数根，则与冷的值为()

A.6B.-6C.一3D.3

【答案】D

【分析】利用根与系数的关系求解即可.

【详解】解：・・・巧、不是一元二次方程6%+3=0的两个实数根，

••x?=3,

故选：D

【点睛】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是熟练掌握根与系数的关系.

6.如图，||l2II13,直线。、〃与小12>%分别相交于点力、B、。和点。、仄£若43=3,DE=2,EF=4,

【答案】C

【分析】由。11%II的可得普=需再代入数据进行计算即可.

L/CCI

【详解】解：llIIl2II%，

A3_DE

'EF'

•••48=3,DE=2,EF=4,

32

,,正一不

・•.BC=6,经检验符合题意.

第3页共24页

故选c

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握"两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例〃是解本

题的关键.

7.如图，长30m,宽20m的矩形基地上有三条宽％m的小路，剩余522m2种花，依题意列方程()

A.20%+30X2%=600—522B.20%+30x2%—x2=600—522

C.(20-2x)(30-x)=522D.(20-x)(30-2%)=522

【答案】C

【分析】根据题意可得种植花苗的部分可以合成长(30-x)m,宽(20-2x)m的矩形，从而即可得出关于x

的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：•.•长30m,宽20m的矩形基地上有三条宽xm的小路，

•••种植花苗的部分可以合成长(30-x)m,宽(20-2%)m的矩形，

根据题意得：(20-2%)(30-％)=522,

故选：C.

【点睛】本题主要考杳了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键.

8.将抛物线y=-2无2+1绕原点。旋转180。，则旋转后抛物线的解析式为()

A.y=2x2B.y=2x2+1C.y=-2x2-1D.y=2x2-1

【答案】D

【分析】先求得抛物线的顶点坐标，进而根据旋转不改变函数图象形状大小，只改变开口方向，得到新的

抛物线的顶点坐标，进而求解

【详解】解：・・3=-2d+1的顶点坐标为(0』)，绕原点。旋转180。，新的抛物线的顶点坐标为(0,-1),

且开口朝上，大小不变，即a=2

工旋转后抛物线的解析式为y=2M-1

故选D

【点睛】本题考查了旋转的性质，丫=。必+上缶工0)的图象与性质，求得旋转后的顶点坐标是解题的关键.

9.两个三角形相似比是2:3,其中小三角形的周长为18,则另一个大三角形的周长是()

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A.12B.18C.24D.27

【答案】D

【分析】根据周长比等于相似比，进行计算即可.

【详解】解：•・•两个三角形相似比是2:3,

，两个三角形的周长比为：2:3,

•・•小三角形的周长为18,

工大三角形的周长是18X3+2=27；

故选D.

【点睛】本题考查相似三角形的性质.熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，是解题的关键.

2x

10.已知抛物线y=ax-2ax4-c(a<0)过点4a1,m),B^x2,Tn),C(x3,n),D(x4,n),其中；q<x2»3<

若仇>小则下列式了一定正确的是()

A.0<—<1B.0<—<1C.—>1D.—>1

X3X4X3X4

【答案】B

【分析】由题意可得%对=一券=1,可得当时，y随%增大而减小，当xvl时，y随%增大而增大，由

%1<x2»X3<%4，rn>n,可知不</V1<小<仙，进而可判断答案.

2

【详解】解：Vy=ax-2ax+c(a<0),A(xltm)tB(x2,rn),C(x3,n)fD(x4,n),

・•・抛物线的对称轴为：“对二一爱=1,

则当％>1时，y随x增大而减小，当xv1时，y随x增大而增大，

*.*X1<x2»x3<%4»rn>n,

,不<Xi<1<x2<x4,

Vx3,力的正负不能确定,

・•・也的值可能为负，

1V%2Vx4，

0<WV1,

X4

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键.

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第II卷(非选择题)

评卷人得分

11.如图，在AABC中，48=8,8c=14,D,E分别是边力从4c的中点，点尸在。E上，且乙4尸B=90。,

则EF的长是___________

【答案】3

【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：•・•点。，E分别是边AB,AC的中点，

・・・DE是△4BC的中位线，

•:BC=14,

：.DE=^BC=7,

,：z.AFB=90°,AB=8,

・"T"=%

：.EF=DE-DF=7-4=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

12.若关于x的一元二次方程ad+.+2=0(Q丰0)有一根为％=2021,则一元二次方程a(x-I)2+b(x-

1)=-2(a*0)必有一根为.

