高考复习：高中数学必背公式

高中数学必背公式、常用结论

一.二次函数和一元二次方程、一元二次不等式

b

1.二次函数》=如2+法+。的图象的对称轴方程是x=-,顶点坐标是

2a

'bAac-b2>

—9o

、la4。）

2.实系数一元二次方程a/+以+。=0的解：

①若A=/?2-4ac>0,则x=;

2a

②若△=//2-4〃c=0,贝Jx=x=-°；

122a

③若Auy—4icvO,它在实数集R内没有实数根；在复数集。内有且仅有两个共地复

(h2-4ac<0).

3.一元二次不等式ax2+bx+c>0（。>0）解的讨论:

A>0A=0A<0

二次函数甘V

y=ax2+bx+c

A

（4Z>0）的图象X

一元二次方程

有两相异实根有两相等实根

2b

ax+bx+c=OX=x=-

再，々（为<X2）无实根

（。>0）的根122a

cur+bx+c>0Jb!

]xx^-

m>o)的解集l2R

2

cix+hx+c<0{xx<x<x}0

(a>0)的解集0

二、指数、对数函数

1.运算公式

m-逗1

（1）分数指数哥：an=；“"=（四上〃>0,〃2,〃£'*,且〃>1）.

a

(2).指数计算公式：dn-a"=a,n+n；(a'n)"=a',u>；(«-b)m=/•b,n

⑶对数公式：①小=NologN=b；②log„(MN)=log“M+log”N：

Mn

③logaN=噢"M-log,N；④log*=/°g/・

⑷.对数的换底公式：logN=10gwN.对数恒等式：d叫'=N.

loga

2.指数函数y=4/(。>0且awl)的图象和性质

a>l0<a<l

图

象

(D定义域：R

性(2)值域(0,+8)

质(3)过定点(0,1),即x=0时，y=l

(4)x>0时，y>l;x<0时,0<y<l⑷x>0时0<y<l;x<0

时，y>l.

(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数

3.对数函数y=log“X(〃>0,。，1)的图象和性质

a>l0<a<1

X=1

图y=1。氐*

E(1.0)

(1.0)(a>,)

>,=〔％x

X=1

(0<a<l)

(l)x40,+8),ywR

(2)当x=l时，y=0；

(3)当x>l时,y<0,

(3)当x>l时,y>0,

0<x<l时，y>0；

0<x〈l时,y<0；

(4)在(0,+oo)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数

三.常见函数的导数公式:

1.①C=0；②(1")'=〃/」；③(sinx)=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(〃，)'=〃'InQ：@(ev)=ex；⑦(logx)=:⑧加工)1=。

xlna..

2.导数的四则运算法则：(〃土vy=M±牝(〃i，y=〃'u+’’=；

wv;()

VV2

3.复合函数的导数：死=尤'也；

四.三角函数相关的公式：

180

1.⑴角度制与弧度制的互化：兀弧度=180。/。=:弧度，1弧度=（尸57。］8

1ol）兀

⑵弧长公式：/=0R；扇形面积公式：S=1//?=,0/?2o

22

2.三角函数定义:角a终边上任一点（非原点）P3y）,设|OP|=〃则：

yy

sina=,cosa=x,tana='

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）

4.诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

兀

5.（l）y=/4sin（car+（p）对称轴：令au+<p=依+,得彳二;对称中心：

百一

',（））（让Z）'

co

依一9

（2）y=>4cos（cav+（p）对称轴：令（at+q>=Z兀，得4二；对称中心：

3

依+-（P

（----2-.0）（4GZ）；

co

2兀

⑶周期公式:①函数5j=Asin（oir-Hp）及y=Acos（oir+（p）的周期T=（A^3、（p

为常数，

且AW0）.②函数y=Atan（Gr+（|））的周期T=%（A、3、（p为常数，且AN0）.

6.同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=1;S*nX=tanx

cosx

7.三角函数的单调区间及对称性、

71兀|

（Dy=sin.r的单调递增区间为,112kn-,2依+|£€Z,单调递减区间为

r-21L22J

7137rl71

2匕t+—,2&兀+keZ,对称轴为x=kit+—（keZ）,对称中心为

L22J2

®0）（keZ）.

⑵y=cosx的单调递增区间为[2E—兀2依,单调递减区间为

\2k7t,2kn+7i]keZ,兀、

对称轴为x=wZ）,对称中心为|产+―,0]（keZ）.

