2026高考数学复习（湘教版）第十节 函数模型及其应用

第I节函数模型及其应用

【课程标准】1.了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指

数增长、对数增长等不同类型函数增长的含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、

分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

教材梳理’夯实基就

L几类常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J(x)=ax+b(a,b为常数,a#0)

反比例函数模型./(x)q+/Kb为常数且后0)

二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，WO)

指数函数噗型f(x}=bax+c(a,b,c为常数，Q0且印,厚0)

J(x)=b\ogax+c(a,b,c为常数,。>0且

对数函数模型

屏0)

鬲函数模型/(x)=ad+力(%方，〃为常数，存0,〃和)

2.几种函数增长快慢的比较

函数

y=ax月03y=^

gl)5>1)(〃>0)

在（0,+8）

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随x的增大逐渐表现随X的增大逐渐表

图象的变化随〃值变化而各有不同

为与四平行现为与逐平行

值的匕檄存在一^Xo,当x＞x（）时，有logoX＜炉＜〃'

【常用结论】

“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常

用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

【自主检测】

1.(多选)下列说法错误的是)

A.函数产2、的函数值比y=/的函数值大

B.不存在xo,使Q*v就〈log"。

c.在(0,+8)上，随着x的增大，产rm>i)的增长速度会超过并远远大于严Fgi)的增长速度

D.“指数爆炸”是指数型函数y=a6+c(a#0,b>0且厚1)增长速度越来越快的形象比喻

答案：ABD

2.某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量,(单位：亳克)

与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图.现拟从

下列四个函数模型中选择一人估计y与x的关系，则应选用的函数模型是()

“毫克[

0]

A.y=ax+b

B.+仇”>0)

C.y=xe,+b(a>Q)

D.y=ax+^a>0,b>0)

答案：B

3.已知/(x)=Vg(x)=2',A(x)=logit,当x£(4,+s)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选

项中正确的是()

A../W>g(x)>/?(x)B.g(x)>/(x)>/*(x)

C.g(x)>h(x)>J(x)D.fix)>h(x)>g(x)

答案：B

解析：当x£(4,+oo)B寸，易知增长速度由大到小依次为g(x)次x)训。故选B.

4.某种茶水用100。。的水泡制，再等到60。(?时饮用可产生最佳口感.已知茶水温度M单位：。(?与经

过时间“单位：min)的函数关系是：y=ka'iyu,其中。为衰减比例，卢是室温，，=0时，丁为茶水初

1

始温度，若室温为20。(2,茶水初始温度为100笛，则仁,产生最佳口感所需时

间是min.

答案：808

解析:由题意J=£d+2(),当，=()时/=%+20=1()0,解得〃=80,贝Uy=80d+20.当y=6()时，即80^+20=60,

则即(1)8苫，所以片8min.

学生用书I第54页

考点探究提升能用

考点一用函数图象刻画变化过程自主练透

1.(2024广东广州综合检测)如图，一高为〃且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开

时,水从孔中匀速流出，水流完所用时间为「若鱼缸水深为k时,水流出所用时间为/,则函数h=J3

的图象大致是()

ABC

答案：B

解析：水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快.故选B.

2.(2025•浙江杭州模拟)有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是()

X23456

y1.402.565.311121.30

A.y=>/xB.y=^-2x

C._v=log2XD.y=2x-3

答案：B

解析：/(3)42)=1.16,/(4)不3)=2.75,/(5)八4)=5.69,/(6)-/(5)=10.3,通过所给数据可知，y随元

的增大而增大，且增长的速度越来越快，A、C选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的

速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确.故选B.

3.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疔作用时，该药物的血药

浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度

及相关信息如图所示：

血药浓度(mg/mL)

...........最低中毒浓度(MTC)

峰浓度

安全他困

最低有效浓度(MEC)

时

01'2'3'4*5t6T^910fll'2

J持续期一-残留期

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是)

A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用

B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒

C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒

答案：ABC

解析：从图象中可以看出，首次服用该药物I单位约10分钟后药物发挥治疗作用，故A正确；根

据图象可知，首次服用该药物1单位约I小时时的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药

间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，故B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓

度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，故C正确；第1次服用该药物1

单位4小时后与第2次服用该药物1单位I小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会

发生药物中毒，故D错误.故选ABC.

-规律方法・

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法

1.构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

2.验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中

排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.