【答案】2022

【分析】把所求一元二次方程-I)2+b(x-1)=-2(a工0)变形，再与原一元二次方程a，+bx+2=

0(a。0)比较即可求出答案.

【详解】解：・・・0%2+版+2=0940)有一根为％=2021,

将一元二次方程a。-I)2+b(x-1)=-2(a丰0)变形得a(x-I)2+b(x-1)+2=0(a丰0),

：.x-l=2021,即％=2022,

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故答案为:2022.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的变形，掌握一元二次方程未知数的变化规律是解题的关键.

13.往往高端的食材，只需要采用朴素的烹饪方式.当某房间里累积了足够多的丸子时，令人期待的午餐,

也就飘香四溢了.在一个四宫格火锅里有倒卜•了两种锅底，•种是清汤锅底，一种是麻辣锅底.小伙伴们

将100粒丸子随机投入四个宫格中，将其都装出后拿出房间，外面的小伙伴数了数有49粒是清汤味的，估

计倒入红汤锅底的宫格数是

【答案】1

【分析】先求出清汤味的概率进而求出清汤味的宫格数为2,由此即可得到答案.

【详解】解：•・•一共有100粒丸子，其中有49粒是清汤味的，

，清汤味的概率为器-0.5,

又・.•一共有4个宫格，

・•・清汤味的宫格数为2,

又•••在一个四宫格火锅里有倒下了两种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底，

・•・红汤锅底的宫格数为1,

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，用概率求数量，正确求出清汤味的宫格数为2是解题的关键.

14.AJO4三个顶点的坐标分别为出5,0),0(0,0),以3,6),以原点。为位似中心，相似比为j将△408

缩小，则点4的对应点8的坐标是.

【答案】(1,2)或(-1,-2)/(-1,-2)或(1,2)

【分析】根据位似变换的性质解答即可.

【详解】解：•・•△403顶点3的坐标为(3,6),以原点O为位似中心，相似比为%将△4OB缩小，

・••点4的对应点夕的坐标为(3x；,6x1)或[3x(-»6x(-1)],即(1,2)或(-1,-2),

故答案为：(1,2)或(-1,-2).

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【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似

比为A,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或

15.若二次函数y=2(x-1)2+1的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数

的解析式为.

【答案】y=2(x+1)2-1

【分析】直接根据"上加下减，左加右减〃的原则进行解答.

【详解】解：将抛物线y=2(x-1)2+1向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到y=2(x-1+2)2

+1-2.故得到抛物线的解析式为y=2(x+1)2-1.

故答案为：y=2(x+1)2-l.

【点睛】本题考查二次函数平行问题，熟记口诀是解题的关键.

16.如图，正方形4BCD的边长为8,E是CD边上的动点(E不与C,D重合)，△ME与△ADE关于直线4E

对称，把△AOC绕点力顺时针旋花90。得到△AOG,连结PG,『C.现有以下结论：

①乙/=ADAF：

②次•的最小值为8或-8：

③当DE=2时，G尸=10；

④当E为CC中点时，C尸所在直线垂直平分4G.

其中一定正确的是.(写出所有正确结论的序号)

【答案】②③

【分析】如图，连接BE,根据轴对称的性质得到"=/10,Z-EAD=Z.EAF,根据旋转的性质得到

LGAB=LEAD.求得乙G力瓦4F,根据全等三角形的性质得到FG=8£根据正方形的性质得到

BC=CD=AB=8,根据勾H殳定理即可得至IJ结论；

【详解】解：如图，连接BE,

第8页共24页

•••△AFE^j^ADE关于4E所在的直线对称，

AF=AD,Z-EAD=Z-EAF,

•••△4/无按顺时针方向绕点A旋转9。"得到△ABG,

AG=AE,Z.GAB=Z-EAD,

AZ.GAB=Z.EAF

z.GAB+^.BAF=^.BAF+z.EAF,

•••Z.GAF=Z.EAB,

故①错误；

当CFIE尸时,CF有最小值，此BTNCFE=90。,

AZ.AFE=90°,

/.Z.AFE+Z.CFE=180°,

••.4F、C三点共线，

即CF有最小值时，点尸在对角线AC上，

Z.ACD=45°,

EF=CF,

CE=V2EF,

•••CE+EF=8,

二夜EF+EF=8,

AEF=-^—=8>/2-8,

企+1

•••CF=8V2-8,

故②正确；

在aGAF和△EAB中，

(AG=AE

\z.BAG=Z.EAF,

(AF=AB

.••△G/IFw△EAB(SAS),

第9页共24页

FG=BE,

•・•四边形48CD是正方形,

•••BC=CD=AB=8.