71

（3）y=tanx的单调递增区间为（兀---，E+—GZ,对称中心为

他0%团.

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(a±|3)=sinacosp±cosasinp；cos(a±p)=cosacospTsinasin(3；

tana±tan[3

tan(a±P)=-

1+tanatanp

②sin(a+[3)sin(a-p)=sin2a-sin2p；cos(a+p)cos(a-p)=cos2a-sin20.

③。sina+/?cosa=sin（a+（p）（其中,辅助角（p所在象限由点（a,份所在的象

限

决定，tan(p=).

a

2

9.二倍角公式：①sin2a=2sinacosa.(sina±cosa)=1±2sinacosa=1±sin2a

②cos2a=cos2a-sin'a=2cos?aT=l-2sin2a(升一公式).

14-cos2a

cos'a=J,/降塞公式）.

2

10.正、余弦定理:

aC

⑴正弦定理：.===2R（2R是"。C外接圆直径）

sinAsinBsinC

注：@::c=sinA:sinB:sinC；@a=2/?sinA.h=2/?sinB,c=27?sinC；

卧abca-^-b+c

^)===o

sinAsinBsinCsin/A+sinB+sinC

b2+c2-a2

(2)余弦定理：a2=b2+c2-2Z?ccosAcosA=等三个。

2hc

‘bh='ch(h>

11.几个公式:（D三角形面积公式：①S=ah=〃、h分别表示

b

22'2'"

11

a>b、c边上的高)；②S=—。8sinC=-〃csinA=—casin3.

222

五。立体几何

1.表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S*；②侧面积：Sf2兀汕；③体积：V=S«h

⑵锥体：①表面积：S=SlM+Stt；②侧面积：Sw=n/7；③体枳：V=s«h：

3

⑶台体：①表面积：s=s+s+S；②侧面积：S5什+"愚体"

*上底下底«1

（S++5'）h；

⑷球体：①表面积：S=4兀A?；②体积：V=，7吠3.

3

2.空间中平行的判定与性质：

1）、直线和平面平行：

⑴定义：若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行.

⑵判定定理：若a<za,"ua且aI。'，则ala；若a||。目.aua则有。

⑶性质定理：aIa.且〃up,aG0=/则〃lI

2）、平面与平面平行的判定与性质：

⑴定义：如果两个平面没有公共点则称两个平面平行。

⑵判定定理：若ouQ/ua旦。|。力|。则all。。

若aua/ua,a'u[3,u。且a11",/"//则a||。<）

⑶性质定理：若allB，any=afGy=〃则有aIb

3.空间中垂直的判定与性质：

1）、直线与平面垂直：

⑴定义：设/为平面a内的任意一条直线，6/1/,则。la。

⑵判定定理：若aua,bua,aC\b=P,且则/_La。

若。|仇b_La则aJ_a

⑶性质定理：若L_La,则411/2<>

2）、平面与平面垂直：

⑴定义：如果两个平面所成的二面角的平面角为90°,则称这两个平面互相垂直。

（2）判定定理:若/la,/cp,则有|31a。

⑶性质定理：若alp.an。=/,aua且all,则/J.|3。

若a_LY，p_Ly,aCP=/则/_Ly。

六.解析几何：_

1.斜率公式：女二乃-X,其中p（x,）,）、

X-A111222

直线的方向向量u=(。力)，则直线的斜率为々="(*0).

a

2.直线方程的五种形式：

⑴点斜式：y-y1=k\x-xA)(直线/过点尸]区,“)，且斜率为Q.

⑵斜截式：)，=履+/?(匕为直线/在丁轴上的截距).

(3)两点式：y-y\=x—M(P(x,y)、P(xyy)xwx,ywy).

v—yX—X1112221212

2121

xy

(4)截距式：+二1(其中。、分分别为直线在x轴、)，轴上的截距，且。工0力。0).

ab

(5)一般式：Ax+By+C=O(其中A、B不同时为0).

3.两条直线的位置关系：

(1)若/[：y=A]X+4,/,:y=k2x+b2,510：

①/[〃/20Al=6.工力2；②/1J.6o二一1・

(2)若4:A[X+8]y+G=0,/2.A2x+B2y+C2=0,则：

出修且工

①/J〃2=42—4=0A|G—&G0；@/I1/2<^A,A2+B1B2=0.

