函数模型及其应用（全国适用）-2027年高考数学一轮复习讲义（原卷版及解析）

2.12函数模型及其应用

期知识清单

1.三种函数模型的增长差异

y=a\a>{)y=log,A(«>l)y=kr(k>0)

在(0,+8)上的增减性增函数增函数增函数

随X增大逐渐近随X增大逐渐近似与X轴平

图象的变化趋势保持固定增长速度

似与y轴平行行

y=a\a>\)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于)，=心4>0)

增长速度

的增长速度，丁=1。8/(公>1)的增长速度越来越慢

增长结果存在一个XO,当x>xo时，有">kx>k)g,/

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax-\-b(a,b为常数,〃W0)

二次函数模型fix)=a^?-\-bx-\-c{a,b,c为常数,GWO)

指数函数模型/U)=/?d+cm,b,c为常数,。>()且1,bWO)

对数函数模型/(x)=/?logax+c(a,byc为常数,a>0且aW1,/?W0)

事函数模型f(x)=ax,,-\-b(a,b,n为常数,〃W0)

考点一利用二次函数模型解决实际问题

考点二分段函数模型的应用

考点三分式型函数模型的应用

考点四指数函数模型的应用

考点五对数函数模型的应用

考点六幕函数模型的应用

考点七建立函数模型解决实际问题

突

考点一二次函数模型的应用

I.（25-26高二下•上海•期中）某公园有一一块如图所示的区域。AC6,该场地由线段Q4、OB、AC及曲线段BC围

成.经测量，ZAOB=90°,3=08=100米，曲线3c是以08为对称轴的抛物线的一部分，点。到04、08的距

离都是50米现拟在该区域建设一个矩形游乐场。行加工其中点。在曲桂段AC上，点E,F分别在线段。4,OA上，

且该游乐场最短边长不低于30米.设=x米，游乐场的面积为S平方米.

（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段8C的方程；

⑵求面积S关于x的函数解析式S=/（x）,并计算面积S的最大值（结果精确到0.01）.

2.（2526高一上•上海奉贤•期末）某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安

装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m,各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如

下图）.

过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示.根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何

一个点电池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的.建立如右下图所示的直角坐标系.则池中心。与汇合点

H之间的距离OH=m.

3.（2526高一上•山西忻州•期末）某AI公司为提高经济效益,大力进行新产品研发,现计划投入100万元，全部

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用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润尸，乙产

10>/^1+45(10<«<27),

品的利润Q与研发投入。(单位：万元)分别满足。=8000=«+35(10<«<90),设甲产品

-----+130(27<a490),

a+\

的投入为x(单位：万元)，两种产品的总利润为/(x)(单位：万元).

(1)求/@)的表达式；

(2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元?

4.(25-26高一上•宁夏银川•期末)2025年12月29口，中国向国际旦信联盟(ITU)一次性提交20.3万颗低轨卫星

频轨资源申请，2026年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智

神星一号“、中科宇航“力箭二号”等火箭均-制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来

首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定

x2+1Ox,0<X<50

成本400万元，每生产X百台高级设备需要另投成本y万元，且)=1835400

——x+------1683.50<x<100

2x

,xwN.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台.

(1)求企业获得年利润M(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式；

(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.

考点二分段函数模型的应用

5.(25-26高一下.广东深圳期中)某乡镇响应“打造生态旅游”的号X,因地制宜地将该馍打造成“上态水果特色小

镇经调研发现：某珍稀水果树的单株产量w（单位：千克）与施用肥料」（单位：千克）满足如下关系：

4（/+3）,04x42,

W=70v肥料成本投入为10x元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计203元.已知这

——,2<x^5,

2x+\

种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为y（单位：元）.

（I）写出单株利润y（单位：元）关于施用肥料X（单位：千克）的关系式.

⑵若施用肥料X（2<x«5）千克，当X取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

6.（25-26高三下.安徽阜阳・月考）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售

出，若当天白天售不出，则当晚19:00后以每个30元价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完.

⑴若蛋糕店每天做2（）个生日蛋糕，写出当天的利润y（单位：元）关于当天蛋糕需求量〃（单位：个，〃eN’）的

分段函数关系式；

（2）蛋糕店记录了100天生口蛋糕的口需求量（单位：个）整理得下表：

日需求量〃17181920212223

频数（天）10202014131310

日利润XyZaaaa

（i）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求x,y,z,a及这100天的日利润（单位：元）的平均数；

（ii）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概

率.

