2026高考数学二轮复习-直线与圆

第1讲直线与圆

—探究真题明确方向・

1.(2025•天津,T12)已知小叼-6=0与x轴交于点4,与/轴交于点5,与(.什1)2+什-3)2=/(/>0)交于C,。两

点，［48|=3|。|,则尸.

2.(2024•全国甲卷，理T12)已知b是a,c的等差中项，直线分助"c=0与圆N+俨+48=0交于48两点,

则|力8|的最小值为()

A.lB.2C.4D.2V5

3.(2023•新课标H卷，T15)已知直线x-〃/1=0与OC：(x-l)2+V=4交于48两点，写出满足“△力6C面积

为的m的一个值为.

4.(2023•新课标I卷，T6)过点(0,-2)与圆/+y_4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,则sina等于()

A.lB.半C.平D.平

444

5.(2025•全国I卷,T7)已知圆炉+62)2=*。>0)上到直线产苗x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取

值范围是()

A.(0,1)B.(l,3)

C.(3,+8)D.(0,+8)

6.(多选)(2021・新高考全国I卷，T11)已知点尸在圆X5)2心5产16上，点4(4,0),5(0,2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10B点P到直线AB的距离大于2

C.当NP44最小时，|尸冽=3&D.当最大时，|P8|=3&

命题热度：

本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为

5~6分.

考查方向：

一是直线的方程、两直线的位置关系、距离问题；二是圆的方程，主要考查圆的方程的求解以及几何性质

的应用；三是直线和圆的位置关系，主要考查位置关系的判断，由位置关系求解参数的值或范围，由弦长、

半径和圆心距引发解三角形是重点；四是圆与圆的位置关系，主要考查位置关系的判断和公共弦等相关问

题.

1.答案2

解析由题意得直线人x-y+6=0与x轴交于力(-6,0),与y轴交于8(0,6),

所以M8|=«62+62=6五,则|CQ|=2四,

圆(工+1)2+8-3)2=户的半径为广，圆心(-1,3)到直线x-y+6=0的距离为由二与|3L、泛，t^\CD\=2Vr2—d2

解得尸2(负值舍去).

2.答案C

解析因为人是me的等差中项，

所以28=。+c,c=2b-a,

代入直线方程ax+by+c=0得ax+by-2b-a=0,

即a(x-1)+Z>(y+2)=0,

令得忧工

故直线恒过(1,・2),设尸(1,・2),

圆化为标准方程得X2+0H-2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，如图，

由图可知，当尸C_L48时，|力用最小，

又|PC|=1,\AQ=yfS,

此时M8|=2MQ=2j|4C|2一|PC|2

=2V5—1=4.

3.答案2(2,-2,I，一加任意一个皆可以)

解析设直线x-〃沙+1=0为直线/,点。到直线/的距离为4,由弦长公式得|』8|=2>/4—

1O

所以S3寸dx2V4^d2-,

解得,江等或『普，

又2

Vl+m2Vl+m2,

所以系考或春岑,

vl+m25Vl+m25

解得加=±|或〃?=±2.

4.答案B

所以回心到/(0,-2)的距离为J(2—0)2+(0+2)2=2夜,

由于圆心与4(0,・2)的连线平分N8力C,

所以出总金备孥，

所以cosZ.BAC=\・2sin左号幺-*0,

所以N84C为钝角，且/A4C+a=T,

所以sina=sinZBAC=V1—cos2/-BAC=^-.

4

5.答案B

解析由题意，在圆/+&42)2=户(》0)中，圆心为E(0,-2),半径为尸,

故由图可知，

当尸1时，

圆/+&+2)2=/&>())上有且仅有1个点(4点)到直线y=^3x+2的距离等于1；

当尸3时，

圆炉+什+2)2=/(尸>0)上有且仅有3个点(&C,。点)到直线产存+2的距离等于1,

则当r的取值范围为(1,3)时，

圆/+8+2)2=产(/>0)上有且仅有2个点到直线产VIr+2的距离等于1.