考点二已知函数模型解决实际问题师生共研

典例[S⑴(2024•福建龙岩三模)声音的等级段)(单位：dB)与声音强度.1(单位：W/nF)满足

/U)=10xlge•喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为

一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为()

A.120dBB.100dB

C.8()dBD.60dB

⑵侈选)(2025•安徽蚌埠第三次质量检测)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.

如果物体的初始温度为空气温度a。C保持不变，贝1分钟后物体的温度〃(单位：。@满足：

归仇+(%-拆)若空气温度为10℃,该物体温度从oC(90W0W100)下降到30P大约所需的

时间为力若该物体温度从70。。50。(?下降到30。。大约所需的时间分别为d③则()

(参考数据：In2=0.7,ln3=l.l)

A./2=20B.284W30

C.A22/3D.A-Z2W6

答案：(1)D(2)BC

解析：(1)设喷气式飞机起飞E寸声音强度和一般说话时声音强度分别为X2,由题意可导

•/UMlOxlg蒜=140,解得力=102,因为葭=牛=10)所以X2=10,所以欢0-6)=i0xig^=60,

所以一般说话时声音的等级约为60dB.故选D.

(2)由题意可知，夕=10+(&-1(1)5”叫当)=30,则30=10+(3-10)e0°5，i,&Pe005^=-^-,-0.05/1=ln

Oplu

我，则八=20In誓，其是关于仇的单调递增函数，当仇=90时，八=20In誓=20In4=40In2=28,

aplUZUZU

当。1=1()()时，A=20In嗤匕201n畀2()(21n3-ln2户3(),则28W/W30,故B正确；当a=70时，

1=20111笆=201n3或2,故A错误;当仇=50时,A=201n誓=201n2句4,此时满足力22ah心26,

故C正确，D错误.故选BC.

•规律方法・

根据给定函数模型解决实际问题的技巧

1.认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数.

2.根据已知条件，确定模型中的待定系数.

3.分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题.

学生用书I第55页

对点练I.（2024•内蒙古包头三模）冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层

的臭氧层，使臭氧量。呈指数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式

。=。0©。.002叫其中Q是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，，是时间，以年为单位.若按照关系

式。=。。©。皿5,推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则小的值约为（In2M.693）（）

A.584年B.574年

C.564年D.554年

答案：D

解析：由题意知，0=00。°°25”小,则”。。25珀三,解得廿-400畤=80012工554年.故选口.

对点练2.（2024•福建福州高三质检）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振

兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款

人的年收入x（单位：万元）的Logistic模型：P（X尸:e.0.9680出，已知当贷款人的年收入为8万元时,

其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入为（精确到0.01万元,

参考数据：In3R.0986,In2-0.6931）（）

A.4.65万元B.5.63万元

C.6.40万元D.10.00万元

答案：A

解析：由题意0（8）=1，：£：4=5（）%[,所以林=1,即-0.9680+84=0,得〃=0.121,所以

A•c/

^.0.968040.121X--0.9680+0.121Xoc〜八八……

P（X）=]二。网。+。」”令P（X）=i]。皈。+。诬=40%乏，得5e@9680+。」2y（1+产680+0[21）得e-o.%8

°9⑵后，BP-0.9680+0.12Lv=ln|,解得x=@鬻吗4.65.故选A.

JJU.11

考点三构建函数模型解决实际问题多维探究

角度1构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型

典例日小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需

投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本/x）万元，在年产量不足8万件时,

%）卡+、（万元）；在年产量不小于8万件时，W（x）=6x+蹩38（万元）.每件商品售价为5元.通过市

X

场分析，小王生产的商品当年能全部售完.

⑴写出年利润，口）（万元）关丁年产量M万件）的函数解析式；（注：年利润-年销售收入-固定成本-

流动成本）

（2年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

解：⑴因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元,

依题意得，当0<x<8时，L(.v)=5.r-Qx2+x)-3=-1r2+4.v-3；

当x28时，L(x)=5x-(6x+--38)-3=35-(x+?).

-^x24-4x-3,0<x<8,

所以〃x）=

35-1+阴，x>8.

⑵当Ovx<8时，L(x)=W06)2+9.

J

即当x=6时，〃X）取得最大值，最大值为9万元;

当G8时，L（x）=35-（x+-^-）<35-2Jx--^=35-20=15,当且仅当x=—,即x=10时等号成立，即

x=10时，£&）取得最大值，最大值为15万元.

因为9<15,所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15

万元.

-规律方法・

数学建模解决实际问题的步骤

第一步：分析：正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各

种信息.根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰

当的假设；

第二步：建立数学模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立

相应的数学结构；

第三步：解模：求得数学问题的解；

第四步：回归：将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用

性.即：

注意：构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.