7.（25-26高二下•山东枣庄•阶段检测）某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，己

知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本/（“千元，当生产量小于20吨时，

/（x）=_f+49x-205,当生产量不小于20吨时，/（x）=-30lnx+24x+5.该企业为了提高企业的诚信度，赢得

良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元.已知生产的物资能全部售出.

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（1）写出总利润g（x）（千元）关于生产量X（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入-流动成本-固定成本）；

（2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：ln20=3.0）

8.（2026•安徽淮北•一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为5（）元，当天以每个100元售出，若当

天白天售不出，则当晚19:00后以30元/个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部出完.

⑴若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，写出当天的利润），（单位：元）关于当天蛋糕需求量〃（单位：个，〃wN.）的分

段函数关系式；

（2）蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：

日需求

17181920212223

量n

频数（

10202014131310

天）

日利润XZaaaa

⑴假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求仁九z,〃及这100天的日利润（单位：元）的平均数；

（ii）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润大少于900元的概

率.

考点三分式型函数模型的应用

9.（2425高二下•江苏常州•月考）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的

底面是正方形，且水池最大储水量为6m1已知水池底面的造价为600元/n?,侧面的造价为400元/n?.（注：衔

接处材料损耗忽略不计）

（I）把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长龙（单位：m）的函数；

（2）若（/>1的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？

10.（25-26高三•上海•二轮复习）为践行“科技强国''战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广

场，其中两个相同的矩形相8和£尸6〃构成的十字形区域总面积为200m2.中心正方形MNPQ区域将安装国产太

阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为210（）元/n?；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价

为105元/m2；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元/nf.设总造价为W（单位：元），

AD=x（单位：m）.

EF

⑴设。。长为V（单位：m）,用工表示），，并求出工的取值范围；

（2）A。®｛何值时可使总造价最低，并求出最低造价.

11.（25-26高一上•云南楚雄・期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（OvxvlO）万元，则

该材料的销售量可增加〃=生吨，每吨的销售价格为万元，另外生产〃吨该材料还需要投入其他成本与万

x+2VP）4

元.

（I）求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万兀）与X之间的函数关系式；

（2）当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元？

12.（25-26高一上•湖南郴州•期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前

沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套

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的AI算法服务包.通过市场分析,全年需投入固定成本260万元（含研发、服务器部署等）,每生产工千个算法服务包，

10x2+100x,0<x<40.

需另投入成本R（力万元，且式"）=10000已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内

601X+-----------7260,x>40.

x

生产的眼务包当年能全部销售完.

（1）试写出2026年利润L（万元）关于年产量%（千个）的函数解析式；

（2）当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

考点四指数函数模型的应用

13.（25-26高二下•湖南郴州•期中）我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强〃（单位：kPa）

随高度〃（单位：km）的变化满足指数衰减规律：〃=〃（百林，其中〃。为海平面处的大气压强，攵为常量.已知在

高度为50km处，大气压强为海平面处的;，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的:，则当前高度约

为（）

A.150kmB.100kmC.175kmD.125km

14.（2026•宁夏银川•三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间）’（亘位：小时）与贮藏温度x（单位：。C）之间满

足：y=（其中"，方为常数）.若该蔬菜在贮藏温度x为9℃的环境下保鲜时间），为261小时，在23℃的环境下

保鲜时间为29小时.若该蔬菜运输总物流时间为87小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的1.2倍,

则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度工的最大整数数值为.（参考数据：ln3*L099,ln29=3.367,

In104.4^4.648）

15.（2026・四川成都•模拟预测）2021年，郑州大学考占科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用

碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间/（单位：年）的衰变规律满足

N=旃（M表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量

约是原来的孝至:，据此推测青铜布币生产的时期距今约（）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）？（参

考数据：I鸣3。1.6）

A.1880年B.2580年C.3550年D.4150年

16.（2026・江苏•三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量Q"）（单位：拷贝数/升）与时间，（小