6.答案ACD

解析设圆("5)2+05)2=16的圆心为“(5,5),由题易知直线48的方程为*1,即X+2.F-4=0,则圆心M

到直线的距离*等”关>4,所以直线48与圆M相离，所以点P到直线48的距离的最大值为

4+d=4+?,4+?<5+Fp=10,故A正确.

v5v5yj5

易知点P到直线力"的距离的最小值为d-4=&4,A=-4</^p-4=l,故B不正确.

v5V5y5

过点B作圆A7的两条切线，切点分别为M。，如图所示，连接MMM。，则当/P84最小时，点

P与N重合,|P"=J|M8|2—|MN|2=j52+(5—2)2—42=3衣,当NP4力最大时，点尸与0重合，|「用=3

V2,故C,D都正确.

考点一直线、圆的方程

例1(1)(多选)下列说法正确的是()

A.已知直线x+y-a=O与直线3x-a尹3=0平行，则它们之间的距离是遮

B.“a=-l"是“直线〃2工6+1=0与直线》-砂-2=0互相垂直”的充要条件

C.当点P(3,2)到直线〃?x/l-2〃?=0的距离最大时，〃?的值为-1

D.已知直线/过定点P(l,0),且与以力(2,-3),4(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线，的斜率左的取

值范围是(一8,・3]0l，+00)

答案ACD

解析对于A,直线x+y-a=O与直线3x-砂+3=0平行，贝U1X(-〃)-3=0,解得。=-3,

直线3.什3卢3=0,即x+y+1=0,

则直线x+)H-3=0与直线x+y>+1=0的距离为一V5,选项A正确；

对于B,由两直线互相垂直得，^2X1+(-1)X(-a)=0,解得。=・1或折0,可知“。=・1”是两直线垂直的充分

不必要条件，选项B错误；

对于C,将直线方程变形为加(x-2)+l・y=0,

由tl-y=0,何ty=l,

则直线m•/1・2〃?=0过定点0(2,1),斜率为加，

当直线〃?x-yH-2〃7=O与PQ垂直时，点P(3,2)到直线〃?x-八1-2机=0的距离最大，

因为，所以"尸-1，选项c正确；

对于D,如图，kp,4=2-1="，

-2-01

由图可知，当左2：或kW-3时，直线/与线段/A有交点，故选项D正确.

(2)(多选)(2025•咸阳模拟)已知圆。的方程为小+产8工+12=0,点M(X。，)，0)是圆C上任意一点，O为坐标

原点，则下列结论正确的是()

A.圆C的半径为2

B.满足QM=5.5的点〃有两个

C.x0+2y0的最大值为4+2而

D.若点2在x轴上，则使10M=2/M恒成立的点P有两个

答案ABC

解析对于A,圆的方程可化为(*4)2+产=4,所以圆心C(4,0),半径为2,故A正确；

对于B,由于|OC|=4,所以圆。上任意一点到原点的最大距离是4+2=6,

最小距离是4・2=2,因此满足|OM|=5.5的点M有两个，故B正确；

对于C,令沏+2乂)=J则劭=卜2加所以M(f-2yo，泗)，

将点口(卜2%，心)代入圆。的方程并整理，

2

得5yMi6-4/>0+(/-8/+12)=0,

依题意有J-(16-4/)2-20(Z2-8/+12)^0,即28/-4W0,

解得4-2VSW/W4+2通，

因此干+2%的最大值为4+2代，故C正确；

对于D,不妨设P(m0),由于|OM|=2|PM|,

所以+疥2卜0->)2+端

整理得说+羽-尊0片=0.

因为点M(*o,泗)在圆。上，

所以焉+%-8%()+12=0,

则俘_8b。+(12_豹=0,

因为比为点M的横坐标，且点M为圆C上任意一点，

停—8=0,

所以;2T=。,

解得片3,所以符合要求的点尸是唯一的，故D错误.

［规律方法］(1)解决直线方程问题的三个注意点

①利用小82-42坊=0后，要注意代人检骏，排除两条直线重合的可能性.