角度2构建指数函数、又搔函数模型

典例§(I)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按比速度,

设2010年的冬季冰雪覆盖面积为小，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面枳＞，与x

的函数关系式是()

X

A.y=0.95标〃？

B.y=(l-0.05^)w

C.y=0.9550-vw

D.^=(l-O.O55Ox)-w

学生用书I第戈页

⑵北京时间2020年II月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成

功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火

箭的最大速度贝km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量胆(kg)的国数关系是近2

0001n(l+\).按照这个规律，当1000M=8机时，火箭的最大速度为功；当1000M=4〃?时，火箭的

最大速度为S,则(参考数据：足箸。004)()

A.8.0kin勺B.8.4km/s

C.8.8km/sD.9.0km/s

答案：⑴A(2)A

解析：⑴设每年减少的百分比为明由在5()年内减少5%,得(1-。)5。=1-5%=95%,即a=l-"5%徜.

所以经过X年后一与X的函数关系式为y=”(l-Q)x=m(95%)而=0.95而•”故选A.

(2)由火箭的最大速度。和燃料的质量M、火箭的质量的函数关系是。=2000ln(l+3),当1

000日时,冷嬴所以s=20001n(l+嬴)=2OOOIn牌;当1000"=4〃时限高

所以V2=2000111(1+高)=2000111^,可得Vi-V2=2OOOhi黑=2000ID||Y=2000x0.004=8.0km/s.

故选A.

•规律方法・

应用指、对函数模型应注意的问题

1.指、对函数模型的应用类型，常与增长率相结合进行考杳，在实际问题中有人口增长、银行利率、

细胞分裂等增长问题可以利月指、对函数模型来解决.

2.应用指、对函数模型的关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参

数，从而确定函数模型.

3j，=a(1通常利用指数运算与对数函数的性质求解.

对点练3.(1)(2024•山东济南模拟)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，国家有

关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL,小于80mg/100mL的驾驶行为为酒

后驾车，80mg/100mL及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精

含量上升到了100mg/100mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那

么他至少经过个小时才能驾驶汽车.(参考数据：1g5X).7,1g7-0.85)

(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌

行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几

个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用《单位：万元)之间满足

函数关系式x=3-信.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32

万元，若每件产品的售价定为‘进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”

之和，则该公司的最大月利润是万元.

答案：(1)4.7(2)37.5

解析：⑴设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1-30%W20,所以07U02

又尸07为减函数，所以e°g(,70.2器嗡黑瑞春47，

所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车.

(2)由题意，产品的月销量x(隼位:万件)与投入实体店体验安装的费用/(单位:万元)之间满足x=3-告,

即所乂月利润为

O-X

y=(32x15+^)X-32A--3-/=16A-1-3=16A--=45.5-[16(3-X)+^1^45.5-2716=37.5,当且仅当

16(3㈤=*，即尸?时取等号，则最大月利润为37.5万元.

考教衔接

[真题再现]（多选）（2023・新课标I卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定

义声压级的=20%3，其中常数次（/，0>0）是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压

Po

级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1()40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为⑶，P2,小，则

（）

A.pi2P2B.P2>10/73

C.P3=100poD.piW100〃2

答案：ACD

解析：由题意可知：£*£[60,90],小£[5（）,60],心=40,对于A,可得

©-42=20x|爵20乂电超=20xlg,因为则〃Up2=20x]g"20,即出包20,所以包21目

PoPoP2P2P2P2

p\,pi>0可得pi刁2故A正确；对于B,可得42-43=20x]g丝-20x[g空=20x]g"，因为£〃2-£曲210,

lPoPoP3

则2Oxi*2io,gpIg^l所以内且P2,p00,可写P22同P3,当且仅当42=50时，

等号成立，故B错误；对于C,因为。3=20x怆”=40,即1*=2,可得先=100,即p3=lOO/.，o,故C

PoPoPo

正确；对于D,由A可知：0-%=2Oxlg”,且〃1-42^90-50=40,则20xlg"W40,即1修<2,

P2P2P2

可得包W100,且pi,〃2>0,所以piWlOOp?,故D正确.故选ACD.

P2

[教材呈现]（湘教版必修一P120例9）地震的强烈程度通常用里氏震级河=lg/l-lg小表示，这里力

是距离震中100km处所测量地震的最大振幅，4）是该处的标准地震振幅.

（1）若一次地震测得力=25mm,4=（）•（）（）1mm,该地震的震级是多少（计算结果精确到0.1）?

