广东深圳宝安区2025-2026学年七年级下学期期中学情调查数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年第二学期期中学情调查

七年级数学

考试时间：90分钟

一、选择题（每题3分，共8小题，共24分，每小题只有一个正确答案）

1.2026年马年春晚舞台上，一个奔马矩阵装饰的单个微型入£0灯珠厚度约为0.00078厘米，请用科学记

数法表示0.00078为（）

A.7.8x10-5B.0.78x10-5C.7.8xlO-4D.78x10^

2,2025年11月21日，第十五届全国运动会闭幕式在广东深圳举行，下列给出的运动图案中是轴对称图

形的是（）

AS），中

3.下列计算正确的是（）

A.B.-j-tz'=a4

C.（b-a）（a+b）=a2-b2D.-6x（x-3y）=-61+18盯

4.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.2026年2月16日是我国除夕，这一天会下雨

B.掷一枚骰子，向上一面的点数是6

C.任意画一个三角形，其内角和是360。

D.在班上任选13名同学，至少有2人的生日在同一个月份

5.中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他

的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）.如图，Zl+Z2=30°,则N3的度数为（）.

6.如图，已知=ZC=ZE,下列条件中，无法判定△AB。义的是（）

A

12

c

A.NB=NDB.BC=DEC.Z1=Z2D.AB=AD

7.如图，将长方形纸片沿石口折住，点、A,〃分别落在B'处,若*恰好落在边C。上，如

果测得/EFB'=a,则NCB'F的度数为（）

/---------\/f

A.90°-2aB.2a-90。C.180°-2«D.90。-a

8.如图，直线叱上有两点4、C,分别引两条射线48、CD.ZBAF=\20°,CO与48在直线

Q异侧.若NOC产=30。，射线力8绕点力以1度/秒的速度顺时针转动、射线CO绕点。以4度/秒的速

度同时逆时针转动，设转动时间为，秒，在射线CO转动一周的时间内，当/的值为（）秒时，CO与

48第一次平行.

A.10B.20C.30D.40

二、填空题（每题3分，共5小题，共15分）

9.已知三角形的三边长分别为2,6,x,则x的值可以是.（请写出一个符合题意的整数）

10.数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个

黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色

的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中

选择一个填空）

本频率

030

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

藕（百次）

01234567

11.一副三角板按如图所示的方式摆放，且N1比42大50。，贝1"2的度数为

12.如图，在V/8c中，以点力为圆心，4C的长为半径作弧交于点。，再分别以点8和点。为圆

心，大于g田的长为半径作弧，两弧分别交于点"和点M连接MN交AB于点、E,若48=18,

AC=W,则V4OE的周长为

13.如图，在V44c中，AC=BC,48=4,V44C的面积为10,作力。_L/C,且ZQ=4C,连

接8。，点E为射线48上的动点，当。E的长度最短时，V8DE的面积为.

C

三、解答题（共7小题，共61分）

14.计算：

-3

（1）（/T-2026）°-（-3）2+-；

⑵（-〃下.a-一2片）二

15.先化简再求值：卜3»-2;</）+（工2一。一2），）*+2_>0,其中x=-l,y=2.

16.如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标

有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”,其余的面标有“6”，投掷这枚骰子一次，则:

（1）向上一面的数字是6的概率是,向上一面的数字是（）的概率是；

（2）现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明决胜，否则

小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平.

17.如图，在V4中，CD平分NACB交AB于点、D,点、E,尸分别在14、4c边上,

（1）请用直尺和圆规，过点。作。〃〃彳。交4。于点〃.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若Nl+N〃QC=180。，Zl=148°,请：①证明E/〃CQ；②求NB//O的度

数.请完成如下的几何推导：

解：・・・N1+N〃QC=180。，

/HDC=180°-=180。-148。=32。，（等式的性质）

,rDH//AC,

Z2=ZHDC=32°,（）

:.Zl+Z2=148o+32°=180°,

：,EF//CD,（）

・•・/ACB==2*32。=64。，（角平分线的定义）

•・,DH//AC,

/BHD==64。.（两直线平行，同位角相等）

18.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木莺”，后来随着造纸术的发

明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的“风筝”图案中，风筝的

一角（NE）缺失，为修补该风筝，现测得：/BAF=NDAC,NB=/D,AB=AD,AC=50cm.

（1）求修补完风筝后力石的长度.

（2）若用纸面积为75cm2,求△£”产的用纸面积.