时）的关系为=其中攵>1,。。为初始病毒载量，则病毒载量在，=小时达到峰值，之后病

毒载量每经过1小时衰减为原来的日倍，当低于暑时不具传染性，则从，=0起，该病毒具有传染性的总时长为

_____小时.

考点五对数函数模型的应用

17.（2026•北京石景山•二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为/

的声音对应的等级为LdB,则有L=101g/.已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB,如

果通过攻善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（）

（参考数据：怆2*0.301）

A.49dBB.46dBC.26dBD.13dB

IX.（2026.山东德州.模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数A与训练数据量单

位：GB）的关系式为A=hl.5与，其中左为常数•当训练数据量为e'GB时，模型的准确率提升倍数为225当准确

率提升倍数4达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量

约为（）（参考数据:ln2«0.7,ln3»l.l,lnl0«2.3）

A.1048GBB.I05IGBC.lO^GBD.1057GB

19.（25-26高一下.江西景德镇•月考）我们都处于有声世界之中.音量的单位是分贝（dB）,对于一个强度为/的声

波，音量的计算公式是〃=10馆/，这里常数/。是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度/是

IOdB时声音强度/,的（）

A.2倍B.4倍C.10倍D.100倍

20.（25-26高一上•河南郑州•期末）大西洋雄鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鞋鱼的科学家发现鞋鱼的游

速v（单位：m/s）可以表示为u=2，其中。表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鞋鱼和乙鞋鱼都做匀速直线

运动，乙在中正前方18m处，9s后中正好追上乙，则中鲜鱼与乙鞋的耗氧量的单位数的比值为（）

A.3B.9C.27D.81

考点六幕函数模型的应用

21.（25-26高一上•广东深圳•期末）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全

部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润M。）（单位：万元），乙产品的利润N*）

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（2）根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式：

（3）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大?

22.（25-26高一•全国•寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入工（万元）与药品利润y（万

元）存在的关系为丁=丁为常数）.其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27

万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（）

A.115万元B.120万元C.125万元D.130万元

23.（25-26高一上•上海•期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其

纯利润）’（单位：万元）随销售收入I（单位：万元）的变化情况如下表所示：

X（万元）235

\_59

）'（万元）

444

⑴根据表中数据，分别用模型y=iQg,G+M+〃（〃>0且〃工1）与），=cG?+d建立>关于x的函数解析式:

⑵已知当工=9时，=3.3,你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：V57«7.55）

24.（25-26高一上•全国・单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯iH.Ebbinghaus）

研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率），

与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：）=1-0.6/叱4£（0,2000）,若陈同学需要在明天15：（）0考语

z[\0.06/&\0.06

文时拥有复习背诵记忆的42%,则他明天复习背诵的时间需大约在（）参考数据：（1«0.95931。1.025,

2。06=1.0425.

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

考点七建立函数模型解决实际问题

25.（2026.浙江绍兴•模拟预测）2026年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程），（km）

与行驶总时间Mh）满足函数关系），=600e~°g.该车先匀速行驶2h,之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余

续航按衰减（为为匀速2h后的剩余续航，，为拥堵行驶时间）.当剩余续航降至150km时，汽车从出发到

此刻的总行驶时长约为（）（参考数据：In2乞0.693）

A.5.6hB.5.8hC.6.0hD.6.2h

26.（湖南邵阳市2026年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）大西洋鲤鱼每年都要逆流而上，游回产

O

地产卵研究酷鱼的科学家发现鲜鱼的游速（单位：）可以表示为丫,其中。表示鞋他的耗氧量，，为

um/s=/1%Too

常数，且f〉0.若一条鲤鱼的游速为L5m/s时，它的耗氧量为2700个单位，则当这条鲤鱼的耗氧量为900个单位

时，它的游速是m/s.

27.（2026•贵州贵阳.二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型丁=乂9（其中），为感染

人数，M为初始感染人数，4为传播系数，/为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）.已知发现疫情第1天感

染人数为120人，第3天感染人数为270人.若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现

疫情后第（）天启动.（参考数据；皿2=0.7,ln3«l.l,In10^23）

A.6B.7C.8D.9

28.（25-26高三下•四川成都•阶段检测）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习

与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需的时间7=%lgN（单

位：h）,其中外为常数.在此条件下，训练2（）0000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为

8h,当训练，"个单位的数据量所需论时间为16h时，m=（）

A.10000B.15000C.20000D.30000

1.（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）为了鼓励大家

节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如卜表所示.

