多边形及其内角和【十大考点】-北师大版数学八年级下册重难点突破（含答案）

专题&3多边形及其内角和【十大考点】一【重难突破】北师大版数学八年级下册考

点强化讲与练

（一）多边形相关概念

（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形口L做多边形.

（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了（n-2）个三角形；n

边形对角线条数为吗2.

（二）多边形内角和、外角和

（1）内角和：n边形内角和公式为（n-2）T80。

（2）外角和：任意多边形的外角和为360。.

（三）正多边形的相关计算

（1）定义：各边相等，各鱼也相等的多边形.

⑵正n边形的每个内角为吟也，每一个外角为嗒

典例1：

1.如图所示的图形中，属于多边形的有（

A.2个D.5个

【变式1】

第1页

2.下列图形中，属于多边形的有（)

①②③④⑤

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式2】

3.在二面内，，的多边形叫正多边形.

【变式3】

4.（1）十边形的一个顶点的对角线把十边形分成个三角形.

（2）正多边形是指,的多边形.

考点2多边形的对角线条数

典例2：

S.八边形的对角线一共有（）条

A.20B.24C.28D.40

【变式1】

6.学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）.如图，过一个顶点，

四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的

【变式2】

7.过讥边形的一个顶点，有8条对角线，几边形没有对角线，五边形有p条对角线，则（机—p）”的值

为_________.

【变式3】

8.从九边形的一个顶点出发，可以引条对角线，九边形共有条对角线，九边形的内角

和为.

考点31多边形与三角形个数

典例3：

9.过ri边形的一个顶点可以圆7条对角线，将它分成机个三角形，则m+n的值是（）

A.16B.17C.18D.19

第2页

【变式1】

10.从多边形一条边上的一点(不足顶点)出发，连接各个顶点得到2003个二角形，则这个多边形的边数

为()

A.2001B.2005C.2004D.2006

【变式2】

11.如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干

个三角形.

(1)根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测“nZ4)边形可以分割三角形的个

数是:

(2)若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数九=.

【变式3】

12.填空：

(1)从四边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将四边形分成________个三角形;

(2)从五边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将五边形分成________个三角形;

(3)从六边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将六边形分成________个三角形;

(4)从九(九之4)边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将n边形分成个三角形.

考点4

典例4：

13.如图1所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度.在图2的六角尺示意图

中，求a的值.

出二AB。

ED

图1图2

【变式1】

14.在四边形48。。中，48,NC的度数之比为2:3:5,乙D二=50。，求41的度数.

【变式2】

第3页

15.如图，在五边形718CDE中，AEIDE,垂足为点E,40=170。,4A=乙8,-ZC=50°,求NA的度

数.

【变式3】

16.阅读小明和小红的对话，解决下列问题

小明髓

我把一个多边形的各内角相加，得到多边形的内角和不可能是1520。，我看了你的过程，

的和为1520。你多加了一个外角

（1）通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1520。”的理由;

（2）求该多边形的内角和;

考点5多边形截角问题

典例5：

17.若一个四边形截去一个角后，可能为（）边形

A.4或5B.3或4C.3或4或5D.4或5或6

【变式1】

18.如图，四边形48co去掉一个乙。后，剩下的新图形不可能是（）边形.

A.三边形B.四边形C.五边形D.六边形

【变式2】

19.一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为

【变式3】

20.若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为

第4页

考点61正多边形内角和问题

典例6：

21.如图，将正五边形纸片F8CDE折叠，使点8与点E重合，折痕为AM,展开后，再将纸片折叠，使边A8落

在线段AM上，点B的对应点为点»，折痕为力F，则44小夕的大小为（）

【变式1】

22.如图，以正方形ABCD的4B边向外作正六边形ABEFGH,连接贝亚4DH的度数为（）

A.18°B.15°C.20°D.32°

【变式2】

23.C60单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国，美国科学家探

明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界.如图是C60的分

子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个

内角的度数是度.

【变式3】

24.风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）.风铎的底部可抽象为正六边形

ABCDEF（如图②），连接AC.则.

第5页

AF

【变式1】

26.如图，是某小区花园内用正71边形铺设的小路的局部示意图，它的中间区域是一个小正三角形，则几二

()

正〃力开〃边形

嘘?边就'

A.10B.12C.14D.16

【变式2】

27.如图，已知力8是正六边形48CDEF与正五边形48GH/的公共边，连接打，则4AF/的度数为.

28.如图，AB.BC、C。是某正多边形相邻的三条边，延长48、DC交于点P,若4P=108。，则该正多边形

的边数为_________

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考点8i多（少）算一个角的问题

典例8：

29.小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到2010。.

（1）求少加的内角的度数.

（2）请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形.