19.综合与实践

【材料1】

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思

想方法，探究一些乘法公式的时候，就可以借助数形结合的方法对于一个图形，通过不同的方法计算图形

的面积可以得到一个数学等式.

（1）如图，在边长为。的大正方形中有两个小正方形，阴影部分的面积可以用2种不同的方式表示，请

写出下图所表示的数学乘法公式：.

【材料2】

（2）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这个整体（即换元）

的方法，好处是能使式子得到简亿，便于解决问题，充分体现数学的整体思想.

如：已如关于x的一元一次方程2x-a-51r+2026①的解为工-1,求关于V的一元一次方程

2（1—丁）一。二5（1-歹）+2026的解•.

要解决这个问题，可以令，二1一），贝I可得至iJ2z-a=5/+2026,该方程与方程①同解，则，=1,则

\-y=\,解得：y=0.

请利用（1）得到的公式和换元法，解决如下问题：

若（6+幻（4+工）=8,求（6+X『+（4+X）2的值.

【类比探究】

（3）若对于任意的有理数x,都有a=99x+100,/?=99x+101,c=99x+IO2,请从数形结合的角度

2

或代数运算的角度，求代数式/+〃+c-ab-bc-ac的值.

20.面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，

这就是特殊化策略.

【定义】如果一个三角形的一条角平分线和一条中线互相垂直，则称它们的交点为中垂点，该三角形为中

垂三角形，这条角平分线平分的内角为中垂角.

为了更好的研究中垂三角形的-一般性质，请利用特殊化策略进行探究.

BC

图1图2备用图

【特殊图形】

（1）从下列特殊的三角形切入研窕，根据定义，是中垂三角形的有

①等边三角形；②顶角为90。的等腰三角形；③三边长分别为4,4,2的等腰三角形.

（2）勤思组在上述特殊的三角形中探究发现，中垂三角形的边满足特定的数量关系.如图1,在YABC

中，BE平分/nBC交4c于点E,为V力3c的中线，BE与4D交于点、F,若ADA.BE,则

V/f8c为中垂三角形，此时V/8C的边力B和8C满足怎样的数最关系？请你写出来并说明理由.

【拓展应用】

（3）如图2,线段AC的长度为〃，在射线8〃上取一点力，使V48C是以为中垂角的中垂三角

形，作平分N/8C交4C于点上，中垂点为点/，若△C6的面积为3,请你画出符合题意的图形

（不限作图工具），在图上标注48的长度（用含。的式子表示），并直接写出的面积.

2025-2026学年第二学期期中学情调查

七年级数学

考试时间：90分钟

一、选择题（每题3分，共8小题，共24分，每小题只有一个正确答案）

1.2026年马年春晚舞台上，一个奔马矩阵装饰的单个微型入£0灯珠厚度约为0.00078厘米，请用科学记

数法表示0.00078为（）

A.7.8x10-5B.0.78x10-5C.7.8x1。"D.78xl0-3

【答案】C

【解析】

【分析】结合科学记数法的表示形式为4X10”，其中〃为整数，进行分析，即可作答.

【详解】解：0.00078=7.8x107.

2.2025年11月21日，第十五届全国运动会闭幕式在广东深圳举行，下列给出的运动图案中是轴对称图

形的是（）

A忒3D.

【答案】C

【解析】

【分析】熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图

形是解题关键.根据轴对称图形定义，进行分析判断即可.

【详解】解：A、自行车图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意：

B、人物图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意：

C、人物图案，沿中间竖直线折叠后，两边能完全重合，是轴对称图形，符合题意，

D、人物图案，沿任何直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意.

3.下列计算正确的是（）

A.a2-a3=a6B.

C.(b-a)(a+b)=a2-b2D.-6x(x-3y)=-6x2+18xy

[1D

【解析】

【分析】运用同底数辕乘除法，平方差公式，单项式乘多项式的运算法则，分别计算各选项即可得到正确

结果.

【详解】解：A、故该选项不符合题意；

B、/+/=/H故该选项不符合题意；

C、(h-a)(a^h)=h2-a2^a2-b2,故该选项不符合题意；

D、-6x(X-3,y)=-6x2+18xy,故该选项符合题意;

4.下列事件中，属于必然事件的是()

A.2026年2月16日是我国除夕，这一天会下雨

B.掷一枚骰子，向上一面的点数是6

C.任意画一个三角形，其内角和是360。

D.在班上任选13名同学，至少有2人的生日在同一个月份

【答案】D

【解析】

【分析】必然事件指一定会发生的事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是指不

可能发生的事件，根据定义逐一判断选项即可得到结果.