分档户年用水量/m?综合用水单价/（元m-）

第一阶梯0~240（含）3.0

第二阶梯240-330（含）4.5

第三阶梯330以上5.5

假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为（）

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A.190加3D.285〃?3

B.217/wC.270

2.（25-26高一上•安徽阜阳•期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户

每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；

超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为276元，则该户居民本月用电量为

（）

A.400度B.420度C.440度D.460度

3.（2026・重庆•模拟预测）声强级，是指声强x（单位：W/m2）和定值。（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以

10,即声强级〃（x）=10lg土（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB,一种火箭发射时的声强和人与人

a

交谈时的声强的比值约为IO©,那么这种火箭发射的声强级约为（）

A.150dBB.285dBC.145dBD.235dB

4.（2026•北京西城•二模）某工厂2023年的年产值为小这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等

手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%,以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步

向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026

年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（）

A.6aB.8。C.9aD.12a

5.（2026•河南•模拟预测）一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为0.9%,经过/分钟净化后，废气中二氧化硫

的浓度为3%,并满足）,=0.05+4/太根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至0.1%时，达到排放标准，则该

化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：h】15*2.708,lnl7=2.833,血9。2.944）（）

A.136分钟B.140分钟

C.142分钟D.150分钟

6.（2026•江苏南通•三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.己知日销售量与每盒售价（元）

满足关系式：。（〃）=300用二万七如“，其中〃为每盒售价（12<〃<24）,Q（p）为每日销量.若要使每口销售利润

最大，则每盒礼盒应定价为（）

A.17.9元R.IX。元C.19.9元D.20.9元

7.（25-26高一上•陕西汉中•期末）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，

出水口的出水速度如图乙所示.某天从Oh至iJ6h,该水池的蓄水量如留丙所示，则下列说法正确的有（）

，,进水量/m3

。「i时间/：

甲乙内

A.Oh到3h只进水不出水

B.3h到4h不进水只出水

C.3h到4h有一个进水口关闭

D.4h到6h不进水不出水

8.（25-26高一上•河北沧州•期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变

成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为R（x）=5x-g/（万元）其中不是产品

的年产最（单位：百台），则下列说法正确的是（）

A.利润N表示为年产量％的函数为=-0.5x2+4.75x-0.5（0<^<5）

345

B.当年产量为475台时企业所得的利润最大，为三万元

C.当年产量0.11WxW48（单位：百台）时，企业不亏本

D.企业不亏本的最大年产量为500台

9.（25-26高三下•四川成都・开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式:

丹=6#+幻"第>-1）来研究种群数量的变化趋势，其中2为最终预测数量，月为初始数量，攵为种群数量的年增长

率，〃为预测的年数，则（）

A.当％c（T,。），则这期间种群数呈下降趋势

B.当Aw（0,l）,则这期间种群数呈下降趋势

C.若初始数量用=10。。，年增长率为左=0.03,则2年后预测种群数量约为1061

D.若初始数量4=3000,年增长率为A=-0.02,则2年后预测种群数量约为2991

10.（2D26•河南南阳•模拟预测）（多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone）,响度级为响度的相

对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon）,实验发现，响度级LN与响度

S的关系式为lgS=0.0301x（LV—40）,则（）（参考数据：1g2*0.301）

A.响度级每增加10方，响度约增加一倍B.响度级为40方，响度为1宋

C.当响度为2宋时，响度级约为45方D.当响度为8宋时，响度级约为70方

11.（2026.河北秦皇岛.模拟预测）（多选〉地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.