②要注意直线方程每种形式的局限性.

③讨论两直线的位竞关系时，要注意直线的斜率是否存在.

(2)解决圆的方程问题一般有两种方法

①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位嵬关系，进而求得圆的基本量和方程.

②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

跟踪演练1(1)(多选)已知直线/：产依'+2h3,则下列说法正瑜的是()

A.直线/恒过定点(-2,-3)

B.若直线/在x轴上的截距为1,则

C.若直线/与直线2r+y-l=0垂直，则k=-^

D.若则直线/的倾斜角的取值范围为椁，n)

答案AB

解析直线/：尸Ax+2h3=4(x+2)-3,令x+2=0,即x=-2,得尸-3,

所以直线/恒过定点(・2,・3),故A正确；

若直线/在x轴上的截距为1,则直线/过点(1,0),代入直线/的方程得0=什2〃-3,

解得上1,故B正确；

若直线/与直线2x+y-l=0垂直，贝株X(-2)=-l,解得旧，故C错误；

设直线/的倾斜角为仇则仁anOeVl

又0£[0,兀)，所以由正切函数的单调性可知0£七，以，故D错误.

(2)(2025江西四月适应性联考)与直线严察，和直线尸瓜都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距

离为左的圆的方程为.

答案1)2+61)2上沪

解析设圆心坐标为(。，6)(。>0,4>0),

由于所求圆与直线产务和直线厂都相切，

|V3a-3Z)|_|V3a—Z)|

改历^二乐A

化简得。2=〃，而4>O,b>0,则。心

又圆心到原点的距离为遮，即a2+b2=2,

解得口=8=1,即圆心坐标为(1,1),

则半径为I需匚*1,

故所求圆的方程为(X-1)2+01)22咨.

考点二直线、圆的位置关系

考向1直线与圆的位置关系

例2(多选)(2025•石家庄模拟)已知直线/：x+ay-3=0与圆C：/+y_81+6＞16=0,则下列说法正确的是

()

A.当a=2时，直线/与圆。相交

B.若直线/与圆C相切，则

C.圆C上一点2到直线/的最大距离为V1U+3

D.若圆C上恰好有三个点到直线/的距离为2,则

答案AC

解析当〃-2时，直线/：A-i2y-3-0,圆C的方程可化为(片4)，1813)~9,

陵、

所以国心C(4,・3),半径尸3,

则圆心C到直线/的距离4=吟言户=屋3,

vl2+22

所以直线/与圆。相交，故A正确；

因为直线/与圆C相切，所以圆心。到直线/的距离d=^^3,解得kg,故B错误；

因为直线/恒过定点(3,0),

所以国心C到直线/的最大距离为J(3—4"+(0+3)2=/诟,

则圆C上一点P到直线/的最大距离为旧+尸/而+3,故C正确；

因为图。上恰好有三个点到直线/的距离为2,

所以圆心C到直线/的距离解得斫。或1故D错误.

考向2圆与圆的位置关系

例3(多选)(2025・铜仁模拟)已知圆G：刀2+3+2)2=4,圆G：x2+^2-4jH-a=0＞则下列说法正确的是

()

A.«＜4

B.若片0,则圆G与圆。2有且仅有1个公共点

C.若圆G与圆G的公共弦长为4,则。=-16

D.当a=・32时，若动圆“与圆G外切，同时与圆G内切，网点”的轨迹方程为41O

答案ABC

解析对于圆G：/+产4y+。=0,

转化为标准方程/+0，-2)2=4-4,

因为半径为4=云＞0,所以。＜4,A正确；

若。=0,圆G：/十(y+2)2=4,

圆心C|(0,-2),半径后=2,

22

圆C2：x+(y-2)=4,

圆心C2(0,2),半径尸2=2,

两圆心间的距离|%。2|=|—2—2|=4=勺+/2，则两圆外切，

所以两圆有且仅有1个公共点，B正确；

若圆G与圆。2的公共弦长为4,因为圆G的直径为4,

所以公共弦为圆G的直径，即两圆的公共弦所在的直线过圆G的圆心(0,-2),

由侈;，上0,两式相减可得8k0，

将(0,-2)代入8y-4=0得。=-16,C正确；

当a=-32时，圆G：/+&-2)2=36,

圆心。2(0,2),半径，2=6,

圆G：/+s+2)2=4,圆心G(。，・2),半径门=2.