【详解】解：A、2026年除夕下雨可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；

B、掷一枚股子，向上一面的点数为6可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；

C、任意二角形的内角和为180°,不是3600,该事件一定不发生，属于不可能事件，不符合题意；

D、一年共有12个月份，任选13名同学，若前12名同学的生日分别在不同月份，第13名同学的生日一

定与其中1人在同一个月份，故事件一定发生，属于必然事件，符合题意.

5.中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他

的学生完成的(得出了光沿直线传播的结论).如图，Nl+N2=30。，则N3的度数为().

A.150°B.160°C.165°D.170°

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，N1和N2是对顶角，Z1=Z2=15。，又因为N1和23是邻补角，邻补角的定义

是两个角相邻且它们的和为180。.因此，我们可以得出N3的度数.

【详解】解：・・・/1和N2是对顶角，

Nl=N2,

QZ1+Z2=3O°,

Z1=Z2=15°,

N1和N3是邻补角，

Zl+Z3=180°,

Z3=180°-Zl=180°-15°=l65°.

6.如图，已知力E=4C,ZC=ZE,下列条件中，无法判定△力3cg的是（）

A.NB=NDB.BC=DEC.Z1=Z2D.AB=AD

【答案】D

【解析】

【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解.

【详解】A、添加N8=N〃，由"44S''可证△力8CWZX4。石，故选项A不符合题怠；

B、添加8C=QE,由“S4S”可证故选项B不符合题意；

C、添加/1=/2,由“1S4”可证故选项C不符合题意；

D、添加/4=/。，不能证明△力8c会故选项D符合题意；

故选：D.

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键.

7.如图，将长方形纸片4?。。沿EF折叠，点4,〃分别落在H,8'处，若"恰好落在边CO上，如

果测得/EFB'=a,则NCB'F的度数为（）

A.90°-2aB.2a—90。C.180。一2aD.90°-tz

【答案】B

【解析】

【分析】先结合折叠的性质得/上/9二/七用二。，运用平角的定义得/8如。=180。一2。，最后由三角

形的内角和性质列式计算，即可伦答.

【详解】解：•.・折叠,

:"EFB'=4EFB=a,

:♦/B，FC=180°-AEFB'-ZEFB=180。一2a,

•・•纸片是长方形，

.--ZC=90°,

在0CF中，NCB'F=180°-ZC-NB,FC=180°-90°-（180°-2a）=2a-90。.

8.如图，直线E7L上有两点4、C,分别引两条射线44、CD.ZBAF=\200,CO与44在直线

EF异侧.若乙DCF=30c,射线AB绕点A以1度/秒的速度顺时针转动、射线CD绕点。以4度/秒的速

度同时逆时针转动，设转动时间为，秒，在射线CQ转动一周的时间内，当z的值为（）秒时，。。与

48第一次平行.

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【解析】

【分析】先理解题意，结合旋转方向以及旋转速度表示当力4在石厂的右边时，Z^F=120°-Z,再结

合两直线平行，内错角相等得出乙R4〃=NOCE,代入数值计算，得出/=-6<0舍去；然后当。。在

EF的右边，结合两直线平行，同位角相等得出=代入数值计算，得出/=30,即可作

答.

【详解】解：・・・/。3=30。，射线CO绕点C以4度/秒的速度逆时针转动，

・•・当。。与。尸重合时，时间为30。+4=7.5（秒）

•：/BAF=120°,射线AB绕点N以1度/秒的速度顺时针转动：

・••当36在石尸的右边时，ZBAF-\200-t,

当DC在EF的左边，即0W，工7.5

则/。3=30。-4Z,

・•・乙DCE=180°-（30°-4r）=150°+4r

・・・CQ与平行.

・•・/FAB=NDCE

BP1500+4/=120°-/

解得"―6<0（舍去）；

当DC在火的右边，如图所示：

贝叱。C尸=4—30。，

•••8与力B平行.

・•・4FAB=ZDCF

即4/-30°=120°-/

・•・1=30〉7.5,符合题意；

即当工的值为30秒时，。。与48第一次平行.