4.求解线性规划问题的步骤是：

(1)列约束条件；(2)作可行域，写目标函数；(3)询定目标函数的最优解。

5.两个公式：

⑴点P(xo.y0)至IJ直线Ax+By+C=O的距离：d=；

⑵两条平行线Ax+By+CO与Ax+By+C=0的距离

IZ

6.圆的方程：

⑴标准方程：①(％-。)2+()，一份2=产:②,+)2=/。

⑵一般方程：X2+)，2+。工+小，+/=0(D2+E2-4F>0)

注：Ax?+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆OA=CNO且B=0且D'+E-dAFX)

{x=rcosG

7.圆的方程的求法：(1)待定系数法；(2)几何法。

8.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)

⑴点与圆的位置关系：<d表示点到圆心的距离)

点在圆上；②d<R=点在圆内；③d>Ro点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：(d表示圆心到直线的距离)

①^二〃〜相切；②d<R=相交；③d>R=相离。

⑶圆与圆的位置关系：Id表示圆心距，RJ表示两圆半径，且R>r)

①d>R+/*=相离；②d=R+r=外切；③R-r<d<R+r=相交；

④d=A—r。内切：⑤0<d<A—尸=内含。

9.直线与圆相交所得弦长|=2

10.椭圆、双曲线、抛物线

椭圆双曲线抛物线

定义1.到两定点F1,B的距离之1.到两定点HE的距离之

和为定值2a(2a>|FEI)的点差的绝对值为定值

的轨迹2a(0<2a<|FF2|)的点的轨迹

2.与定点和直线的距离之比2.与定点和直线的距离之与定点和直线的距离相等的点

为定值e的点的轨迹.比为定值e的点的轨迹.的轨迹.

(0<c<l)(e>l)

图形

标准方x2丁

4-'一、x2v2

2

方程2-.2=1(a>°，b>0)y=2px

crb~ab-

参数方iX=«sccO卜(t为参数)

程程[y=Z?sin6y=btan6jy=2p/

(参数的离心角)(参数的离心角)

范围—a<x<a»—b<y<b|x|>a,yeRx>0

中心原点0(0,0)原点0(0,0)

顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0-b)(a,0),(—a,0)(0,0)

对称轴x轴，y轴;x轴，y轴；X轴

长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b.

隹占尸(P,0)

Fi(c,0),F2(-C,0)Fi(c,O),F2(-C,0)

2

焦距

2c(c=a2-lr)2c(c=a2-i-Z?2)

c

离心率e=C(0<e<\)e=(e>l)e=l

aa

准线22x=J

,a~,a

x=±x=±19

cc

,b

渐近线y=±x

a

焦半径r=a±exp

r=±(ex±a)r=x+

2

通径

2b22b2

2P

aa

焦参数

a2a2

P

cc

七.等差、等比数列:

等差数列等比数列

定义

{an]^jA-P<=>an+i-an=d(常数)｛a｝为G,P="川=虱常数）

册

通项公

an=。]+(n-1)d=ak+(n-k)

式

d=dn+-d

求和公n(a\+a〃)n(n-1).na\(q=、)

%=0=〃/+°d

式2aa-aq

do；d、n\n("1

=n~+(a-)n1-q\-q

212

中项公22

A=2推广：2%=G=ab推广：a=axa

式nmn^m

]

荐若m+n=p+q则a+a=a+a若m+n=p+q,贝ijaa=aa。

淘mnpqmnpq

2

若｛先｝成A.P（其中3EN）则｛勾｝若｛尤｝成等比数列（其中左€等）,

n

也为A.Po则｛4｝成等比数列。

ft

3

•S”，$2“一S”，$3“-$2”成等差数列。s„,S*-Sn,s3n-%I成等比数列。

4

,ci„—ci,u,—a”，、n-\_Pan-m_

d=­—1=•—n"(利w〃)ci-'q

n—1m—na\a?R

(m*ri)

2.看数列是不是等差数列有以下三种方法:

①an-an-\=d(n>2,d为常数).②2an=0M.i+an.x(/:>2)

③an=kn+b（n,k为常数）.

3.看数列是不是等比数列有以下2种方法：

①。=ag（〃之2,q为常数，且工0）②a?=a-a（zz>2»aaa0）'

〃“T."„+iI”川e

Si=<71(77=1)

4.数列｛%｝的前〃项和S“与通项许的关系:

”(〃之2)

①1+2+3…+n=3:②]2+22+3?+Q=〃")(2〃+1)

常用公式:；

26

「〃(〃+「]’1111111

③户+23+33"3=I,@/[、=-1；⑤=.(-.)

