思维提升 培优点10 抽象函数的性质-2026年高考数学二轮复习

培优点10抽象函数的性质

［考情分析］抽象函数问题是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.抽象函数问题是指没有给

出具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊的关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有

严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.

考点一抽象函数的奇偶性、周期性与对称性

例1(多选)(2025•海口模拟)已知函数作)的定义域为R,且满足人2+.丫)4：/(2-.丫)=6,函数百1)$1+.丫)・

(1+x)为偶函数，贝义)

A.函数次幻图象的一个对称中心为(2,3)

BH0)=2

C.函数人幻为周期函数，且一个周期为4

D/(1)+/(2)V(3)+/(4)=14

答案AD

解析对于八，由_/(2+x)+/(2-x尸6知函数.Kr)图象的一个对称中心为Q,3),故A止确；

对于B,因为函数/(x)的图象关于点(2,3)对称，则/(2)=3,

由函数F(x)=y(l+x)-(1+x)为偶函数，故川+x)-(1+x)=/(1-x)-(l-x),即川+x)=^(I-x)+2x,

令尸-1,则/(0)=/(2)-2=3-2=1,故B错误；

对于C由函数/(X)图象的一个对称中心为(2,3),购=1,则/(4)=5,即次0)关44),故函数J(x)的周期不是

4,故C错误；

对于D,由/(2+x)+/(2-x)=6,令x=l,有/(3)+/(1)=6,

又42)=3<4)=5,故加)饮2)犷3出4尸14,故D正确.

［规律方法］函数性质的综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两个性质去推导第三个性

质，再将3个性质综合运用即可实现问题求解.

115

跟踪演练1已知函数兀0的定义域为R,且Hx+l)t/(x・l)=2,兀什2)为偶函数,若/(0)=2,则S/)

k=l

等于()

A.116B.115C.114D.I13

答案C

解析由y(x+i)t/(x-i尸2,

得/C"2)〃M=2,即./(户2)=2次%)，

所以危+4尸2企+2)=2-［2企)］=/(、)，

所以函数/U)的周期为4,

又火.什2)为偶函数，

则4什2)=。+2),

所以危)=/(4-x)=/(-x),

所以函数人刈也为偶函数，

又於户2,

所以J(3)M1尸2,/(4)切(2)=2,

所以巡1)M2)M3)M4)=4,

又/(2)〃0)=2,胆)=2,

所以义2)=0,

115

所以S分尸[/UHA2)“(3)t/(4)]X284/(1升/(2)»(3)=4义28+2+0=II4.

k=1

考点二两个混合型函数的抽象函数

例2(2022•全国乙卷)已知函数幺x),g(x)的定义域均为R,且./(x)+g(2-x尸5,g(x)/x-4)=7.若尸g(x)的

22

图象关于直线尸2对称，g(2)=4,则X/⑻等于()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

答案D

解析由产g(x)的图象关于直线x=2对称，

可得g(2+x)=g(2・x).

在yu)+g(2・x尸5中，用替换X,

可得义-x)+g(2+x尸5,

可得小x)1x).

在g(x)7(x-4)=7中，用2-x替换x,得g(2-x)=y(-x-2)+7,

代入«x)+g(2-x尸5中，

得/(力"・*2尸・2,

可得义x)t/(x+2尸・2,

所以加+2)4"4)=・2,

所以凡什4)=/)，

所以函数Hx)是以4为周期的周期函数.

由7W+g(2-x)=5可得./(0)+g(2尸5,

又鼠2)=4,所以可得｛0)=1,

又火研/a+2)=2

所以贝0)出2)=-2,

Ll)=・2,

得/(2)=・3,/(1)=/(-1尸・1,

又加月(・1户1,

/(4)=A0)=l,

22

所以2_/(Zr)=6/(1)+6A2)+5/(3)+5/(4)=6X(-1)+6X(-3)+5X(-1)+5X1=24.故选D.

k=l

［规律方法］解决双函数的抽象函数问题，关键是找到两个函数之间的联系，然后通过赋值、解方程分别

找到每一个函数之间的内在联系，从而得到每一个函数的性质.