二、填空题（每题3分，共5小题，共15分）

9.已知三角形的三边长分别为2,6,x,则x的值可以是.（请写出一个符合题意的整数）

【答案】5（或6或7）

【解析】

【分析】根据三角形三边关系确定的取值范围，再在取值范围内找出符合要求的整数即可.

【详解】解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，

可得6—2<x<6+2,计算得4<x<8,

因为x为整数，

所以可取5,6,7中任意一个.

10.数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个

黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色

的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中

选择一个填空）

4频率

030

0.25

0.20•

0.15

0.10

0.05।।।।।।।

।।।।।।।

0,2*34567次数（百次）

【答案】白球

【解析】

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率

值得到抽到该球的概率为0.2,再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案.

【详解】解•：由题意得，该球的频率稳定在0.2左右，即抽到该球的概率为0.2,

123

•・•抽到黑球的概率为历=0.1,抽到白球的概率为m=0.2,抽到红球的概率为m=0.3,拍到黄球的概

4

率为m=0.4,

・••该球的颜色最有可能是白球,

故答案为：白球.

11.一副三角板按如图所示的方式摆放，且"比42大50。，则/2的度数为.

【解析】

【分析】根据余知、补角的定义进行计算即可.

【详解】解：由图可知/1+/2=180。-90。=90。，

根据题意可知Nl=N2+50。

・•・Z2=(90°-50°)4-2=20°

故答案为：20。.

本题考查了余角的概念，互为余角的两角和为90°,解题的关键在于准确从图中找出两角之间的数量关

系，做出判断.

12.如图，在V48c中，以点力为圆心，4c的长为半径作弧交8C于点。，再分别以点〃和点力为圆

心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点〃和点M连接MN交力B于点E,若48=18,

2

4。=10,则V/4OE的周长为.

【解析】

【分析】本题考查「垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到例N为的垂宜平分线.

根据作法可得力。=力C,再由垂直平分线的画法可得A/N为“〃的垂直平分线，由此可•得£8=

再根据三角形的周长求解即可.

【详解】解：•••以点力为圆心，/C的长为半径作弧交8C于点。，

:.AD=AC=10,

•••以点4和点。为圆心，大于:纪的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N,

2

••・A/N为8。的垂直平分线，

:.EB=ED,

AB-AE+EB=18,

AE+ED=18>

二V/O£1的周长为4E+瓦）+力。=18+10=28.

故答案为：28.

13.如图，在VA3C中，AC=BC,AB=4,V45c的面积为10,RADIAC,且力£)=4C,连

接BQ,点E为射线彳B上的动点，当。石的长度最短时，VBDE的面积为

C

【答案】1

【解析】

【分析】先结合垂线段最短，得。£工48的延长线，再证明AC"4g△C〃3(HL),得4〃=2,

SKHA=S.3B=5,又因为AD=AC,证明△。//0△力QE(AAS)，故

DE=AH=2,5JD£=5CJ//=5,最后把数值代入工皿「=-b”.计算，即可作答.

【详解】解：依题意，当OE的长度最短时，即。E144的延长线，如图所示：

C

••.NCHA=/CHB=90。,

•・•CH=CH,AC=BC,

；.ACHA%CHB(HL),

AH=BH=—AB=—x4=2,S,=S=—S.=—x10=5,

22ACHALCnHt>B2△HC2

AD_LAC,

・•・/C4H+ND4E=9。。,

•・•OE443的延长线，

・•・ZAED=ZCHA=90°,

.•.NADE+NDAE=90。，

・•・^CAH=/ADE,

-AD=AC

故A。，丝△/OE（AAS）,

***DE-AH-2,S.ADE~SKXH~5»

则乂⑺。=；x4BxDE=；x4x2=4,

,•SdBDE=S&ADE—S4ADB=5-4=1.

三、解答题（共7小题，共61分）

14.计算：

<1Y3

（1）（万-2026）°-（-3>+-；

（2）（_Q）2.Q4_Q、Q2+（_2Q2）3.

【答案】（1）0

（2）-8a6

【解析】

【分析】（1）利用零指数塞的性质：。°=1（。/0）,负整数指数暴的性质。-"二口（〃，（）），以及乘方运

算，分别化筒各项后再进行加减运算；

（2）利用累的乘方、枳的乘方、同底数哥的乘法与除法法则，分别化简每一项，再合并同类项.

【小问1详解】

解：原式=1—9+8

=0.

【小问2详解】

解：原式二八八8。6

=-8/.