设动图"的半径为火,因为动圆“与圆G外切，同时与圆G内切，

则|MQ|=R+2,|MC2|=6-/?,

所以|MCI|+|MC2|=8＞|CIC2|=4,

根据椭圆的定义可知点M的轨迹是以G(0,-2),C2(0,2)为焦点的椭圆，且2a=8,2c=4,

可得口=4,c=2,/=/_/=16-4=12,

故其轨迹方程为儒=l(yW-4),D错误.

［规律方法］(1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径广，圆心到直线的距离乙及半弦长

构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.

(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆的方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.

跟踪演练2⑴Q025•湖南名校联合体模拟)己知直线/：尸公伙＜0)与圆C：9+产2x+4尸■］=()相交于

M,N两点，其中点。为圆心，若Ov/MCNW等则4的取值范围为()

4啜0)0)

C.(-CO,寻D.(_8,

答案B

解析x2+j^-2x4-4y+1=0化为(x-1)2+(y+2)2=4,

所以国心C(l,-2),半径为2.

0v/MGVW¥=l<dv2,

其中d为圆心C到直线/的距离.

因为,修，

所以1W黑＜2,

因为KO,所以［WAvQ

(2)已知圆C：(*4)2+53)2=1和两点力(-〃7,0),B(m,0)(〃40).若圆。上存在点P,使得N4P8=90。，

则m的最人值为.

答案6

解析以48为直径的圆O的方程为工2+y=”?2,圆心为原点，半径为尸[=加，

圆C：(x・4)2+(y-3)2=l的圆心为(4,3),半径为厂2=1.

要使国。上存在点P,使得N/P8=90。，则圆O与圆。有公共点，

所以

即|”1|W，42+32W|M+1|,

\m-1|<5,

所以|m+l|Z5,解得4WmW6,

m>0,

所以m的最大值为6.

考点三隐圆

例4(1)已知点4(-3,0),8(3,0),若圆。田+1)2+8・如2)2=1上存在点“满足拓?丽=・5,则实数a的

值不可能为()

A.2B.lC.OD.-2

答案A

解析设M(x,歹)，因为M4MB=-5,M4=(-3-x,-y),MB=(3-x,-y),

所以海•丽=(-3-x)(3-x)+(-y)2=x2_9+y=-5,即

所以点M的轨迹是圆，方程为/+产=4.

由题意知，圆x2+)^=4与圆(x-a+1)2+什/-2)2=1有公共点，

所以2-1WJ(a—1尸十(a十2/W2+1,解得-2WaWl,故A不满足题意.

(2)(多选)已知动点M与两个定点0(0,0),尸(3,0)的距离的比为发动点M的轨迹为曲线C,贝lj()

A.动点M的轨迹方程为a+l)2+y2=4

B.直线x・y+2=0与曲线。交于力，8两点，则|4B|的长为半

C.曲线C与曲线。：。-1)2+川=4的公切线有2条

D.已知点E(-l,1),点N为曲线C上任意一点，则2|NOHNE|的最大值为g

答案ACD

解析设M(x,y),由船可得者金：，

化简得X2+/+2X-3=0,即(x+1)2+产4.

故动点M的轨迹方程为(x+l)2+jP=4,A正确；

(x+iy+)a=4的圆心为(-1,0),半径为r=2,

所以国心到直线叼汁2=0的距离"上詈臂，

所以IAB[=2«2-d2=2」4-吴旧,B错误；

曲线。的圆心为(1,0),半径为2,

因为内圆心间的距离为J(1+I)+0』2,大于半径差小于半径和，所以两个圆是相交关系，所以公切线

有2条，C正确；

由题意得动点N与点。(0,0),点尸(3,0)的距离的比为今所以2|NO|-|NE|=|NP|-|NE|W|PE|=g,D正

确.

