2026年高考数学一轮练习 第十章 第5节 离散型随机变量及其分布列、数字特征（附答案）

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征

分值：90分

ib知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得（）分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得

分4的所有可能取值的和是（）

A.8B.10C.12D.14

2.设随机变量X的分布列为&X=i）=；,工1,2,3,则。等于（）

2a

75

A.3B.-C.2D.-

39

3.已知随机变量X的分布列为

X-101

P1mn

3

若p（xwo）=；,且2x+y=i,则。⑴等于（）

A.—B.—C.-D.—

181899

4.已知随机变量X的概率分布列为户（X=〃）=asin*（〃=1,2）,其中。是常数，则E（｝x）等于（）

A.|BgC.2D.g

5.一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停

止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量。则?（JW2）等于（）

A.-B.-C.-D.-

14565628

6.某听众打电话参加某广播电视台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件

商品D,E,产的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：

商品DEF

猜对的概率0.80.50.3

获得的奖金/元10()2003(X)

规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为下列哪个答题顺序获得的奖金的均值最

大（）

X.FDEB.FEDC.DEFD.EDF

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知离散型随机变量X的分布列为

X0125

Pa加+0.2。+0.22a

则下列说法正确的是（）

A.D.lB.D（X）=1.84

C.E（X）=2D.E（2X+6）=9

8.已知随机变量X的分布列为

X-101

P0P2P2

下列结论正确的是（）

A.若pi=2〃2，则〃产：

B.若pi=〃2，则尸（因二1）三

C.若E（X）q,则〃2=]

•5

D.P5P2（/”2区0）的最小值为噂

1O

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.随机变量^的分布列如表所示：

234

Paba

根据随机变量4的分布列，计算出E（。;,若。©弓，则人的数值应是.

10.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如表所示：

降水帚XX<300300WX<700700WX<900X2900

工期延误天数Y02610

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,则工期延

误天数丫的均值为.

四、解答题（共28分）

11.（13分）（2025•重庆模拟）甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行,

其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6,乙先行时他赢下该局的概

率为0.5.

（1）求比赛只进行了三局就结束的概率；（5分）

（2）已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.（8分）

12.（15分）某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阉兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工

从一个装有4个标有面值的阉的袋中一次性随机摸出2个阉，阉上所标的面值之和为该员工获得的奖励金

额.

（1）若袋中所装的4个阉中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：

①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；（3分）

②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；（5分）

（2）公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阉只能由标有面值200元和800元的两种阉

或标有面值400元和600元的两种阉组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所

获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阉的面值给出一个合适的设计，并说明理由.（7分）

I07能力拓展

每小题5分，共10分

13.设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中错误的是（）

X123456

PP1“2〃3P4P5〃6

A.P（X24）=1・P（XW3）

B.随机变量X的数学期望风X）可以等于3.5

C.当p〃=玄（〃=1,2,3,4,5）时，弓

D.数列｛p“｝的通项公式可以为p,产而扃2,3,4,5,6）

14.设〃£修，外，随机变量4的分布列如表所示，则E（Q（）

丁丁石为

p1

2

A.有最大值半最小值|

B.有最大值最小值:

44

C.有最大值3,无最小值

D.无最大值，有最小值:

4

答案精析

1.C2.A

3.C[由P(XW0)4，

得m=—il=l-

236

片l・P(XW0)三,

贝I」£(.¥)=-1x1+()X^+lx1=i

D(X)=E(X2)-(E(X))2

=1X+OX2_29

IKI~36

由2X+y=l,得Y=\-2X,

所以D(V)=4D(X)=^.]

4.C|由P(X=n)=as\n舟(〃二1,2),

得P(X=l)=a,P(X=2)=1。，

由P(X=1)+P(X=2)=1,得白],

于是E(X)=1XP(X=1)+2XP(X=2)=2a=^,

所以EQX)=|F(Y)=2.]