•••DE=2,

•••CE=6,

在RtA8CE中，BE=y/BC2+CE2=>j82+62=10,

:.GF=10,

故③正确；

当E为CD中点时，BG=DE=4,

•••CG=BC+BG=12,

又AC=>/AD2+CD2=8V2,

**•CG*CAj

点C不在AG的垂直平分线上，

二CF所在直线不会垂直平分AG,

故④错误；

故答案为：②③.

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，添加恰当辅助线

构造全等三角形是本题的关键.

评卷入得分

17.解下列一元二次方程

(1)3/+5(2x+l)=0；

(2)4X2-4A+1=/+6工+9.

【答案】(1)(2)工=4或工=

【分析】(1)将方程化为一般式，确定a,b,c值，代入公式求解:

(2)将方程左右两边配成完全平方式，利用直接开平方法求解.

【详解】(1)V3x2+5(2x+l)=0,

/.3x2+10x+5=0,

3—3»b—10,c—5,

第10页共24页

.*.△=100-4x3x5=40〉0,

.一10士、硒-5±Vio

・・x=——-——=---

63

(2)4x2-4x+l=x2+6x+9,

:、(2x-l)2=(x+3)2,

A2x-1=±(x+3),

/.x=4或x=-1

【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤及根据系数特征选择合适的解法是解答此题的关键.

18.如图，。力。。。的对角线力C，8。相交于O,AE=CF.求证：DE=BF.

【答案】详见解析

【分析】根据平行四边形的性质可得8。=。。，NO=C。，再利庄等式的性质可得反?=产。，然后再利用S4S

定理判定凡进而利用平行四边形的判定和性质解答即可.

•・,四边形"是平行四边形,

：,BO=DO,AO=CO,

•・NE=CF,

：.AO-AE=CO-FO,

:・EO=FO,

在△8OE和△OO产中，

(BO=DO

I乙BOE=LDOF,

(EO=FO

:.△BOEQXDOF(SAS),

:・BE=DF,ZBEO=ZDFO,

第11页共24页

:.BE//DF,

・•・四边形4瓦必是平行四边形,

:・BF=DE.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对角线互

相平分，证明三角形全等是解题的关键.

19.学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑力B的高度（如

图1）,如图2,在地面上取E,G两点，分别竖立两根高为2G的标杆E尸和G"，两标杆间隔EG为27m,

并且古建筑A8,标杆E尸和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到。处，从。处观察力点，A,F,。三

点成一线；从标杆G”后退4m至此处，从C处观察X点，4,H,C三点也成一线，请根据以上测量数据，帮

助实践小组求出该古建筑的高度.

A

卜、

BEDGC

图1图2

【答案】29m

【分析】设E8=xm,由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物43的

高度.

【详解】解：由题意可知：ADFEMDAB,△CHGCAB

FEDEHGCG

•e•=11,

43DBABCB

•••EF=HG=2,

茄一布'

DE_CG

DB-CB"

设xm,则」=4

£B=4+27+x,

解得:x=27,

—FE=一DE，

A3DB

.2_2

""A3~27+2’

第12页共24页

AB=29.

答：该占建筑高29m.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，求出=的值是解题的关键.

20.如图，一次函数y=%+b的图象经过点8（-1,0）,且与反比例函数y=g（x>0）的图象在第一象限交

于点力（1,n）.

⑴求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）当1vXV6时，求反比例函数y的取值范围.

【答案】（l）y=%+1,y

（2）\<y<2

J

【分析】（1）根据题意首先把点网一1,0）代入一次函数y=%+b求出一次函数解析式，又点人（1,九）在一

次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点力的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解

析式；

（2）根据反比例函数的性质分别求出当％=1,%=6时的y值，即可得到答案.

【详解】（1）解：把点B（-l,0）代入一次函数y=x+b,

得0=-1+b,

h=1,

，一次函数解析式为：y=x+l,

•・•点4（1,n）在一次函数y=%+3的图象上,

n=14-1=2,

工点A的坐标是（1，2）.

•・•反比例函数y=:的图象过点4（1,2）.