【变式1】

30.小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸〃边形的内角和时：

（I）若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为2570。，则〃的值是多少？

（2）若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为2570。，则〃的值是多少？

【变式2】

31.看图回答问题:

小华小明

（I）内角和为2018。，小明为什么说不可能?

（2）小华求的是几边形的内角和？

（3）错把外角当内角加一-起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？

【变式3】

32.请根据对话回答问题:

我把一个凸多边形的什么？不可能!你看，

全部内角加起来，你错把一个外角当作内

和是2024。角加在一起了！

小红小刚

（1）多加的外角是°;这个凸多边形的边数是

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（2）求这个多边形的内角和及其对角线条数.

考点

91多边形外角和实际应用

典例九

33.如图所示,分别以"边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆：当几=2023时，则图中阴影部分的面积之

C.2022ncm2D.2023ncm2

【变式1】

34.“花影遮墙,峰峦叠窗''苏州园林空透的窗标中蕴含着许多的数学元素.如图是窗根是冰裂纹窗及这种窗

根中的部分图案.若21=42=75。，z3=Z4=65°,则下列判断中正确的是（）

A.45=80°C.乙5=65°D.乙5=55°

【变式2】

35.如图，孔明在驾校练车，他由点4出发向前行驶10米到B处，向左转45。.继续向前行驶同样的路程到C

处，再向左转45。.按这样的行驶方法，第一次回到点4总共行驶了.

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【变式3】

36.机器人以0.5m/s的速度在平地上按下图步骤行走，该机器人从开始到停止所需时间为:

否

典例10：

图①图②图③

（1）如图①②，试研究其中21、42与乙3、24之间的数量关系；

（2）如果我们把乙1、乙2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；

（3）用你发现的结论解决下列问题：

如图③，AE、OE分别是四边形ABCO的外角4M40、4M/M的平分线，+/C=240。，求”的度数.

【变式1】

38.（1）【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题.

如图9.1.9,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.

相邻内角

外角

不相邻内角

图9.1.9图9.1.10

中，显然有匕CBD（外角）+乙4BC（相邻的内角）=180°

那么外角4CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？

如图1,请写出4CBO与乙4、4c之间的数量关系，并给出证明.

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图1图2图3

(2)【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角

与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2,已知匕OCE是四边形A8C0的一个外角，直接写出

Z-DCE,与的数量关系为：.

(3)【应用提升】如图3,NDCE为四边形48co的一个夕卜角，Cr平分40CE交NA8C的角平分线于•点

F,若/A+NO=220°,HUF=°.

【变式2】

39.阅读与思考

阅读下列材料，并完成相应的任务.

多边形分为凸多边形和凹多边形.

如果将一个多边形的任意一条边句两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个

多边形就叫做凸多边形.

如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那

么这个多边形就叫做凹多边形.

我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以

用来解决其他求角度的问题.

如图，四边形ABC。是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线4C,则四边形4BCD内角和就转化

为△4CB与AACO内角和相加，为360°.

(1)任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的.

A.整体思想B.方程思想

C.转化思想D.分类讨论思想

(2)任务二：如图1,四边形4BDC是凹四边形，请探究V180°)与乙8,乙配乙BAC三个角之

间的等量关系.

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AED

A

BI

E

图1图2

小明得出的结论是:乙BDC=LBAC+NB+ZC.请你将下面小明的证明过程补充完整.

证明：如图1,连接力。并延长到点瓦

(3)任务三：图2中乙/1+49+4。+40+4E的度数为

【变式3】

40.阅读如图的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种多边形，内角之

(1)根据“内外等比多边形''的定义，请你判断小华提出的命题：“平行四边形一定是内外等比四边形''是

真命题还是假命题？并说明理由.

(2)已知内外等比四边形力BCD的四个内角分别是41,乙2,乙3,乙4,zl：z2：z3：z4=a\b\c\d(a<

b<c<d\请探索a,b,c,d之间的关系式，并说明理由.

(3)请回答小明的问题“三角形中有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？“请说明理由.

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答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】各边都相等；各内角也相等

【解析】【解答】解：如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形.

故答案为：各边都相等，各内角也相等.

【分析】利用正多边形的定义直接填空得出即可.

4.【答案】(1)8

(2)各边相等：各角相等

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】216

8.【答案】6；27；1260°

9.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，

n-3=7,

.\n=10,

=—2=8>

.,.m+n=8+10=18,

••m+n的值是18.

故选：C.

【分析】根据多边形的对角线可得m,n值，再代入代数式即可求出答案.

10.【答案】C

11.【答案】(1)n-2

(2)122

12.【答案】(1)1；2

(2)2；3

(3)3；4

(4)(n-3)；(n-2)

13.【答案】解：由图中数据可知，122。+112。+135。+a。+(。+15)。+(2。-84)0=(6-2)x180。,

此吊得：a=WS,

所以a的值为105.