\_2']n(n+1)nn+\〃(几+2)2〃〃+2

Ao复数

i.复数的四则运算法则：

⑴(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)—(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i;

ac+bdbe-ad

(4)(o+〃)+(c+di)=+,i(c+diwO).

$+d~c『+小

2.复平面上的两点间的距离公式：

d=\z-z|=(z=x+jz,z=x+yi).

12111222

3.几个重要的结论：

(1)z+z2+z-z2=2(z'+z2);(2)z-z=z2=z2;(^)(l±z)2=±2/;⑷:/一，二

'21-/1+/

An4rt+I4n+24w+3

⑸i性质：T=4；i=l,z=ij=-l,z=-i：4+/用+产2+i4m3=0.

4.模的性质：⑴IZZ1=1ZIIZI；(2)1Z,|=|Z，1;(3)|zz,1=1Zro

1212.I

九。向量

运算

几何方法坐标方法运算性质

类型

TTTT

a+b=b+a

TTTTTT

加L平行四边形法则

。+〃二区+孙,+%：(a+b)+c=a+(b+c)

法2.三角形法则

AB+BC=AC

——T-

a-h=a+(-/?)

减

三角形法则a-b=(x-xy-y)

法l2ii2---♦

AB=-BAtOB-OA=AB

T

1.Mz是一个向量，满T—♦

—•—♦X(|jr/)=(Xp)t7

足：|猫1=1九13

XX.

—•—•T。+卜以=猫+卜口

2.九＞0时，A/7与〃同向;TTTT

I向T

—•TMa+b)=Xzz+/J?

量

九＜0时，Mi与a异向；—•—•—♦—•

—♦-♦allboa=肪

X=0时，Xzz=0.

-♦T-♦T

TT

a,b=b•a

是一个数

—♦TT

向———T

(Az?)•人=cc(kb)=九3«份

量1.4=0或b=0时，

—•T―♦1T—♦—♦—♦

的——

。•匕=匹々+)'1%(a+b)9c=a^c+b^c

数cfb=0.

量*,2一

"且〃工6时，a=|a\2即⑷=x2+

积

2.---TTT-♦T

a'b=\a\\b\cos(a,b)\a^b\<\a\\b\

2.重要定理、公式

（1）平面向量基本定理

e„物是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一

对实数入I,入2,使a=入⑹+人必.

⑵两个向量平行的充要条件:a//bb=\ao七为一七)’1=0；

⑶两个向量垂直的充要条件:aA-b(。工0)=a•b=0x]x2+=0

九.不等式

1.不等式的基本性质

（1）a>b<^b<a（对称性）；（2）a>b,b>c=>a>c（传递性）

（3）a>b=>a+c>b+c（加法单调性）

（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）；

（5）a>b.c<d=>a-c>b-d（异向不等式相减）

（6）a.>b,c>0^>（ic>be,（7）a>b,c<0=>ac<be（乘法单调性）

（8）a>b>0,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）；

（9）a>b>0.0<c"n”’（异向不等式相除）

cd

（10）।/（倒数关系）：（11）”>8>0na">"（〃eZ,且〃>1）（平方法则）

ab

n

（12）a>b>0=>>b（nGZ,.H.n>1）（开方法则）

a+b

2,均值不等式：工&（ayb>0）

2

a+b2a2+b2

注意：①一正二定三相等；②变形：ab<（）<（a,bwR）。

22

3.极值定理：已知儿），都是正数，则有：

（1）如果积X），是定值〃，那么当x=y时和x+y有最小值2；

⑵如果和x+y是定值3,那么当x=y时积X），有最大值1$2.

4

十.概率和统计:

1.概率

⑴互斥事件(有一个发生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

A包含的基本事件的个数

⑵古典概型:P(4)二

基本事件的总数

构成事件A的区域长度(面积或体积等)

⑶几何概型：P(A)=

试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)

益程辑锻的估计：一；

X=(X)+X;+---+A；,)=Z%，

⑵样本方差$2=1[(x一幻2+(x一幻？+.二'+。-幻2]J(x-X)2；

I2"-▽一

〃nZb/

⑶样本标准差S=kr)2+(x-x)2+…+(x-x)2]=

n'

3.相关系数(判定两个变量线性相关性)：

Z(i)(X7)X(x,T)(x-y)

XIi=l

注：⑴厂>0时，变量乂)，正相关；r<0时，变量负