第13页共24页

，A=1x2=2,

・••反比例函数关系式是：y=；；

(2)解：由(1)知反比例函数y=

当4>0时-，y随工的增大而减小，

而当％=1时，y=2,当％=6时，y=

工当1<xV6时，反比例函数y的值：<y<2.

【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求出解析式，

再利用性质求反比例函数y的取值范围.

21.如图，在中，AB=AC,点、D、E分别是线段8C、4)的中点，过点力作方可8C,交8E的延长

线于点立连接CE试判断四边形/JOCE的形状，并给予证明.

【答案】四边形405是矩形，理由见解析

【分析】先根据三线合一定理证明力Z)J_8C,再证明。后是△85的中位线推出DEIIC/结合4FIBC即可证明

四边形力。。尸是平行四边形，由此即可证明四边形力OC产是矩形.

【详解】解：四边形4OC/是矩形，理由如下：

9

：AB=ACt。是的中点，

：.AD1.BC,

,：AF\\BC,

：・/EAF=/EDB,NEFA=/EBD,

•・•£是4。的中点,

：.AE=DE,

:.△AEgADEB(AAS),

第14页共24页

・•・BE=FE,即点E是BF的中点,

又•：点、D是BC的中点，

是△比下的中位线，

ADFHCF,

又；”||BC,

，四边形力。6是平行四边形，

\,ADlCD,

・•・平行四边形4OCE是矩形.

【点睛】本题主要考杳了矩形的判定，三角形中位线定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键.

22.为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾〃，于“五・〃期间举办了抽奖促销活动.活动规定：

凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个

红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得

黄球，则不中奖.同时•，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它

们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出

1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.

⑴求该顾客首次摸球中奖的概率；

(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的

理由

【答案】(1);

(2)应往袋中加入黄球，见解析

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解.

【详解】(1)解:顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果.

记"首次摸得红球〃为事件4则事件A发生的结果只有1种，

所以P(4)=),所以顾客首次摸球中奖的概率为;.

(2)他应往袋中加入黄球.

理由如下：

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记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如卜.:

第二球

红黄①黄②黄③新

第一球

红红，黄①红，黄②红，黄③红，新

黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新

黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新

黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新

新新，红新，黄①新，黄②新，黄③

共有20种等可能结果.

（i）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8利。此时该顾客获得精美礼品的概率Pi=4=或

（ii）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2=蔓=小

因为所以P1VP2,所作他应往袋中加入黄球.

【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、

创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键.

23.随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加.

（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年底

到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；

（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用

房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划

建造单人间的房间数为/（104W30）,且双人间的房间数是单人间的2倍.设该养老中心建成后能提供养老

床位），个，求y与，的函数解析式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？

【答案】（1）20%；（2）y=-4t4-300,10<t<30,该养老中心建成后最多提供养老床位263个

【分析】（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x,根据该市

2018年底和2020年底的养老床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论：

（2）设该养老中心建成后能提供养老床位歹个，根据床位数=单人间数+2x双人间数+3x三人间数，即可得

出『关于，的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题.

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【详解】解：（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为X，

依题意得:2（1+刈=2.88

解得:Xi=0.2,X2=~2.2

Vx>0,

，x=0.2,

答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%；

（2）依题意得：y=f+2Z+3（100-3f）=-4f+300,其中10MW30,

VA=-4<0,

・\y随，的增大而减小，

；・当，=10时，y取得最大值，最大值为一4x10+300=260（个）.

答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准数量关系，正确的列出

对应的一元二次方程以及能根据各个数量间的关系找到.y关于/的函数关系式.

24.如图①，在正方形4BC0中，点E,F分别在AB,8c边上“8=kAE,DE1",垂足为G,过点。作CH||AF,

交DE于点、H.

图②

⑴求证：AE=BFi

（2）求需的值（川含A的代数式表示）；

⑶如图②，当k=2时，连接4H并延长，交。。于点求证：CM=2DM.

【答案】（1）证明见解析

哈一

⑶证明见解析

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【分析】（1）根据正方形的性质得到全等，再依据全等三角形的判定可以得到线段相等;

⑵先根据正方形得到平行，再利月平行线分线段成比例得到结论；

⑶根据正方形的性质即可求得相似三角形，再根据相似比可以得到线段的关系.

【详解】（1）证明:•:DE1AF,

工乙4G。=90。,

：,Z.DAG+Z.ADE=9O°.