[规律方法]发现隐圆的主要方法

(1)由定义可以判断(动点到定点的距离为定值).

(2)由两定点〃，动点〃满足万彳而f是常数)，求出点〃的枕迹方程确定圆.

(3)由两定点B,动点尸满足|P/F+|P砰是定值确定圆.

(4)由两定点4B,动点尸满足除处＞0且无W1)确定圆(阿波罗尼斯圆).

跟踪演练3(多选)在平面直角坐标系中，存在三点4(-1,0),8(1,0),C(0,7),动点P满足|以|=近

\PB\,则()

A.点P的轨迹方程为(无-3)2+俨=8

B.当△以片面积最大时，|尸,4|=2①

C.当NP44最大时，|尸/|=2通

D.点P到直线力。距离的最小值为警

答案ABD

解析设P(x,y),

由|P4|=V2|P5|得|P*2=2|。|2,

即(X+I)2+W=2[(X-1)2+P2],

化简得(23)2+y=8,

即点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8,A正确；

•・•直线48过圆。-3)2+俨=8的圆心，

・・・点P到直线48的距离的最大值为圆(*3)2+产=8的半径八即为2vL

丁|46|=2,

/.APAB的面积最大为2X2义2V2=2V2,

此时P(3,±2伪,

A|PJ|=1(3+1)2+(2V2)2=2V6,B正确；

当/尸48最大时，

则PA为圆(*3)2+产=8的切线，

/.|PJ|=V(3+1)2-8=2V2,C错误；

直线NC的方程为7代户7-0,

则圆心(3,0)到直线4c的距离为哼若

・••点P到直线4c距离的最小值为噜26专，D正确.

专题强化练

［分值：85分］

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2025•乌鲁木齐适应性检测)直线/：2r+3y-1=0的一个方向向量为()

A.(3,2)R(3,-2)

C.(2,3)D,(2,-3)

答案B

解析由直线方程为2x+3y-l=0,则(3,-2)是直线的一个方向向量.

2.(2025・新余模拟)已知直线("?+1月3VH=0与直线4//町汁1=0平行，则m的值为()

A.3B.-4

C.3或-4D.3或4

答案B

解析由题意得1)-12=m2+m-\2=(/n+4)(/n-3)=0,可得m=-4或m=3,

当片-4时，直线3x-3y-l=O与直线4.r-4y+l=0平行，符合题意；

当〃7=3时，直线4x+3yH=0与直线4x+3yH=0重合，不符合题意；

〃?=-4.

3.(2025・绍兴模拟)直线x=2被圆QM)2+(y-2)2=5截得的弦长为()

A.2B.4C.2V3D.2V5

答案B

解析圆。-1)2+6，-2)2=5的圆心为(1,2),半径尸而，

又圆心(1,2)到直线x=2的距离"=|2—1|=1,

所以弦长为2"2_#=2］(遮)2_12=4.

4.(2025•佛山质检)在平面直角坐标系中，曲线C：与吟L1的周长为()

A.12B.14C.I6D.20

答案D

解析曲线C：WL1等价于

*O

>or>o

X—X

-:

O-O

y>或1y<

x-y_x-y

-+-11--

43一4-3

Z

/X<oX<

-，-o,

l>o

或

y或yV

，o,

<--X-

(x+-y1-y

一-

K-43-43

r

lX>o

-

灯O

其

表

>示M

-y

+-1(40)和(0.3)为端点的线段.

任3

其长度为同理可得，其他线段的长度均为5,

所以由线C：臀L1的周长为4X5=20.

ID

5.(2025・包头模拟)若(/2尸+0汁1户2,则上产的最小值为()

A.-1B.0C.1D.2

答案B

解析令如，力又咪争L

令—L4,整理得kx-y-\=0,

由题意可得嗡整理得后《0,解得

所以故审1的最小值为0.