第12页

14.【答案】解：设乙4=2x,Z.B=3x,ZC=5x.

•••四边形力3。。的内角和为360。，乙D=50°,

Z.A+乙B+Z.C+Z.D

=2%+3x+5x+50°

=10x+50°

=360°,

10x=310°,即x=31°.

:.Z.A=62°.

答：44的度数为62。.

15.【答案】解：五边形的内角和是(5-2)x180。=540。，

设乙4=z_B=x,

•••乙B-LC=50°,

•••Z.C=x—50°,

AE1DE,

.・.乙E=90°,

根据题意得：90°4-x4-x4-(%-50°)4-170°=540°,

解得％=110。，

:."=110°.

16.【答案】(1)解：理由：设多边形的边数为〃.

180°(n-2)=1520°,

解得九二108

丁〃为正整数，

・••多边形内角和不可能为1520。；

⑵解：n=等a10.44,

依题意：该多边形的边数为10,

(10-2)X180°=8X180°=1440°,

故该多边形的内角和为1440。.

17.【答案】C

【解析】【解答】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形.

故选：C.

【分析】根据多边形截去一个角得到的多边形边数少1条，不变或增加1条；据此解答即可.

第13页

18.【答案】D

19.【答案】5或6或7

20.【答案】14或15或16

【解析】【解答】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边,

・••此时原多边形的边数为15+1=16；

如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同,

・♦•此时原多边形的边数为15；

如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边,

・••此时原多边形的边数为：15-1=14；

综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16.

故答案为：14或15或16.

【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可.

21.【答案】B

22.【答案】B

23.【答案】120

24.【答案】30。/30度

25.【答案】B

26.【答案】B

27.【答案】84°

28.【答案】10

29.【答案】(1)150度

(2)不是正多边形

30.【答案】(1)解：方法一：设少算的那个内角的度数为X。，则由条件,

第14页

得(九一2).180=2570+%.

因为n为自然数，0<尤<180,且2570=180x15-130,

故取x=130,

得？i=17.

方法二：由条件，得0V5-2)x180-2570V180,

且n为自然数，

故九=17.

(2)解：方法一：设多算的那个内角的度数为x。，

则由条件，得(n-2)•180+1=2570.

因为n为自然数，0<%<180,且2570=180x14+50,

故取％=50,得九=16.

方法二：由条件，得0<2570-(九一2)x180V180,

旦n为自然数，

故九=16.

31.【答案】(1)解：・・・2018。不是180。的整数倍,

・••小明说不可能.

(2)解：设这个多边形的边数为m

由题意，得20180-180°<(n-2)180°<2018°.

解得12瑞V”13获

•)］为整数，

••n=13.

・・・小华求的是13边形的内角和.

(3)解：・・•当n=13时,(13-2)x180°=1980°,

20180-1980°=38°,

・•・这个外角为38。.

32.【答案】(1)44；13

(2)解:这个多边形的内角和为2024。-44。=1980。,

对角线条数为小(；3-3)=65(条)，

答：这个多边形的内角和是1980。，对角线有65条.

33.【答案】B

34.【答案】A

35.【答案】80米

第15页

36.【答案】96

37.【答案】(1)解：•.•乙3、乙4、乙5、乙6是四边形的四个内角，

:.43+24+乙5+乙6=360°,

...z3+Z4=360°-(45+46),

•••zl+Z5=180°,42+/6=180°,

zl+Z2=360°-(45+46),

Z14-z2=z3+z4；

(2)答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；

(3)解：•••+NC=240°,

:.乙MDA+乙NAD=240°,

-AE.OE分别是4MO力的平分线，

11

"DE=*M£M,WAE=*NAD,

...LADE+LDAE=+乙NAD)=1x240°=120%

乙乙

乙E=180°-{/.ADE+匕DAE)=180°-120°=60°.

38.【答案】(1)解：Z.CBD=Z/1+ZC,

证明：'：^CBD+Z-ABC=180°,44+20+4480=180°,

:,乙CBD=Z.A+Z.C：

(2)LDCE=+乙8+NO—180°

(3)20

39.【答案】(1)C

(2)证明：连接AD并延长AD到点E.

贝为△4BD的外角，4CDE为24C0的外角，

•••Z-BDE=乙B+乙BAD,

乙CDE=Z.C+Z.CAD.

vZ-BDC=乙BDE十Z-CDE，

Z.BDC=Z.B+乙BAD+4。+Z.CAD.

Z.BAC=Z.BAD+Z.CAD»

:.Z-BDC=+4。+Z-BAC.

(3)180°

40.【答案】(1)解：真命题.理由如.卜.:

设平行四边形A8C0的四个内角分期是乙A=x。，Z-B=(180-x)°