（2）计算里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍.

点评：该高考题及教材例题分别以声压级和震级为背景考查对数函数模型在实际问题中的应用，是

教材例题的拓展，解法相似.

课时测评17函数模型及其应用警生

用书P343

（时间：60分钟满分：10（）分）

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）

◎基础排查练（每小题5分共60分）

1.设甲、乙两地的距离为矶。＞0）,小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分

钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程J，和其所

用的时间x的函数图象为（）

答案：D

解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A、C.又因为小王在乙

地休息10分钟，故排除B.故选D.

2.（2025・陕西榆林模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收"（明•《增广贤

文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%,那么一年后是（1+1%）365=1.01^5；

如果每天的“退步”率都是：%,那么一年后是（1-1%）365=0.993叱一年后“进步”的是“退步”

的儡1=（/）3611481倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20%,则要使“进步”的是“退

步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：怆2之0.301,1g3=0.477）（）

A.10天B.11天

C.12天D.13天

答案：C

解析：设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则IOOx（l-O.2）^1,2\即偌）\100,

所以41咱.2100=瞿高R1.36（天）.故最少要经过12天.故选C.

3.（2025・浙江绍兴模拟）某乡村要修建一条100米长的水渠,水渠的过水横断面为底角为120。的等腰

梯形（如图），水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水

横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约

为（参考数据：V3=1.732）（）

120°

A.0.58米B.0.87米

C.1.17米D.1.73米

答案：B

解析：如图，设过水横断面为等腰梯形18。。，过点8作8从LCD于已NBAD=NABC=120。,要

使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则IOOxG4“+4C+40x100=30000,解得

AB+BC+AD=3TK.®BC=X,则48=3-2X,BE专,C£=1x,CD=3-x,且（）4〈会则梯形力8C。的

面积S=经等受=乎（y2+2%）,当x=l时，Smax=^,此时4月=40.87,即当过水横断面面积

2442

最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为0.87米.故选B.

4.（2024・四川成都一模）海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用//尸/“火。表示其总衰减规律，

其中K是平均消光系数（也腼减系数），。（单位：米）是海水深度，加单位：坎德拉）和友（单位：坎

德拉）分别表示在深度。处和海面的光强.已知某海区I。米深处的光强是海面光强的30%,则该海

区消光系数K的值约为（参考数据：In2-0.7,In3kL1,In5=1.6）（）

A.0.12B.0.11

C.0.07D.0.01

答案：A

,OK

解析：由题意得，3O%/o=/oe-,即30%=e-叫两边取自然对数得，-10K=ln3-ln10=ln3-ln2-In5,

所以K」n2+y咚0.7+；.1=QI2.故选A.

5.（2024•广东深圳期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该

产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本①（x）万元，其中

x2+10x,0<x这40,

必人）-ooo若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该

71%+^10^-945,x>40.

X

企业每年利润的最大值为（）

A.720万元B.800万元

C.875万元D.900万元

答案：C

70X-（X2+10X+25）,OV%W4O,

解析：该企业每年利润./W=/oooA当0〈xW40时，

70x-（71x+1-O^-945+25）,x>40,

fix）=-x2+60.r-25=-（x-3O）2+875,当x=30时，_”）取得最大值875；当.r>40时，

.仆）=920-1+丝詈）在920-2^^=720（当且仅当x=100B寸，等号成立），即当x=100时，心）取

得最大值720.由于875>720,所以该企业每年利润的最大值为875万元.故选C.

6.（2024•安徽合肥联考）一般地,声音大小用声强级"单位:dB）表示,其计算公式为：L=101g（部1

其中/为声强，单位：W/m:若某种物体发出的声强为5/。W/m2,其声强级约为（1g2=0.3。）（）

A.50dBB.55dB

C.60dBD.70dB

答案:A

解析：由已知得“101g（需）=10x（12-101g5）=10x（12-10若）=10x（2+101g

2户10x（2+10x0.30）=50（dB）.故选A.

7.（多选）（2024•山东临沂模拟）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3

km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，

超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（）

A.出租车行驶2km,乘客需付费8元

B.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元

C.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元

D.某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10km一次的费用

答案：CD

解析：对于A,出租车行驶2km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；

对于B,出租车行驶4km,乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误;对于C,出租车行驶10km,

乘客需付费8+2.15x5+2.85x2+1=25.45（元），故C正确；对于D,某人两次乘出租车均行驶5km

的费用之和为2K（8十2.15x2十1）-26.6（元），一次行驶10km的费用为25.45元,26625.45,故D

正确.故选CD.