6.(2025•宁波模拟)已知点A/(m0),NQ，3)到同一直线的距离分别为2,3,若这样的直线恰有2条，则。

的取值范围为(

A.(-2,0)B.(-2,6)

C.(0,6)D.(2,6)

答案B

解析以M(Q,0)为圆心，2为半径的圆为(x-a)2+>2=4,

以M2,3)为圆心,3为半径的圆为(x-2)2+&-3)2=9,

若符合题意的直线恰有2条，则上述两圆相交，

而|MM=J(2-a)2+9,

所以lv|MN|<5,即l<J(2—a)2+9<5,

可得l<(2-a)2+9<25,

所以-4〈2-〃v4,解得-2q<6.

2

7.(2025•安庆模拟)已知点P在圆(x—|)+产江，力(-2,0),;W(1,1),则§PA|+|PM|的最小值为(

)

A.lB.V2C.2V2D.V10

答案B

解析设P(x,历，B(a,0),hPA\=\PB\.

•5

则Q+2)2+y2=J(x_Q)2+y2,

整理得再广竿x+空0,

已知点尸的轨迹方程展开整理得/土产-5/4=0,

——=5,

则93-4_4解得。=2,所以8(2,0).

所以如却+|PM=|P6|+|PMN|M8|=J(2—1)2+(0-1尸=近，

当P在线段上时等号成立，所以新川+IPM的最小值为反

8.(2025・沈阳模拟)函数外)萼工+62-8%+25(0Wx<4)的最小值为()

A.4B.苧C.乎D.5

答案c

解析因为―)聋x+d(x-4)2+(3—0)2,

当产0时，犬0)=5；

当0<xW4时，如图所示.

设P(x,3),C(0,3),4(4,0),/PCB=45。,PB1CB于点、B,

则./(x)=|PC|sin/PC8+|P川=|P8|+|P川，

由图可知，\PB\+|PA|的最小值为点A到直线AC的距离d.

易知直线8c的方程为y=x+3,

即x->+3=0,

|4-。+31_7/<

所以人Vl2+(-l)2~~2

故/(X)的最小值为竽.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.(2025•潍坊模拟)已知点P(2,2),圆C炉+产18,则()

A.点P在圆。内

B.点P与圆。上的点之间的最大距离为6立

C.以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0

D.过点P的直线被圆C截得弦长的最小值为VTU

答案AC

解析对于A,因为22+22=8<18,所以点P在圆C内，故A正确；

对于B,由|PC|=>22+22=2鱼,圆C的半径尸3VL

知点P与圆C上的点之间的最大距离为2&+3夜=5无，故B错误;

对于C,由％PL^

可知以点，为中点的弦所在直线的斜率为Q-1,故以点P为中点的弦所在直线的方程为y-2=-(x-2),即

x+)，-4=0,故C正确；

对于D,由圆的性质可知，当PC与过点P的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为2〃2一附|2=2

V18—8=2V10,故D错误.

10.下列说法错误的是()

A."Q=・1"是"直线x-qv+3=0与直线ax・yH=0互相垂直”的充要条件

B.直线xcosa-yH=0的倾斜角。的双值范围是[。，总口仁，n)

C.若圆G：x2+^2-6x+4y+12=0与圆G：x^y2-14x-2p+t?=0有且只有一个公共点，则。=34

D.若直线/过点M(・2,3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为x+尸1

答案ACD

解析对于A,当。=-1时，直线x+jH~3=0与直线*尸4=0互相平行，

即“k-1”不是“直线x-砂+3=0与直线仆-尹1=0互相垂直”的充要条件，所以A错误；

对于B,由直线xcosa-尸"3=0的倾斜角。满足tanQcosaa[-l,1],

因为问o,兀)，可得或%。(兀，所以柒上，界u吃,TT),所以B正确;

对于C,圆G：xj产^/卬+葭巾的圆心为G(3,-2),半径r=l,

2

圆C2：x^y-14x-2>H-«=0的圆心为G(7,1),半径R=，50—a(a<50),

因为丙圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，

则7(3-7)2+(-2-1)2=5=I+V50^或J(3—7)+(—2—1)2=5=|1-V50^H|,

解得q=34或a=14,所以C错误；

对于D,由直线/过点M(・2,3),

当直线/在两坐标轴上的截距相等，且不为0时，设直线/的方程为洛1,

可得等鼻1,解得。=1,此时直线方程为x+尸1;

当直线/过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线/的方程为)=浜，所以D错误.