跟踪演练2(多选)已知定义在R上的偶函数/U)和奇函数尔工)满足、/U+x)-g(x)=2,贝U()

A.g(x)的图象关于直线x=2对称

B.g(x)是以4为周期的周期函数

C/U)的图象关于点(1,2)对称

2025

D.2、/(2h1)=2025

k=l

答案BC

解析对于C,由/(l+x)・g(x)=2,①

得/(l-x)-g(・x)=2,

因为g(x)为奇函数，所以趴-x尸-以工)，故y(l-x)+g(x尸2,②

①+②，得/(l+x)+/(l-x尸4,

所以7(x)的图象关于点(1,2)对称，且,/)+/(2-工)=4,故C正确；

对于D,因为火刈是偶函数，所以.仆)=4虫2-.丫)=4次.2),

所以外)决-2)=4,尸4,故/(x)=/(x-4),

所以4x)的周期为4,

在/(l+x)t/(l-x)=4中，令x=0,得)1)=2,

所以人l)+/(3)Fl)+/(1)-2/(D-4,

结合凡x)的周期性得，A5)+f(7)=-=/(4045)+A4047)=/(1)+/(3)=4,,/(4049)=^1)=2,

2025

所以2/(2hl)=2025X2=4050,故D错误；

k=l

对于A,①-②，得以')/》?"—"),

所以飘2+')+双2田」(3+叱(--卬(3-乎1)

)1f(3-x)—f(x—l)

22

=0,

所以g(x)的图象关于点(2,0)对称，而不是关于直线—2对称，故A错误；

对于B,由g(2+x)+g(2・x)=0得g(x)+g(4・x)=0,

因为g(x)是奇函数，所以g(x)=-g(4-.v)=g(.r-4),

所以狼刈是以4为周期的周期函数，故B正确.

考点三抽象函数与导数

例3(多选)(2025•石家庄模拟)函数/(x)及其导函数八x)的定义域均为R,且满足/(2r)=/(2x+3),/(x+3)

为奇函数，若2是/(X)的极值点，则()

AJ(x)的周期为3

是偶函数

C/U)是奇函数

D/(x)在(0,6)上至少有7个零点

答案AD

解析因为火2刈=/(2/3),得40=仆+3),所以大外的周期为3,故A正确；

/(x)=/("3)两边同时求导得八x)=/Q+3),所以八x)的周期为3.

因为/(x+3)为奇函数，所以八/3)4/(5+3尸0,即"x)4/Gx+6)=(),

又因为八x)的周期为3,则八x)4/(R=0,所以/V)是奇函数，故B错误；

由八x)=:A・x),可得/(x)=/(-x)+c,c为常数.

又函数y(x)的定义域为R,所以当.10时，火0月(0)+。，可知c=0.

即/U)y-x),则函数/U)为偶函数，故c错误；

因为2是人外的极值点，所以/(2)=0,又函数/(X)为周期为3的奇函数，

故八・2)=0,/(5)=f(2)=0,r(l)=A-2)=0,八4月V)=0,

因为/(x)=/G+3),/(x)=/(-x),

所以/(x+3)=/X-x),即八幻的图象关于点(I，0)对称，又/(x)的定义域为R,

所以砥=0,/(|)=/(|)=0,贝VUW(|)=/'(2)=八3)=八4)=第)力5尸0,

即八X)在(0,6)上至少有7个零点，故D正确.

［规律方法］与导致有关的抽象函数的性质，关键是原函数./U)的性质和导函数八x)的性质之间的关系，如:

在定义域R上，若函数.儿丫)为奇函数，则导函数/V)为偶函数；函数{x)为偶函数，则导函数/(x)为奇函数;

若函数的图象关于直线尸〃对称，则导函数八刈的图象关于点(a,0)对称；若函数/U)的图象关于点(a,

0)对称，则导函数八x)的图象关于直线尸。对称.

跟踪演练3(多选)已知定义在R上的函数/(X),g(x)的导函数分别为/口)，gQ),且/(x)=A4-x),

/(1+万・时尸4,/(x)+g(l+x尸0,贝弘)

A.g(x)的图象关于直线x=l对称

Bg(3尸1

C〃x)的一个周期为4

D：/W(〃)=0(〃£Z)

答案ACD

解析由y(x)y4-x),#./(i+x)=A3-x),①

由/(l+x)-g(x尸4,②

得/(3・X)吆(2-X户4,(3)

由①②{③得，g(x)=g(2・x),所以函数g(x)的图象关于直线x=l对称，故A正确；

由gQ)=g(2-x),得g。尸-g(2-x),

令尸1,得g'(l)=O,

由＜尸4,得八1+刈吆。尸0,

令尸1,得八2)=g'(l)=0,

所以/(2+x)・g'(l+x)=0,④

又八x)+g(l+x尸0,⑤

令尸2,得：/X2)=g(3)=0,故B错误；

④⑤两式相加，得八2+止/口尸0,得八4+办以2+x)=0,

所以/(x)=/X4+x),即函数八幻的一个周期为4,故C正确；

由/'(2+x)4/(x户0,令x=2,得八4)十八2户0,所以八4)=0,

所以/(I)g'(l)=/'(2)g'(2)=n3)g(3)=*4)g＜4)=…=f(〃)g5尸0(〃£Z),故D正确.