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里氏震级的计算公式为M=lg与（其中常数4是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Ana、

是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量E（单位：焦耳）是指当地

震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知E=l（）48x|（产"，其中M为地震震级.下列说法正确的是（）

A.若地震震级M增加I级，则最大振幅Anu增加到原来的10倍

B.若地震震级M增加2级，则放出的能量E增加到原来的20倍

C.若最大振幅41tx增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的1（）J历倍

D.若最大振幅增加到原来的10（）倍，则放出的能量E也增加到原来的1（）（）倍

12.（25-26高一上•四川攀枝花•期末）（多选）某实验室监测一种放射性物质的浓度衰减规律，其浓度c（单位：mg/L）

与时间/（单位：天）的关系为c=（2>0,为常数），己知该物质初始浓度1=0时）为8mg/L,3天后

浓度降至lmg/L,则（）

A.a=2

B.该物质浓度减少50%需要花1天时间

C.5天后该物质浓度会低于0.2mg/L

D.设该物质浓度降至4mg/L、2mg/L,0.5mg/L对应的时间分另］为乙、q、4，则G=2亿f）

13.（25-26高三下•江西抚州•月考）（多选）僦是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中

负的质景N随时间，（单位：年）的衰变规律满足关系式％=乂）・2一品，其中乂表示旅原有的质景，则（）

（参考数据：怆2。0.301）

A.经过24.86年后，样本中的家会全部消失

B.样本中氽的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为12.43年

C.经过74.58年后，样本中的瓶的质量变为原来的!

D.若x年后，样本中瓶的质量为0.4N。，则.”17

14.（25-26高一上•广东广州•期末）（多选）某元素的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中该元素的质量N随

时间，（单位：年）的衰变规律满足关系式义=做,.2-忌，其中M表示该元素原有的质量，则下列说法正确的有（）

（参考数据：国2弋0.301）

A.经过24.86年后，样本中的该元素会全部消失

B.样本中该元素的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用时间称作半衰期）为12.43年

C.经过62.15年后，样本中的该元素的质量变为原来的士

D.若x年后，样本中该元素的质量为0.4N。，则工<17

15.（2026•北京海淀,二模）某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元.基金会制定了如下使用方案：在

第〃年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10

万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复:项目在该年结页.按上述使用方案，第4年投入使用的资金为

万元，该修复项目将在笫年结束.

16.（25-26高二下•河南南阳•月考）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为220。元，购买当天

支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%.25个月还清.每次还款

数额相同,按复:利计息，则每月还款金额为7匕.（最后结果保留4位有效数字，参考数据：（1+0.5%）25aLi33）

17.（25-26高三下•上海・月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后

代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：

N⑺二乂/，其中乂为种群起始个体数量，r为增长系数，N⑺为，时刻的种群个体数量.当f=?时，种群个体数

量是起始个体数量的2倍.若N（4）=150,则/V（IO）=.

18.（25-26高一卜・・安徽•开学考试）某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率/⑺

20（1-2.5^）,0<z<3

（单位：mg/g）随光照时间/（单位：/力变化的关系式为/（，）=&.若/=1时降解效率为12mg/g,

17+5x22,/>3

则/=4时降解效率为mg/g.

19.（25-26高二下•上海•期中）某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200万元购买土地15000平方米.该公园

每间球馆的建设面枳为1500平方米，球馆的总建筑面枳的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建*间球馆时，

每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用/（1）=100。（1+；1取］表示.为了使该球馆每平方米的综合费用最省

（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？

20.（25-26高二下•重庆万州•期中）已知甲、乙两地的距离是100km,按交通法规规定,甲、乙两地之间的公路车

速应限制在0〜120km/h,统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米

13

/小时）的函数解析式可以表示为：y=

128000oO

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

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2.12函数模型及其应用

题知识清单

1.三种函数模型的增长差异

y=a\a>{)y=log,A(«>l)y=kr(k>0)

在(0,+8)上的增减性增函数增函数增函数

随X增大逐渐近随X增大逐渐近似与X轴平

图象的变化趋势保持固定增长速度

似与y轴平行行

y=a\a>\)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于)，=心4>0)

增长速度

的增长速度，丁=1。8/(公>1)的增长速度越来越慢

增长结果存在一个XO,当x>xo时，有">kx>k)g,/

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax-\-b(a,b为常数,〃W0)

二次函数模型fix)=a^?-\-bx-\-c{a,b,c为常数,GWO)

指数函数模型/U)=/?d+cm,b,c为常数,。>()且1,bWO)

对数函数模型/(x)=/?logax+c(a,byc为常数,a>0且aW1,/?W0)

事函数模型f(x)=ax,,-\-b(a,b,n为常数,〃W0)