5.D|依题意知，卡A表示前k个球为白球，第k+1个球恰为红球，则4的可能取值为0,1,2,3,4,5,

则P(0尸簿，上0,1,2,3,4,5,

所以P(c=0)=4#=7,

pn/(nE1\)A=eAijpIS«，

PE巫二1

Al28'

所以PQW2)=P(勺O)+Pei)+P(勺2)哈条

30ZO

6.C［按照尸OE的顺序获得的奖金的均值为300X0.3X0.2+400X0.3X0.8X0.5+600X0.3X0.8X0.5=138；

按照立的顺序获得的奖金的均值为300X0.3X0.5+500X0.3X0.5X0.2+600X0.3X0.5X0.8=132；

按照的顺序获得的奖金的均值为100X0.8X0.5+300X0.8X0.5X0.7+600X0.8X0.5X0.3=196；

按照的顺序获得的奖金的均值为200X0.5X0.2+300X0.5X0.8X0.7+600X0.5X0.8X0.3=176.

综上所述，按照。£产的顺序获得的奖金的均值最大.］

7.AC［由分布列的性质知6。+0.4=1,解得斫0.1,故A正确；

故F(X)=0X0.1+1X0.4+2义0.3+5X0.2=2,D(X)=0.1X22+0.4Xl2+0.3X02+0.2X32=2.6,故B错误，C正确；

由离散型随机变量期望的性质可得，E(2X+6)=2E(X)+6=l(),故D错误.］

8.BC［对于A,由题意得/?I+2/>2=1,若〃尸2〃，则pi=1,A错误；

对于B,若P\=P2,贝|JPl=P2=g,

p(m=i)=p(x=i)+p(x=-1，正确；

JJDB

对于C,若E(X)=|,则-pi+〃2=4，又Pl+2/72=1,所以P2="C正确；

•3x

对于D,由/?|+2/72=1,得,

2

2

Pi-P2=(l-2p2)-p2=4pf-5p2+l=4(p2-卷，

因为0</72<1,所以谱-P2不存在最小值，D错误」

9.3；

解析依题意，a+b+a=2xi+b=\,E(^)=2a+3b+4a=6a+3b

二3(2介〃)=3,

D(a=(2-3)2rt+(3-3)2/7+(4-3)2rt=2«=1,

解得，代入2a+b=\得b=；.

42

10.3

解析由题意可知P(X<300)=0.3,

P(300^X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,

P(700^X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,

P(X2900)=l-P(X<900)=I-0.9=0.1.

所以随机变量y的分布列为

Y02610

P0.30.40.2().1

所以E(y)=0X().3+2X0.4+6X().2+10X().1=3,所以工期延误天数丫的均值为3.

11.解(1)比赛只进行三局，则都是甲赢或都是乙赢，

所以概率为0.6X0.5X0.6+0.4X0.5X0.4=0.18+0.08=0.26.

(2)设比赛进行的局数为X,则X所有可能的取值为3,4,5.

当X=3时，则前三局都是甲赢，

P(X=3)=O.5X0.6=03,

当X=4时，则可能的情况是

甲乙甲乙

乙胜甲乙乙乙

甲胜甲甲乙甲

甲胜甲乙甲甲

P(X=4)=0.5X0.4X0.5+0.5X0.4X0.5+0.5X0.6X0.5=0.35,

P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-0.3-0.35=0.35,

故E(X)=3X0.3+4X0.35+5X0.35=4.05.

12.解(1)设员工所获得的奖励金额为X,

①P(X=1000)=^=1,

・・・员工所获得的奖励金额为100()元的概率为;.

②X所有可能的取值为400,1000,

P(X=400尸岩31

，X的分布列为

X4001000

P11

22

・•・员工所获得的奖励金额的均值为

E(X)=400x1+l000x1=700.

(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，

・•・先寻找均值为1(X)0元的可能方案，

对于面值由80()元和200元组成的情况,

如果选择(200,200,200,800)的方案,

VI000元是面值之和的最大值，

・•・均值不可能为1000元,

如果选择(800,800,800,200)的方案，

•.•1000元是面值之和的最小值，

・•・均值不可能为1000元，

因此可能的方案是(800,800,200,200),记为方案1；

同理，对于面值由600元和400元组成的情况，

排除(600,600,6(X),400)和(400,400,4(X),600)的方案,

，可能的方案是(400,400,600,600),记为方案2.

对于方案1,设员工所获得的奖励金额为X,X可取400,1,1600,

P(X=400)喉带,

P(XI=I000)=鬻=|，

P(Xi=l600)爸3

E(Xi)=400X7+1(XX)X\\6()()X；=|00(),

636

D(Xi)=(400-l00())2x1+(l()00-1()()0)2x|+(l600-1000)2X120(XX)；

对于方案2,设员工所获得的奖励金额为X2,X2可取800,1000,1