15.先化简再求值：（X》一2x2y2）+gx2一（x-2y）（x+2y）,其中X=-1,y=2.

【答案】2xy-x\-5

【解析】

【分析】运用多项式除以单项式，平方差公式计算，再去括号，然后合并同类项得2孙-最后把

x=-l,y=2代入2中计算，即可作答.

【详解】解：(无3y一2%2y2)・#一2y)Q+2y)

222

=2xy-4y-(x-4y)

=2xy-4y2-x2+4y2

=2xy-x2

当了=y=2时，原式=2x(_l)x2_(_l)2=_4_]=_5.

16.如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标

有“3”，4个面标有“4”,5个面标有“5”，其余的面标有“6”,投掷这枚骰子一次,则：

(1)向上一面的数字是6的概率是，向上一面的数字是0的概率是；

(2)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明荻胜，否则

小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平.

【答案】(1)：，0

4

(2)这个游戏不公平

【解析】

【分析】(1)先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可；

(2)先求数字是奇数共有9个面，然后利用概率公式求解即可.

【小问I详解】

解：投掷质地均匀的正二十面体形状的骰子，一共有20个面，每个面出现的可能性相同.

向上一面的数字是“6”的共有20-1-2-3-4-5=5个面，

・•・向上一面的数字是“6”的概率是上二1,

204

向上一面的数字是“0”的个数是0,

・•・向上一面的数字是“0”的概率是3=0；

20

【小问2详解】

解：•・•骰子质地均匀，

・•・20个面每个面向上的可能性相同，

若投到1、3、5,则为奇数，共9个面，

9

:・P（小明获胜）=—,

20

911

:・P（小红获胜）=1——=一，

2020

911

由丁<k可知：这个游戏不公平・

2020

17.如图，在V43c中，CD平分N4cB交4B于点、D,点E,尸分别在/〃、4c边上,

B--------------------------<-

（1）请用直尺和圆规，过点、D作DH〃AC交BC于点、H.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若N1+/〃OC=180。，Zl=148°,请：①证明£/〃CO；②求N6/7D的度

数.请完成如下的几何推导：

解：VZI+Z/ZDC=180°,

・•・Z.HDC=180°-=180°-148°=32°,（等式的性质）

•・•DH//AC,

AZ2=ZHDC=32°,（）

・•・Zl+Z2=148o+32°=180°,

:,EF〃CD、（）

平分/4C8,

；・/ACB==2x320=64。，（角平分线的定义）

•・•DH//AC,

:.乙BHD==64。.（两直线平行，同位角相等）

【答案】（1）见解析（2）N1；两直线平行，内错角相等同旁内角互补，两直线平行；2/2；/ACB

【解析】

【分析】（1）以点。为顶点，DB为边,在。8边右侧作/历!”二//即可得OH〃4C；

（2）根据两直线平行，内错角相等得N2=NCOH,可得/l+N2=180。，推出E/〃CZ）,根据角平

分线定义和平行线的性质可得出的度数.

【小问1详解】

解：如图所示，。，为所求.

解：VZ1+Z/7PC=18O°,

:.乙HDC=18O0-Z1=180°-148°=32°,（等式的性质）

•・•DH//AC,

AZ2=Z//Z）C=32°,（两直线平行，内错角相等）

:.Zl+Z2=148n-t-32n=18O0,

:・EF〃CD,（同旁内角互补，两直线平行）

•••。。平分/2。8,

A^ACB=2Z2=2x32°=64°,（角平分线的定义）

•・•DH//AC,

：・/BHD=NACB=64°.（两直线平行，同位角相等）

18.据史书记载，最早的风筝是Lt古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木身”，后来随着迨纸术的发

明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的“风筝”图案中，风筝的

一角（NE）缺失，为修补该风筝，现测得：/BAF=NDAC,/B=ND,AB=AD.AC=50cm.

（1）求修补完风筝后AE的长度.

（2）若用纸面积为75cm2,求△£〃产的用纸面积.

【答案】（1）4E的K度为50cm

(2)△£1〃厂的用纸面积为75cm2

【解析】

【分析】(1)证明△84。四△ZX4&ASA),即可得到答案;

(2)证明△£4G三△&4尸(ASA),根据图形间的面积关系即可求出答案.