11.(2025・渭南质检)设直线系A/：xcos火(y-2)sing3(0W兴2兀)，则下列四个命题为真命题的是()

A.M中所有直线均经过一个定点

B.存在定点P不在M中的任一条直线上

CM中的直线所能围成的正三角形面积都相等

D.对于任意整数〃(〃力3),存在正〃边形，其所有边均在〃中的直线.上

答案BD

解析对于A,令忧羿,裔诩

消去。可得£+&-2)2=9,圆心(0,2)到直线系M中每条直线的距离d-后/荷3=「,

故直线系M表示圆F+62)2=9的切线的集合，故A错误；

对于B,对任意仇存在定点(0,2)不在直线系"中的任一条直线上，故B正确;

对于C,直线系W中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边

△48C和等边故C错误；

对于D,由于圆/+什_2)2=9的外切正〃边形(〃23),其所有边均在直线系〃中的直线上，故D正确.

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.(2025•安徽A10联盟质检)已知圆C：/+产/心4=0上存在两点关于直线六产3=0对称，则圆C的半径

为.

答案V13

解析因为圆上存在两点关于直线/y-3=0对称，所以直线x-y-3=0过圆心(三，0),

从而£-3=0,解得〃1=6,

则圆C的方程为(*3)2+产=13,

故圆。的半径为

13.(2025•红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知直线/：阿什〃尸3(心0,心0),若直线/被圆工什产2片

2)=0所截得的弦长为2VL则〃〃7的最大值为.

答案!

解析因为圆(x-1)2+(y-1)2=2的半径r=V2,

圆心(1,1),直线/被圆所截得的总长为2位，

所以圆心(1,1)在直线上，即m+〃=3,

又因为〃〃7<(巴广)

当且仅当时，等号成立.

Q

所以mn的最大值为工.

14.(2025•齐鲁名校联考)已知三个正数小厂2,A构成公比为［(1>1)的等比数列，圆G：(x-n)2+/=r?

(/=1,2,3),过圆C3上一点P分别作圆G，。2的切线，切点分别为。，R，若黑岩，则4=.

11VI乙

答案3

解析不妨设尸1=1,厂2=夕，〃3=必，

则三个圆心分别为C。,0),G(,0),。3(寸，0),

根据勾股定理得|PQ|2=|PC]|2・1,|PR|2=|Pg|2-/,

所以Ml]—亡一

勿口|PQ|2IPCJ2-14,

因为点尸在圆（x—q2）2+y2=/上,

故可设点P（夕2cos。+q2,（72sin8）,其中OWTT,

川।（q2cos8+q2_q）2+（q2sin6）2_q2_m

_

人」（q2Cos0+q2-i）2+（q2sin0）2-i4*

瑟理ZEJ2q3（qT）（l+cos6）；3

罡主付2q2（q2_i）（i+cos。）二？

即言产!，解得4=3.

IB思维创新,、

（每小题6分，共12分）

15.（多选）（2025・新余模拟）数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有OO：N+y=1与x轴分别交

于4B两点,尸为。0上的动点，以力产为直径的。£的位置随尸点位置的变化而变化，当P点逆时针转

过一周时，扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”（记作M）,则下列说法正确的是（）

A.若NPAB4则OE与x轴公共点的坐标为（・1,0）和0）

B.图乙中”内的点到y轴距离的最大值为1.25

C.若以。为圆心的圆可以完全覆盖区域M,则该圆的半径最小为人2

2

D.图乙中加与），轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为