考点四抽象函数赋值与构造

例4(多选)已知函数加)的定义域为R,若Vx,y£R,有/(x+y)t/a少尸〃/⑴=0,/(0)W0,贝U

()

A;A0)=l

BJ(鸿

CH》)为偶函数

D.4为函数/(x)的一个周期

答案ACD

解析根据题意，/(x+y)t/(xR=2/U)/e),

取产尸0,得〃0)=2[/(0)]2,

因为八0)W0,所以40)=1,A正确；

取壮，此，

2

得41)+/(0)=2/6)],

所以/6)=埒，13错误；

取尸。，尸，得益)+/(-幻=2/3,即.危)=/(孙

所以;(X)为偶函数，C正确；

取尸1,得/(x+1尸加-1),所以加+2尸扒x),.危+4尸：危+2)=/(幻，

即4为函数/(x)的一个周期，D正确.

[规律方法]双变量的抽象函数的性质问题常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取0,

1,2,-1,-2等特殊值：判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现・x,x：当然要结合所求灵活赋值,

根据函数的性质进行求解.

跟踪演练4(2025•青岛模拟)已知函数外)的定义域为R,火声7)/＞田=贺修)/0，)，火1)=1,贝以2025)

等于()

A.-lB.OC.lD.2

答案C

解析令x=0,

则."M-y)=2/(1)/U尸2/S，

•；仙尸：/(-力，，兀v)为奇函数，

令则八/1)次#1)=认1-4求1)=2/(1八)，

:/U)为奇函数，

・；/(1旬户企-1),

A/(x+l)=^(x-l),

.•・7(/2)=如)，.・・/(x+4)=/(x),

・7/(x)的周期为4,・・・/(2025)11)=1.

专题强化练

［分值：44分］

一、单项选择题(每小题5分，共10分)

1.(2025・重庆模拟)设函数y(x)的定义域为R,/(、)是y(x)的导函数若/U+1)是奇函数，则八幻的图象()

A.关于点(1,0)对称B.关于直线x=l对称

C.关于点G1，0)对称D.关于直线尸-1对称

答案B

解析因为儿什1)是奇函数，所以於+1尸式-x+l),即/(x+1)+/(-、+1)=0,

则/(x+l)/(-x+l尸0,所以八x)的图象关于直线x=l对称.

2.(2025•长春模拟)已知定义域为R的奇函数/(、)满足/(x)t/(2-x尸2,则()

A：/(2尸0

B:/(l0)=10

C4x)的周期为2

D.直线x=l是曲线产次工)的一条对称轴

答案B

解析对于A,已知儿丫)是定义域为R的奇函数，则{0)=0.

令尸0,代入7WH2-x)=2,可得加H/(2)=2,所以火2)=2,所以A错误；

对于B,因为/(x)是奇函数，则/(■工尸火丫).

由./U)+/(2-x)=2,可得/(-x)+/(x+2)=2,又因为j［-x)=-j(x},

所以二心)乜2也尸2,即/(x+2)=/(x)+2.

所以*0)=/(8)+2=/(6)+4=/(4)+6=偿)+8=10,所以B正确；

对于C,由./U+2)=2t/a),可知./(.叶2)壬及江所以Hx)的周期不是2,所以C错误；

对于D,由./(0尸0W2=/(2),得直线x=l不是曲线尸=/(©的对称知，所以D错误.