【小问1详解】

解：•・,NBAF=/DAC,

・•・乙BAF+Z1=ZDAC+Z1,

即NB4C=ND4E,

在△8/C和中，

/BAC=/D4E

,AB=AD

ZB=ZD

・•.△BAC"ADAE(ASA),

AE=AC=50cm,

・•・修补完风筝后AE的长度为50c〃?.

【小问2详解】

)•:ABACHDAE,

AzC=z.F,AC=AE,

・•・在△E4G和VC4/7中,

fzC=Z-E

AE=AC

lzl=zl

:.△EAG=△C/1F(ASA),

•c-c

•'•S△区4G-S四边形HFHG=SaCM-S四边形”"G，

即S^EFH~S&CHG~75cm2,

的用纸面积为75cm2

19.综合与实践

【材料1】

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思

想方法，探究一些乘法公式的时候，就可以借助数形结合的方法对于一个图形，通过不同的方法计算图形

的面积可以得到一个数学等式.

(1)如图，在边长为〃的大正方形中有两个小正方形，阴影部分的面积可以用2种不同的方式表示，请

写出下图所表示的数学乘法公式：.

【材料2】

(2)换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这个整体(即换元)

的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想.

如：已知关于》的一元一次方程2x—a=5x+2026①的解为x=l,求关于V的一元一次方程

2(]-y)-a=5(1-y)+2026的解.

要解决这个问题，可以令Z=1-》，则可得到2/-。=5/+2026,该方程与方程①同解，则，=1,则

1-y=1,解得：y=o.

请利用(1)得到的公式和换元法，解决如下问题：

若(6+x)(4+x)=8,求(6+X)2+(4+X)2的值.

【类比探究】

(3)若对于任意的有理数x,都有a=99x+100,/?=99x+101,c=99x+IO2,请从数形结合的角度

或代数运算的角度，求代数式/+〃+c^-ab-bc-ac的值.

【答案】(1)(a-b)2=a2-2ab+b2

(2)20

(3)3

【解析】

【分析】(1)用两种方法表示阴影部分的面积即可得出结果；

(2)令。=6+x,b=4+x,利用完全平方公式变形计算即可；

(3)用三种方法进行求解即可.

【小问1详解】

解：由图可知，阴影部分的面积=(Q—8)2=—2Q6+报，

故可得数学公式为：(Q-b)2=〃-2"+〃；

【小问2详解】

解：令Q=6+X,b=4+x,则：

ab=8,a—b=6+x—(4+x)=2,

・•・原式=。2+/=伍一〃)2+246=22+2x8=20.

【小问3详解】

解：法1：依题可知：a-b=-\,b-c=-\>a-c=-2,

原式=+卜2+/+-2ab—2bc—2ac)

=；x[(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(a2+c2—2ac)]

=-^x[(a—b)2+(d-c)2+(a—c)2]

-1x[(-l)2+(-i)2+(-2)2]

=3.

法2：依题可知：a=b-\♦c=b+\t

・•・原式=3—1)2+/+(b+l)2_b(b_l)_b(b+l)_(b_l)3+l)

=3b2-2b+2b-v\^\-b2+b-b2-b-b2-v\

=1+1+1

=3.

法3：依题可知：b=a+\»c=«+2,

则/+〃+廿可以表示如上图的几何图形的面积,

其中③代表该区域面积计算3次，②代表该区域面积计算2次，①代表该区域面积计算1次.

依次减去长为〃+1、宽为。的长方形面积、长为。+2、宽为。+1的长方形面枳和长为。+2、宽为。的

长方形面枳，只剩下3块面积为1的小正方形的面枳，

因此原式=3.

20.面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，

这就是特殊化策略.

【定义】如果一个三角形的一条角平分线和一条中线互相垂直，则称它们的交点为中垂点，该三角形为中

垂三角形，这条角平分线平分的内角为中垂角.

为了更好的研究中垂三角形的•般性质，请利用特殊化策略进行探究.

BDCBCBC

图1图2备用图

【特殊图形】

(1)从下列特殊的三角形切入研究，根据定义，是中垂三角形的有.

①等边三角形；②顶角为90。的等腰三角形；③三边长分别为4,4,2的等腰三角形.

(2)勤思组在上述特殊的三角形中探究发现，中垂三角形的边满足特定的数量关系.如图1,在YABC

中，BE平分NABC交AC于点、E,力。为V48C的中线，EE与4D交于点F,若ADtBE,则

V/8c为中垂三角形，此时V/fBC的边力8和8c满足怎样的数量关系？请你写出来并