8.（多选）（2024•河北唐山联考）某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽

奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，

等级x与购物卡的面值M元）的关系式为三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的

面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则（）

A.a--In5

B.k=\5

C.一等奖的面值为3130元

D.三等奖的面值为130元

答窠：ACD

解析：由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以黑::"r学K）-1卷c:~凿vKj=e**ZU=5,则a=-ln5,

故A正确；由（/a+b+/c）_（e4a+d+/c）=e3a+/,（l-ea）=100,可知e3"b=125.因为四等奖的面值是五等

奖的面值的3倍,所以eX〃+A=3（eeb+Q廨得左=5,故B错误；三等奖的面值为4+卜=125+5=130

元，故D正确；由e“+〃+R=eb+%z+A=125x25+5=3130,故一等奖的面值为3130元，故C正确.

故选ACD.

9.（多选）（2024•江苏常州检测）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，采用里氏震级标

准.里氏震级的计算公式为河=怆誓（其中常数小是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的

最大振幅，4曲是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的

能量以单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知ERO'Sxio旧。其中〃

为地震震级.下列说法正确的是（）

A.若地震震级历增加1级，则最大振幅4mx增加到原来的10倍

B.若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍

C.若最大振幅4侬增加到原来的10倍，则放出的能量E增加至嫄来的I0VTU倍

D.若最大振幅4网增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的I000倍

答案：AC

解析：因为M=M+l=l+lg警=lg"拌，所以月'max=l（Mmax,故A正确；因为良=10,*x1（）⑻，'=

出人0

48L5A/，

l04.8x|01,5（Af+l）=|04,8x|0l.5Wd.5=10l,5£/故B错误；因为］g2照="+1=M,E'=10X10

Ao

=1o48x1o15（M+1）=1o4-8X1o15^+15=10>SE=1oVlOE,故C正确,D错误.故选AC.

10.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行

判断已知水中某生物体内抗生素的残留量），（单位：mg）与时间/（单位:年）近似满足关系式片2（1-3力,

原0,其中二为抗生素的残留系数，当，=8时，尸%则4.

答案：;

解析：因为?=41-3卸），所以3-就=>3-2,解得/三.

11.（2024•四川绵阳检测）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病

人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2000mg,如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，

为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过h内向病人的血液中补充这种药，才

能保持疗效.（附：1g223010,lg3M.4771,精确到0.1）

答案:6.6

解析:设xh后血液中的药物量为ymg,贝！J有），=2000（1-10%）,,令y21000,得例者寸「吃;；产6.6,

故从现在起经过6.6h内向病人的血液中补充这种药，才能保持疗效.

12.某核电站爆炸导致约8吨的强辐射物严重泄漏，事故所在地被严重污染.主要辐射物是锢90,它

每年的衰减率为2.47%,经专家模拟估计，辐射物中锢90的剩余量低于原有的8.46%时，事故所

在地才能再次成为人类居住的安全区,则事故所在地至少经过一年才能再次成为人类居住的

安全区参考数据：In0.0846=2.47,In0.9753。・0.03.（结果保留整数）

答案：83

解析：设辐射物中原有的锢90有a（0〈av8）吨.经过Z”N_）年后辐射物中银90的剩余量为。⑺吨，

则P（f）=a（l-2.47%）。f£N+,化简得尸”）=0.9753，%WN+,由题意得，0.9753%<0.（）846《不等

式两边同时取对数，得In0.9753Vn0.0846,化简得/In0.9753<ln0.0846,由参考数据得

-0.03f<-2.47.所以。等82.3,所以事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区.

电综合运用练

13.（20分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明“活水围网”养鱼

时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度。（单位：千克/年）是养殖密度*单位：尾■立方

米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，9的值为2千克/年；当4<xW20时，。是x的一次函数，当

x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，。的值为0千克/年

⑴当0<xW20时，求。关于x的函数解析式；（8分）

⑵当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克立方米）可以达到最大。并求出最大值.（12分）

解：⑴由题意得当0<x£4时，v-2；

当4<xW20时，设v=ax+b(a^0),

显然片如+/,在（4,20]内单调递减,

,20a入,I«=--

+b=0,8

由已知得解得5

4a+b=2,p=-,

所以

O/

2,0<xW4,x€N+/

故函数p=

4-|,4<x<20,N+.

⑵设年生长量为/（x）千克立方米，依题意并由

（2%,0V%W4,zEN+,

⑴可得/（》）=-5j

2

（--x