考点一利用二次函数模型解决实际问题

考点二分段函数模型的应用

考点三分式型函数模型的应用

考点四指数函数模型的应用

考点五对数函数模型的应用

考点六幕函数模型的应用

考点七建立函数模型解决实际问题

考点

考点一二次函数模型的应用

I.（25-26高二下•上海•期中）某公园有一一块如图所示的区域。AC6,该场地由线段Q4、OB、AC及曲线段BC围

成.经测量，ZAOB=90°,3=08=100米，曲线3c是以08为对称轴的抛物线的一部分，点。到04、08的距

离都是50米现拟在该区域建设一个矩形游乐场。行加工其中点。在曲桂段AC上，点E,F分别在线段。4,OA上，

且该游乐场最短边长不低于30米.设=x米，游乐场的面积为S平方米.

（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段8C的方程；

⑵求面积S关于x的函数解析式S=/（x）,并计算面积S的最大值（结果精确到0.01）.

【答案】（1）），=-0.02丁+100（044450）

,、L（-0.02x2+100）,30<A<50

⑵/xX）、，：2721.66.

x（-x+100）,50<x<70

【分析】（1）以。为坐标原点，。4、。8所在直线分别为x轴、），轴，然后根据题意求解析式即可；

（2）分别求出/）在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得

到面积最大值.

【详解】（1）以。为坐标原点，QA、。8所在直线分别为x轴、），轴，

建立平面直角坐标系.如图所示，则A[100,0）,C（50,50）,8（0,100）.

设曲线段BC所在抛物线的方程为），=♦+〃（〃<（））

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由题意可知，点8（0,100）和0（50,50）在此抛物线上，

故a=-0.02,Z?=l00

所以曲线段BC的方程为：产-0.02A-+100（0<x<50）

（2）由题意，线段AC的方程为），=-x+100（50Wx<100）.

当点。在曲线段8c上时，5=x（-0.02x2+100）（30<X<50）.

当点D在线段AC上时，5=A（-A+1（X））（50<A<70）.

x(-0.02.r2+100),30<%<50

所以〃力二

x(-x+IOO),5O<x^7O

当30«x<50时，/(力=-0.061+100,令-0.()6./+1()0=0,

得,=学・竽（舍去）.

3。学时,华,50时，r(x)<0.

当xe当

因此当T时,/50761000076曰山曰曰.廿

S=/----------是极大值，也是取大怛

当50vxK70时，f(x)=-(X-50)2+25(X)

当x=50时，S=/(5O)=25OO是最大值,

因为50<x《70,所以无最大值，

所以当工=亚色时，S取得最大值，最大值为幽逃。2721.66.

39

2.（25-26高一上•上海奉贤•期末）某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安

装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m,各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如

下图）.

过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示.根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何

一个点弗池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的.建立如右下图所示的直角坐标系.则池中心。与汇合点

H之间的距离OH=m.

【答案】—

【分析】由题意设出二次函数的顶点式，代入/(8)=0即可求解..

【详解】由题意得y轴右侧图象为二次函数的一部分，顶点为(3,4),

可设二次函数顶点式/(x)=〃(x-3)2+4,

44，

且/(8)=25〃+4=0,解得°=_去，则/@)=_卜_3)~+4,

则阿=/(0)=装64

3.(25-26高一上•山西忻州•期末)某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部

用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润P,乙产

107^+45(10<6/<27),

品的利润。与研发投入。(单位：万元)分别满足P=800(?=t/+35(10<«<90),设甲产品

-----+130(27<〃490),

。+1

的投入为x(单位：万元)，两种产品的总利润为f(x)(单位：万元).

⑴求Ax)的表达式；

(2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？

105/X^T-X+180,10<X<27

【答案】(l)/(x)={800

-------x+265,27<x<90

x+1

(2)甲投入27.3万元,乙投入72.7万元时,利润最大是209.4万元

【分析】(1)根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可：

(2)分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可.

【详解】(1)甲产品的投入为x(单位：万元)，则乙产品的投入为l(X)-x(单位：万元)，

则乙产品的利润Q=(1(X)-幻+35=135-x

当10《X427时，P=10x/r^+45,

所以/(K)=10A/^T+45+(135—X)=K)V^T—X+180,

当27VxM90时，P=一驾+130,

x+l

3,堡i\800s八/…、800

所以/|x)=-----+130+(135-x)=-------x+265,