二、多项选择题(每小题6分，共24分)

3.(2025啷阳模拟)已知函数於)的定义域为R,±L/(-x)=/(x),於-2)=由田，当工巳[0,l]M,於)单调递减，

则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的图象关于直线--1对称

B.函数应丫・1)为奇函数

C.4是函数(t)的一个周期

D/停)</(*)

答案BC

解析因为於・2尸十・刈,所以於)的图象关于点(・1,0)中心对称,故A错误；

令尸G)=/(x-i),所以向(-x)y-x-i),又及口2)=十这)，所以危_1尸次_,l1),

所以F(x)=-E(-x),故/(x-1)为奇函数，故B正确；

因为4-x)=/(x),所以./(X)是偶函数，所以人片2)=4-幻=次外，

所以於+2)={0所以小+4尸;儿什2)=/)，

所以孔0是周期为4的函数，故C正确；

由函数7U)的奇偶性和周期性知

/(>og41)=/'(-log43)=Alog43),

/(¥)=/©-

又因为当x£[0,1]时，")单调递喊，Iog43>log42=1,所以4og&3)勺O，

即/(ogA)g(m)，故D错误.

4.定义在R上的函数/(工)满足{2-力=/(刈，/(1)=2,/(3小2)为奇函数，函数g(x)(x£R)满足g(x尸-g(4-x),若

月(x)与尸g(x)的图象恰有2025个交点g/),g玫)，…，的025，3侬)，则下列说法正确的是()

A;/(2025)=2

B：A2)=0

C.2为)宁(幻的一个周期

2025

D.S(即+乂尸4050

i=1

答案ABD

解析因为/(2・x)=/(x),所以函数J(x)的图象关于直线x=1对称，又/(3x+2)为奇函数，

所以年3"2尸人3.什2),

则人必2)=次,什2),所以函数的图象关于点(2,0)对称，则人2尸0,故B正确；

所以J(x+2)=-j(2-x)=-J(x),

即加汁4)=73⑵可⑴,

所以函数次用是以4为周期的周期函数，故C错误；

所以42025)=/(1尸2,故A正确；

又gW=-g(4-x),所以函数以x)的图象关于点(2,0)对称，

因此函数/(X)的图象与g(x)图象的交点也关于点(2,0)对称，

202520252025

则2(M+M尸X即+Xyi=2X2025+0=4050,故D正确.

i=li=1i=1

5.(2025・白银模拟)已知函数y(x),g(x)的定义域均为R,其导函数分别是/(X),g«),且满足义幻=l+g(x尸1・

g(2・x).若的:)是奇函数,当工£[0,1]时,四)=/+工，则()

A40是偶函数

B/(x)的图象关于点(I,1)对称

C.g(x)的周期为4

2025

D.Xg(z)=0

i=0

答案ABC

解析因为函数小)，式r)的定义域均为R,l+g3=l*(2-x),所以g<x尸-g(2-x),

所以gQ)的图象关于点(1,0)对称，又./W=l+g。)，所以火好的图象关于点(1,1)对称，B选项正确；

因为g(x)是奇函数，即g(-X尸-g(x),所以-g'(・x尸-g'(x),即g'(・X)=g(X),

所以g'(x)是偶函数，所以火工户l+g'(x)是偶函数，A选项正确；

因为g(x)是奇函数，g'(x)的图象关于点(1,0)对称，所以g(x)=g(2-x),

所以g(4+x)=g(-x-2)=-g(x+2)=-g(-x)=g(x)，所以g(x)的周期为4,C选项正确；

2025

2g(0=506[g(l)+g(2)+g(3)+g(4)]+g⑴

i=0

=5O6[g(1)+g(O)+g(-1)+g(0)]+g(1)=O+g(1)=2,D选项错误.

6.已知函数/(x)的定义域为R,且加+>次叼，尸[/⑼2.%,)]2,川尸1,/(2x+l)为偶函数，则()

A40尸0

B«x)为偶函数

C：/(2+x尸D

2025

D.£必)=1

k=0

答案ACD

解析令尸产0,得伏0)齐欣0)]2亚0)]2=0,即a)=0,A正确；

令尸0,得尸伏0)尸-出)]2,

又/⑼=0,所以/3)[/(-歹)+/8)]=0对任意y£R恒成立，因为人1户1,所以g，)不恒为0,所以/(-力+/00=0,

即/(-丁尸400，故./(X)为奇函数，B错误;

将/(力的图象向左平移1个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的：，纵坐标不变，可得

人2.什1)的图象，因为｛2.什1)的图象关于直线x=0对称，所以火幻的图象关于直线尸1对祢，所以火x)=/(2-x),

又火X)为奇函数，所以./(2-x尸小.2)=式2-(x-2))=7(4f)=/a-4),配以J(x)=J(x