•・•在正方形48co中，AD=AB,LDAE=/.ABF=90°,

：.z.DAG+z.BAF=90°,

：.z.ADE=乙BAF,

：.^ADEBAF,

*.AE=BFx

（2）解：延长C〃交HO于点P,

图1

在正方形ABC。中，AD=AB=BC,ADWBC,

又：Cmi4F,

・•・四边形HFCP是平行四边形，黑=瞿

DHUr

：.AP=FC,

：,DP=BF,

*：AE=BF,

：.DP=AE,

•ZB=kAE,

•\AD=kDP,

\'AP=AD-DP=(k-ly)DP,

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（3）证明：

图2

*：AB=kAE,k=2,

•\AB=2AE,

设正方形。。的边长为2a,则47=a,

，在Rt^/lOE中，由勾股定理得DE=V§Q,

•・•在正方形48co中，/-DAE=Z.CDA=90°,

：.z.ADE+^-CDH=90°,

VDE1/1F,

・LOGF=90。，

,：CH\\AF,

:•乙DHC=^DGF=90°,

：.£DCH+Z-CDH=90°,Z-DAE=/.DHC,

：,LADE=/-DCH,^ADE-AHCD,

.AE_DE

,*DW-CD

a_y/5a

DH~2a

•no2西

••DH=—Q.9

・、行

..EvHu=­3a

o

•・•任正方形为BCD中，ABIIDC,

=AAEH,乙DMH=LEAH,

・•・△MDH〜△AEH,

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.DM_PH

*'~EA~前

2VS

.DM-ya

•・「咯，

2

・・.DM=：a,

3

=CD-DM=2a-^a=:a，

33

：.CM=2〃M.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段

成比例，掌握常用辅助线的作法是解题的关键.

25.已知抛物线y=。/+匕”—3(a>0)与x轴交于力，B两点、(点4在x轴正半轴)，与y轴交于点C,

连接BC,AB=4,LBCO=45°.

⑴求抛物线的解析式；

(2)若点。在点8,C之间的抛物线上运动(不与点8,C重合)，连接。。交8。于点E,连接。。.记△CDE,

△COE的面积分别为Si，S,求心的最大值；

2S2

(3)已知抛物线的顶点的为G,过点G的直线/与抛物线的另一个交点为P,直线/与直线八y=一?交于点

F,过点尸作厂的垂线，交抛物线于点。，过PQ的中点"作MN1「于点N.求证：MN=gPQ.

【答案】(l)y="2-2X-3

屁

⑶见解析

【分析】(1)根据抛物线解析式可得C(0,-3),根据等角对等边推得8(3,0),4(-1,0),待定系数法即可求

得抛物线的解析式；

(2)过点£•作EM_LOC于点M,点。作ONJ.OC于点N,根据三角形的面积公式可推得普=当萨，待定系数

法求直线8C的解析式为丫二无一3,设E(Q,Q-3),求得直线。E的解析式为y二尸工,设。(b,丛一2b-3),

求得直线。。的解析式为丫=巴产X,根据史泻=卓，推得一=一3(6-3)3+i根据二次函数的性质

可得当b=泄，等有最大值为不即可求得；

(3)根据抛物线的性质可求得顶点G(l,-4),连接QN和PN,过点、P作PHJ.I'与点H,待定系数法求直线PG

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的解析式为:ypG=k(x-1)-4,求得直线PG与直线厂的交点坐标为尸(1一5一今，求得Q(1-5高一4)

根据直线PG与抛物线交于P,G两点，求得「(1+化好-4),PH=k2+^Q尸=£记++根据平行线分线

段成比例公理可求得FN=NH=：FH="飞,根据正切的定义推得“NF=乙NPH,根据等角的余角相等

上LOK

可得"QN=NHNP,推得“NP=90。，根据中线的判定可得MN是RtZkPNQ斜边上的中线，根据直角三

角形斜边上的中线是斜边的一半口]可证明MN=]PQ.

【详解】(1)解：•・•抛物线丫=。/+力X-3(a>0)与x轴交于/,B两点、(点8在x轴正半轴)，与y

轴交于点C,连接3C,

.”(0,-3),

•・N8C0=45。，

：・OC=OB,

J8(3,0),

VAB=4,

将小一1,0),8(3,0)代入抛物线y=a/+bx-3得：

(Q=a—b—3

l0=9a+3d-3，

解得：L"=\，

lb=-2

・•・抛物线的解析式为：y